Matematica Discreta
Lezione dei giorni 19 e 26 aprile 2012
Operazioni compatibili con una relazione di equivalenza.
Consideriamo un insieme A in cui sia definita una relazione di equivalenza R: ricordiamo che se
l’elemento xA è associato nella relazione R all’elemento yA scriviamo il simbolo xRy.
Inoltre per ipotesi R soddisfa le proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva.
Sappiamo che, fissato xA, si può costruire la classe di equivalenza rappresentata da x,
contenente tutti gli elementi di A che sono associati ad x nella relazione R:
[x] = { yA / xRy }
Ricordiamo inoltre che le distinte classi di equivalenza formano una partizione di A (cioè 2 classi
diverse hanno intersezione vuota, e l’unione di tutte le classi è l’insieme A).
Si ha inoltre, per un risultato già dimostrato:
[x]=[y] xRy .
Indicheremo con il simbolo A/R l’insieme delle classi di equivalenza della relazione R in A (è detto
anche insieme quoziente dell’insieme A rispetto alla relazione di equivalenza R).
Supponiamo anche che nell’insieme A sia definita (oltre alla relazione di equivalenza R) anche
un’operazione *.
Potremmo allora provare a definire nell’insieme A/R delle classi di equivalenza un’operazione fra
classi (che indichiamo sempre con il simbolo *) servendoci dell’operazione * (che è definita
nell’insieme A) nel modo seguente:
[a]*[b] = [a*b]
(quindi per calcolare il risultato dell’operazione sulle classi [a],[b] prima si calcola il risultato
dell’operazione * sui rappresentanti a,b, ottenendo un elemento a*b in A, e poi si considera la classe
rappresentata da tale elemento, e questa classe si considera come risultato dell’operazioni fra le 2
classi [a],[b]).
Ciò solleva però un problema: il concetto di operazione implica l’unicità del risultato (perché
l’operazione è una funzione che associa ad ogni coppia di operandi uno e un solo risultato). Quindi
per essere certi che la nostra operazione fra classi abbia risultato unico (fissate le 2 classi su cui si
opera) dobbiamo essere sicuri che se [a]=[c] e se [b]=[d] (abbiamo lasciato invariate le 2 classi ma
cambiato il rappresentante) allora si ha sempre [a*b]=[c*d] (il risultato deve essere invariato). Tale
proprietà si può esprimere in modo equivalente nel modo seguente:
se aRc, e se bRd allora necessariamente (a*b)R(c*d)
(tale proprietà è detta compatibilità della relazione di equivalenza R con l’operazione *).
Riassumendo dunque: se in un insieme A sono definite sia una relazione di equivalenza R che
un’operazione *, e se R è compatibile con * (cioè se da aRc, bRd segue sempre (a*b)R(c*d)) allora
nell’insieme A/R delle classi di equivalenza si può definire un’operazione * fra classi (con risultato
unico) ponendo [a]*[b] = [a*b].
Tale operazioni fra classi di equivalenza è detta operazione indotta dall’operazione * definita in A.
Operazioni fra classi congruenza.
Ricordiamo che, fissato un intero m>1 (modulo), abbiamo definito nell’insieme Z degli interi
relativi una relazione di equivalenza, detta congruenza modulo m: dati gli interi x,yZ, x
associato con y quando (x-y) è multiplo di m (cioè se esiste kZ tale che x-y=mk).
Ricordiamo anche che se x è associato con y si scrive xy (mod m) invece di xRy (e si legge x
congruo y modulo m).
Si possono costruire dunque le classi di equivalenza di tale relazione, che sono dette classi di
congruenza modulo m.
Abbiamo dimostrato anche che le classi di congruenza distinte modulo m sono le seguenti:
[0], [1], ……, [m-1]
e quindi sono in numero di m (cioè in numero uguale al modulo).
L’insieme quoziente di Z rispetto alla relazione di congruenza modulo m (cioè l’insieme delle classi
di congruenza modulo m) sarà indicato con il simbolo Zm : quindi
Zm = { [0], [1], ……, [m-1] }
Esempi: l’insieme delle classi di congruenza distinte modulo 7 è il seguente:
Z7 = { [0], [1], [2], [3], [4], [5], [6] }
Dimostreremo ora che sia l’operazione di somma che quella di prodotto esistenti fra numeri interi
relativi in Z sono compatibili con la relazione di congruenza modulo m.
