OLTRE LE TAVOLE DI VERITA’
Tutti gli uomini sono animali
Tutti gli animali sono mortali
Tutti gli uomini sono mortali
Questo argomento è valido, ma se lo formalizziamo con il linguaggio della
logica proposizionle non riusciamo a caratterizzarne la forma logica che lo
rende valido. Infatti, usando la logica proposizionale otteniamo:
Tutti gli uomini sono animali = p
Tutti gli animali sono mortali = q
Tutti gli uomini sono mortali = r
Applicando il metodo delle tavole di verità dobbiamo verificare se "(p ∧ q) →
r" è una tautologia:
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
(p
V
V
V
V
F
F
F
F
∧
V
V
F
F
F
F
F
F
q)
V
V
F
F
V
V
F
F
→
V
F
V
V
V
V
V
V
r
V
F
V
F
V
F
V
F
Una volta formalizzato con il linguaggio della logica proposizionale,
l'argomento risulta invalido (alla seconda riga il condizionale assume il
valore F)
Occorre utilizzare un linguaggio che sia espressivamente più forte di quello
della logica proposizionale. Dobbiamo ricorrere alla logica dei predicati.
LINGUAGGIO DELLA LOGICA PREDICATIVA - sintassi
Costanti singolari {a, b, c…} che si sostituiscono ai nomi propri (Mario, Anna
ecc.) e alle descrizioni definite (= il presidente della Repubblica, la mela,
ecc.) (le descrizioni definite sono introdotte da un articolo determinativo).
Costanti predicative {P, Q, R…} che si sostituiscono alle espressioni
formate da copula + aggettivi, verbi (è italiano, è più alto di, corre, ama ecc.)
Connettivi {∼, ∧, ∨, →, ↔}
Quantificatore universale {∀} (= tutti, ogni}
Quantificatore esistenziale {∃} (= qualche, qualcuno)
Variabili {x, y, z}
Esempi di formalizzazione:
Mario corre = Pa (Mario = a, correre = P)
Mario mangia la mela = Rab (Mario = a, la mela = b, mangiare = R)
Il presidente della Repubblica è aziano = Qc (c = il presidente della
Repubblica, essere anziano = Q)
Tutti sono mortali = ∀x(Mx) (tutti = ∀x, essere mortale = M)
(ogni cosa è mortale)
Tutti gli uomini sono mortali = ∀x(Ux → Mx)
(ogni cosa se è un uomo allora è mortale)
Qualcuno è ricco = ∃x(Sx) (qualcuno = ∃x, essere ricco = S)
(esiste qualcosa che è ricca)
Nessuno vive più di 300 anni = ∼∃x(Tx) (nessuno = ∼∃x, vivere più di 300
anni)
(non esiste alcuna cosa che vive più di 300 anni)
Mario apre una porta = ∃x(Px ∧ Abx) (qualcosa = ∃x, P = essere una porta, b
= Mario, aprire = A)
(esiste una cosa che è una porta e mario la apre)
Mario apre la porta = Aab (Mario = a, la porta = b aprire = A)
Nessun uomo vive più di 300 anni = ∼∃x(Ux ∧ Tx) (nessuno = ∼∃x, essere un
uomo = U, vivere più di 300 anni = T)
(non esiste una cosa che è un uomo e vive più di 300 anni)
tutti i marinai amano una ragazza = ∀x(Mx → ∃y(Ry ∧ Axy)) (ogni cosa se è
un marinaio allora esiste un'altra cosa tale che è una ragazza e la cosa che
è marianaio la ama) (in questo caso può essere che ogni marianaio ami
una ragazza diversa).
oppure
∃y(Ry ∧ ∀x(Mx → Axy))
(in questo caso diciamo che c'è una unica ragazza e tutti i marinai amano
quella ragazza)
Formalizzazione del sillogismo
∀x(Ux → Ax)
∀x(Ax → Mx)
∀x(Ux → Mx)
Tutti gli uomini sono animali
Tutti gli animali sono mortali
Tutti gli uomini sono mortali
METODO DEGLI ALBERI SEMANTICI
1) Si contrassegnano tutti gli enunciati con V o con F; se A è un enunciato,
V[A] si dice il coniugato di F[A] e viceversa F[A] si dice il coniugato di V[A].
Se in un ramo si trovano un enunciato contrassegnato e il suo coniugato
allora il ramo si chiude. Se tutti i rami di una albero sono chiusi, allora
l'albero si chiude. Si costruisce l'albero applicando le seguenti regole agli
enunciati che contengono connettivi o quantificatori. Il procedimento di
costruzione ha termine quando tutti gli enunciati che contengono connettivi
o quantificatori sono stati esaminati o quando l'albero si chiude. Quando un
nodo viene esaminato applicandogli una regola lo si segna e da quel
momento non lo si può più esaminare. Ci sono due eccezioni: la regola per
V[∀x(Ax)] e quella per F[∃x(Ax)] consentono di esaminare il nodo tutte le
volte di cui se ne ha bisogno.
