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Unità Didattica N° 11 Le equazioni di secondo grado ad una incognita
Unità Didattica
N° 11
Le equazioni di secondo grado ad una incognita
01) La definizione di equazione di secondo grado ad una incognita
02) La risoluzione delle equazioni di secondo grado incomplete
03) La risoluzione dell’equazione di secondo grado completa
04) Equazioni frazionarie riconducibili ad equazioni di secondo grado
05) Relazioni fra le radici ed i coefficienti di una equazione di secondo grado
06) Scomposizione in fattori di un trinomio di secondo grado
07) La regola dei segni di Cartesio
08) Equazioni di secondo grado parametriche
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87
Equazioni di secondo grado ad una incognita
Dicesi equazione di secondo grado ad una incognita ogni equazione riconducibile
ax 2 + bx + c = 0
alla seguente forma :
[*]
La [*] è detta anche forma tipica , o normale o canonica dell’equazione di secondo grado .
ax 2 = termine quadratico , bx = termine lineare , c = termine noto o terzo coefficiente
a = primo coefficiente o coefficiente del termine quadratico
b = secondo coefficiente o coefficiente del termine lineare
Risulta sempre : a ≠ 0 . Infatti se fosse a = 0 , l ’ equazione [*] sarebbe di primo grado .
Se risulta :
a ≠ 0
,
In caso contrario dicesi
b ≠ 0 , c ≠ 0 l ’ equazione [*] dicesi
equazione completa .
incompleta .
OSSERVAZIONE
N° 1
Dicesi soluzione o radice di una equazione ad una incognita , ogni numero che , sostituito
al posto dell ’ incognita , rende il primo membro numericamente uguale al secondo membro .
OSSERVAZIONE
N° 2
Una equazione di secondo grado ad una incognita ammette due soluzioni che vengono
indicate coi simboli x1 ed x2 . Nel caso di soluzioni reali si pone per convenzione :
cioè x1 rappresenta la radice minore , mentre x2 rappresenta la radice maggiore .
x1 < x2 ,
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88
Risoluzione delle equazioni di secondo grado incomplete
b = 0
ax 2 + c = 0
L ’ equazione [*] diventa :
e si dice equazione
[2]
di secondo grado pura . Essa si risolve nella seguente maniera :
ax 2 = − c
x2 = −
,
c
a
,
x = ± −
c
a
,
x1 = − −
c
a
4
2
= ±
9
3
,
x2 = + −
,
c
a
ESEMPI
9 x2 − 4 = 0
,
9 x2 = 4 ,
x2 =
4
9
x = ±
,
x1 = −
2
2
, x2 =
3
3
x 2 + 81 = 0 , x 2 = − 81 , x = ± − 81 = ± 9i , x1 = − 9i , x2 = 9i
16 x 2 − 27 = 0 , 16 x 2 = 27 , x 2 =
c = 0
L ‘ equazione [*] diventa :
27
3
3
27
3
, x = ±
3 , x1 =
3
= ±
3 , x1 = −
16
4
4
16
4
ax 2 + bx = 0
[3]
Essa prende il nome di equazione di secondo grado spuria . Si risolve nella seguente maniera :
x (ax + b) = 0
Applicando la legge di annullamento di un prodotto di fattori scriviamo :
x = 0
,
ax + b = 0
,
x1 = 0
Le radici dell’equazione [3] sono :
ax = − b
,
,
x2 = −
x = −
b
a
b
a
ESEMPI
x 2 − 21x = 0 , x( x − 21) = 0 , x = 0 , x − 21 = 0 , x = 21 , x1 = 0 , x2 = 21
3x 2 + 5x = 0 , x( 3x + 5) = 0 , x = 0 , 3x + 5 = 0 , x = −
5
5
, x1 = − , x2 = 0
3
3
OSSERVAZIONE
La legge di annullamento di un prodotto di fattori dice che << se un prodotto
di fattori è nullo , allora
almeno
uno
dei
ALTRI ESEMPI
fattori
è
nullo >> .
