Corso di Microeconomia – III Canale
GLOSSARIO ED ESERCIZI SVOLTI
DI MICROECONOMIA
di
Saverio M. Fratini
e
Daria Pignalosa
Giugno 2010
Indice
GLOSSARIO di MICROECONOMIA........................................................................................ 3
ESERCIZI SVOLTI di MICROECONOMIA............................................................................. 8
Teoria della Produzione ............................................................................................................ 8
Esercizio 1. .............................................................................................................................. 8
Esercizio 2. .............................................................................................................................. 9
Esercizio 3. ............................................................................................................................ 11
Esercizio 4. ............................................................................................................................ 13
Esercizio 5. ............................................................................................................................ 15
Esercizio 6. ............................................................................................................................ 17
Esercizio 7. ............................................................................................................................ 19
Esercizio 8. ............................................................................................................................ 21
Esercizio 9. ............................................................................................................................ 23
Esercizio 10. .......................................................................................................................... 25
Teoria classica della distribuzione e del valore ...................................................................... 27
Esercizio 11. .......................................................................................................................... 27
Esercizio 12. .......................................................................................................................... 28
Esercizio 13. .......................................................................................................................... 29
Esercizio 14. .......................................................................................................................... 31
Teoria del Consumatore.......................................................................................................... 33
Esercizio 15. .......................................................................................................................... 33
Esercizio 16. .......................................................................................................................... 34
Esercizio 17. .......................................................................................................................... 35
Esercizio 18. .......................................................................................................................... 36
Esercizio 19. .......................................................................................................................... 37
Esercizio 20. .......................................................................................................................... 38
Esercizio 21. .......................................................................................................................... 39
Esercizio 22. .......................................................................................................................... 40
Esercizio 23. .......................................................................................................................... 41
Esercizio 24. .......................................................................................................................... 42
Teoria Marginalista della Produzione .................................................................................... 43
Esercizio 25. .......................................................................................................................... 43
Esercizio 26. .......................................................................................................................... 46
1
Esercizio 27. .......................................................................................................................... 47
Esercizio 28. .......................................................................................................................... 48
Esercizio 29. .......................................................................................................................... 49
Concorrenza Perfetta .............................................................................................................. 50
Esercizio 30. .......................................................................................................................... 51
Esercizio 31. .......................................................................................................................... 52
Monopolio ................................................................................................................................ 54
Esercizio 32. .......................................................................................................................... 54
Esercizio 33. .......................................................................................................................... 55
Esercizio 34. .......................................................................................................................... 56
Oligopolio di Cournot.............................................................................................................. 57
Esercizio 35. .......................................................................................................................... 57
Esercizio 36. .......................................................................................................................... 58
2
GLOSSARIO di MICROECONOMIA
A
ALLOCAZIONE = Distribuzione di date dotazioni di beni di consumo tra diversi individui; oppure
distribuzione di date dotazioni di fattori produttivi tra diverse imprese o industrie.
ALLOCAZIONE PARETO-OTTIMALE = Vedi “Ottimo di Pareto”.
ALLOCAZIONE SUPERIORE IN SENSO PARETIANO = Facendo riferimento al caso di una
economia di puro scambio, una allocazione T è un superiore nel senso di Pareto rispetto ad
un’altra allocazione R se in T almeno un individuo migliora la sua posizione (cioè si colloca
su una curva di indifferenza più alta) e nessun individuo peggiora la propria posizione (cioè
tutti gli individui rimangono almeno sulla stessa curva di indifferenza su cui si trovavano
nella allocazione R).
B
BENI CAPITALE = Vedi “mezzi di produzione”.
BENI CAPITALE CIRCOLANTI = Mezzi di produzione che vengono interamente consumati
nell’ambito di un singolo ciclo produttivo (come materie prime, combustibili, ecc.).
BENI CAPITALE FISSI = Mezzi di produzione la cui durata utile si estende sopra più cicli
produttivi (come macchinari, automezzi, capannoni, ecc.).
BENI di GIFFEN = per un certo individuo, il bene X è un bene di Giffen se la domanda del bene X
da parte di questo individuo aumenta (oppure: diminuisce) al crescere (oppure: al diminuire)
del prezzo relativo di X in Y Px/Py. Tutti i beni che non sono beni di Giffen, sono detti
“ordinari”.
BENI INFERIORI = per un certo individuo, il bene X è un bene inferiore se la domanda del bene X
da parte di questo individuo diminuisce (oppure: aumenta) al crescere (oppure: al diminuire)
del suo reddito. Tutti i beni che non sono inferiori, sono detti “normali”.
BENI NORMALI = per un certo individuo, il bene X è un bene normale se la domanda del bene X
da parte di questo individuo aumenta (oppure: diminuisce) al crescere (oppure: al diminuire)
del suo reddito. Tutti i beni che non sono normali, sono detti “inferiori”.
BENI ORDINARI = per un certo individuo, il bene X è un bene ordinario se la domanda del bene X
da parte di questo individuo diminuisce (oppure: aumenta) al crescere (oppure: al diminuire)
3
del prezzo relativo di X in Y Px/Py. Tutti i beni che non sono ordinari, sono detti “beni di
Giffen”.
BILANCIO. Dato il reddito dell’individuo e dati i prezzi dei beni:
INSIEME di BILANCIO = insieme formato da tutti i panieri che comportano una spesa non
eccedente il reddito dell’individuo;
VINCOLO di BILANCIO = insieme formato da tutti i panieri che comportano una spesa
esattamente pari al reddito dell’individuo.
C
COSTO MARGINALE (Marginal Cost, MC) = incremento dei costi totali derivante dalla
produzione di una unità aggiuntiva di output.
COSTO MEDIO (Average Cost, AC) = costo unitario, cioè rapporto tra il costo e la quantità
prodotta. Nel breve periodo si distingue il costo medio variabile dal costo medio totale.
CURVA dei CONTRATTI = insieme di tutte le allocazioni Pareto-ottimali.
CURVA di DOMANDA = curva che mette in relazione la quantità domandata di un bene con il suo
prezzo.
CURVA di ENGEL = curva che mette in relazione la quantità domandata di un bene da parte di un
individuo con il suo reddito.
CURVA di INDIFFERENZA = insieme di panieri che l’individuo giudica equivalenti (indifferenti)
ad un dato paniere iniziale.
CURVA di ISO-COSTO = insieme delle combinazioni di capitale e lavoro che, dati il tasso
dell’interesse ed il saggio del salario, possono essere impiegate sostenendo lo stesso livello
di costo.
CURVA di ISO-QUANTO = insieme delle combinazioni di capitale e lavoro che, date le condizioni
tecniche di produzione, consentono di ottenere lo stesso livello di output.
CURVA PREZZO-CONSUMO = insieme dei panieri ottimali per un individuo a prezzi diversi di
un bene, ma tenendo fermi il reddito ed il prezzo dell’altro bene.
E
ECONOMIA con SOVRAPPIU’ = Economia il cui prodotto sociale lordo, oltre a consentire la
reintegrazione delle merci necessarie come mezzi di produzione e come sussistenze dei
lavoratori, lascia una eccedenza detta appunto “sovrappiù”.
ECONOMIA di SUSSISTENZA = Economia il cui prodotto sociale lordo è esattamente pari alle
quantità di merci che servono per riprodurre i mezzi di produzione impiegati e le sussistenze
4
per i lavoratori (ovvero il suo prodotto netto è pari alle sussistenze per i lavoratori
impiegati).
ELASTICITA’ della DOMANDA al PREZZO = rapporto tra la variazione percentuale della
quantità domandata e la variazione percentuale del prezzo che l’ha generata.
F
FUNZIONE della PRODUZIONE = funzione che a ciascuna combinazione di input (lavoro e
capitale, oppure lavoro, capitale e terra), associa la quantità di output con essa ottenibile.
FUNZIONE di REAZIONE = Nel caso con due sole imprese, la funzione di reazione dell’impresa 1
è quella funzione che a ciascuna quantità Q2 prodotta dall’impresa 2 associa la quantità Q1*
che l’impresa 1 deve produrre al fine di massimizzare i suoi profitti.
FUNZIONE di UTILITA’ = funzione che a ciascun paniere associa un numero reale, in maniera
tale che il numero associato al paniere D risulta maggiore del numero associato al paniere E
se e solo se l’individuo preferisce D ad E. Ovvero, se u(x, y) è una funzione di utilità che
rappresenta le preferenze di un consumatore, allora: u(xD; yD) > u(xE; yE) ⇔ D
anche: u(xD; yD) ≥ u(xE; yE) ⇔ D
E {cioè
E}.
M
MAPPA di INDIFFERENZA = rappresentazione delle preferenze individuali attraverso le curve di
indifferenza: i panieri appartenenti a curve di indifferenza più alte sono preferiti a quelli
appartenenti a curve più basse.
MERCI BASE = Merci impiegate direttamente o indirettamente come mezzi di produzione di tutti i
prodotti dell’economia.
MEZZI di PRODUZIONE (o BENI CAPITALE) = Merci impiegate come input nel processo
produttivo (il loro valore costituisce, in tutto o in parte, il valore del capitale impiegato).
N
NUMERARIO = Merce utilizzata come unità di misura del valore delle altre merci. Se una merce
viene scelta come numerario, tutti i prezzi sono quantità di questa merce (ad esempio se il
grano è il numerario ed il prezzo dell’acciaio è 150, ciò significa che occorrono 150 quintali
di grano per acquistare una tonnellata di acciaio). Può essere una merce singola oppure una
merce composita (cioè un paniere di molte merci prese in quantità fissate).
