quadruple di numeri primi

QUADRUPLE DI NUMERI PRIMI TRAMITE
E LORO INFINITA’
LE FORME 6K + 1
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
Abstract
In this paper we show the Eulero’s formula x2 + x + 41 and quadruples of
prime numbers by means forms 6k + 1, and their infinity
Riassunto
In questo lavoro proponiamo una breve dimostrazione della formula
generatrice di numeri primi non consecutivi, tramite le forme 6k+1, ed in modo
particolare la forma 6k -1 quale forma del numero primo di partenza
(17 = 6*3 -1 = 18 – 1) , e infine una distribuzione media delle di quadruple di
numeri primi ed una proposta di dimostrazione sulla loro infinità, estensibile
anche alla quintuple e alle sestuple, proporzionalmente più rare delle quadruple.
Essendo tutti i numeri primi (tranne il 2 e il 3 iniziali) di forma 6k-1 e 6k+1,
partendo da uno di essi, per esempio il 41, di forma 6k – 1, poichè 41= 6*7-1:
se aggiungiamo progressivamente tutti i numeri pari consecutivi 2n ad ogni
risultato successivo, otteniamo altri numeri di forma 6k -1 (se il numero pari
aggiunto e multiplo di 6, e quindi 6k’) e di forma 6k e 6k +1 (se il numero pari
aggiunto è di forma 6k + 2) , compresi molti numeri primi, ma anche numeri
1
composti, in modo particolare semiprimi, anch’essi di forma 6k+1, sempre più
numerosi dei numeri primi lungo la retta numerica; e facendo così diminuire
sempre più la percentuale dei “successi” (numeri primi).
Esempio, a partire da 17 di forma 6*3 - 1: aggiungendo progressivamente i
numeri pari successivi, si ottengono numeri primi fino a +32 = 2*17 - 2 = 2p - 2
17+2=19
19+4=23
23+6 =29
29+8=37
37+10= 47
47+12 =59
59+14=73
73+16=89
89+18=107
107+20 = 127
127+22 = 149
149+24=173
173+26=199
199+28=227
227+30=257
257+32 = 289 composto =17*17
289+34=323 composto =17*19
323+36=359
…
Si saltano però alcuni numeri primi, per es. 31, 41, 43, ecc., e quindi i numeri
primi ottenuti non sono consecutivi, come si sarebbe sperato (una formula che
dia tutti i numeri primi consecutivi). Si pensa infatti all’ipotesi di Riemann
(RH) come possibile soluzione, ma questa serve a calcolare π(N) con precisione
assoluta, ma forse non a dare velocemente la sequenza esatta dei numeri primi,
e nemmeno ad una fattorizzazione rapida dei numeri RSA della omonima
crittografia.
2
Ci sono algoritmi di fattorizzazione che presuppongono la RH, ma non sono
ancora in grado di violare la crittografia RSA.
Da qualunque numero primo di forma 6k-1 si parta (tranne che per il 2 o per il
3), si incontreranno quindi prima o poi ( e precisamente al numero pari 2p -2,
in questo caso 2*17 -2 = 32) numeri composti, interrompendo la serie di numeri
primi. Che pertanto non può essere infinita, ma al massimo un po’ più lunga o
più corta di altre serie ottenute con altri numeri primi di forma 6k +1; e quindi
con percentuale più o meno grande di numeri primi e di numeri composti, con
esclusione del 100% degli uni o degli altri.
Come si nota, il primo numero composto si trova quando il numero pari
aggiunto è uguale a 2p iniziale, in questo caso 32 = 2*17 - 2, cosi come
nell’esempio per p = 41, la congettura “zoppica” per 82 = 2*41; poiché
aggiungendo 2p all’ultima somma , (257 nel caso di p=17) abbiamo 289 = p2
Nel caso di p = 41 abbiamo 412 = 1681, quindi la somma precedente è 1599:
aggiungendo 82, abbiamo 1681 = 412, e quindi fine della serie di numeri primi
Comunque, si tratta della famosa formula di Eulero x2 + x + 41, dove x2+x
è la somma dei primi x numeri pari consecutivi, con x = √x2 +x parte intera.