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89
4( x + 2)( x − 4) − (6 − x )( x − 4) = 7( x − 6)( x + 2)
(
) (
)
(
4 x 2 − 4 x + 2 x − 8 − 6 x − 24 − x 2 + 4 x = 7 x 2 + 2 x − 6 x − 12
)
4 x 2 − 8 x − 32 − 20 x + 48 + 2 x 2 = 7 x 2 − 28 x − 84 , − x 2 = − 100 , x 2 = 100
x = ± 100 = ± 10 , x1 = − 10 , x2 = 10
(x
+ 3) − ( x + 1) = ( x + 2)
2
2
2
x2 + 6x + 9 − x2 − 2 x − 1 = x2 + 4 x + 4 , − x2 = − 4 , x2 = 4 , x = ± 4 = ± 2
x1 = − 2 ,
(x
x1 = − 2
+ 3)(2 x + 5) − ( x − 2)( x − 3) = 13 − ( x + 2)
2 x 2 + 5x + 6 x + 15 − x 2 + 3x + 2 x − 6 = 13 − x 2 − 4 x − 4 ,
2
2 x 2 + 20 x = 0
x = 0 , x + 10 = 0 , x = − 10 , x1 = − 10 , x2 = 0
x + 3
7 − x
30
=
+
x − 3
x + 3
( x − 3)( x + 3)
Si tratta di un ’ equazione frazionaria in quanto l ’ incognita x figura al denominatore .
m. c. m. = ( x − 3)( x + 3)
(x
+ 3) = (7 − x )( x − 3) + 30
2
2 x2 − 4 x = 0
;
2 x( x − 2) = 0
,
,
x ≠ ±3
x 2 + 6 x + 9 = 7 x − 21 − x 2 + 3x + 30
x = 0
,
x − 2 = 0
,
x1 = 0
,
x2 = 2
Risoluzione dell ’ equazione di secondo grado completa
Unità Didattica N° 11 Le equazioni di secondo grado ad una incognita
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Vogliamo risolvere l’equazione di secondo grado completa
ax 2 + bx + c = 0
Si trasporta il termine noto al secondo membro :
ax 2 + bx = − c
4a 2 x 2 + 4abx = − 4ac
Moltiplichiamo ambo i membri per 4a :
4a 2 x 2 + 4abx + b2 = b2 − 4ac
Aggiungiamo ad ambo i membri il numero b2 :
(2ax
+ b) = b2 − 4ac ,
2
2ax + b = ± b2 − 4ac
x =
−b ±
,
b2 − 4ac
2a
2ax = − b ±
b2 − 4ac
[1]
La [1] prende il nome di formula risolutiva dell ’ equazione di secondo grado . Il numero
Δ = b2 − 4ac
dicesi delta o discriminante dell ’ equazione di secondo grado .
In una equazione di secondo grado completa possiamo supporre a > 0 . In questo caso la radice
più piccola è :
x1 =
−b −
b2 − 4ac
2a
x2 =
Il discriminante
Δ
mentre la radice più grande è :
−b +
b2 − 4ac
2a
dell ‘ equazione ax 2 + bx + c = 0 può essere ≥
< 0 .