5
O
OTTIMO di PARETO = Facendo riferimento al caso di una economia di puro scambio, una
allocazione è un ottimo di Pareto se non esiste altra allocazione che consenta di aumentare il
benessere di un individuo senza diminuire quello di qualcun altro.
P
PREZZI di MERCATO o EFFETTIVI = Prezzi a cui avvengono effettivamente gli scambi in un
certo e limitato periodo di tempo.
PREZZI NATURALI o NORMALI = Prezzi teorici, caratterizzati dall’essere compatibili con
l’emergere dello stesso saggio del profitto in tutti i settori dell’economia. Rappresentano il
“centro di gravitazione” attorno cui oscillano i prezzi effettivi in tempi diversi.
PREZZO RELATIVO = prezzo di una merce espresso, invece che in termini monetari (cioè in
euro), in termini di un’altra merce. Ad esempio, se il prezzo monetario di un libro è
e quello di un litro di latte è
18,00
1,50, allora il prezzo di un libro in termini di latte è 18/1,50 =
12, ovvero ci vogliono 12 litri di latte per comperare un libro.
PRODOTTO MARGINALE di un FATTORE = incremento (ovvero: diminuzione) di prodotto
derivante dall’impiego di una unità in più (ovvero: in meno) di un fattore, ferme restando le
quantità impiegate di tutti gli altri fattori produttivi.
PRODOTTO MEDIO di un FATTORE = rapporto tra la quantità di prodotto ottenuta e la quantità
impiegata di un fattore produttivo.
PRODOTTO SOCIALE LORDO = Quantità di merci prodotte dall’economia nel suo complesso
durante un ciclo produttivo.
PRODOTTO SOCIALE NETTO = Quantità di merci prodotte dall’economia nel suo complesso, al
netto delle quantità di merci impiegate nell’economia come mezzi di produzione.
R
RENDIMENTI di SCALA. Data la funzione di produzione Q = F(K, L), si assuma che, rispetto ad
una situazione iniziale Q0 = F(K0, L0), le quantità impiegate di entrambi i fattori aumentino
in una stessa percentuale δ. Ovvero, ponendo λ = (1+δ), si impieghino, dopo l’aumento,
quantità λ K0 di capitale e λ L0 di lavoro. Distinguiamo tre casi:
RENDIMENTI di SCALA COSTANTI = se anche la quantità prodotta aumenta nella stessa
percentuale δ. Ovvero: λ Q0 = F(λ K0, λ L0)
6
RENDIMENTI di SCALA CRESCENTI = se la quantità prodotta aumenta in percentuale
maggiore di δ. Ovvero: λ Q0 < F(λ K0, λ L0)
RENDIMENTI di SCALA DECRESCENTI = se la quantità prodotta aumenta in
percentuale minore di δ. Ovvero: λ Q0 > F(λ K0, λ L0)
RICAVO MARGINALE (Marginal Revenue, MR) = incremento dei ricavi totali derivante dalla
produzione e vendita di una unità aggiuntiva di output (oppure: diminuzione dei ricavi totali
dovuta alla produzione e vendita di una unità in meno di output).
S
SAGGIO MARGINALE di SOSTITUZIONE (Marginal Rate of Substitution, MRS) = è la
pendenza (in valore assoluto) della curva di indifferenza in un punto ed esprime la quantità
massima del bene y che l’individuo è disposto a cedere per avere una unità in più del bene x
(oppure: la quantità minima del bene y che l’individuo è disposto ad accettare in cambio
della cessione di una unità del bene x). Quando le preferenze sono rappresentate attraverso
una funzione di utilità, il saggio marginale di sostituzione è pari al rapporto tra l’utilità
marginale del bene x e quella del bene y.
SAGGIO MARGINALE di SOSTITUZIONE TECNICA (Marginal Rate of Technical Substitution,
MRTS) = (con L sulle ascisse e K sulle ordinale) è la quantità di capitale che serve per
compensare la diminuzione dell’impiego di lavoro di una unità, mantenendo ferma la
quantità prodotta (oppure: è la quantità di capitale che può essere sostituita dall’impiego
aggiuntivo di una unità di lavoro, ferma restando la quantità prodotta).
SAGGIO del PROFITTO (o tasso del profitto) = Profitto per una unità di capitale impiegata per un
ciclo produttivo. Si calcola attraverso il rapporto tra l’ammontare complessivo dei profitti ed
il valore complessivo del capitale impiegato.
SAGGIO del SALARIO = Salario per una unità di tempo di lavoro.
SOVRAPPIU’ = Eccedenza del prodotto sociale lordo rispetto alle merci necessarie per la
reintegrazione dei mezzi di produzione e delle sussistenze dei lavoratori.
U
UTILITA’ MARGINALE di un BENE = incremento di utilità derivante dal consumo aggiuntivo di
una unità di un bene, fermo restando il consumo di tutti gli altri beni.
7
ESERCIZI SVOLTI di MICROECONOMIA
Teoria della Produzione
Esercizio 1:
Considerate una economia con due merci: grano (G) e ferro (F). Si assuma la seguente produzione:
900 q di G ⊕ 20 t di F ⊕ 130 di L → 2000 q di G
100 q di G ⊕ 15 t di F ⊕ 70 di L → 100 t di F
Assumendo che l'
economia sia di sussistenza, e cioè che il prodotto netto sia esattamente pari alle
sussistenze per i lavoratori impiegati, determinate le sussistenze per un lavoratore.
Svolgimento:
Il grano impiegato come mezzo di produzione nell’economia nel suo complesso è:
900 + 100 = 1000 q di G;
e analogamente il ferro impiegato come mezzo di produzione nell’economia nel suo complesso è:
20 + 15 = 35 t di F.
Per ottenere il prodotto sociale netto, pari alle sussistenze, occorre sottrarre al prodotto
sociale lordo le merci impiegate come mezzi di produzione:
PROD. SOC. LORDO
2000
100
−
−
M. di P.
1000
35
=
PROD. SOC. NETTO
1000
=
65
Abbiamo così calcolato le sussistenze complessive per 200 lavoratori (200 = 130 + 70).
1000
5
: 200 =
0,325
Perciò le sussistenze per un lavoratore ammonteranno a 65
Ad ogni lavoratore impiegato vengono corrisposti 5 q di G e 0,325 t di F.
8
Esercizio 2:
Considerate una economia con tre sole merci: Arance (A), Biscotti (B) e Camicie (C). Si assuma la
seguente produzione:
300 di A ⊕ 100 di B ⊕ 130 di L → 2000 di A
100 di A ⊕ 25 di B ⊕ 50 di L → 1000 di B
100 di A ⊕ 25 di B ⊕ 20 di L → 8000 di C
Assumendo che le sussistenze annue per un lavoratore siano composte da 2 di A, 1 di B e 8 di C,
calcolate:
a) le quantità di merci impiegate come mezzi di produzione nell’economia nel suo complesso
b) il prodotto sociale netto
c) il sovrappiù
Svolgimento:
a) Le Arance impiegate come mezzo di produzione nell’economia nel suo complesso sono:
300 + 100 + 100 = 500 di A;
e analogamente i Biscotti impiegati come mezzo di produzione nell’economia nel suo complesso
sono:
100 + 25 + 25 = 150 di B;
mentre le Camicie non sono impiegate come mezzo di produzione in nessuna industria.
b) Per ottenere il prodotto sociale netto, occorre sottrarre al prodotto sociale lordo le merci
impiegate come mezzi di produzione:
PROD. SOC. LORDO
2000
1000
8000
−
−
M. di P.
500
150
0
=
=
PROD. SOC. NETTO
1500
850
8000
c) Per ottenere il sovrappiù, occorre sottrarre al prodotto sociale netto le merci che
costituiscono le sussistenze dei lavoratori. Cominciamo quindi col calcolare le sussistenze
complessive di 200 lavoratori (200 = 130 + 50 + 20):
9
2
400
SUSS. = 1 × 200 = 200
8
1600
PROD. SOC. NETTO
1500
850
8000
−
SUSS.
−
400
200
1600
=
=
SOVRAPPIU’
1100
650
6400
10
Esercizio 3:
Considerate una economia con tre sole merci: grano (G), ferro (F) e acciaio (A). Si assuma la
seguente produzione:
400 q di G ⊕ 20 t di F ⊕ 100 t di A ⊕ 100 di L → 2000 q di G
200 q di G ⊕ 10 t di F ⊕ 50 t di A ⊕ 60 di L → 200 t di F
200 q di G ⊕ 10 t di F ⊕ 200 t di A ⊕ 40 di L → 5000 t di A
Assumendo che le sussistenze annue per un lavoratore siano composte da 3 q di G, 0,5 t di F e 10 t
di A, calcolate:
a) le quantità di merci impiegate come mezzi di produzione nell’economia nel suo complesso
b) il prodotto sociale netto
c) il sovrappiù
Svolgimento:
a) Il grano impiegato come mezzo di produzione nell’economia nel suo complesso è:
400 + 200 + 200 = 800 q di G;
e analogamente il ferro impiegato come mezzo di produzione nell’economia nel suo complesso è:
20 + 10 + 10 = 40 t di F;
mentre l’acciaio impiegato come mezzo di produzione nell’economia nel suo complesso è:
100 + 50 + 200 = 350 t di A.
b) Per ottenere il prodotto sociale netto, occorre sottrarre al prodotto sociale lordo le merci
impiegate come mezzi di produzione:
PROD. SOC. LORDO
2000
200
5000
−
−
M. di P.
800
40
350
=
=
PROD. SOC. NETTO
1200
160
4650
c) Per ottenere il sovrappiù, occorre sottrarre al prodotto sociale netto le merci che
costituiscono le sussistenze dei lavoratori. Cominciamo quindi col calcolare le sussistenze
complessive di 200 lavoratori (200 = 100 + 60 + 40):
11
3
600
SUSS. = 0,5 × 200 = 100
10
2000
PROD. SOC. NETTO
1200
160
4650
−
SUSS.