Per esempio per 30 abbiamo √30 = 5,47, parte intera 5, e 30 è proprio la
somma dei primi 5 numeri pari:
2+4+6+8+10 =30 = doppio del numero triangolare 15. Infatti tutti i numeri
uguali a x2+x sono di forma 2T, con T = numeri triangolari (seconda diagonale
del Triangolo di Tartaglia) ma anche di forma n(n-1), ed essendo T = n(n-1) /2
3
(combinazione di due elementi in matematica combinatoria)
Nel caso di p=17, 172 =289, e 289 – (2p-2) = 289 - 32 =257 = ultima somma
precedente a 289. Come volevasi dimostrare: la serie di numeri primi finisce
sempre col numero 2n = 2p – 4, ma con 2p -2 abbiamo sempre un numero
composto. Ma p deve essere sempre di forma 6k-1, per poter partire da n = 2,
poichè per 6k +1 abbiamo già 6k +1 +2 = 6k +3 multiplo di 3 e quindi
composto.
Esempio per p = 11: in rosso i numeri primi ottenuti, in blu i numeri pari
successivi, in viola i numeri primi saltati dalla formula
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
6k-1
5
11 p di partenza
17 =13+4
23 =17+6
29
35
41=31 +10
47
53= 41 +12
59
65
71
77
83 =67+16
89
95
101= 83 +18
107
113
119
6k
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
66
72
78
84
90
96
102
108
114
120
4
6k+1
7
13 = 11+2
19
25
31 = 23+8
37
43
49
55
61
67 = 53 + 14
73
79
85
91
97
103
109
115
121 =101 + 20
La sequenza si arresta a 121, poichè il numero pari 22 =11*2 - 2 = 20 = 2p -2
Con tale formula, applicata a p = 11, si ottengono i nove (= 11-2 =p -2) numeri
primi:
13 17 23 31 41 53 67 83 101 (diff.: 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 e 18)
mentre i sedici numeri primi (maggiori di 11) saltati sono:
19 29 37 43 47 59 61 71 73 79 89 97 103 107 109 113
In totale abbiamo 30 numeri primi fino a 113 e 30 – 9 - 16 = 5 numeri primi
minori di 13 e cioè 2, 3, 5, 7, 11, che non sono compresi in quelli prodotti dalla
formula.
( I numeri primi gemelli sono divisi singolarmente tra le due serie, tranne le
coppie intere 59 e 61, 71 e 73, 107 e 109 nella seconda serie).
Anche nell’esempio precedente, per p=17, abbiamo 15 = 17 -2 =p - 2 primi, e i
numeri saltati maggiori di 17 sono 33 .
Conclusione: per avere la serie completa dei numeri primi maggiori di
p bisogna intercalare i numeri primi ottenuti dalla formula con quelli
saltati, che sono in numero maggiore di quelli ottenuti 16 contro 9 per
p = 11, 33 contro 17 per p = 17, con rapporto sempre a favore dei
secondi (16/9 = 1,77; 33/15= 2,2)
In particolare, i numeri ottenuti sono sempre p - 2, mentre i numeri
saltati maggiori di p sono all’incirca π (p +2n) - ( p-2) , con n = p +1.
5
Per ulteriori dettagli, rimandiamo al sito www.gruppoeratostene.com
Sezione “Articoli sulle progressioni aritmetiche”, ed in particolare le
“P R O G R E S S I O N I A R I T M E T I C H E D I N U M E R I
P R I M I ( PAP1, PAP2, PAP DENSE) E T E O R E M I D I G R E
E N, T A O E G O L D S T O N - Seconda parte” e anche
“PROGRESSIONI ARITMETICHE
D I T E R Z O T I P O ( P A P 3 o di E U L E R O )
con altre considerazioni ed esempi sull’argomento.