Discutiamo separatamente i tre casi :
1) Δ > 0 : se il delta è maggiore di zero l’equazione ammette due radici reali e distinte , x1 ≠ x2
2) Δ = 0 : se il delta è uguale a zero l ’ equazione ammette due radici reali e coincidenti ,
x1 = x2 = −
b
2a
3) Δ > 0 : se il delta è minore di zero l’equazione ammette due radici complesse e coniugate
ESEMPI
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12 x 2 − 67 x + 35 = 0
x =
67 ±
7
⎧ 67 − 53
=
= x1
⎪⎪ 24
67 ± 53
12
=
= ⎨
24
⎪ 67 + 53 = 5 = x2
⎪⎩ 24
2809
24
2 x2 − 6x + 1 = 0
x =
a = 12 , b = − 67 , c = 35
a = 2 , b = −6 , c = 1
(
7
)=
(
7
)=
⎧2 3 −
⎪
36 − 8
6 ± 28
6 ± 2 7
⎪
4
=
=
= ⎨
4
4
4
⎪2 3 +
⎪
4
⎩
6 ±
3x 2 − 5x + 4 = 0
x =
Δ = b2 − 4ac = 4489 − 1680 = 2809 = 532
3 − 7
= x1
2
3 + 7
= x2
2
a = 3 , b = −5 , c = 4
5 ±
⎧ 5 − i 23
= x1
⎪⎪
25 − 48
5 ± − 23
5 ± i 23
6
=
=
= ⎨
6
6
6
⎪ 5 + i 23 = x
2
⎪⎩
6
Formula risolutiva ridotta e ridottissima
91
92
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x =
La formula risolutiva di una equazione di secondo grado è :
−b ±
b2 − 4ac
2a
[1]
Essa può scriversi nella seguente maniera :
x =
−b ±
b2 − 4ac
=
2a
−b ±
2
⎛ b2 ⎞
⎛ b⎞
4 ⋅ ⎜ ⎟ − 4ac
− b ± 2 ⋅ ⎜ ⎟ − ac
⎝ 4⎠
⎝ 2⎠
=
2a
2a
x =
Dividendo numeratore e denominatore per 2 otteniamo :
b
− ±
2
2
⎛ b⎞
⎜ ⎟ − ac
⎝ 2⎠
a
[2]
La [2] è detta formula ridotta e si applica quando il coefficiente b è un numero pari , cioè
Δ
b2
b2 − 4ac
⎛ b⎞
− ac =
=
⎜ ⎟ − ac =
⎝ 2⎠
4
4
4
2
quando è divisibile per 2 .
L ‘ espressione
dicesi discriminante ridotto .
Se poi risulta anche a = 1 la [2] diventa :
2
⎛ b⎞
⎜ ⎟ − c
⎝ 2⎠
b
x = − ±
2
[3]
RIEPILOGO
1) La formula ridotta si applica quando b è un numero pari
2) La formula ridottissima si applica quando b è un numero pari ed a risulta uguale ad 1
4 ±
3x 2 − 8 x + 4 = 0
x =
x2 − 4 x + 1 = 0
x = 2 ±
2
− 2
=
= x1
3
3
+ 2
= 2 = x2
3
⎧4
⎪⎪
16 − 12
4 ± 4
4 ± 2
=
=
= ⎨
3
3
3
⎪4
⎪⎩
4 − 1 = 2 ±
3
,
x1 = 2 −
3
,
x2 = 2 +
Relazioni fra le radici ed i coefficienti di una equazione di secondo grado
3
Unità Didattica N° 11 Le equazioni di secondo grado ad una incognita
93
Tra le radici x1 ed x2 dell’equazione di secondo grado ax 2 + bx + c = 0 ed i coefficienti a , b , c
x1 + x2 = −
intercorrono le seguenti relazioni :
b
a
x1 x2 =
c
a
Dimostrazione
x1 =
Noi sappiamo che :
x1 + x2 =
−b −
−b −
b2 − 4ac
2a
x2 =
,
−b +
− b + b2 − 4ac
−b −
b2 − 4ac
+
=
2a
2a
=
b2 − 4ac
2a
b2 − 4ac − b +
2a
b2 − 4ac
=
− 2b
b
= −
2a
a
b2 −
⎛ − b − b 2 − 4ac ⎞ ⎛ − b + b2 − 4ac ⎞
⎟ =
⎟ ⋅⎜
x1 ⋅ x2 = ⎜⎜
⎟
⎟ ⎜
a
a
2
2
⎠
⎝
⎠ ⎝
(
b2 − 4ac
)
2
4a 2
b2 − b2 + 4ac
=
=
4a 2
4ac
c
=
2
4a
a
3x 2 − 4 x − 5 = 0
x1 + x2 = −
b
