La CAPACITÀ di un CAPACITORE
(=CONDENSATORE) è definita
come la costante di
proporzionalità tra…
Q C V C
Q
V
Nel caso di un CONDENSATORE
IDEALE (piano, indefinito) è
possibile esprimere la CAPACITÀ
in termini delle caratterististiche
fisico-geometriche del
condensatore
C
La RESISTENZA di un RESISTORE è
definita come la costante di
proporzionalità tra…
V R I R
S
d
R
dove
m L I L
Nel caso di un RESISTORE IDEALE
(cilindrico, omogeneo) è possibile
esprimere la RESISTENZA in
termini delle caratterististiche
fisico-geometriche del resistore
Il campo elettrico E all’interno di un CAPACITORE
IDEALE (=condensatore piano indefinito) è
UNIFORME e vale
E
V
I
Q
S
(è stato calcolato facendo uso del teorema di
Gauss, ovvero la prima delle equazioni di
Maxwell)
Il campo E al di fuori del capacitore ideale è nullo
IL CIRCUITO R-C
L’INDUTTANZA di un INDUTTORE
è definita come la costante di
proporzionalità tra…
m
I
Nel caso di un INDUTTORE IDEALE
(solenoide cilindrico di lunghezza
indefinita) è possibile esprimere
l’INDUTTANZA in termini delle
caratterististiche fisicogeometriche dell’induttore
l
S
L
N 2S
l
Il campo magnetico B all’interno di un INDUTTORE
IDEALE (=solenoide cilindrico indefinito) è UNIFORME
è vale
B
N
i
l
(è stato calcolato facendo uso del teorema di Ampére,
ovvero la quarta delle equazioni di Maxwell)
Il campo B al di fuori dell’induttore ideale è nullo
IL CIRCUITO R-L
L’equazione del circuito si ottiene applicando al circuito medesimo (una maglia) il teorema della maglia
(Secondo principio di Kirchhoff): lungo una maglia la somma delle forze elettromotrici è uguale alla somma
delle cadute di potenziale
Nel fenomeno di CARICA (B va in C), l’equazione
Nel fenomeno di CHIUSURA del circuito (B va in C),
del circuito è
l’equazione del circuito è
VC VR f
q(t )
Ri (t ) f
C
… ricordando che i (t )
q (t )
t
… e dividendo tutto per R
VR f f indotta
i (t )
Ri (t ) f L
t
… e dividendo tutto per L
q(t ) q(t ) f
RC
t
R
R
i (t ) f
i (t )
L
t
L
Riordinando secondo la prassi, e considerando intervalli di tempo tendenti a zero, le due equazioni
diventano
dq (t ) 1
f
q (t )
dt
RC
R
di (t ) 1
f
i (t )
L
dt
L
R
RC ha le dimensioni di un tempo (dimostrarlo!)
Porremo RC
L
ha le dimensioni di un tempo (dimostrarlo!)
R
L
Porremo
R
Le due equazioni hanno identica forma. Quando impareremo a risolvere questo tipo di equazioni
(differenziali) troveremo che la soluzione (una funzione) è
t
t
f
i (t ) (1 e )
R
q(t ) Cf (1 e )
dove Cf è la carica finale presente sul
condensatore CARICO
dove
f
è la corrente finale che circola
R
nell’induttore A REGIME
Si osservi che la corrente non passa immediatamente da 0
t
f
f
a . La corrente che “manca”, ossia i (t ) e ,
R
R
viene detta “extracorrente di chiusura”.
FENOMENI DI “SCARICA”
Se escludiamo il generatore dal circuito e
Se escludiamo il generatore dal circuito e portiamo
portiamo l’interruttore B in S, assistiamo al
l’interruttore B in S, la corrente non viene più
fenomeno di SCARICA DEL CONDENSATORE
alimentata e tende a zero (SCARICA DELL’INDUTTORE)
L’equazione del circuito è diventata
q(t )
Ri (t ) 0
C
Ri (t ) L
i (t )
t
ovvero, in forma normale
dq(t ) 1
q(t ) 0
dt
RC
di (t ) 1
i (t ) 0
L
dt
R
la cui soluzione è
q (t ) q0 e
t
i (t ) i0 e
Dove q0 q(0) C f è la carica presente sul
condensatore al momento in cui si esclude il
generatore e il condensatore comincia a scaricarsi
t
Dove i0 i (0)
f
è la corrente (a regime) che circola
R
nell’induttore (“carico”) al momento in cui si esclude il
generatore e l’induttore comincia a scaricarsi-
Si osserva che, escluso il generatore, la corrente non
piomba subito a 0 ma il circuito fornisce una corrente
(extracorrente di apertura) il cui valore è dato dalla
i (t ) i0 e
t
ENERGIE e DENSITÀ DI ENERGIA associate ai campi E e B
Per aumentare la carica sul condensatore di una
piccola quantità q abbiamo dovuto “trasferire” la
medesima q da una lastra all’altra attraverso una
differenza di potenziale V
q
e la piccola
C
quantità di lavoro che abbiamo speso è
L q V q
q
C
Per far aumentare la corrente in un solenoide di una
piccola quantità i abbiamo dovuto impiegare una
potenza P f i
per vincere la forza elettromotrice indotta e abbiamo
speso una piccola quantità di lavoro pari a
L P t
L f i t
L i m
m
i t m i Li i
t
Se passiamo da 0 a Q (carica finale) il lavoro totale
è
Se passiamo da 0 a I (corrente finale) il lavoro totale
è
q
L L (q V ) (q )
C
L L (i ) (i Li)
Si osserva che la somma di tutti quei piccoli lavori
L , sempre più grandi perché a parità di q va
aumentando V , corrisponde alla somma delle
aree dei rettangolini della figura, ovvero all’area del
triangolo.
1
1 Q2
L Q V
2
2 C
Si osserva che la somma di tutti quei piccoli lavori
L , sempre più grandi perché a parità di i va
aumentando , corrisponde alla somma delle aree
dei rettangolini della figura, ovvero all’area del
triangolo.
L
1
1
I LI 2
2
2
Il campo elettrico E all’interno di un CAPACITORE
IDEALE (= piano, indefinito) è UNIFORME, ed è tutto
concentrato all’interno del condensatore. Possiamo
immaginare che il lavoro speso per caricare il
condensatore sia servito per creare un campo
elettrico E (uniforme) concentrato in una precisa
regione di spazio. Tale lavoro si può pensare come
“energia U E associata al campo E concentrato
nella regione V”, dove V è il volume del
condensatore. Possiamo pertanto pensare a una
“densità di energia” associata al campo E.
Il campo magnetico B all’interno di un INDUTTORE
IDEALE (=solenoide cilindrico indefinito) è UNIFORME
ed è tutto concentrato all’interno del solenoide.
Possiamo immaginare che il lavoro speso per
aumentare la corrente da 0 a i sia servito per creare
un campo (uniforme) B concentrato in una regione di
spazio. Tale lavoro si può pensare come “energia U B
associata al campo B concentrato in una regione V”,
dove V è il volume del solenoide. Possiamo pertanto
pensare a una “densità di energia” associata al
campo B.
1 Q2
1 Q2 2 S
2
UE 2 C
d 1
uE
V
S d
S d
2 2
1 2 1 N 2S 2
I
LI
U
1 2 N2 2
l
uB B 2
2
2 I
V
S l
S l
2
l
1
uE E 2
2
Calcolata per un campo E uniforme in un
condensatore ideale, essa vale sempre.
uB
1 2
B
2
Calcolata per un campo B uniforme in un solenoide
ideale, essa vale sempre.