------------------------------------------------------------Un’altra questione trattabile con le forme 6k+1 dei numeri primi è
quella delle quadruple ecc. di numeri primi
Riportiamo da Wikipedia, voce “Quadrupla di primi”:
Quadrupla di primi
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Vai a: navigazione, cerca
Una quadrupla di primi è una sequenza di quattro numeri primi, consistente in due coppie di
numeri primi gemelli separati solo da tre non-primi, specificatamente un multiplo di 2, un multiplo
di 15 e un altro multiplo di 2. Se si denota il più piccolo primo della quadrupla con p, gli altri primi
sono p + 2, p + 6 e p + 8. Il numero p + 4 viene detto centro della quadrupla. Le prime quadruple di
numeri primi sono
6
{5, 7, 11, 13} {11, 13, 17, 19}, {101, 103, 107, 109}, {191, 193, 197, 199}, {821, 823, 827, 829},
{1481, 1483, 1487, 1489}, {1871, 1873, 1877, 1879}, {2081, 2083, 2087, 2089}, {3251, 3253,
3257, 3259}, {3461, 3463, 3467, 3469),(5651, 5653, 5657, 5659}, {9431, 9433, 9437, 9439},
{13001, 13003, 13007, 13009}, {15641, 15643, 15647, 15649}, {15731, 15733, 15737, 15739},
{16061, 16063, 16067, 16069}, {18041, 18043, 18047, 18049}, {18911, 18913, 18917, 18919},
{19421, 19423, 19427, 18429}, {21011, 21013, 21017, 21019}, {22271, 22273, 22277, 22279},
{25301, 25303, 25307, 25309}, {31721, 31723, 31727, 31729}, {34841, 34843, 34847, 34849},
{43781, 43783, 43787, 43789}, {51341, 51343, 51347, 51349}, {55331, 55333, 55337, 55339},
{62981, 62983, 62987, 62989}, {67211, 67213, 67217, 67219}, {69491, 69493, 69497, 69499},
{72221, 72223, 72227, 72229}, {77261, 77263, 77267, 77269}, {79691, 79693, 79697, 79699},
{81041, 81043, 81047, 81049}, {82721, 82723, 82727, 82729}, {88811, 88813, 88817, 88819},
{97481, 97483, 97487, 97489}, {99131, 99133, 99137, 99139}
C'è un caso speciale di quadrupla di numeri primi che non è centrato su un multiplo di 15: {5, 7, 11,
13}. Tutte le altre quadruple di numeri primi sono della forma {30n + 11, 30n + 13, 30n + 17, 30n +
19}.
Una quadrupla di primi contiene due coppie di primi gemelli e due terzine di primi sovrapposte.
Non è noto se ci sono infinite quadruple di numeri primi. Dimostrare la congettura dei numeri primi
gemelli potrebbe non essere sufficiente per dimostrare che sono infinite anche le quadruple di
numeri primi.
Una delle quadruple note di più grandi numeri primi è centrata su 10699 + 547634621255.
La costante rappresentante la somma dei reciproci delle quadruple di tutti i numeri primi, detta
costante di Brun per le quadruple di numeri primi e indicata con B4
La costante rappresentante la somma dei reciproci delle quadruple di tutti i numeri primi, detta
costante di Brun per le quadruple di numeri primi e indicata con B4 ……
vale circa
B4 = 0.87058 83800 ± 0.00000 00005
Il primo e il terzo termine di una quadrupla di numeri primi sono ovviamente i primi di Chen; è
meno ovvio che il secondo termine di una quadrupla di primi non è mai un numero primo di Chen
ad eccezione della prima quadrupla e della quadrupla speciale. Il quarto termine di una quadrupla di
numeri primi non è mai un numero primo di Stern.
7
[modifica]
Quintupla di primi
Se {p, p+2, p+6, p+8} è una quadrupla di primi e p−4 o p+12 è anch'esso primo, allora i cinque
primi formano una quintupla di primi. Le prime quintuple di primi con p+12 sono (sequenza
A022006 dell'OEIS)
{7, 11, 13, 17, 19}, {97, 101, 103, 107, 109}, {1867, 1871, 1873, 1877, 1879}, {3457, 3461, 3463,
3467, 3469}, {5647, 5651, 5653, 5657, 5659}, {15727, 15731, 15733, 15737, 15739}, {16057,
16061, 16063, 16067, 16069}, {19417, 19421, 19423, 19427, 19429}, {43777, 43781, 43783,
43787, 43789}, {79687, 79691, 79693, 79697, 79699}, {88807, 88811, 88813, 88817, 88819}
Una quintupla di primi contiene due coppie vicine di primi gemelli, una quadrupla di primi e tre
terzine di primi sovrapposte.
Non si sa ancora se ci siano infinite quintuple di primi. Anche qui, dimostrare la congettura dei
numeri primi potrebbe non essere sufficiente per provare se le quintuple di primi siano infinite.
