Lezione pdf - Dipartimento di Fisica

FALLIMENTO DELLA MECCANICA CLASSICA
Come è sorta la visione quantistica del mondo
Bartolome Alles Salom
http://www.df.unipi.it/~alles/
I fondamenti della Meccanica Classica
(anche detta Meccanica Newtoniana) sono
le tre leggi apparse nei «Principia» più la
legge della gravità universale.
La seconda legge di Newton
𝑭 = 𝒎𝒂
Resta il problema di come identificare la particella
Un postulato implicito della Meccanica Classica
è che è la traiettoria stessa che la identifica.
Perché questo sia possibile, è necessario che la traiettoria
possa essere completamente precisata senza ambiguità.
E questo accade in Meccanica Classica perché l’equazione
di Newton ha la accelerazione esplicita, (teorema di
Cauchy-Kovalevskaya).
Questo schema di lavoro andò bene finché l’idea di particella era rimasta un mero sotterfugio
della teoria. Ma quando, sin dalla fine dell’1800 in poi, di particelle i fisici cominciarono a
trovarne per davvero, allora vennero a galla una serie di problemi.
Con le VERE particelle che gli
scienziati andavano trovando,
le leggi di Newton smettevano
di funzionare bene!
Per il semplice motivo che la traiettoria
stessa della particella è tutt’altro che
ben definita.
Joseph Louis Proust (1799)
John Dalton (1808)
Amedeo Avogadro (1811)
Leggi delle proporzioni chimiche: 𝑁2 + 𝐻2 → 𝑁𝐻3
Robert Brown (1827)
https://www.youtube.com/watch?v=f4mp4TWYfBs
Ernst Mach (1910):
Non staremmo facendo fisica se pensassimo
alle molecole e agli atomi come realtà che
stanno alla base dei fenomeni fisici… gli atomi
devono restare solo uno strumento di lavoro,
come il concetto di funzione in matematica.
Joseph John Thomson (1897)
https://www.youtube.com/watch?v=5A6ypp-7S1Q
Le vecchie TV erano tubi di raggi catodici
Modello di atomo di Thomson
Ernest Rutherford
Hans Wilhelm Geiger
Ernest Marsden
Nel 1909 bombardarono una foglia oro (spessa 0,00004 cm, quindi 1400 atomi) con particelle α.
Ogni particella carica, se accelerata, irradia onde elettromagnetiche e così
facendo perde energia. L'elettrone ruotando attorno al nucleo finirebbe perciò
molto presto contro il protone e l'atomo vivrebbe solo una frazione di secondo
(circa 0,0000000001 secondi).
Com’è la radiazione (calore) emessa da un oggetto caldo?
Per studiarla, fu escogitato l’oggetto radiante ideale:
il «corpo nero»
Non riflette
radiazione
Re-irradia tutta la
radiazione che
assorbe
La radiazione
emessa è
indipendente dalla
natura del corpo
Risultati sperimentali
Lunghezza della scatola = numero intero di volte 𝜆/2.
Quindi, visto che 𝜈 = 𝑐/𝜆, abbiamo che 𝜈 ∝ 𝑛.
Numero di onde di frequenza 𝜈 è proporzionale a 𝜈 2
QUAL’È L’ENERGIA PER OGNI 𝝂?
1) L’energia 𝐸 di una onda elettromagnetica è (classicamente) proporzionale al
quadrato della sua intensità. Quindi può avere qualunque valore da 0 a infinito.
2) La probabilità di avere energia 𝐸 è proporzionale a 𝑒 −𝐸/𝑇 in un sistema in equilibrio
termico a temperatura 𝑇.
3) Così, l’energia media di un tale sistema è
∞
𝑑𝐸 𝐸 𝑒 −𝐸/𝑇
0
∞
−𝐸/𝑇
𝑑𝐸
𝑒
0
=𝑇
Di conseguenza l’energia emessa da un corpo nero a frequenza 𝝂
dovrà essere proporzionale a 𝑻𝝂𝟐 .
Se invece di supporre che l’energia doveva essere una variabile continua, supponessimo
che è discreta (quanta) e proporzionale alla frequenza della radiazione elettromagnetica,
allora 𝐸 diventa 𝑛ℎ𝜈, l’integrale diventa una somma,
−𝑛ℎ𝜈/𝑇
∑∞
𝑛=0 𝑛ℎ𝜈 𝑒
−𝑛ℎ𝜈/𝑇
∑∞
𝑛=0 𝑒
e il risultato finale è (aggiungendo il numero di onde a frequenza 𝜈),
8𝜋𝜈2
ℎ𝜈
𝑐 3 𝑒 ℎ𝑣/𝑇 −1
Per 𝜈 grandi questa espressione va a zero
e l’energia totale emessa non diventa infinita.
Max Planck (1900):
Qualsiasi grandezza fisica con un grado di
libertà la cui «coordinata» sia una funzione
sinusoidale del tempo, può possedere solo
energie totali 𝐸 tali che sia soddisfatta la
relazione 𝐸 = 𝑛ℎ𝜈 dove 𝜈 è la frequenza di
oscillazione della grandezza fisica nel
tempo, ℎ è una costante della natura e 𝑛
è un numero intero positivo.
Heinrich Hertz
Wilhelm Hallwachs
I padri dell’effetto fotoelettrico
Philipp Lenard
Convinto nazista, Lenard accusò
Einstein di fare solo «scienza ebrea»
e tentò di confutare la teoria della
relatività con altre teorie «ariane».