Compatibilità della congruenza modulo m con la somma di numeri interi relativi:
se ac (mod m), e se bd (mod m) allora m è divisore delle differenze a-c, b-d, dunque
a-c=mk, b-d=mh (con k,h interi)
da cui:
(a+b)-(c+d)=m(h+k)
ossia m è divisore della differenza (a+b)-(c+d) e si conclude che (a+b)(c+d) (mod m)
Compatibilità della congruenza modulo m con il prodotto:
con le stesse notazioni, si ha:
(ab)-(cd)=a(b-d)+d(a-c)=m(ah+dk)
ossia m è divisore della differenza (ab)-(cd) e si conclude che (ab)(cd) (mod m).
Dalla compatibilità delle operazioni di somma e prodotto con la relazione di congruenza modulo m,
segue che é possibile definire, nell’insieme Zm delle classi di congruenza modulo m, le operazioni
di somma e prodotto fra classi di congruenza, operazioni indotte dalle operazioni di somma e
prodotto fra numeri interi e definite nel modo seguente:
[a]+[b] = [a+b]
[a][b] = [ab]
Esempio.
Consideriamo l’insieme Z7 delle 7 classi di congruenza modulo 7:
Z7 = { [0],[1],[2],[3],[4],[5],[6] }
e le seguenti classi di congruenza modulo 7
[5], [6]Z7
Possiamo allora calcolare la somma e il prodotto di queste 2 classi:
[5]+[6] = [5+6] = [11] = [4] (perché 114 (mod 7))
[5][6] = [56] = [30] = [2] (perché 302 (mod 7))
Esempio.
Consideriamo l’insieme Z4 delle 4 classi di congruenza modulo 4:
Z4 = {[0],[1],[2],[3]}
Se costruiamo la tavola operazionale della somma fra classi (rispetto all’ordine [0],[1],[2],[3])
otteniamo la seguente matrice 4x4:
[0]
[1]
[2]
[3]
[1]
[2]
[3]
[0]
[2]
[3]
[0]
[1]
[3]
[0]
[1]
[2]
(per calcolare per esempio [2]+[3] si calcola [2+3]=[5]=[1], notando che 51 (mod 4) etc…..)
Se invece costruiamo la tavola operazionale del prodotto fra classi (rispetto sempre all’ordine
[0],[1],[2],[3]) otteniamo la seguente matrice 4x4:
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[1]
[2]
[3]
[0]
[2]
[0]
[2]
[0]
[3]
[2]
[1]
(per calcolare per esempio [2][3] si calcola [23]=[6]=[2], notando che 62 (mod 4) etc…..)
Proprietà che si trasmettono da un’operazione all’operazione indotta.
Torniamo al caso generale di un insieme A in cui sono definite sia una relazione di equivalenza R
che un’operazione * compatibile con R, in modo che nell’insieme quoziente A/R delle classi di
equivalenza sia definita un’operazione indotta * fra le classi.
Notiamo che in tale caso molte proprietà dell’operazione * dell’insieme A si trasmettono
all’analoga operazione * dell’insieme delle classi A/R:
1) se l’operazione * in A é associativa, l’operazione indotta * in A/R é anch’essa associativa. Infatti,
date 3 classi [a],[b],[c] si ha (sfruttando la proprietà associativa valida in A):
[a]*([b]*[c]) = [a]*[b*c] = [a*(b*c)] = [(a*b)*c] = [a*b]*[c] = ([a]*[b])*[c]
2) se l’operazione * in A é commutativa, l’operazione indotta * in A/R é anch’essa commutativa.
Infatti, date 3 classi [a],[b],[c] si ha (sfruttando la proprietà commutativa valida in A):
[a]*[b] = [a*b] = [b*a] = [b]*[a]
3) se esiste l’elemento neutro eA rispetto all’operazione *, allora esiste anche l’elemento neutro
nell’insieme delle classi A/R rispetto all’operazione indotta * ; inoltre tale elemento neutro é la
classe [e]. Infatti per ogni classe [a] si ha:
[a]*[e] = [a*e] = [a] ; [e]*[a] = [e*a] = [a]
4) se un elemento aA é simmetrizzabile rispetto all’operazione * con simmetrico a’A, allora la
classe [a] é simmetrizzabile nell’insieme delle classi A/R rispetto all’operazione indotta * ed il suo
simmetrico é la classe [a’]. Infatti si ha :
[a]*[a’] = [a*a’] = [e] = elemento neutro di A/R; [a’]*[a] = [a’*a] = [e] = elemento neutro di A/R
In particolare:
- se A é monoide rispetto all’operazione *, anche A/R é monoide rispetto all’operazione indotta *
- se A é gruppo rispetto all’operazione *, anche A/R é gruppo rispetto all’operazione indotta *
Inoltre se A è monoide (rispettivamente gruppo) commutativo anche A/R lo é.
Applichiamo le considerazioni precedenti all’insieme Zm delle classi di congruenza modulo m, in
cui abbiamo definito le operazioni di somma e prodotto di classi, indotte dalle operazioni di somma
e prodotto fra interi.
