ESAME DI MATURITA’ 2010 QUESITI DELLA SECONDA PROVA DI MATEMATICA LICEO SCIENTIFICO TRADIZIONALE A cura di Alberto Bellato Soluzioni a cura di Studentville.it e Votailprof.it Attenzione: il contenuto del documento è fornito AS IS. Si declina ogni responsabilità per eventuali errori od imprecisioni contenute in esso. L’uso delle informazioni contenute nel documento implica l’assunzione di ogni responsabilità connessa. 1 Quesito 1 Un pilinomio di grado n può essere scritto nella forma: pn (x) = an · xn + an−1 · xn−1 + ... + a2 · x2 + a1 · x + a0 Per derivare il polinomio, poiché l’operazione di derivazione è lineare, è sufficiente applicarla ad ogni addendo ai · xi . Osservando il primo termine an · xn , avremo: 0 pn (x) = n · an · xn−1 La derivata seconda sarà: 00 pm (x) = n(n − 1) · an · xn−2 E cosı̀ via. Osserviamo che il coefficiente an viene moltiplicato per il fattore n · (n − 1) · (n − 2) · .... Ma questa è proprio l’espressione del fattoriale: n! 1 2 Quesito 2 La dimostrazione è presto ravvisata nella definizione della retta r. Giacché la retta giace perpendicolare al piano del triangolo ABC, è evidente che l’angolo firmato dalla retta medesima con qualsiasi segmento giacente nel piano ABC sarà 90 gradi. Avremo dunque il triangolo PAB rettangolo in B e PBC rettangolo in B. Il triangolo PCA sarà rettangolo in A, poiché è ottenuto dal triangolo ABC mediante una omotetia lungo l’asse AB. Chiarimento: L’angolo in A non cambia poiché è stato unicamente allungato il lato AB, e giocoforza il lato CP, senza toccare l’angolo in A. 3 Quesito 3 La funzione è f (x) = e3x +1. Il coefficiente angolare della retta tangente è presto trovato calcolando la derivata prima della funzione. Avremo f 0 (x) = 3 · e3x . Imponiamo ora 0 f (x) = 2 ⇒ 3 · e3x = 2 ⇒ x = 2 1 · ln 3 3 . 4 Quesito 4 sin( x1 ) 1 limx→∞ 4x · sin( ) = limx→∞ 4 · 1 x x Dove si è sfruttato limt→0 sin(t) =1 t 2 ! = limt→0 4 · sin(t) =4 t 5 Quesito 5 Chiamiamo a l’apotema del cono, r il raggio della circonferenza di base, e h l’altezza. Osservando una sezione assiale del cono, possiamo scrivere: r2 = a2 − h2 Scriviamo l’espressione del volume del cono: V = 1 2 ·r π·h 3 Giacché è necessario calcolare il volume del cono massimo, dobbiamo facilmente ricercare il valore di h che rende massimo il volume del cono. Si tratta di un problema di massimo e minimo applicato alla funzione V(h). Calcoliamo il massimo studiando la derivata della funzione: V (h) = π π · h · (a2 − h2 ) = · (a2 · h − h3 ) 3 3 π · (a2 − 3h2 ) 3 Studiando il segno (omettiamo il calcolo per brevità) otteniamo il punto di massimo relativo in h = √a3 . Il calcolo del volume per il valore di h appena trovato conduce al risultato: V = 252, 8 litri. Attenzione al passaggio da cm3 a litri! 0 V (h) = 6 Quesito 6 q Il dominio della funzione y = cos(x) è determinato imponendo positivo l’argomento della radice. Avremo: cos(x) ≥ 0 ⇒ − π π + 2kπ ≤ x ≤ + 2kπ 2 2 3 7 Quesito 7 Per imporre la continuità, è necessario imporre l’uguaglianza dei limiti destro e sinistro della funzione in x=4. Calcoliamo il valore assunto dalla funzione in x=4: f (4) = 3 · (4)2 − 11 · 4 − 4 = 0 Imponiamo l’uguaglianza col limite destro: k · (4)2 − 2 · 4 − 1 = 0 ⇒ 16k − 9 = 0 ⇒ k = 8 9 16 Quesito 8 Una progressione si dice aritmetica quando è costante la differenza fra elementi consecutivi. Dalle formule dei coefficienti binomiali si ottiene: ! n n! = (n − 1)! · 1 n−1 ! n n! = n−2 (n − 2)! · 2 ! n n! = (n − 3)! · 3 n−3 Si prosegue operando la differenza fra i membri consecutivi, scrivendo: ! ! ! ! n n n n − = − n−3 n−2 n−2 n−1 Si può semplificare il calcolo cosı̀: ! ! ! n n n =2· − n−3 n−2 n−1 4 A questo punto vanno sviluppate le espressioni dei coefficienti binomiali, eseguendo le semplificazioni: 2! n! n! = 2· − (n − 3!) · (n − (n − 3))! (n − 2)! · (n − (n − 2)!) (n − 1)! · (n − (n − 1))! n! n! n! =2· − 3! · (n − 3)! 2! · (n − 2)! (n − 1)! A questo punto l’equazione va semplificata espandendo i singoli termini fattoriali. Per semplicità di esposizione omettiamo i passaggi, scrivendo il risultato finale: (n − 2)(n − 1) = 6 · (n − 2) ⇒ n = 7 9 Quesito 9 Per dimostrare il fatto che un triangolo siffatto non può esistere, possiamo ragionare sulla misura minima del lato AC, con le condizioni poste. Chiamiamo r la retta passante per B, sulla quale vogliamo individuare il vertice C. La misura minima del lato AC è ottenibile calcolando la distanza della retta r dal punto A; per definizione, il segmento AC sarà perpendicolare a r, e disegnando tale segmento avremo individuato un triangolo ABC rettangolo in C. Ora, la misura di AC si può trovare sfruttando le proprietà dei triangoli rettangoli, scrivendo brevemente AC = AB · sen(30) ' 2, 12. Ecco che la misura risulta superiore al 2 imposto in precedenza. Il triangolo ricercato in partenza non può dunque esistere. In via alternativa,possiamo dire che una circonferenza di raggio 2 centrata in A non potrà mai toccare la retta r, ma la dimostrazione è leggermente più complessa. Per quanto riguarda il secondo punto, possiamo costruire il triangolo ed osservare il disegno: Il Teorema di Carnot fornisce: 5 AC 2 = CB 2 + AB 2 − 2CB · AB · cos(30) Con i dati in nostro possesso, otteniamo una equazione di secondo grado nella variabile CB. Avremo: 22 = x2 + 32 − 2 · x · 3 · cos(30) √ x2 − 3 · 3x + 5 = 0 Risolvendo l’equazione di secondo grado otteniamo i due valori del lato CB: √ √ 3 3± 7 CB1,2 = 2 6 10 Quesito 10 Giacché la rotazione avviene attorno all’asse y, è conveniente modificare leggermente la funzione. L’integrale di rotazione che stiamo calcolando è una sorta di ciotola con parete cilindrica, ottenibile sottraendo dal volume di un cilindro di raggio 4 ed altezza 2 il volume del solido di rotazione di f (x) = x2 fra x=0 e x=2, attorno all’asse x. Avremo, utilizzando il Teorema di Fubini: 2 V = π·4 ·2− Z 2 Z 2 2 2 π·[x ] dx = 32·π− 0 0 7 1 π·x dx = 32·π−π x5 5 4 2 = 32π− 0 32 128 π= ·π 5 5