−
600
100
2000
=
=
SOVRAPPIU’
600
60
2650
12
Esercizio 4:
Considerate una economia con tre sole merci: grano (G), ferro (F) e acciaio (A). Si assuma la
seguente produzione:
500 q di G ⊕ 20 t di F ⊕ 100 t di A ⊕ 80 di L → 1500 q di G
250 q di G ⊕ 20 t di F ⊕ 200 t di A ⊕ 80 di L → 200 t di F
250 q di G ⊕ 10 t di F ⊕ 400 t di A ⊕ 40 di L → 4000 t di A
Assumendo che le sussistenze annue per un lavoratore siano composte da 2,5 q di G, 0,5 t di F e 15
t di A, calcolate:
a) le quantità di merci impiegate come mezzi di produzione nell’economia nel suo complesso
b) il prodotto sociale netto
c) il sovrappiù
Svolgimento:
a) Il grano impiegato come mezzo di produzione nell’economia nel suo complesso è:
500 + 250 + 250 = 1000 q di G;
e analogamente il ferro impiegato come mezzo di produzione nell’economia nel suo complesso è:
20 + 20 + 10 = 50 t di F;
mentre l’acciaio impiegato come mezzo di produzione nell’economia nel suo complesso è:
100 + 200 + 400 = 700 t di A.
b) Per ottenere il prodotto sociale netto, occorre sottrarre al prodotto sociale lordo le merci
impiegate come mezzi di produzione:
PROD. SOC. LORDO
1500
200
4000
−
M. di P.
−
1000
50
700
=
PROD. SOC. NETTO
=
500
150
3300
c) Per ottenere il sovrappiù, occorre sottrarre al prodotto sociale netto le merci che
costituiscono le sussistenze dei lavoratori. Cominciamo quindi col calcolare le sussistenze
complessive di 200 lavoratori (200 = 80 + 80 + 40):
13
2,5
500
SUSS. = 0,5 × 200 = 100
15
3000
PROD. SOC. NETTO
500
150
3300
−
SUSS.
−
500
100
3000
=
=
SOVRAPPIU’
0
50
300
14
Esercizio 5:
Considerate una economia con tre sole merci: grano (G), ferro (F) e tela (T). Si assuma la seguente
produzione:
800 q di G ⊕ 20 t di F ⊕ 130 di L → 2000 q di G
100 q di G ⊕ 5 t di F ⊕ 50 di L → 100 t di F
100 q di G ⊕ 15 t di F ⊕ 20 di L → 7000 m di T
Assumendo che le sussistenze annue per un lavoratore siano composte da 2 q di G, 0,2 t di F e 10 m
di T, calcolate:
a) le quantità di merci impiegate come mezzi di produzione nell’economia nel suo complesso
b) il prodotto sociale netto
c) il sovrappiù
Svolgimento:
a) Il grano impiegato come mezzo di produzione nell’economia nel suo complesso è:
800 + 100 + 100 = 1000 q di G;
e analogamente il ferro impiegato come mezzo di produzione nell’economia nel suo complesso è:
20 + 5 + 15 = 40 t di F;
mentre la tela non è impiegata come mezzo di produzione in nessuna industria.
b) Per ottenere il prodotto sociale netto, occorre sottrarre al prodotto sociale lordo le merci
impiegate come mezzi di produzione:
PROD. SOC. LORDO
2000
100
7000
−
M. di P.
−
1000
40
0
=
=
PROD. SOC. NETTO
1000
60
7000
c) Per ottenere il sovrappiù, occorre sottrarre al prodotto sociale netto le merci che
costituiscono le sussistenze dei lavoratori. Cominciamo quindi col calcolare le sussistenze
complessive di 200 lavoratori (200 = 130 + 50 + 20):
2
400
SUSS. = 0,2 × 200 = 40
10
2000
15
PROD. SOC. NETTO
1000
60
7000
−
SUSS.
−
400
40
2000
=
=
SOVRAPPIU’
600
20
5000
16
Esercizio 6:
Dati i seguenti coefficienti tecnici unitari:
1/3 q di G ⊕ 1/80 t di F ⊕ 1/8 di L → 1 q di G
2 q di G ⊕ 1/5 t di F ⊕ 2 di L → 1 t di F
costruite una economia il cui prodotto netto è esattamente pari alle sussistenze per un lavoratore,
cioè a 2 q di G e 0,1 t di F.
Svolgimento:
Per definizione si ha che:
Prodotto Lordo – Mezzi di Produzione = Prodotto Netto.
Avendo come dati i coefficienti tecnici unitari, le quantità di merci impiegate come mezzi di
produzione dipenderanno esclusivamente dalle quantità prodotte lorde. In particolare, se indichiamo
con x la produzione lorda di grano (in quintali) e con y quella di ferro (in tonnellate), allora le
quantità di grano e ferro da impiegare come mezzi di produzione nell’economia saranno
rispettivamente:
1
x + 2y
3
e
1
1
x+ y
80
5
si noti infatti che per produrre x q di G servono
produrre y t di F servono 2y q di G e
1
1
x q di G e
x t di F; mentre analogamente per
3
80
1
y t di F.
5
Quindi, se x e y sono le quantità prodotte lorde di grano e ferro, allora:
1
Prodotto netto di grano = x − x − 2 y
3
Prodotto netto di ferro = y −
1
1
x− y
80
5
Ora, noi vogliamo costruire una economia il cui prodotto netto sia esattamente 2 q di G e 0,1
t di F. Quindi, al fine di determinare le quantità lorde x e y, il sistema da risolvere è:
(1)
1
x − x − 2y = 2
3
(2)
y−
1
1
x − y = 0,1
80
5
Dalla equazione (1) otteniamo:
17
y=
x x
2
1
− −1 = x −1 = x −1
2 6
6
3
così, sostituendo questa espressione nella (2) abbiamo:
1
1
1
1 1
x −1− x − x + =
3
80
15
5 10
da cui:
80 − 3 − 16
1 + 10 − 2
x=
240
10
quindi:
x=
9 ⋅ 240 216
=
= 3,54098 q di G
610
61
e pertanto:
y=
1 216
⋅
− 1 = 0,18033 t di F
3 61
Una volta determinato il prodotto lordo, visto che conosciamo i coefficienti tecnici unitari,
possiamo determinare i mezzi di produzione ed il lavoro necessari. In particolare:
1 216 216
1 216 216
1 216 216
⋅
=
= 1,18033 G ⊕
⋅
=
= 0,04426 F ⊕ ⋅
=
= 0,44262 L →
3 61 183
80 61 4880
8 61 488
216
= 3,54098 q di G
61
2⋅
11 22
1 11 11
11 22
11
=
= 0,3606 G ⊕ ⋅ =
= 0,0360 F ⊕ 2 ⋅ =
= 0,3606 L → = 0,1803 t di F
61 61
5 61 305
61 61
61
Le dimensioni dell’economia tali per cui il prodotto netto è esattamente 2 q di G e 0,1 t di F saranno
dunque:
1,18 q di G ⊕ 0,04 t di F ⊕ 0,44 di L → 3,54 q di G
0,36 q di G ⊕ 0,04 t di F ⊕ 0,36 di L → 0,18 t di F
Verifichiamo che il prodotto netto corrisponda proprio alle sussistenze per un lavoratore:
Il grano impiegato come mezzo di produzione nell’economia è 1,18 + 0,36 = 1,54 q di G;
il ferro impiegato come mezzo di produzione nell’economia è 0,04 + 0,04 = 0,08 t di F.
PROD. SOC. LORDO
3,54
0,18
−
−
M. di P.
1,54
0,08
=
=
PROD. SOC. NETTO
2
0,1
18
Esercizio 7:
Dati i seguenti coefficienti tecnici unitari:
1/2 q di G ⊕ 1/60 t di F ⊕ 1/16 di L → 1 q di G
2 q di G
⊕ 1/3 t di F ⊕ 1
di L → 1 t di F
costruite una economia il cui prodotto netto è esattamente pari alle sussistenze per un lavoratore,
cioè a 2 q di G e 0,2 t di F.
Svolgimento:
Per definizione si ha che:
Prodotto Lordo – Mezzi di Produzione = Prodotto Netto.
Avendo come dati i coefficienti tecnici unitari, le quantità di merci impiegate come mezzi di
produzione dipenderanno esclusivamente dalle quantità prodotte lorde. In particolare, se indichiamo
con x la produzione lorda di grano (in quintali) e con y quella di ferro (in tonnellate), allora le
quantità di grano e ferro da impiegare come mezzi di produzione nell’economia saranno
rispettivamente:
1
x + 2y
2
e
1
1
x+ y
60
3
si noti infatti che per produrre x q di G servono
produrre y t di F servono 2y q di G e
1
1
x q di G e
x t di F; mentre analogamente per
2
60
1
y t di F.