[modifica] Sestupla di primi
Se sia p-4 che p+12 sono primi, allora la quintupla di primi diventa una sestupla di primi. Le prime
sestuple di primi sono
{7, 11, 13, 17, 19, 23}, {97, 101, 103, 107, 109, 113}, {16057, 16061, 16063, 16067, 16069,
16073}, {19417, 19421, 19423, 19427, 19429, 19433}, {43777, 43781, 43783, 43787, 43789,
43793}
Una sestupla di primi contiene due coppie vicine di primi gemelli, due quintuple di primi
sovrapposte, una quadrupla di primi e quattro terzine di primi sovrapposte.
Non si sa se esistano infinite sestuple di primi. Ancora una volta, dimostrare la congettura dei primi
gemelli non proverebbe necessariamente l'esistenza di infinite sestuple di primi. Inoltre, neanche
dimostrare che esistono infinite quintuple di primi sarebbe di qualche utilità per tale scopo”
Esamineremo qui soltanto le quadruple, essendo lo stesso il
ragionamento anche per le quintuple e le sestuple, anche se entrambe
queste sono, in proporzione, più rare delle quadruple.
Cominciamo con i numeri gemelli (coinvolti nel problema delle
quadruple ecc.) e, di forma 6k -1 e 6k +1 per lo stesso k, variabile da 1
8
a infinito (tranne la coppia di gemelli 3 e 5, poiché 3, insieme al 2, non
è di forma 6k +1 come tutti gli altri infiniti numeri primi
k
1
2
3
4
5
…
6k-1
5
11
17
23
29
…
6k
6
12
18
24
30
…
6k+1
7
13
19
25
31
…
Dove già spunta la prima quadrupla di primi ( 5,7,11,13) e la seconda
(11,13,17,19) ma anche la prima quintupla (7,11,13,17,19) e la prima
sestupla (7,11,13,17,19, 23), che obbediscono alle suddette definizioni
di Wikipedia).
Cosi è anche per la seconda quadrupla di primi {101, 103, 107, 109}
k
…
17
18
19
…
6k-1
6k
6k+1
101
107
113
…
102
108
114
…
103
109
115
…
Proposta di dimostrazione: poiché i numeri gemelli si presumono
essere infiniti, da una coppia di gemelli (con differenza minima q-p =
2) alla successiva, si nota, per i successivi numeri primi, delle
differenze crescenti da 4 ad un certo numero (detto gap, che, per la
congettura di Cramer _Shank, da noi dimostrata, non può superare il
quadrato del logaritmo del numero primo iniziale) , e poi tale
9
differenza decresce lentamente ma irregolarmente fino alla prossima
coppia di gemelli, e quindi ad un’altra differenza 2. Talvolta tali
coppie di gemelli sono molto ravvicinate, per cui si formano le
quadruple, le quintuple e le sestuple, con due coppie di gemelli al loro
interno.
Infatti, le differenze attorno ad una coppia di primi gemelli sono, per
esempio nella prima quadrupla: 5+2=7 ; 7+4=11, 11+2 = 13, mentre
per evidenziare meglio tali differenze, nell’ultima sestupla indicata da
Wikipedia:
{43777, 43781, 43783, 43787, 43789, 43793}
abbiamo le differenze successive di
43781
43783
43787
43789
43793
- 43777
- 43781
-43783
- 43787
- 43789
=4
=2 gemelli
=4
=2 gemelli
=4
Se si osservano i numeri primi vicini a 43781, per esempio, le
differenze sono gradualmente crescenti:
43661 43669 43691 43711 43717 43721 43753 43759 43777
43781 43783 43787 43789 43793 43801 43853 43867 43889
10
Abbiamo le differenze successive:
8 = 43669 - 43661,
22 (24 – 2 )
20
6
4
32
6
18
4
2
4
2
4
8
52
14
22
(24 – 4 )
(24 + 8)
(24 – 6)
gemelli
gemelli
(48 +4)
(8 + 6)
(24 – 2)
dove le differenze in blu sono quelle della precedente tabella per la
sestupla considerata .