2) Regole per la costruzione degli alberi
Regole per i connettivi
V[~A]
F[A]
V[A∧B]
V[A]
V[B]
F[~A]
V[A]
F[A∧B]
F[A] F[B]
V[A∨B]
V[A] V[B]
F[A∨B]
F[A]
F[B]
V[A→B]
F[A] V[A]
F[A→B]
V[A]
F[B]
V[A↔B]
V[A] F[A]
V[B] F[B]
F[A↔B]
V[A] F[A]
F[B] V[B]
Regole per i quantificatori
1) Se si esamina un nodo del tipo V[∀x(Ax)] si prolungano i rami aperti che
lo contengono con i nodi V[Aa] per tutte le costanti singolari a che figurano
in ciascun ramo. Il nodo non viene contrassegnato. Qualora nei rami non
figuri nessuna costante singolare allora si introduce il nodo V[Aa] dove a è
una costante qualsiasi.
2) Se si esamina un nodo del tipo F[∀x(Ax)] si prolunga ogni ramo aperto
che lo contiene con il nodo F[Aa] dove a è una costante che non figura nel
ramo. Il nodo viene contrassegnato.
3) Se si esamina un nodo del tipo V[∃x(Ax)] si prolunga ogni ramo aperto
passante per esso con il nodo V[Aa] dove a è una costante che non figura
nel ramo. Il nodo si contrassegna.
4) Se si esamina un nodo del tipo F[∃x(Ax)] si prolunga ogni ramo aperto
passante per esso con il nodo F[Aa] per tutte le costanti a che occorrono in
ciascun ramo. Il nodo non si contrassegna. Qualora nel ramo non figura
nessuna costante individuale, allora si introduce il nodo F[Aa] dove a è una
costante qualsiasi.
Attenzione: chiamiamo le regole che non generano biforcazioni "regole di
tipo I" (esempio: F[A∨B]) , quelle che generano biforcazioni "regole di tipo II"
(esempio: F[A∧B]) , quelle che richiedono l'introduzione di costanti singolari
che non appaiono nei nodi precedenti "regole di tipo III" (F[∀x(Ax)] e
V[∃x(Ax)]) e quelle che richiedono l'uso di tutte le costanti singolari presenti
nei nodi precedenti quando ci sono o di una costante singolare qualsiasi
quando non ve ne sono altre (V[∀x(Ax)] e F[∃x(Ax)]) "regole di tipo IV". Un
suggerimento è di applicare, quando è possibile farlo, le regole in questo
ordine: prima quelle di tipo I, poi quelle di tipo III, poi quelle di tipo IV e infine
quelle di tipo II.
Applicazione del metodo degli alberi semantici
Test per la tautologia:
Si contrassegna un enunciato con F e si costruisce l'albero semantico
applicando le regole sopra elencate. Se l'albero si chiude allora l'enunciato
è una tautologia.
Test per la validità degli argomenti
Per testare la validità di un argomento si procede seguendo la stessa
strategia del metodo delle tavole di verità: si construisce un condizionale
che ha come antecedente la congiunzione delle premesse dell'argomento
e come conseguente la conclusione dell'argomento. Se, applicando il
metodo dell'albero semantico, l'albero si chiude allora l'argomento è valido.
Esempi
Verifichiamo se il seguente enunciato è una tautologia: (Pa ∧ (Pa → Qb))
→Qb
F[(Pa ∧ (Pa → Qb)) →Qb ]*
V[Pa ∧ (Pa → Qb)]**
F[Qb]
V[Pa]
V[Pa → Qb]***
F[Pa]
V[Qb]
===
===
Spiegazione: applichiamo (*) la regola F[A→B] al nodo iniziale e otteniamo
V[Pa ∧ (Pa → Qb)] e F[Qb]; poi applichiamo (**) la regola V[A∧B] a V[Pa ∧
(Pa → Qb)] e otteniamo V[Pa] e V[Pa → Qb]; infine applichiamo (***) la
regola V[A→B] a V[Pa → Qb] e otteniamo una biforcazione: F[Pa] e V[Qb].
Nell'albero ora ci sono due rami e ci accorgiamo che entrambi contengono
un enunciato contrassegnato e il suo coniugato. Entrambi i rami s i
chiudono, l'albero si chiude, e quindi l'enunciato è una tautologia.