Vediamo quali proprietà hanno tali operazioni.
Essendo Z un gruppo commutativo rispetto all’operazione di somma (con elemento neutro 0 e con
simmetrico di un elemento a uguale all’opposto –a) per le osservazioni precedenti si ottiene che
l’insieme Zm delle classi di congruenza modulo m é un gruppo commutativo rispetto
all’operazione di somma fra classi (l’elemento neutro sarà [0] e il simmetrico di una classe [a]
sarà la classe [-a]).
Invece essendo Z solo un monoide commutativo rispetto all’operazione di prodotto (con elemento
neutro 1) per le osservazioni precedenti si ottiene che l’insieme Zm delle classi di congruenza
modulo m é un monoide commutativo rispetto all’operazione di prodotto fra classi (l’elemento
neutro sarà [1]).
Per quanto riguarda l’operazione di somma fra classi in Zm, possiamo notare che per calcolare il
simmetrico (sempre rispetto alla somma) di una classe [a] scelta fra le classi {[0], [1],......., [m-1]},
vi é una regola pratica molto semplice:
- se [a] = [0], il suo simmetrico é [0] (l’elemento neutro ha come simmetrico sé stesso)
- se [a] [0] (quindi se a=1,2.....,m-1) allora il simmetrico di [a] é la classe [m-a] (infatti sommando
[a] con [m-a] si ottiene [a]+[m-a] = [a+m-a] = [m] = [0] = elemento neutro, perché r=0 é il resto
della divisione di m per m).
Per esempio in Z100 il simmetrico di [48] é [100-48] = [52].
Abbiamo detto che rispetto all’operazione di prodotto di classi, l’insieme Zm é un monoide
commutativo (con elemento neutro [1]), perché tale è Z rispetto al prodotto.
Tale monoide Zm non è un gruppo: possiamo infatti notare che [0] non é certamente
simmetrizzabile rispetto al prodotto fra classi, in quanto non può esistere il simmetrico di [0],
perché il prodotto di [0] per qualunque classe dà come risultato sempre [0] (quindi non si ottiene
mai [1] che é l’elemento neutro).
Se esaminiamo per esempio la tavola operazionale del prodotto in Z4 (vista in precedenza) si
verifica che gli unici elementi simmetrizzabili sono [1] e [3].
Resta da risolvere un problema generale: nel monoide Zm (rispetto all’operazione di prodotto fra
classi) quali sono gli elementi simmetrizzabili e come si calcola il loro simmetrico (cioé il loro
inverso) ?
Ricordiamo anche che l’insieme degli elementi simmetrizzabili del monoide Zm é un gruppo
(indicato con Zm*) rispetto alla stessa operazione di prodotto fra classi (ed é ovviamente
commutativo anch’esso).
Abbiamo già notato che [0] non é certamente simmetrizzabile rispetto al prodotto fra classi, dunque
gli elementi simmetrizzabili nel monoide Zm sono da cercare fra le classi diverse da [0], cioé fra le
classi [1],......., [m-1].
Il prossimo risultato che dimostreremo caratterizza fra queste classi quali sono simmetrizzabili.
Teorema. Una classe [a] del monoide Zm , con il rappresentante a scelto fra 1,.......,m-1, é
simmetrizzabile rispetto al prodotto fra classi il rappresentante a della classe é coprimo con il
modulo m (ossia mcd(a,m)=1).
Dimostrazione:
(): Se [a] é simmetrizzabile, esiste il suo simmetrico [b] tale che [a][b]=[ab]=[1], dunque si ha la
congruenza:
ab1 (mod m)
ossia m è un divisore della differenza (ab-1) dunque esiste un intero k tale che (ab-1)=mk, ossia:
1=ab-(mk)=ab+m(-k)
Si ottiene che 1 é combinazione lineare di a,m con coefficienti interi relativi b,-m, e ricordando che
il mcd(a,m) é la minima combinazione lineare positiva di a,m (si ricava dalla dimostrazione del
Teorema di esistenza del massimo comune divisore) si deduce che 1=mcd(a,m) e si ha la tesi.
(): Se 1=mcd(a,m), allora, per una proprietà del massimo comune divisore, 1 é combinazione
lineare di a,m a con opportuni coefficienti interi relativi x,y
1=ax+my
Da ciò si ha ax-1=m(-y), dunque m é divisore della differenza (ax-1), ossia si ha la congruenza:
ax1 (mod m)
dunque in Zm sono uguali le classi
[ax]=[1]
da cui [a][x]=[1]=elemento neutro, e si conclude che [a] é simmetrizzabile (con simmetrico [x])
cioé la tesi.