Come si nota, attorno alle coppie di gemelli ci sono differenze piccole
tipo 4, 6, 8, subito precedute da differenze più grandi. In questa zona
si nota una differenza di 52 che comunque è inferiore al quadrato del
logaritmo di 43781, che vale 114,21 = 10,68^2 essendo 10,68 il
logaritmo naturale di 43781
Vediamo ora le prossima coppie di gemelli dopo 48311 e 48313
48311 48313 48337 48341 48353 48371 48383 48397 48407
11
48409 48413 48437 48449 48463 48473 48479 48481
Abbiamo le differenze successive
2
24
4
12 (24 / 2)
18 (24 – 6)
12
14 (8 + 6)
10 (8 + 2)
2 gemelli
4
24
12 (24 / 2)
14 (8 + 6)
10 (8 + 2)
16 (8 + 8)
2 gemelli
mentre per i numeri primi successivi
48487 48491 48497 48523 48527 48533 48539 48541
abbiamo le piccole differenze, con solo 26 un po’ più grande:
4
6
26 (24 + 2)
4
6
6
2 altra coppia di gemelli
(Notiamo come le differenze successive siano connesse con le
12
vibrazioni fisiche delle stringhe bosoniche e delle superstringhe.
Difatti abbiamo i numeri 4, 6, 8, 12, 24 e 48 connessi ai valori 8 e 24)
Tutto ciò conferma la nostra regola generale (basata sul fatto che i
numeri altamente composti , tipo fattoriali e soprattutto primoriali,
di forma 6k, hanno più coppie di Goldbach rispetto ad altri numeri
pari di forma 6k +2, Rif.1) hanno più coppie coppie di gemelli, e
specialmente quelle ravvicinate, ci sono sempre piccole differenze (4,
6,
8, ecc.) che consentono la formazione di quadruple, quintuple e
sestuple di numeri primi. Tra una quadrupla di primi e la successiva,
e specialmente circa a metà strada, si trovano i cosiddetti “deserti di
numeri primi, e cioè i famosi “gap”, che non superano però mai li
quadrato del logaritmo del numero primo iniziale (Rif 2)
Vediamo ora la distribuzione delle sole quadruple fino a 10n . Poiché
per coppie di primi (per es. gemelli) la formula di stima è N/(lnN)2,
per le quadruple (4 numeri primi) la stima potrebbe essere
circa la radice quadrata del numero g(N) di numeri gemelli fino a
10n , Come vediamo dalla seguente tabella, la stima è molto
attendibile
13
10^n
1
10 =10
102 =100
103=1 000
104= 10 000
105= 100 000
106= 1 000 000
Numero di
quadruple Q
Stima
√(g(N) = √g(10n)
Fonte ( C.Teodoro)*
√2 =1,41
≈
0
√8 =2,82
≈
1
√35 =5,91
≈
5
√205 = 14,31 ≈
12
√1224=34,98 ≈
38
√8169= 90,38 ≈
?
0
1
5
12
38
?
* Cristiano Teodoro
[email protected]
BREVE NOTA SUI PRIMI GEMELLI, sul sito
www.gruppoeratostene.com, sezione “Articoli sui Numeri Primi”
Fino a 106 = 1 000 000, prevediamo quindi circa 90 quadruple di
numeri primi,
Attendiamo ora che qualche volenteroso li trovi e li conti una per una
per avere il valore reale e confermare la nostra previsione. Questo
lavoro sulle quadruple mostra anche che, crescendo esse di numero
al crescere di n di 10n, sono infinite; e quindi anche le coppie di
gemelli che ad esse sono collegate (due coppie di gemelli per ogni
quadrupla) sono anch’esse infinite, a maggior ragione, poiché sono
molto meno rare delle quadruple.
Due coppie di gemelli ravvicinate, anche se non formano una vera e
14
propria quadrupla, la troviamo la ritroviamo nei numeri primi
successivi:
9.999.901
9.999.907
9.999.929
9.999.931
9.999.937
9.999.943
9.999.971
9.999.973
9.999.991
Nove numeri primi, gemelli compresi, addensati in cento unità;
mentre:
10.000.019
10.000.079
due soli numeri primi rarefatti nelle successive cento unità, prive di
coppie di gemelli.
Con differenze progressive 6, 22, 2, 6, 6, 28, 2 .
(Anche qui abbiamo 6, 22 = 24 – 2; 28 = 24 + 4; con 4, 6 e 24 connessi
con il valore 24, legato alle vibrazioni fisiche delle stringhe bosoniche).