3
Quindi, se x e y sono le quantità prodotte lorde di grano e ferro, allora:
1
Prodotto netto di grano = x − x − 2 y
2
Prodotto netto di ferro = y −
1
1
x− y
60
3
Ora, noi vogliamo costruire una economia il cui prodotto netto sia esattamente 2 q di G e 0,2
t di F. Quindi, al fine di determinare le quantità lorde x e y, il sistema da risolvere è:
(1)
1
x − x − 2y = 2
2
(2)
y−
1
1
x − y = 0,2
60
3
Dalla equazione (1) otteniamo:
19
y=
x x
1
− −1 = x −1
2 4
4
così, sostituendo questa espressione nella (2) abbiamo:
1
1
1
1 1
x −1− x − x + =
4
60
12
3 5
da cui:
15 − 1 − 5
3 + 15 − 5
x=
60
15
quindi:
x=
13 ⋅ 60 780
=
= 5,77778 q di G
15 ⋅ 9 135
e pertanto:
y=
1 780
⋅
− 1 = 0,44444 t di F
4 135
Una volta determinato il prodotto lordo, visto che conosciamo i coefficienti tecnici unitari,
possiamo determinare i mezzi di produzione ed il lavoro necessari. In particolare:
1 780
1 780
1 780
780
⋅
= 2,88888 G ⊕
⋅
= 0,09629 F ⊕
⋅
= 0,36111 L →
= 5,77778 q di G
2 135
60 135
16 135
135
2⋅
60
1 60
60
60
= 0,88888 G ⊕ ⋅
= 0,14814 F ⊕ 1 ⋅
= 0,44444 L →
= 0,44444 t di F
135
3 135
135
135
Le dimensioni dell’economia tali per cui il prodotto netto è esattamente 2 q di G e 0,2 t di F saranno
dunque:
2,89 q di G ⊕ 0,09 t di F ⊕ 0,36 di L → 5,78 q di G
0,89 q di G ⊕ 0,15 t di F ⊕ 0,44 di L → 0,44 t di F
Verifichiamo che il prodotto netto corrisponda proprio alle sussistenze per un lavoratore:
Il grano impiegato come mezzo di produzione nell’economia è 2,89 + 0,89 = 3,78 q di G;
il ferro impiegato come mezzo di produzione nell’economia è 0,09 + 0,15 = 0,24 t di F.
PROD. SOC. LORDO
5,78
0,44
−
−
M. di P.
3,78
0,24
=
=
PROD. SOC. NETTO
2
0,2
20
Esercizio 8:
Dati i seguenti coefficienti tecnici unitari:
1/2 q di G ⊕ 1/60 t di F ⊕ 1/16 di L → 1 q di G
2 q di G
⊕ 1/3 t di F ⊕ 1
di L → 1 t di F
assumendo che le sussistenze per un lavoratore siano 2 q di G e 0,2 t di F, costruite una economia
con 100 lavoratori, il cui sovrappiù è interamente costituito di ferro.
Svolgimento:
Per definizione si ha che:
Prodotto Lordo – Mezzi di Produzione – Sussistenze = Sovrappiù.
Se indichiamo con x la produzione lorda di grano (in quintali) e con y quella di ferro (in
tonnellate), allora le quantità di grano e ferro da impiegare come mezzi di produzione
nell’economia saranno rispettivamente:
1
x + 2y
2
e
1
1
x+ y
60
3
mentre la quantità di lavoro da impiegare sarà:
1
x+ y.
16
Ora, nel nostro caso, le produzioni lorde x e y dovranno soddisfare i seguenti requisiti: i)
devono essere impiegati complessivamente 100 lavoratori, ovvero
1
x + y = 100 ; ii) la produzione
16
lorda di grano x deve essere esattamente pari alla somma del grano impiegato come mezzo di
produzione e del grano dato ai lavoratori come sussistenze, ovvero x =
1
1
x + 2y + 2
x+ y .
2
16
Abbiamo quindi un sistema di 2 equazioni in 2 incognite:
(1)
1
x + y = 100
16
(2)
x=
1
1
x + 2y + 2
x+ y
2
16
Dalla (2) si ottiene che:
3
x = 4y
8
21
mentre per la (1) si ha:
y = 100 −
1
x
16
per cui:
3
1
x = 400 − x
8
4
8
x = ⋅ 400 = 640 q di G
5
ovvero
e
y = 100 −
1
⋅ 640 = 100 − 40 = 60 t di F.
16
Una volta determinato il prodotto lordo, visto che conosciamo i coefficienti tecnici unitari,
possiamo determinare i mezzi di produzione ed il lavoro necessari. In particolare:
1
1
1
⋅ 640 = 320 G ⊕
⋅ 640 = 10,7 F ⊕
⋅ 640 = 40 L → 640 q di G
2
60
16
2 ⋅ 60 = 120 G
⊕
PROD. LORDO
640
60
1
⋅ 60 = 20 F
3
−
−
⊕ 1 ⋅ 60 = 60 L
M. di P.
440
30,7
−
−
→
SUSS.
200
20
60 t di F
=
=
SOVRAP.
0
9,3
22
Esercizio 9:
Dati i seguenti coefficienti tecnici unitari:
1/3 q di G ⊕ 1/80 t di F ⊕ 1/8 di L → 1 q di G
2 q di G
⊕ 1/5 t di F ⊕ 2 di L
→ 1 t di F
assumendo che le sussistenze per un lavoratore siano 2 q di G e 0,1 t di F, costruite una economia
con 100 lavoratori, il cui sovrappiù è interamente costituito di ferro.
Svolgimento:
Per definizione si ha che:
Prodotto Lordo – Mezzi di Produzione – Sussistenze = Sovrappiù.
Se indichiamo con x la produzione lorda di grano (in quintali) e con y quella di ferro (in
tonnellate), allora le quantità di grano e ferro da impiegare come mezzi di produzione
nell’economia saranno rispettivamente:
1
x + 2y
3
e
1
1
x+ y
80
5
mentre la quantità di lavoro da impiegare sarà:
1
x + 2y .
8
Ora, nel nostro caso, le produzioni lorde x e y dovranno soddisfare i seguenti requisiti: i)
devono essere impiegati complessivamente 100 lavoratori, ovvero
1
x + 2 y = 100 ; ii) la produzione
8
lorda di grano x deve essere esattamente pari alla somma del grano impiegato come mezzo di
produzione e del grano dato ai lavoratori come sussistenze, ovvero x =
1
1
x + 2y + 2 x + 2y .
3
8
Abbiamo quindi un sistema di 2 equazioni in 2 incognite:
(1)
1
x + 2 y = 100
8
(2)
x=
1
1
x + 2y + 2 x + 2y
3
8
Dalla (2) si ottiene che:
5
x = 6y
12
23
mentre per la (1) si ha:
y = 50 −
1
x
16
per cui:
5
6
x = 300 − x
12
16
ovvero
x=
24
⋅ 300 = 378,947 q di G
19
e
y = 50 −
1 24
900
⋅ ⋅ 300 = 50 −
= 50 − 23,684 = 26,316 t di F.
16 19
38
Una volta determinato il prodotto lordo, visto che conosciamo i coefficienti tecnici unitari,
possiamo determinare i mezzi di produzione ed il lavoro necessari. In particolare:
1
1
1
⋅ 378,947 = 126,315 G ⊕
⋅ 378,947 = 4,737 F ⊕ ⋅ 378,947 = 47,368 L → 378,947 q di G
3
80
8
⊕
2 ⋅ 26,316 = 52,632 G
PROD. LORDO
378,947
26,316
1
⋅ 26,316 = 5,263 F
5
⊕ 2 ⋅ 26,316 = 52,632 L → 26,316 t di F
−
M. di P.
−
SUSS.
=
−
178,947
10
−
200
10
=
SOVRAP.
0
6,316
24
Esercizio 10:
Dati i seguenti coefficienti tecnici unitari:
1/3 q di G ⊕
1/80 t di F ⊕
1/8 di L → 1 q di G
⊕
1/5 t di F ⊕
2 di L → 1 t di F
2 q di G
1/500 di G ⊕ 1/2000 t di F ⊕ 1/1000 di L → 1 m di V
assumendo che le sussistenze per un lavoratore siano 2 q di G e 0,1 t di F, costruite una economia
con 100 lavoratori, il cui sovrappiù è interamente costituito di velluto.
Svolgimento:
Seguiamo lo stesso procedimento dell’esercizio precedente. Per definizione si ha che:
Prodotto Lordo – Mezzi di Produzione – Sussistenze = Sovrappiù.
Indichiamo con x, y e z le quantità prodotte lorde, rispettivamente, di grano ferro e velluto.
Di conseguenza, dati i coefficienti tecnici, abbiamo che:
1
1
z
x + 2y +
3
500
e
1
1
1
z
x+ y+
80
5
2000
rappresentano le quantità di grano e ferro impiegate come mezzi di produzione, mentre la quantità
di lavoro da impiegare sarà:
1
1
x + 2y +
z.
8
1000
Le equazioni che determinano le tre incognite ora saranno [la (1) ci dice che sono impiegati
100 lavoratori, mentre la (2) e la (3) ci dicono che né il grano, né il ferro entreranno nel sovrappiù]:
(1)
1
1
x + 2y +
z = 100
8
1000
(2)
1
1
1
1
x + 2y +
z + 2 x + 2y +
z =x
3
500
8
1000
(3)
1
1
1
1 1
1
x+ y+
z+
x + 2y +
z =y
80
5
2000
10 8
1000
Dalla soluzione del sistema si ottiene: x = 386,8; y = 22,6 e z = 6400. Quindi:
129,2 q. G ⊕ 4,84 t. F ⊕ 48,4 L → 387,2 q. G
45,2 q. G ⊕ 4,52 t. F ⊕ 45,2 L →
12,8 q. G ⊕ 3,20 t. F ⊕
22,6 t. F
6,4 L → 6400 m. V
25
PROD. LORDO
387,2
22,6
6400
−
M. di P.
−
187,2
12,56
0
−
SUSS.
−
200
10
0
=
=
SOVRAP.