Verifichiamo se il seguente enunciato è una tautologia: ∀x(Px) → Pa
F[∀x(Px) → Pa]*
V[∀x(Px) ]
F[Pa]
V[Pa]
===
Spegazione: applichiamo la regola F[A→B] al nodo iniziale F[∀x(Px) → Pa]
e otteniamo V[∀x(Px)] e F[Pa]; applichiamo la regola V[∀x(Ax)] a V[∀x(Px)]
(attenzione: questa volta il nodo esaminato non viene segnato) e otteniamo
V[Pa]; l'unico ramo si chiude, l'albero si chiude, quindi l'enunciato è una
tautologia.
Verifichaimo se il seguente enunciato è una tautologia: ∀x(Px) → ∃x(Px)
F[∀x(Px) → ∃x(Px)]*
V[∀x(Px)]
F[∃x(Px)]
V[Pc]
F[Pc]
===
Spiegazione: applichiamo (*) la regola F[A→B] al nodo iniziale e otteniamo
V[∀x(Px)] e F[∃x(Px)]; poi applichiaamo la regola V[∀x(Ax)] a V[∀x(Px)] e
otteniamo V[Pa] (in questo caso introduciamo una costante singolare "c"
qualsiasi poiché nei nodi precedenti non appaiono costanti singolari); poi
applichiamo F[∃x(Ax)] a F[∃x(Px)] e otteniamo F[Pc]; il ramo si chiude,
l'albero si chiude e l'enunciato è una tautologia.
Verifichiamo che il seguente argomento è valido:
∀x(Rxa → Rba)
~Rba
∀x(~Rxa)
F[(∀x(Rxa → Rba) ∧ ~Rba) →∀x(~Rxa)]*
V[∀x(Rxa→ Rba) ∧ ~Rba)]**
F[∀x(~Rxa)]****
V[∀x(Rxa→ Rba)]
V[~Rba)]***
F[ Rba]
F[ ~Rca]*****
V[Rca]
V[Raa→ Rba)]
V[Rba→ Rba)]
V[Rca→ Rba)]******
F[ Rca]
V[Rba)]
===
===
Spiegazione: costruiamo il condizionale e lo contrassegnamo con F;
applichiamo (*) ad esso la regola F[A→B] e otteniamo V[∀x(Rxa→ Rba) ∧
~Rba)] e F[∀x(~Rxa)]; applichiamo (**) la regola V[A∧B] a V[∀x(Rxa→ Rba)
∧ ~Rba)] e otteniamo V[∀x(Rxa→ Rba)] e V[~Rba)]; applichiamo (***) la
regola V[~A] a V[~Rba)] e otteniamo F[ Rba]; applichiamo (****) la regola
F[∀x(Ax)] a F[∀x(~Rxa)] e otteniamo F[~Rca] (attenzione: qui introduciamo
una nuova costante singolare); applichiamo (*****) la regola F[~A] a F[
~Rca] e otteniamo V[Rca]; applichiamo V[∀x(Ax)] a V[∀x(Rxa→ Rba)]
(attenzione: in nodo non viene segnato) e otteniamo V[Raa→ Rba)],
V[Rba→ Rba)], e V[Rca→ Rba)]; applichiamo (******) la regola V[A→B] a
V[Rca→ Rba)] e otteniamo F[ Rca] e V[Rba)]; l'albero subisce una
biforcazione e ci accorgiamo che entrambi i rami si chiudono, l'albero s i
chiude, quindi l'argomento è valido.
SILLOGISMO
Tipi di enunciati.
1.
2.
3.
4.
Universali
Universali
Particolari
Particolari
affermativi
negativi
affermativi
negativi
(A):
(E):
(I):
(O):
Tutti gli A sono B
Tutti gli A non sono B (nessun A è B)
Qualche A è B
Qualche A non è B
Un sillogismo è un ragionamento costituito da tre enunciati dei quattro tipi
considerati) di cui due sono le premesse e il terzo la conclusione. Nella
prima premessa compaiono due predicati, uno dei quali (il termine medio)
compare anche nella seconda premessa. Nella conclusione compaiono I
due predicati che non sono il termine medio.
I sillogismi si dividono in quattro figure a seconda della posizione del
termine medio
1
Q
M
2
M
P
Q
P
3
M
M
M
M
4
Q
P
M
P
Q
M
Q
P
Q
P
Q
P
Q
P
Le due premesse e la conclusione possono essere ciascuna di uno
qualunque dei quattro tipi A, E, I, O; quindi, ci sono 64 possibili tipi di
sillogismi per ciascuna figura (256 in totale).
Ad esempio, scegliendo IAE e la figura 1 otteniamo
Qualche Q è M
Tutti i M sono P
Nessun Q è P
Dei 256 tipi di sillogismo solo 19 sono validi.