4
=
a
3
x1 ⋅ x2 =
c
5
= −
a
3
Applicazioni
Calcolare una radice di una equazione di secondo grado quando conosciamo l ’ altra radice
x1 + x2 = −
Basta utilizzare una delle due seguenti relazioni :
b
a
,
x1 x2 =
c
a
Se , ad esempio , conosciamo x1 , per calcolare x2 si procede come segue :
x2 = −
3x 2 + 7 x − 6 = 0
b
− x1
a
x1 = − 3 ,
oppure
x1 + x2 = −
7
3
,
x2 =
x2 = −
c
a x1
7
7
2
− x1 = − + 3 =
3
3
3
Unità Didattica N° 11 Le equazioni di secondo grado ad una incognita
94
x1 x2 = −
oppure
6
= −2
3
x2 =
,
−2
−2
2
=
=
x1
−3
3
Scrivere l ’ equazione di secondo grado che abbia come radici due numeri assegnati
ax 2 + bx + c = 0
x1 + x2 = S
x1 x2 =
x1 x2 = P
,
c
a
Divido ambo i membri per a , x 2 +
, x1 + x2 = −
c
= P
a
⇒
b
a
b
c
x +
= 0
a
a
Pongo :
b
= − ( x1 + x2 ) = − S
a
⇒
x 2 − Sx + P = 0
REGOLA
L ’ equazione di secondo grado avente come radici due numeri dati
ha il primo coefficiente uguale al l ’unità , il secondo coefficiente è la
somma
coincide
dei
due
col
numeri
prodotto
cambiata
dei
due
di
segno , il terzo
coefficiente
numeri .
Scrivere l ’ equazione di secondo grado avente come radici i numeri :
x1 =
S = x1 + x2 =
3 −
5
3
+
3 +
5
3
x2 − 6 3 ⋅ x +
3 −
5
,
3
=
6
= 2 3
3
4
=0
3
3 +
x2 =
5
3
, P = x1 ⋅ x2 =
,
Determinare due numeri conoscendo la somma
,
P = 4
,
x2 − 6x + 4 = 0
x1 = 3 −
5
,
3
5 3 +
⋅
5
3
=
3x 2 − 18 3 ⋅ x + 4 = 0
S
ed il loro prodotto
I due numeri richiesti coincidono con le radici dell ’ equazione :
S = 6
3 −
,
x = 3 ±
x2 = 3 +
5
P
x 2 − Sx + P = 0
9 − 4 = 3 ±
5
4
3
Unità Didattica N° 11 Le equazioni di secondo grado ad una incognita
95
Scomposizione in fattori di un trinomio di secondo grado
Se risulta Δ = b 2 − 4 a c ≥ 0 allora è possibile dimostrare che il trinomio di secondo grado
T( x ) = ax 2 + bx + c può essere decomposto nel prodotto di due fattori di primo grado secondo
la seguente formula :
T( x ) = ax 2 + bx + c = a (x − x 1 )(x − x 2 )
dove i numeri x1 ed x2 sono gli zeri del trinomio , ossia le radici dell’equazione
associata
ax 2 + bx + c = 0 .
[
]
b
c⎞
⎛
ax 2 + bx + c = a ⎜ x 2 + x + ⎟ = a x 2 − (x 1 + x 2 ) x + x 1 ⋅ x 2 =
a
a⎠
⎝
[
]
= a x 2 − x 1 ⋅ x − x 2 ⋅ x + x 1 ⋅ x 2 = a [x (x − x 1 ) − x 2 (x − x 1 )] = a (x − x 1 )(x − x 2 )
Se il trinomio ha due zeri reali e coincidenti , cioè se Δ = b 2 − 4 a c = 0 allora la precedente
formula assume la seguente forma :
a x 2 + b x + c = a (x − x1 ) 2
Decomporre in fattori il seguente trinomio di secondo grado
15 x 2 + 2 x − 8 .
Gli zeri di questo trinomio coincidono con le radici dell’equazione
associata
Δ
⎛ b⎞
= ⎜− ⎟
4
⎝ 2⎠
x1 =
15 x 2 + 2x − 8 = 0 .