0
0
6400
26
Teoria classica della distribuzione e del valore
Esercizio 11:
Considerate una economia con due merci: grano (G) e ferro (F). Si assuma la seguente produzione:
800 q di G ⊕ 20 t di F ⊕ 150 di L → 2000 q di G
100 q di G ⊕ 15 t di F ⊕ 50 di L → 100 t di F
Assumendo che il salario annuo per un lavoratore sia composto da 2 q di G, 0,2 t di F, calcolate i
saggi del profitto realizzati in ciascun settore se i prezzi effettivi fossero pg = 10
e pf = 50 .
Svolgimento:
Cominciamo col calcolare il saggio del salario in valore (cioè in euro).
W = 2 × 10 + 0,2 × 50 = 30
Passiamo quindi a determinare i profitti dell’industria del grano:
Πg = 2000 × 10 – (800 × 10 + 20 × 50) – 150 × 30 = 6500
Mentre il valore del capitale impiegato nell’industria del grano è:
Kg = 800 × 10 + 20 × 50 = 9000
Quindi:
rg =
6500
= 0,7222 = 72,22 %
9000
Con analogo procedimento calcoliamo, rispettivamente, i profitti, il capitale ed il saggio del profitto
realizzato nell’industria del ferro:
Πf = 100 × 50 – (100 × 10 + 15 × 50) –50 × 30 = 1750
Kf = 100 × 10 + 15 × 50 = 1750
rf =
1750
= 1 = 100 %
1750
27
Esercizio 12:
Considerate una economia con due merci: grano (G) e ferro (F). Si assuma la seguente produzione:
600 q di G ⊕ 30 t di F ⊕ 80 di L → 1000 q di G
200 q di G ⊕ 20 t di F ⊕ 20 di L → 200 t di F
Assumendo che il salario annuo per un lavoratore sia composto da 2 q di G, 0,1 t di F, calcolate i
saggi del profitto realizzati in ciascun settore se i prezzi effettivi fossero pg = 15
e pf = 30 .
Svolgimento:
Cominciamo col calcolare il saggio del salario in valore (cioè in euro).
W = 2 × 15 + 0,1 × 30 = 33
Passiamo quindi a determinare i profitti dell’industria del grano:
Πg = 1000 × 15 – (600 × 15 + 30 × 30) – 80 × 33 = 2460
Mentre il valore del capitale impiegato nell’industria del grano è:
Kg = 600 × 15 + 30 × 30 = 9900
Quindi:
rg =
2460
= 0,2485 = 24,85 %
9900
Con analogo procedimento calcoliamo, rispettivamente, i profitti, il capitale ed il saggio del profitto
realizzato nell’industria del ferro:
Πf = 200 × 30 – (200 × 15 + 20 × 30) –20 × 33 = 1740
Kf = 200 × 15 + 20 × 30 = 3600
rf =
1740
= 0.4833 = 48.33 %
3600
28
Esercizio 13:
Considerate una economia con due merci: grano (G) e ferro (F). Si assuma la seguente produzione:
800 q di G ⊕ 20 t di F ⊕ 150 di L → 2000 q di G
100 q di G ⊕ 15 t di F ⊕ 50 di L → 100 t di F
Calcolate il prezzo del grano e del ferro ponendo il salario monetario pari a W = 60
e il saggio
generale del profitto pari all’ 80 %.
Svolgimento:
Cominciamo scrivendo il sistema di equazioni che dobbiamo risolvere:
[1]
(800 pg + 20 pf) (1 + 0,8) + 150 × 60 = 2000 pg
[2]
(100 pg + 15 pf) (1 + 0,8) + 50 × 60 = 100 pf
ovvero:
[3]
1440 pg + 36 pf + 9000 = 2000 pg
[4]
180 pg + 27 pf + 3000 = 100 pf
che diventano:
[5]
36 pf + 9000 = 560 pg
[6]
180 pg + 3000 = 73 pf
dalla [6] otteniamo:
[8]
180
3000
pg +
= pf
73
73
sostituendo la [8] nella [5] abbiamo:
[9]
36
180
3000
pg + 36
+ 9000 = 560 pg
73
73
29
moltiplicando entrambi i membri della [9] per 73 si ha:
[10]
6.480 pg + 108.000+ 657.000 = 40.880 pg
ovvero:
[11]
pg =
108.000 + 657.000 765.000
=
= 22,24
40.880 − 6.480
34.400
sostituendo il prezzo del grano nella [8] si ha:
[12]
pf =
180
3000
22,24 +
= 95,93
73
73
30
Esercizio 14:
Considerate una economia con due merci: grano (G) e acciaio (A). Si assuma la seguente
produzione:
600 q di G ⊕ 30 t di A ⊕ 80 di L → 1000 q di G
200 q di G ⊕ 20 t di A ⊕ 20 di L → 200 t di A
Calcolate il prezzo del grano e dell’acciaio ponendo il salario monetario pari a W = 100
e il
saggio generale del profitto pari all’ 30 %.
Svolgimento:
Cominciamo scrivendo il sistema di equazioni che dobbiamo risolvere:
[1]
(600 pg + 30 pa) (1 + 0,3) + 80 × 100 = 1000 pg
[2]
(200 pg + 20 pa) (1 + 0,3) + 20 × 100 = 200 pa
ovvero:
[3]
780 pg + 39 pa + 8000 = 1000 pg
[4]
260 pg + 26 pa + 2000 = 200 pa
che diventano:
[5]
39 pa + 8000 = 220 pg
[6]
260 pg + 2000 = 174 pa
dalla [6] otteniamo:
[8]
260
2000
pg +
= pa
174
174
sostituendo la [8] nella [5] abbiamo:
[9]
39
260
2000
pg + 39
+ 8000 = 220 pg
174
174
31
moltiplicando entrambi i membri della [9] per 174 si ha:
[10]
10.140 pg + 78.000+ 1.382.000 = 38.280 pg
ovvero:
[11]
pg =
78.000 + 1.392.000 1.470.000
=
= 52,24
38.280 − 10.140
28.140
sostituendo il prezzo del grano nella [8] si ha:
[12]
pa =
260
2000
52,24 +
= 78,059 + 11,494 = 89,55
174
174
32
Teoria del Consumatore
Esercizio 15:
Considerate una economia con due soli beni di consumo: [x] e [y].
Le preferenze di un certo individuo sono rappresentate dalla funzione di utilità: u = x2 ⋅ y.
a) Ordinate, secondo le preferenze dell’individuo, i panieri: A = (2, 6); B = (3, 3); C = (3, 4).
b) Trovate l’equazione della curva di indifferenza che passa per il paniere D = (2, 3)
c) Trovate un paniere che l’individuo giudica indifferente a D.
Svolgimento:
a) Associamo, attraverso la funzione di utilità, dei numeri ai panieri A, B e C:
u(A) = (2)2 ⋅ 6 = 4 ⋅ 6 = 24
u(B) = (3)2 ⋅ 3 = 9 ⋅ 3 = 27
u(C) = (3)2 ⋅ 4 = 9 ⋅ 4 = 36
Quindi, poiché u(C) > u(B) > u(A), si ha C
B
A.
b) Attraverso la funzione di utilità sappiamo che u(D) = (2)2 ⋅ 3 = 4 ⋅ 3 = 12.
Di conseguenza, la curva di indifferenza che passa per D sarà formata da tutti i panieri a cui la
funzione di utilità associa il numero 12, ovvero:
12 = x2 ⋅ y
cioè:
y = 12 / x2.
c) Ponete x = 1, quindi si deve avere y = 12 / 12 = 12. Pertanto (1, 12) è un paniere
indifferente a D. [Ancora, ponete x = 3, allora y = 12 / 32 = 12 / 9 = 4 / 3. Pertanto (3, 4/3) è un altro
paniere indifferente a D.]
33
Esercizio 16:
Considerate una economia con due soli beni di consumo: abitazione e cibo.
Considerate un individuo con saggio marginale di sostituzione MRS =
y
, in cui x è la quantità di
x
alloggio consumata e y quella di cibo.
Determinate il paniere ottimale del consumatore ponendo: M = 60, PA = 10, PC = 5.
Svolgimento:
Sappiamo che il paniere ottimale è individuato dalle seguenti condizioni:
1)
il paniere ottimale appartiene al vincolo di bilancio;
2)
in corrispondenza del paniere ottimale si ha MRS = PA/PC.
Possiamo quindi scrivere il seguente sistema di due equazioni in due incognite:
i)
ii)
60 = 10 x* + 5 y*
y * 10
=
x* 5
Cominciamo dalla (ii), ed eleviamo al quadrato entrambi i membri (si noti che entrambi i membri
sono positivi e quindi ciò non comporta la perdita di alcuna informazione):
y*
=4
x*
che implica
y* = 4 x*
Ora sostituiamo questo risultato nella (i) ottenendo:
60 = 10 x* + 20 x*
ovvero
60 = 30 x*
cioè
x* = 2 m2 di alloggio
e quindi: y* = 4 x* = 8 Kg di cibo
Pertanto, il paniere ottimale è (2, 8).
34
Esercizio 17:
Considerate una economia con due soli beni di consumo: [x] e [y].
Le preferenze di un certo individuo sono rappresentate dalla funzione di utilità: u =
x⋅ y .
a) Ordinate, secondo le preferenze dell’individuo, i panieri: A = (1, 25); B = (9, 9); C = (4, 16).
b) Trovate l’equazione della curva di indifferenza che passa per il paniere D = (2, 2)
c) Trovate un paniere che l’individuo giudica indifferente a D.
