il circuito rc il circuito rl

La CAPACITÀ di un CAPACITORE
(=CONDENSATORE) è definita
come la costante di
proporzionalità tra…
Q  C  V  C 
Q
V
Nel caso di un CONDENSATORE
IDEALE (piano, indefinito) è
possibile esprimere la CAPACITÀ
in termini delle caratterististiche
fisico-geometriche del
condensatore
C 
La RESISTENZA di un RESISTORE è
definita come la costante di
proporzionalità tra…
V  R  I  R 
S
d


R
dove  
m  L  I  L 
Nel caso di un RESISTORE IDEALE
(cilindrico, omogeneo) è possibile
esprimere la RESISTENZA in
termini delle caratterististiche
fisico-geometriche del resistore
Il campo elettrico E all’interno di un CAPACITORE
IDEALE (=condensatore piano indefinito) è
UNIFORME e vale
E
V
I
Q
S
(è stato calcolato facendo uso del teorema di
Gauss, ovvero la prima delle equazioni di
Maxwell)
Il campo E al di fuori del capacitore ideale è nullo
IL CIRCUITO R-C
L’INDUTTANZA di un INDUTTORE
è definita come la costante di
proporzionalità tra…
m
I
Nel caso di un INDUTTORE IDEALE
(solenoide cilindrico di lunghezza
indefinita) è possibile esprimere
l’INDUTTANZA in termini delle
caratterististiche fisicogeometriche dell’induttore
l
S
L
N 2S
l
Il campo magnetico B all’interno di un INDUTTORE
IDEALE (=solenoide cilindrico indefinito) è UNIFORME
è vale
B
N
i
l
(è stato calcolato facendo uso del teorema di Ampére,
ovvero la quarta delle equazioni di Maxwell)
Il campo B al di fuori dell’induttore ideale è nullo
IL CIRCUITO R-L
L’equazione del circuito si ottiene applicando al circuito medesimo (una maglia) il teorema della maglia
(Secondo principio di Kirchhoff): lungo una maglia la somma delle forze elettromotrici è uguale alla somma
delle cadute di potenziale
Nel fenomeno di CARICA (B va in C), l’equazione
Nel fenomeno di CHIUSURA del circuito (B va in C),
del circuito è
l’equazione del circuito è
VC  VR  f
q(t )
 Ri (t )  f
C
… ricordando che i (t ) 
q (t )
t
… e dividendo tutto per R
VR  f  f indotta
i (t )
Ri (t )  f  L
t
… e dividendo tutto per L
q(t ) q(t ) f


RC
t
R
R
i (t ) f
i (t ) 

L
t
L
Riordinando secondo la prassi, e considerando intervalli di tempo tendenti a zero, le due equazioni
diventano
dq (t ) 1
f

q (t ) 
dt
RC
R
di (t ) 1
f
 i (t ) 
L
dt
L
R
RC ha le dimensioni di un tempo (dimostrarlo!)
Porremo RC  
L
ha le dimensioni di un tempo (dimostrarlo!)
R
L

Porremo
R
Le due equazioni hanno identica forma. Quando impareremo a risolvere questo tipo di equazioni
(differenziali) troveremo che la soluzione (una funzione) è

t
t

f
i (t )  (1  e  )
R
q(t )  Cf (1  e )

dove Cf è la carica finale presente sul
condensatore CARICO
dove
f
è la corrente finale che circola
R
nell’induttore A REGIME
Si osservi che la corrente non passa immediatamente da 0
t
f 
f
a . La corrente che “manca”, ossia i (t )   e  ,
R
R
viene detta “extracorrente di chiusura”.
FENOMENI DI “SCARICA”
Se escludiamo il generatore dal circuito e
Se escludiamo il generatore dal circuito e portiamo
portiamo l’interruttore B in S, assistiamo al
l’interruttore B in S, la corrente non viene più
fenomeno di SCARICA DEL CONDENSATORE
alimentata e tende a zero (SCARICA DELL’INDUTTORE)
L’equazione del circuito è diventata
q(t )
 Ri (t )  0
C
Ri (t )   L
i (t )
t
ovvero, in forma normale
dq(t ) 1