−
2
− a c = 1 + 120 = 121
− 1 − 11
12
4
= −
= −
15
15
5
x2 =
x =
b
±
2
a
Δ
4 = − 1 ± 121 = − 1 ± 11
15
15
− 1 + 11
10
2
=
=
15
15
3
2 ⎞⎛
4⎞
⎛
15 x 2 + 2 x − 8 = 15⎜ x − ⎟ ⎜ x + ⎟ = (3x − 2)(5x + 4)
3 ⎠⎝
5⎠
⎝
Unità Didattica N° 11 Le equazioni di secondo grado ad una incognita
96
Equazioni parametriche
4 x 2 + − 2(k − 1) x − k = 0
è una equazione parametrica in quanto almeno uno dei tre
coefficienti dipende da un parametro . Parametro di una equazione nell’incognita x è una lettera
qualsiasi che rappresenta un numero il cui valore non dipende dall’incognita .
Questo significa che i valori numerici che possiamo attribuire al parametro non dipendono dai
valori numeri assunti dall’incognita x .
Invece i valori numerici assunti dalle radici
x1 , x2
dell’equazione data dipendono dai valori numerici che attribuiamo al parametro k .
I problemi sulle equazioni di secondo grado parametriche si risolvono tenendo presente che :
1) x1 + x2 = −
b
a
, x1 x2 =
c
a
2) radice di un’equazione è un numero che , sostituito nell’incognita dell’equazione , rende il primo
membro numericamente uguale al secondo membro
3) le radici x1 , x2 di una equazione di secondo grado sono uguali se :
Δ = 0 cioè se : b 2 − 4ac = 0
4) le radici x1 , x2 di una equazione di secondo grado sono opposte se :
x1 = − x 2
x1 + x 2 = 0
cioè se :
−
b
= 0
a
cioè se :
b = 0
5) le radici x1 , x2 di una equazione di secondo grado sono reciproche se :
x 1 ⋅ x 2 = 1 cioè se :
c
= 1 cioè se :
a
c = a
6) le radici x1 , x2 di una equazione di secondo grado sono antireciproche se : x 1 ⋅ x 2 = −1 cioè
se :
c
= − 1 cioè se :
a
c = −a
Esempi
<< Per quale valore del parametro k una radice dell’equazione
4 x 2 − 2(k − 1) x − k = 0
x1 = 0 ⇒
é uguale a zero ? >>
c = 0 ⇒ −k = 0
k =0
<< Per quale valore del parametro k le radici dell’equazione
x 2 + (k − 1) x + k − 3 = 0
x1 = − x 2 ⇒ x1 + x 2 = 0 ⇒ −
sono opposte ? >>
b
= 0 ⇒ b = 0 ⇒
a
k −1 = 0 ⇒
k =1
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97
<< Per quale valore del parametro a le radici dell’equazione
(a + 3) x 2 − 5 a x + 4a + 1 = 0
x1 = x 2 ⇒ Δ = 0
9a 2 − 52a − 12 = 0
<<
Per
quale
sono uguali ? >>
⇒ b 2 − 4ac = 0 ⇒
a1 = −
valore
2
9
25a 2 − 4(a + 3)(4a + 1) = 0 ⇒
a2 = 6
del
parametro
k
una
radice
dell’equazione
2x 2 − (k − 1) x + k + 1 = 0 vale 2 ? >>
8 − 2k + 2 + k + 1 = 0 − k = − 11
x 1 = 2 ⇒ 2 ⋅ (2) 2 − (k − 1) ⋅ 1 + k + 1 = 0
k = 11
data l’equazione ax 2 + bx + c = 0 calcolare :
01) x 2 − x 1 =
−b + Δ
−b − Δ
−b +
−
=
2a
2a
x 2 − x1 =
02)
x
2
1
+ x
2
2
= (x 1 + x 2 ) − 2 x 1 x 2
2
Δ
=
a
⎛ b⎞
= ⎜− ⎟
⎝ a⎠
x 12 + x 22 =
x + x2
1
1
+
= 1
=
x1
x2
x1 x 2
03)
04)
05)
x
3
1
+ x
3