Svolgimento:
a) Associamo, attraverso la funzione di utilità, dei numeri ai panieri A, B e C:
u(A) = 1⋅ 25 = 1 ⋅ 5 = 5
u(B) =
9⋅9 = 3 ⋅ 3 = 9
u(C) =
4 ⋅ 16 = 2 ⋅ 4 = 8
Quindi, poiché u(B) > u(C) > u(A), si ha B
C
A.
b) Attraverso la funzione di utilità sappiamo che u(D) =
2⋅2 =
2 2 = 2.
Di conseguenza, la curva di indifferenza che passa per D sarà formata da tutti i panieri a cui la
funzione di utilità associa il numero 2, ovvero:
2=
x⋅ y
cioè:
4 = x⋅ y
y = 4 / x.
c) Ponete x = 1, quindi si deve avere y = 4 / 1 = 4. Pertanto il paniere E = (1, 4) è un paniere
indifferente a D. Infatti u(E) = 1⋅ 4 = 1 ⋅ 2 = 2 = u(D).
35
Esercizio 18:
Considerate una economia con due soli beni di consumo: [x] e [y].
Considerate un individuo con saggio marginale di sostituzione MRS =
0,8 ⋅ y
, in cui x e y sono le
0,2 ⋅ x
quantità consumate dei due beni.
Determinate il paniere ottimale del consumatore ponendo: M = 100, Px = 8, Py = 20.
Svolgimento:
Sappiamo che il paniere ottimale è individuato dalle seguenti condizioni:
1)
il paniere ottimale appartiene al vincolo di bilancio;
2)
in corrispondenza del paniere ottimale si ha MRS = Px/Py.
Possiamo quindi scrivere il seguente sistema di due equazioni in due incognite:
i)
100 = 8 x* + 20 y*
ii)
0,8 ⋅ y * 8
=
0,2 ⋅ x * 20
Cominciamo dalla (ii):
y * 8 0,2
che implica y* = 0,1 x*
=
⋅
x * 20 0,8
Ora sostituiamo questo risultato nella (i) ottenendo:
100 = 8 x* + 20 ⋅ 0,1 ⋅ x*
ovvero
100 = 10 x*
cioè
x* = 10
e quindi: y* = 0,1 ⋅ x* = 1
Pertanto, il paniere ottimale è (10,1).
36
Esercizio 19:
Considerate una economia con due soli beni di consumo: abitazione e cibo.
Considerate un individuo con funzione di utilità u = 0,6 log x + 0,4 log y, in cui x è la quantità di
alloggio consumata e y quella di cibo.
Determinate il paniere ottimale del consumatore ponendo: M = 60, PA = 3, PC = 4.
Svolgimento:
Dobbiamo risolvere il seguente problema di massimizzazione vincolata:
max 0,6 ⋅ log(x) + 0,4 ⋅ log(y)
x ,y
s.v. 3 x + 4 y = 60
Abbiamo quindi la funzione lagrangiana:
L( x , y, λ) = 0,6 ⋅ log( x ) + 0,4 ⋅ log( y) − λ(3x + 4 y − 60)
Per trovare il punto di massimo della funzione lagrangiana, abbiamo le seguenti condizioni del
primo ordine:
i)
∂L
1
= 0,6 − λ3 = 0
x
∂x
ii)
∂L
1
= 0,4 − λ 4 = 0
∂y
y
iii)
∂L
= 3x + 4 y − 60 = 0
∂λ
Dalla (i) segue che: λ =
0,6 0,4
=
3x 4 y
0,6
0,4
; mentre dalla (ii) si ha: λ =
, quindi:
3x
4y
ovvero
4y = (0,4 / 0,6) 3 x = 2x
Utilizzando questo risultato nella (iii) abbiamo:
3x + 2x – 60 = 0
ovvero
x = 60 / 5 = 12
e
y = 2x/4 = 6
Quindi: (x*, y*) = (12, 6)
37
Esercizio 20:
Considerate una economia con due soli beni di consumo: abitazione e cibo.
Considerate un individuo con funzione di utilità u = α log x + β log y, in cui x è la quantità di
alloggio consumata e y quella di cibo.
Determinate il paniere ottimale del consumatore come funzione del reddito M e dei prezzi Px e Py.
Svolgimento:
Dobbiamo risolvere il seguente problema di massimizzazione vincolata:
max α ⋅ log(x) + β ⋅ log(y)
x ,y
s.v. Px x + Py y = M
Abbiamo quindi la funzione lagrangiana:
L( x , y, λ) = α ⋅ log( x ) + β ⋅ log( y) − λ( Px x + Py y − M )
Per trovare il punto di massimo della funzione lagrangiana, abbiamo le seguenti condizioni del
primo ordine:
i)
∂L
1
= α − λPx = 0
∂x
x
ii)
∂L
1
= β − λPy = 0
∂y
y
iii)
∂L
= Px x + Py y − M = 0
∂λ
Dalla (i) segue che: λ =
α
β
=
Px x Py y
α
β
; mentre dalla (ii) si ha: λ =
, quindi:
Px x
Py y
ovvero
Py y = (β / α) Px x
Utilizzando questo risultato nella (iii) abbiamo:
Px x +
β
Px x − M = 0 ovvero
α
x=
αM
(α + β) Px
e
y=
βM
(α + β) Py
38
Esercizio 21:
Data la funzione di domanda inversa: P = 100 – 2 Q, calcolate l’elasticità della domanda al prezzo
(in valore assoluto) per P = 20.
La domanda è rigida o elastica?
Svolgimento:
Sappiamo che:
| ε |=
dQ Q
1
P
=
⋅
dP P
dP dQ Q
il livello del prezzo P lo conosciamo ed è 20, dobbiamo determinare Q e dP/dQ.
Con i dati del nostro esempio, dP/dQ = - 2, mentre:
Q = (P – 100) / (- 2) = 40.
Quindi:
| ε |=
1 20 1 1 1
⋅
= ⋅ =
− 2 40 2 2 4
Inoltre, essendo l’elasticità, in valore assoluto, inferiore ad 1, la domanda è rigida.
39
Esercizio 22:
Data la funzione di domanda inversa: P = 10 – 0,5 Q, calcolate l’elasticità della domanda al prezzo
(in valore assoluto) per P = 6.
La domanda è rigida o elastica?
Svolgimento:
Sappiamo che:
| ε |=
dQ Q
1
P
=
⋅
dP P
dP dQ Q
il livello del prezzo P lo conosciamo ed è 5, dobbiamo determinare Q e dP/dQ.
Con i dati del nostro esempio, dP/dQ = – 0,5, mentre:
Q = (P – 10) / (– 0,5) = (– 4)/ (– 0,5) = 8.
Quindi:
| ε |=
1 6
3 3
⋅ = 2⋅ =
- 0,5 8
4 2
Inoltre, essendo l’elasticità, in valore assoluto, maggiore di 1, la domanda è elastica.
40
Esercizio 23:
Sul mercato del bene x ci sono due acquirenti, Tizio e Caio. Tizio ha funzione di domanda inversa:
P = 10 – 0,5 QT; mentre Caio: P = 15 – 0,75 QC.
Calcolate la domanda complessiva per: a) P = 5; b) P = 12.
Svolgimento:
Per cominciare conviene passare dalle funzioni di domanda inversa alle funzioni di
domanda. Quindi:
QT = (P – 10) / (– 0,5) = 20 – 2 P
e
QC = (P – 15) / (– 0,75) = 20 – 4/3 P.
(a) Se P = 5, allora:
QT = 20 – 2 × 5 = 10
e
QC = 20 – 4/3 × 5 = 13,33
di conseguenza la quantità complessivamente domanda è: Q = 10 + 13,33 = 23,33.
(b) Se P = 12, il prezzo eccede il prezzo massimo (o di riserva) che Tizio è disposto a spendere, che
è pari a 10 (infatti per P = 10 si ha QT = 0). Quindi il solo acquirente che rimane sul mercato è Caio,
la cui domanda è:
QC = 20 – 4/3 × 12 = 4
pertanto la domanda complessiva a questo prezzo è Q = 4.
41
Esercizio 24:
Sul mercato del bene x ci sono due acquirenti, Tizio e Caio. Tizio ha funzione di domanda inversa:
P = 100 – 2 QT; mentre Caio: P = 60 – 3 QC.
Calcolate la domanda complessiva per: a) P = 50; b) P = 80.
Svolgimento:
Per cominciare conviene passare dalle funzioni di domanda inversa alle funzioni di
domanda. Quindi:
QT = (P – 100) / (– 2) = 50 – 0,5 P
e
QC = (P – 60) / (– 3) = 20 – 1/3 P.
(a) Se P = 50, allora:
QT = 50 – 0,5 × 50 = 25
e
QC = 20 – 1/3 × 50 = 3,33
di conseguenza la quantità complessivamente domanda è: Q = 25 + 3,33 = 28,33.
(b) Se P = 80, il prezzo eccede il prezzo massimo (o di riserva) che Caio è disposto a spendere, che
è pari a 60 (infatti per P = 60 si ha QC = 0). Quindi il solo acquirente che rimane sul mercato è
Tizio, la cui domanda è:
QT = 50 – 0,5 × 80 = 10
pertanto la domanda complessiva a questo prezzo è Q = 10.
42
Teoria Marginalista della Produzione
Esercizio 25:
Data la funzione di produzione Cobb-Douglas: Q = m Kα Lβ,
a) dimostrate che assumendo α + β = 1 la funzione ha rendimenti costanti di scala;
b) calcolate il prodotto medio ed il prodotto marginale del lavoro e del capitale.
Inoltre, assumendo α + β = 1, dimostrate che:
c) aumentando del 30% l’impiego di entrambi i fattori i prodotti marginali non cambiano;
d) il prodotto medio del lavoro è sempre maggiore del prodotto marginale del lavoro;
e) se entrambi i fattori sono remunerati a saggi pari ai loro prodotti marginali, allora il prodotto
(netto) è appena sufficiente per pagare i salari ai lavoratori e gli interessi sul capitale.