EFFETTO FOTOELETTRICO
https://www.youtube.com/watch?v=ZvyFusOnC6s
Secondo la fisica classica l’energia di un onda elettromagnetica è proporzionale
al quadrato della sua intensità. Quindi, se un fascio luminoso deve far saltare elettroni
da un metallo, lo farà qualunque sia la frequenza della luce, ma in ogni caso solo
dopo un po’ di tempo, quando il metallo abbia assorbito abbastanza energia.
Invece, si osservava durante gli esperimenti che gli elettroni saltavano solo se illuminati
con luce di una certa frequenza, e saltavano subito, senza attendere di assorbire
abbastanza energia dalla luce incidente.
Il mistero fu svelato da Einstein nel 1905.
Usando la teoria di Planck, e assumendo
che gli elettroni hanno bisogno di una
energia 𝐸𝑚𝑖𝑛 per abbandonare il metallo,
scrisse che la frequenza 𝜈 della luce incidente
doveva soddisfare 𝐸𝑚𝑖𝑛 = ℎ𝜈. Quindi, ciò
che conta è la frequenza. L’intensità della
luce solo determina il numero degli elettroni
fuggiaschi.
Ora siamo in grado di affrontare al problema della stabilità atomica
Louis de Broglie (1924):
Ad ogni particella che si
muova con un momento
(massa x velocità) 𝑃, si può
assegnare un onda di
lunghezza d’onda
ℎ
𝜆=
𝑃
Cos’è che oscilla?
Troviamo la nuova maniera di identificare le particelle: il suo stato d’onda o,
in parole più tecniche, LA FUNZIONE D’ONDA 𝜓(𝑡, 𝑥, 𝑦, 𝑧).
Trattandosi di onde, non possiamo aspettarci una perfetta conoscenza della sua
posizione ad ogni istante di tempo (contrariamente alla Meccanica Classica).
Erwin Schrödinger (1926):
𝜕
ℏ2 𝜕 2
𝜕2
𝜕2
𝑖ℏ 𝜓 = −
+
+
𝜓 + 𝑉𝜓
𝜕𝑡
2𝑚 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2
Max Born nel 1926 si rese conto che l’interpretazione
naturale della funzione d’onda è che il modulo di 𝜓(𝑡, 𝑥)
al quadrato, |𝜓(𝑡, 𝑥)|2 , sia la probabilità di trovare la particella
descritta con 𝜓 𝑡, 𝑥 nella posizione 𝑥 al tempo 𝑡.
Badate bene che poiché 𝜓 è in generale un numero complesso,
𝜓 = 𝑎 + 𝑖 𝑏, allora il quadrato del suo modulo è |𝜓|2 = 𝑎2 + 𝑏2 .
|𝜓 𝑡, 𝑥 |2 = 1
NELL’ATOMO CI SONO SOLO STATI STAZIONARI
2
|𝜓|
Ben diverso dalla
solita rappresentazione!
La natura ondulatoria delle particelle rende impossibile poter stabilire
con ogni precisione la sua posizione e contemporaneamente la sua velocità.
Pacchetto
di onde
Per formare pacchetti d’onda si devono comporre onde di diversa
lunghezza d’onda 𝝀. Quindi, un pacchetto ha necessariamente il
momento indeterminato.
∆𝑥 · ∆𝑃
𝑥
ℎ
≥
4𝜋
Erwin Schrödinger (1922):
Da dove salta fuori la diffusa credenza che il comportamento
delle molecole debba essere determinato con causalità assoluta?
Semplicemente dall’abitudine, ereditata da migliaia di anni, di
pensare causalmente, il che fa apparire del tutto priva di senso
la sola idea di una evoluzione indeterminata di una successione
qualsiasi di eventi.
Werner Heisenberg (1958):
Dobbiamo sempre ricordare che ciò che
osserviamo non è la natura in se stessa, ma
la natura così come ci appare a seconda
del metodo di osservazione.
Richard Feynman (1948)
Probabilità di trovarsi in 𝑩 al tempo 𝒕𝑩 dopo essere partiti
da 𝑨 al tempo 𝒕𝑨 è la somma delle probabilità di aver
seguito tutti i possibili cammini che uniscono i due punti.
come si calcola?
Si prende uno dei possibili cammini.
Si valutano le energie cinetica 𝐾 e potenziale 𝑉 della particella e si
calcola l’integrale di 𝐾 − 𝑉 lungo il cammino. Chiamiamo 𝐴 il risultato.
La probabilità di seguire il cammino scelto si valuta con l’espressione
𝑒 𝑖𝐴/ℎ = cos 𝐴/ℎ + 𝑖 sin 𝐴 /ℎ. Infine si somma su tutti i cammini.
Come si recupera la Meccanica Classica?
1) L’energia cinetica è proporzionale alla massa della particella.
2) Quindi, se si studia il moto di un corpo «macroscopico», 𝐴 ≫ ℎ e 𝐴/ℎ diventa un numero enorme.
3) Variando con continuità la traiettoria, si osservano allora forti oscillazioni nella
funzione 𝑒 𝑖𝐴/ℎ . Di conseguenza, i contributi delle svariate traiettorie si cancellano tra loro.
4) … tutti tranne quelli provenienti dalle traiettorie vicine alla regione in cui 𝐴 è un massimo
o un minimo (estremali). Ma la traiettoria che rende 𝐴 estremale è determinata proprio dalla
equazione di Newton!!