2
2
2
2
06)
Δ
a
b2 − 2a c
c
b2
2c
− 2⋅ = 2 −
=
a
a
a
a2
b2 − 2a c
a2
b
a = −b
c
c
a
1
1
b
+
= −
x1
x2
c
= (x 1 + x 2 ) − 3 x 1 x 2 (x 1 + x 2 )
x 13 + x 32 =
=
a
−
3
Δ
b2 − 4a c
b2 − 2a c
2
b2 − 2a c
a
=
=
c2
c2
a2
x + x
1
1
+ 2 =
2
x1
x2
(x 1 x 2 )
2
1
2
Δ + b +
2a
b2 − 2a c
1
1
+
=
x 12
x 22
c2
3
3b c
b3
⎛ c ⎞⎛ b ⎞
⎛ b⎞
= ⎜ − ⎟ − 3⎜ ⎟⎜ − ⎟ = − 3 + 2
a
a
⎝ a ⎠⎝ a ⎠
⎝ a⎠
3a b c − b3
a3
x 13 + x 32
3a b c − b3
1
1
+ 3 =
=
x 13
x2
c3
(x 1 x 2 )3
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98
07)
x
4
1
+ x
4
2
(
= x
2
1
+ x
)
2 2
2
2
2
1
− 2x x
2
2
⎛ b2 − 2a c ⎞
⎟⎟
= ⎜⎜
a2
⎝
⎠
+ x
4
2
b 4 − 4ab 2 c + 2a 2 c 2
=
a4
x
4
1
Se l’equazione data ha la forma
2c 2
− 2
a
x 2 + px + q = 0
abbiamo :
x 14 + x 42 = p 4 − 4 p 2 + 2 q 2
08)
x 14 + x 42
1
1
+
=
x 14
x 42
(x 1 x 2 )2
b 4 − 4ab 2 c + 2a 2 c 2
b 4 − 4ab 2 c + 2a 2 c 2
a4
=
=
c4
c4
a4
b 4 − 4ab 2 c + 2a 2 c 2
1
1
+
=
x 14
x 42
c4
Unità Didattica N° 11 Le equazioni di secondo grado ad una incognita
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La regola dei segni di Cartesio
Consideriamo una equazione di secondo grado a radici reali :
ax 2 + bx + c = 0
[§]
Δ = b 2 − 4ac ≥ 0
Possiamo supporre che a sia positivo . Infatti , nel caso contrario , cambiando il segno dei
coefficienti a , b , c otteniamo una equazione equivalente alla data .
Definizione : Diremo che i tre coefficienti a , b , c dell’equazione [§] ( considerati nell’ordine
scritto ) presentano una permanenza ogni volta che due coefficienti consecutivi hanno lo stesso
segno , presentano una variazione ogni volta che due coefficienti consecutivi hanno segni
contrari .
a
+
+
+
+
Si possono presentare i seguenti casi :
b
+
−
−
+
c
+
+
−
−
Teorema di Cartesio
In ogni equazione di secondo grado ridotta a forma canonica , completa ed a discriminante positivo
o nullo , ad ogni variazione corrisponde una radice positiva , ad ogni permanenza una radice
negativa . Se l’equazione presenta una radice negativa ( x 1 ) ed una positiva ( x 2 ) allora il valore
assoluto della radice negativa è maggiore del valore assoluto della radice positiva ( | x 1 | > | x 2 | )
se la permanenza precede la variazione , il valore assoluto della radice positiva è maggiore
del valore assoluto della radice positiva ( | x 2 | > | x 1 | )
se la variazione precede la
permanenza .
a
b
c
+
+
+
+
+
−
−
+
+
+
−
−
x1 + x 2 = −
−
+
+
−
b
a
x1 ⋅ x 2 =
+
+
−
−
c
a
x1
x2
−
+
−
−
−
+
+
+
| x 2 | > | x1 |
| x 2 | < | x1 |
Dimostriamo che due permanenze danno luogo a due radici negative .
c
x1 + x 2 < 0
x1 ⋅ x 2 > 0
x1
x2
+ + +
x1 > 0 x 2 < 0
x1 > 0 x 2 > 0
−
−
x1 < 0 x 2 > 0
x1 < 0 x 2 < 0
a
b
x1 < 0 x 2 < 0