Svolgimento:
(a) Poniamo K = K0 e L = L0, di conseguenza: Q0 = m K0α L0β. Facciamo ora aumentare l’impiego
di capitale e lavoro di una stessa percentuale, ovvero poniamo: K1 = δK0 e L1 = δL0 con δ > 1.
Abbiamo quindi:
Q1 = m K1α L1β = m (δK0)α (δL0)β = m δα K0α δβ L0β = m δα+β K0α L0β = δα+β Q0
Quindi α + β = 1 implica rendimenti costanti di scala.
(b) Per definizione il prodotto medio di un fattore è pari al rapporto tra la quantità prodotta e la
quantità impiegata di quel fattore. Quindi:
APL =
Q mK α Lβ
=
= mK α Lβ−1
L
L
K
L
cioè
APL = mK α L−α = m
cioè
L
APK = mK L = m
K
α
e
Q mK α Lβ
APK =
=
= mK α−1Lβ
K
K
−β β
β
.
Il prodotto marginale di un fattore è invece l’incremento di prodotto che si ottiene
aumentando l’impiego di quel fattore di una unità, freme restando le quantità impiegate degli altri
fattori, e si calcola tramite la derivata parziale della funzione della produzione:
43
∂Q
MPL =
= mK α β Lβ−1
∂L
α −α
K
= mβ
L
cioè
MPL = mβK L
cioè
L
MPK = mαK L = mα
K
α
e
∂Q
= mαK α −1Lβ
MPK =
∂K
−β β
β
.
(c) In una posizione iniziale in cui l’impiego di lavoro e capitale è (L0, K0), i prodotti marginali
sono:
K
MPL = mβ 0
L0
α
e
β
L
MPK = = mα 0
K0
.
Se aumentiamo del 30% l’impiego di entrambi i fattori, passiamo ad un impiego di capitale e lavoro
pari a (L1, K1) = (1,3×L0, 1,3×K0), quindi:
K
MPL = mβ 1
L1
α
1,3 ⋅ K 0
= mβ
1,3 ⋅ L 0
α
K
= mβ 0
L0
α
e
L
MPK = = mα 1
K1
β
1,3 ⋅ L 0
= mα
1,3 ⋅ K 0
β
L
= mα 0
K0
β
.
Quindi, se α + β = 1 (cioè se ci sono rendimenti costanti di scala), i prodotti marginali dipendono
solo dal rapporto tra le quantità impiegate dei fattori (cioè dalla tecnica in uso) e non dalla scala.
(d) Questa dimostrazione è molto semplice:
K
APL = m
L
α
e
K
MPL = mβ
L
α
quindi:
MPL = β APL
e siccome α + β = 1, allora β < 1 e quindi MPL < APL .
Questo risultato implica chiaramente che il prodotto medio del lavoro deve avere un andamento
monotono decrescente, perché il prodotto marginale del lavoro è sempre inferiore ad esso.
44
(e) Se poniamo:
w = MPL = mβ
α
K
L
e
L
r = MPK = = mα
K
β
,
allora:
K
wL + rK = mβ
L
α
L
L + mα
K
β
K = mβ K α L1−α + mαK1−β Lβ
e poiché α + β = 1, allora:
wL + rK = mβK α Lβ + mαK α Lβ = (α + β)mK α Lβ = mK α Lβ = Q.
Quindi il prodotto è appena sufficiente per pagare i salari e gli interessi a saggi pari ai prodotti
marginali del lavoro e del capitale.
45
Esercizio 26:
Si assumano i seguenti dati:
-
prodotto marginale del lavoro: MPL = 1
-
prodotto marginale del capitale: MPK = 1
-
saggio del salario: w = 20
-
tasso dell’interesse: r = 50 %
L
K
Trovate la combinazione ottimale di lavoro e capitale per un livello di costo: C = 1000 .
Svolgimento:
La combinazione ottimale di capitale e lavoro deve soddisfare le due condizioni:
(1)
MPL w
=
MPK r
(2)
C = wL + rK .
Cominciamo dalla condizione (1), nel nostro abbiamo:
MPL
1
1
=
:
=
MPK
L
K
K
L
=
K
L
w 20
=
= 40
r 0,5
e
quindi:
K
= 40
L
da cui segue che:
K
= 1600
L
ovvero
K = 1600 L.
Utilizzando questo risultato nella (2) abbiamo:
1000 = 20 L + 0,5 (1600 L)
ovvero:
1000 = 820 L
e cioè
L=
1000
= 1,22
820
che implica:
K = 1600 × 1,22 = 1951,22.
46
Esercizio 27:
Si assumano i seguenti dati:
-
prodotto marginale del lavoro: MPL = 2LK
-
prodotto marginale del capitale: MPK = L2
-
saggio del salario: w = 10
-
tasso dell’interesse: r = 20 %
Trovate la combinazione ottimale di lavoro e capitale per un livello di costo: C = 540 .
Svolgimento:
La combinazione ottimale di capitale e lavoro deve soddisfare le due condizioni:
(1)
MPL w
=
MPK r
(2)
C = wL + rK .
Cominciamo dalla condizione (1), nel nostro abbiamo:
MPL 2 LK 2 K
= 2 =
e
MPK
L
L
w 10
=
= 50
r 0,2
quindi:
2K
= 50
L
da cui segue che:
K = 25 L.
Utilizzando questo risultato nella (2) abbiamo:
540 = 10 L + 0,2 (25 L)
ovvero:
540 = 15 L
e cioè
L=
540
= 36
15
che implica:
K = 25 × 36 = 900.
47
Esercizio 28:
Si assumano i seguenti dati:
-
funzione della produzione: Q = K ⋅ L
-
prodotto marginale del lavoro: MPL =
-
prodotto marginale del capitale: MPK =
-
saggio del salario: w = 10
-
tasso dell’interesse: r = 40 %
K
L
L
K
Trovate la combinazione ottimale di lavoro e capitale per un livello di produzione: Q = 100 .
Svolgimento:
La combinazione ottimale di capitale e lavoro deve soddisfare le due condizioni:
(1)
MPL w
=
MPK r
(2)
Q = K⋅L .
Cominciamo dalla prima, che nel nostro caso assume la forma:
K L
=
LK
10
0,4
ovvero:
K 10
=
L 0,4
da cui segue:
L = 0,04 K.
Utilizziamo questo risultato nella (2):
100 = K ⋅ L
100 = 0,04 K ⋅ K
100 = 0,04 K 2
100 = 0,2K
e quindi K = 500 e L = 0,04 × 500 = 20.
48
Esercizio 29:
Si assumano i seguenti dati:
-
funzione della produzione: Q=KL2
-
prodotto marginale del lavoro: MPL = 2LK
-
prodotto marginale del capitale: MPK = L2
-
saggio del salario: w = 20
-
tasso dell’interesse: r = 50 %
Trovate la combinazione ottimale di lavoro e capitale per un livello di produzione: Q = 2500 .
Svolgimento:
La combinazione ottimale di capitale e lavoro deve soddisfare le due condizioni:
(1)
MPL w
=
MPK r
(2)
Q = K ⋅ L2 .
Cominciamo dalla prima, che nel nostro caso assume la forma:
2 LK 20
=
L2
0,5
ovvero:
K
= 20
L
da cui segue:
K = 20L .
Utilizziamo questo risultato nella (2):
2500 = K ⋅ L2
2500 = 20 L3
125 = L3
e quindi L = 5 e K = 20 × 5 = 100.
49
Concorrenza Perfetta
Esercizio 30:
Si immagini una impresa che opera in Concorrenza Perfetta nel breve periodo, con costi fissi
pari a FC = 10 e costi variabili VC = 10 Q + 0,75 Q2 (quindi: MC = 10 + 1,5 Q).
Supponendo che il prezzo di mercato della merce in questione sia P = 19, si determini:
(a) la quantità che l’impresa ha convenienza ad offrire;
(b) l’ammontare dei profitti (o extraprofitti) realizzati dall’impresa.
Si calcoli inoltre (c) la quantità per cui il costo medio totale è minimo, ed il minimo costo
medio totale.
Svolgimento:
(a) Sappiamo che la quantità che l’impresa ha convenienza ad offrire è quella per cui il ricavo
marginale, che in concorrenza perfetta è sempre pari al prezzo, eguaglia il costo marginale. Quindi,
nel nostro caso:
(1)
19 = 10 + 1,5 Q
ovvero: Q* = 6.
(b) Per determinare l’ammontare dei profitti realizzati dall’impresa dobbiamo fare la differenza tra
il ricavo totale ed il costo totale.
Il ricavo totale è:
TR = P × Q = 19 × 6 = 114
Il costo totale è invece la somma di costi fissi e variabili, ovvero:
TC = 10 + 10 Q + 0,75 Q2 = 10 + 10 × 6 + 0,75 × 36 = 97.
Quindi: TR – TC = 114 – 97 = 17.
(c) Il costo medio totale è:
ATC =
10
+ 10 + 0,75 Q.
Q
Nel punto di minimo del ATC esso è pari al costo marginale, quindi il punto di minimo può essere
trovato ponendo ATC = MC, ovvero:
10
+ 10 + 0,75 Q = 10 + 1,5 Q
Q
50
da cui:
10
= 0,75 Q ovvero
Q
10
= Q2
0,75
e quindi:
Q=
10
= 13,33 = 3,65 .