Ma dimostra l’addensamento di nove numeri primi nell’intervallo da
9 999 100 e 10 000 000 contro i due soli numeri primi nelle cento unità
successive, da 10 000 000 e 10 000 100, proprio a causa delle due
coppie di gemelli ravvicinate ( ogni coppia di gemelli è sempre
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l’ultima coppia di Goldbach per molti multipli di 12, che hanno molte
coppie di Goldbach rispetto ai numeri pari vicini di forma 6k+2, molte
delle quali vicine ad una coppia di gemelli (vedi Rif.1), e questo spiega
l’addensamento di numeri primi vicini a coppie di gemelli. Ecco
quindi una relazione tra congettura di Goldbach e coppie di numeri
primi gemelli.
E questo spiega anche l’esistenza delle infinite quadruple di numeri
primi, come conseguenza dell’infinità dei numeri primi, da cui deriva
quella dei numeri gemelli, e, a cascata, anche quella delle quadruple
Fino ad un qualsiasi numero N, il numero dei numeri primi è
π(N) ≈ N/ln N
Il numero g(N) delle coppie di gemelli è g(N) ≈ √ π(N)
Il numero Q delle quadruple è ≈ √ g(N) e quindi anche Q ≈ √ π(N)
Poiché i numeri primi sono infiniti, e crescono con N, anche g(N) e Q
crescono con N, seppure più lentamente, cioè con grafici sempre più
bassi ma sempre crescenti; il che dimostra l’infinità anche delle coppie
di gemelli e anche delle quadruple, conseguenza dell’infinità dei
numeri primi, già dimostrata in molti modi, da Euclide in poi.
Conclusioni
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Possiamo concludere che in questo lavoro abbiamo chiarito il
funzionamento della nota formula di Eulero (per p = 41) e sua
generalizzazione ad un qualsiasi numero primo p di forma 6k-1, per
ottenere p - 2 numeri primi parzialmente consecutivi (la formula ne
salta di più); e infine alcune osservazioni e tabelle sulle quadruple di
numeri primi, con al loro interno due coppie di gemelli, che hanno
forma 6k+1 per molti valori di k), e una stima media di Q ≈ 90
quadruple di primi fino a 106 = 1000 000. E con la proposta di
dimostrazione che anche le quadruple di numeri primi siano infinite,
e così pure le coppie di numeri gemelli , due delle quali sono presenti
in ogni quadrupla (ma anche in ogni quintupla e in ogni sestupla di
primi, ed anche queste sono infinite, sebbene proporzionalmente
ancora più rare delle quadruple).
Riferimenti
1) “I numeri primoriali p# alla base della dimostrazione definitiva
della congettura di Goldbach (nuove evidenze numeriche)”
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
2) “Proposta di Dimostrazione Congettura di Cramer – Shank”
Rosario Turco, Maria Colonnese, Michele Nardelli, Giovanni Di
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Maria, Francesco Di Noto,Annarita Tulumello
www.gruppoeratostene.com/articoli/Cramer.pdf
3) “Proposta di DimostrazioneCongettura di Andrica”
Rosario Turco, Maria Colonnese, Michele Nardelli, Giovanni Di
Maria, Francesco Di Noto,Annarita Tulumello
4) “Miglioramento e Nota correttiva Proposta di Dimostrazione
Congettura di Andrica”, Rosario Turco, Maria Colonnese, Michele
Nardelli, Giovanni Di Maria, Francesco Di Noto,Annarita Tulumello
5) “On the Andrica and Cramer’s Conjectures. Mathematical
connections between Number Theory and some sectors of String
Theory”Rosario Turco, Maria Colonnese, Michele Nardelli1
Sul sito www.rudimathematici.com/ , Sezione Bookshelf, “Il block Notes
Matematico”
Per ulteriori dettagli, rimandiamo al sito
www.gruppoeratostene.com
6) Sezione “Articoli sulle progressioni aritmetiche”, ed in particolar le
“P R O G R E S S I O N I A R I T M E T I C H E
D I N U M E R I P R I M I ( PAP1, PAP2, PAP DENSE)
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E T E O R E M I D I G R E E N, T A O E G O L D S T O N”
Seconda parte” con altre considerazioni ed esempi sull’argomento.
FINE
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