Regole e fallacie sillogistiche:
1) Tutti i sillogismi validi devono contenere esattamente tre termini,
ciascuno dei quali è usato con lo stesso significato in tutto l'argomento. Un
argomento che viola questa regola si chiama fallacia dei quattro termini
(quaternio terminorum) ed è un caso di fallacia per equivocazione (una
stessa parola è usata con due significati diversi).
Tutti gli uomini sono liberi
Nessuna donna è un uomo
Nessuna donna è libera
2) Nessun sillogismo che abbia due premesse negative (E, O) è valido. Un
argomento che viola questa regola commette la fallacia della premesse
esclusive.
Nessun astrologo è uno scienziato
Alcuni scienziati non sono maghi
Alcuni maghi non sono astrologi
3) In tutti i sillogismi validi, se una delle due premesse è negativa allora la
conclusione deve essere negativa. Un argomento che viola questa regola
commette la fallacia di trarre una conclusione affermativa da una premessa
negativa.
Nessun poeta è un dirigente
Alcuni artisti sono poeti
Alcuni artisti sono dirigenti
4) Nessun sillogismo valido può avere conclusione particolare (I, O) e
entrambe le premesse universali (A, E). Un argomento che viola questa
regola commette la fallacia esistenziale.
Tutti i canarini sono animali domestici
Nessun unicorno è un animale domestico
Alcuni unicorni non sono canarini
(nota bene: se all'argomento aggiungiamo la premessa ∃x(x è un unicorno),
l'argomento risulta valido).
SUGGERIMENTI PER STUDIARE ARGOMENTI
1) Indicatori di conclusione:
Pertanto, quindi, dunque, così, di conseguenza, per queste ragioni, segue
che, si può inferire, si conclude che, mostra che, conseguentemente,
implica che, porta alla conclusione che, prova che.
2) Indicatori di premessa:
Poiché, perché, infatti, dato che, visto che, segue da, come indicato da, per
la ragione che, può essere inferito (dedotto, derivato) da.
3) Uso di domande retoriche al posto di enunciati dichiarativi.
Esempio: Giovanna è in Spagna. Infatti Giovanna è a Barcellona e come
può non essere in Spagna se è a Barcellona? (= se è a Barcellona, allora è
in Spagna).
4) Uso di immagini al posto di enunciati dichiarativi.
5) Premesse inespresse (argomenti entinemi):
Non voleva la corona. Quindi non era ambizioso.
Se fosse stato ambizioso, allora avrebbe voluto la corona
Non voleva la corona
Non era ambizioso
6) L'ordine delle premesse e conclusione può essere invertito.
7) Catene di sillogismi:
dalle premesse
tutti i diplomatici sono persone di tatto
alcuni funzionari del governo sono diplomatici
tutti i funzionari del governo sono figure pubbliche
non è possibile derivare la conclusione
alcune figure pubbliche sono persone di tatto
mediante una sola inferneza sillogistica.
Per derivare la conclusione occorrono due sillogismi concatenati:
Tutti i diplomatici sono individui dotati di tatto
Alcuni funzionari del governo sono diplomatici
Alcuni funzionari del governo sono individui dotati di tatto
Alcuni funzionari del governo sono individui dotati di tatto
Tutti i funzionari del governo sono figure pubbliche
Alcune figure pubbliche sono individui dotati di tatto
8) interdefinibilità dei quantificatori
∀x = ~∃x~
∃x = ~∀x~
tutte le cose sono P = non si da il caso che qualcosa non sia P
∀x(Px) = ~∃x~(Px)
Qualcosa è P = non si da il caso che tutte le cose non siano P
∃x(Px) = ~∀x~(Px)
Tutte le cose non sono P = non esiste qualcosa che sia P
∀x~(Px) = ~∃x(Px)
qualcosa non è P = non si da il caso che tutte le cose siano P
∃x~ (Px) = ~∀x(Px)
Argomenti asillogistici
Tutti gli alberghi sono sia costosi sia deprimenti
Alcuni alberghi sono malandati
Alcune cose costose sono malandate
L'argomento non può essere formalizzato in termini sillogistici
Tutti gli A sono X
Alcuni A sono M
Alcuni C sono M
L'argomento deve essere formalizzato come segue, cioé utilizzando due
costanti predicative diverse per "essere costoso" e "essere deprimente".
Una volta formalizzato in questo modo, diventa evidente che l'argomento
non è un sillogismo poiché contiene 4 termini.
∀x(Ax → (Cx ∧ Dx))
∃x(Ax ∧ Mx)
∃x(Cx ∧ Mx)
(verificate con il metodo degli alberi semantici che questo argomento è
valido!)