q(t )  0
dt
RC
di (t ) 1
 i (t )  0
L
dt
R
la cui soluzione è
q (t )  q0  e

t
i (t )  i0  e

Dove q0  q(0)  C  f è la carica presente sul
condensatore al momento in cui si esclude il
generatore e il condensatore comincia a scaricarsi

t

Dove i0  i (0) 
f
è la corrente (a regime) che circola
R
nell’induttore (“carico”) al momento in cui si esclude il
generatore e l’induttore comincia a scaricarsi-
Si osserva che, escluso il generatore, la corrente non
piomba subito a 0 ma il circuito fornisce una corrente
(extracorrente di apertura) il cui valore è dato dalla
i (t )  i0  e

t

ENERGIE e DENSITÀ DI ENERGIA associate ai campi E e B
Per aumentare la carica sul condensatore di una
piccola quantità q abbiamo dovuto “trasferire” la
medesima q da una lastra all’altra attraverso una
differenza di potenziale V 
q
e la piccola
C
quantità di lavoro che abbiamo speso è
L  q  V  q 
q
C
Per far aumentare la corrente in un solenoide di una
piccola quantità i abbiamo dovuto impiegare una
potenza P  f  i
per vincere la forza elettromotrice indotta e abbiamo
speso una piccola quantità di lavoro pari a
L  P  t
L  f  i  t 
L  i   m
 m
 i  t   m  i  Li  i
t
Se passiamo da 0 a Q (carica finale) il lavoro totale
è
Se passiamo da 0 a I (corrente finale) il lavoro totale
è
q
L  L  (q  V )  (q  )
C
L  L  (i  )  (i  Li)
Si osserva che la somma di tutti quei piccoli lavori
L , sempre più grandi perché a parità di  q va
aumentando V , corrisponde alla somma delle
aree dei rettangolini della figura, ovvero all’area del
triangolo.
1
1 Q2
L  Q  V 
2
2 C
Si osserva che la somma di tutti quei piccoli lavori
L , sempre più grandi perché a parità di i va
aumentando  , corrisponde alla somma delle aree
dei rettangolini della figura, ovvero all’area del
triangolo.
L
1
1
I    LI 2
2
2
Il campo elettrico E all’interno di un CAPACITORE
IDEALE (= piano, indefinito) è UNIFORME, ed è tutto
concentrato all’interno del condensatore. Possiamo
immaginare che il lavoro speso per caricare il
condensatore sia servito per creare un campo
elettrico E (uniforme) concentrato in una precisa
regione di spazio. Tale lavoro si può pensare come
“energia U E associata al campo E concentrato
nella regione V”, dove V è il volume del
condensatore. Possiamo pertanto pensare a una
“densità di energia” associata al campo E.
Il campo magnetico B all’interno di un INDUTTORE
IDEALE (=solenoide cilindrico indefinito) è UNIFORME
ed è tutto concentrato all’interno del solenoide.
Possiamo immaginare che il lavoro speso per
aumentare la corrente da 0 a i sia servito per creare
un campo (uniforme) B concentrato in una regione di
spazio. Tale lavoro si può pensare come “energia U B
associata al campo B concentrato in una regione V”,
dove V è il volume del solenoide. Possiamo pertanto
pensare a una “densità di energia” associata al
campo B.
1 Q2
1 Q2 2 S

2
UE 2 C
d  1  
uE 


V
S d
S d
2 2
1 2 1 N 2S 2

I
LI
U
1 2 N2 2
l
uB  B  2
2

 2 I 
V
S l
S l
2
l
1
uE    E 2
2
Calcolata per un campo E uniforme in un
condensatore ideale, essa vale sempre.
uB 
1 2
B
2
Calcolata per un campo B uniforme in un solenoide
ideale, essa vale sempre.