0,75
Pertanto:
min ATC =
10
+ 10 + 0,75 × 3,65 = 15,48
3,65
51
Esercizio 31:
Si immagini una impresa che opera in Concorrenza Perfetta nel breve periodo, con costi fissi
pari a FC = 50 e costi variabili VC = 20 Q + 0,5 Q2 (quindi: MC = 20 + Q).
Supponendo che il prezzo di mercato della merce in questione sia P = 30, si determini:
(c) la quantità che l’impresa ha convenienza ad offrire;
(d) l’ammontare dei profitti (o extraprofitti) realizzati dall’impresa.
Si calcoli inoltre (c) la quantità per cui il costo medio totale è minimo, ed il minimo costo
medio totale.
Svolgimento:
(a) Sappiamo che la quantità che l’impresa ha convenienza ad offrire è quella per cui il ricavo
marginale, che in concorrenza perfetta è sempre pari al prezzo, eguaglia il costo marginale. Quindi,
nel nostro caso:
(1)
30 = 20 + Q
ovvero: Q* = 10.
(b) Per determinare l’ammontare dei profitti realizzati dall’impresa dobbiamo fare la differenza tra
il ricavo totale ed il costo totale.
Il ricavo totale è:
TR = P × Q = 10 × 40 = 400
Il costo totale è invece la somma di costi fissi e variabili, ovvero:
TC = 50 + 20 Q + 0,5 Q2 = 50 + 20 × 10 + 0,5 × 100 = 300.
Quindi: TR – TC = 400 – 300 = 100.
(c) Il costo medio totale è:
ATC =
50 + 20Q + 0,5Q 2 50
=
+ 20 + 0,5 Q.
Q
Q
Nel punto di minimo del ATC esso è pari al costo marginale, quindi il punto di minimo può essere
trovato ponendo ATC = MC, ovvero:
50
+ 20 + 0,5 Q = 20 + Q
Q
da cui:
50
= 0,5 Q
Q
ovvero
50
= Q2
0,5
52
e quindi:
Q=
50
= 100 = 10 .
0,5
Pertanto:
min ATC =
50
+ 20 + 0,5 × 10 = 30
10
53
Monopolio
Esercizio 32:
Si consideri un caso di monopolio con i seguenti dati:
-
funzione di domanda inversa: P = 100 – 2 Q;
-
funzione di costo totale: TC = 20 Q.
Si determini la quantità prodotta, il prezzo praticato dal monopolista e gli (extra-)profitti realizzati.
Svolgimento:
La quantità prodotta dal monopolista è quella per cui il costo marginale è pari al ricavo
marginale. Nel nostro caso, il costo marginale è:
MC = 20
mentre il ricavo marginale è:
MR = 100 – 4 Q (si ricordi infatti che se la funzione di domanda inversa è una retta, allora la
funzione del ricavo marginale è anch’essa una retta, con la stessa intercetta verticale della funzione
di domanda inversa, ma con pendenza doppia).
Di conseguenza, la quantità ottimale, cioè quella che massimizza i profitti, è tale che:
20 = 100 – 4 Q
ovvero: Q* = 80/4 = 20.
Per determinare il prezzo praticato dal monopolista basta mettere la quantità Q* nella
funzione di domanda inversa:
P* = 100 – 2 Q* = 100 – 40 = 60.
Infine, i profitti del monopolista saranno:
Π* = TR – TC = P* Q* – 20 Q* = 60 × 20 – 20 × 20 = 1200 – 400 = 800.
54
Esercizio 33:
Si consideri un caso di monopolio con i seguenti dati:
-
funzione di domanda inversa: P = 90 – 2 Q;
-
funzione di costo totale: TC = 30 Q.
Si determini la quantità prodotta, il prezzo praticato dal monopolista e gli (extra-)profitti realizzati.
Svolgimento:
La quantità prodotta dal monopolista è quella per cui il costo marginale è pari al ricavo
marginale. Nel nostro caso, il costo marginale è:
MC = 30
mentre il ricavo marginale è:
MR = 90 – 4 Q (si ricordi infatti che se la funzione di domanda inversa è una retta, allora la
funzione del ricavo marginale è anch’essa una retta, con la stessa intercetta verticale della funzione
di domanda inversa, ma con pendenza doppia).
Di conseguenza, la quantità ottimale, cioè quella che massimizza i profitti, è tale che:
30 = 90 – 4 Q
ovvero: Q* = 60/4 = 15.
Per determinare il prezzo praticato dal monopolista basta mettere la quantità Q* nella
funzione di domanda inversa:
P* = 90 – 2 Q* = 90 – 30 = 60.
Infine, i profitti del monopolista saranno:
Π* = TR – TC = P* Q* – 30 Q* = 60 × 15 – 30 × 15 = 900 – 450 = 450.
55
Esercizio 34:
Si consideri un caso di monopolio con i seguenti dati:
-
funzione di domanda inversa: P = 60 – 3 Q;
-
funzione di costo totale: TC = 30 Q.
Si determini la quantità prodotta, il prezzo praticato dal monopolista e gli (extra-)profitti realizzati.
Svolgimento:
La quantità prodotta dal monopolista è quella per cui il costo marginale è pari al ricavo
marginale. Nel nostro caso, il costo marginale è:
MC = 30
mentre il ricavo marginale è:
MR = 60 – 6 Q (si ricordi infatti che se la funzione di domanda inversa è una retta, allora la
funzione del ricavo marginale è anch’essa una retta, con la stessa intercetta verticale della funzione
di domanda inversa, ma con pendenza doppia).
Di conseguenza, la quantità ottimale, cioè quella che massimizza i profitti, è tale che:
30 = 60 – 6 Q
ovvero: Q* = 30/6 = 5.
Per determinare il prezzo praticato dal monopolista basta mettere la quantità Q* nella
funzione di domanda inversa:
P* = 60 – 3 Q* = 60 – 15 = 45.
Infine, i profitti del monopolista saranno:
Π* = TR – TC = P* Q* – 30 Q* = 45 × 5 – 30 × 5 = 225 – 150 = 75.
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Oligopolio di Cournot
Esercizio 35:
Si consideri un caso di oligopolio di Cournot con due imprese ed i seguenti dati:
-
funzione di domanda inversa: P = 100 – 2 Q, con Q = Q1 + Q2;
-
funzione di costo totale di ciascuna impresa: TC = 20 Qi , con i = 1, 2.
Si determini la quantità complessivamente prodotta ed il prezzo.
Svolgimento:
Come primo passo occorre determinare la funzione di reazione delle imprese. Cominciamo
dall’impresa 1, per l’impresa 1 il ricavo totale è:
TR1 = P × Q1 = (100 – 2 Q1 – 2 Q2) × Q1 = 100 Q1 – 2 Q12 – 2 Q2 Q1 .
Di conseguenza, il ricavo marginale dell’impresa 1 è:
MR1 = 100 – 4 Q1 – 2 Q2 .
mentre il costo marginale dell’impresa 1 è:
MC = 20.
Ponendo l’uguaglianza del ricavo marginale al costo marginale, si ha:
100 – 4 Q1 – 2 Q2 = 20
e cioè:
(1)
Q1* = 80/4 – 2/4 Q2 = 20 – 0,5 Q2
che è la funzione di reazione ottima dell’impresa 1.
Analogamente, per l’impresa 2 avremo:
(2)
Q2* = 20 – 0,5 Q1 .
Di conseguenza, sostituendo la (2) nella (1) abbiamo:
Q1* = 20 – 0,5 Q2 = 20 – 0,5 (20 – 0,5 Q1) = 20 – 10 + 0,25 Q1
da cui si ottiene:
Q1* = 10 / 0,75.
Essendo l’impresa 2 identica alla 1, avremo che:
Q* = Q1* + Q2* = 20 / 0,75 = 26,67.
E quindi il prezzo sarà:
P* = 100 – 2 × 26, 67 = 100 – 53,33 = 46,67.
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Esercizio 36:
Si consideri un caso di oligopolio di Cournot con due imprese ed i seguenti dati:
-
funzione di domanda inversa: P = 60 – 3 Q, con Q = Q1 + Q2;
-
funzione di costo totale di ciascuna impresa: TC = 30 Qi , con i = 1, 2.
Si determini la quantità complessivamente prodotta ed il prezzo.
Svolgimento:
Come primo passo occorre determinare la funzione di reazione delle imprese. Cominciamo
dall’impresa 1, per l’impresa 1 il ricavo totale è:
TR1 = P × Q1 = (60 – 3 Q1 – 3 Q2) × Q1 = 60 Q1 – 3 Q12 – 3 Q2 Q1 .
Di conseguenza, il ricavo marginale dell’impresa 1 è:
MR1 = 60 – 6 Q1 – 3 Q2 .
mentre il costo marginale dell’impresa 1 è:
MC = 30.
Ponendo l’uguaglianza del ricavo marginale al costo marginale, si ha:
60 – 6 Q1 – 3 Q2 = 30
e cioè:
(1)
Q1* = 30/6 – 3/6 Q2 = 5 – 0,5 Q2
che è la funzione di reazione ottima dell’impresa 1.
Analogamente, per l’impresa 2 avremo:
(2)
Q2* = 5 – 0,5 Q1 .
Di conseguenza, sostituendo la (2) nella (1) abbiamo:
Q1* = 5 – 0,5 Q2 = 5 – 0,5 (5 – 0,5 Q1) = 5 – 2,5 + 0,25 Q1
da cui si ottiene:
Q1* = 2,5 / 0,75.
Essendo l’impresa 2 identica alla 1, avremo che:
Q* = Q1* + Q2* = 5 / 0,75 = 6,67.
E quindi il prezzo sarà:
P* = 60 – 3 × 6, 67 = 60 – 20,01 = 39,99.
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