Il Teorema precedente risolve non solo il problema di caratterizzare quali sono gli elementi
simmetrizzabili del monoide Zm rispetto al prodotto di classi, ma per ognuno di essi illustra un
algoritmo per calcolare l’inverso (cioè il simmetrico):
1) data una classe [a][0] in Zm si calcola (con l’algoritmo Euclideo) il mcd(a,m)
2) se mcd(a.m)>1 allora si conclude che [a] non é simmetrizzabile
3) se mcd(a,m)=1, allora [a] è simmetrizzabile, ed il suo simmetrico è [x] dove x è il coefficiente di
a nella rappresentazione di 1 come combinazione lineare di a,m a coefficienti interi relativi:
1 = ax+my [a]-1=[x]
Per il calcolo del coefficiente x (e quindi dell’inverso di [a]) si può usare egualmente l’algoritmo
Euclideo delle divisioni successive (la versione “estesa” che permette di calcolare anche i
coefficienti x,y).
Sappiamo che, dato un qualunque monoide A (rispetto ad una operazione *), il suo sottoinsieme A*,
contenente gli elementi simmetrizzabili, è un gruppo rispetto alla stessa operazione.
In particolare, dato il monoide Zm={[0], [1], …., [m-1]} delle classi di congruenza modulo m
(rispetto all’operazione di prodotto di classi), abbiamo dimostrato che gli elementi simmetrizzabili
sono le classi con rappresentante a compreso fra 1,2,…..,m-1, tali che a,m siano coprimi.
Dunque il sottoinsieme degli elementi simmetrizzabile di Zm :
Zm* = {[a] Zm / a=1,2,….,m-1; a,m coprimi}
è un gruppo, rispetto all’operazione di prodotto di classi: ovviamente la sua cardinalità coincide con
la funzione di Eulero (m) del modulo m:
Zm* = (m)
Esempio.
Dato il monoide Z9 delle classi di congruenza modulo 9 rispetto all’operazione di prodotto di classi:
Z9 = {[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8]} (di cardinalità 9)
il gruppo degli elementi simmetrizzabili contiene le classi con rappresentante compreso fra 1 e 8 e
coprimo con 9 ossia:
Z9*= {[1],[2],[4],[5],[7]} (di cardinalità (9)=6)
Leggi di cancellazione in un gruppo
Sia A un gruppo rispetto all’operazione *.
Affermiamo che:
dati comunque gli elementi a,b,cA tali che a*c=b*c allora si ha necessariamente a=b
(è la cosiddetta legge di cancellazione a destra, perché il secondo operando c viene “cancellato a
destra” in ambo i membri dell’eguaglianza).
Dimostriamo tale legge di cancellazione: se eA è l’elemento neutro di A, e se c’A è il
simmetrico di c in A, si ha (utilizzando la proprietà associativa insieme con l’ipotesi a*c=b*c ):
a=a*e=a*(c*c’)=(a*c)*c’=(b*c)*c’=b*(c*c’)=b*e=b dunque a=b (tesi).
Con ragionamento analogo si ottiene la cosiddetta legge di cancellazione a sinistra valida in ogni
gruppo A:
dati comunque gli elementi a,b,cA tali che c*a=c*b allora si ha necessariamente a=b.
Notare che se A non è gruppo, tali leggi di cancellazione possono anche non valere.
Per esempio nel monoide Z4 delle classi di congruenza modulo 4 rispetto al prodotto di classi si ha:
[2][3]=[6]=[2]=[2][1]
eppure non è vero che [3]=[1] (quindi non si può “cancellare” l’operando [2] nei due membri
dell’eguaglianza: questo perché Z4 non è un gruppo rispetto al prodotto di classi).
Potenza di un elemento di un gruppo ad esponente intero non negativo.
Siano A un gruppo rispetto all’operazione * ed aA un elemento fissato.
Vogliamo definire il concetto di potenza di base a ed esponente intero non negativo, in modo
analogo a quanto si fa per le ordinarie potenze numeriche.
Per ogni numero naturale kN definiamo la potenza ak di a con esponente k nel modo seguente:
ak = a*a*….*a (dove il numero degli operandi coincide con l’esponente k)
Dunque:
a1=a, a2=a*a, a3=a*a*a etc…
(notare che la validità della proprietà associativa ci permette di non specificare come si associano
gli operandi: per esempio a3=(a*a)*a = a*(a*a)).
Estendiamo poi convenzionalmente la definizione di potenza anche al caso di un esponente nullo,
definendo: a0 = e (elemento neutro di A).
Esempio:
Consideriamo il gruppo delle classi di congruenza modulo 20 rispetto all’operazione di somma di
classi:
Z20 = { [0],[1],[2],[3],….,[19] }
e fissiamo a=[3].
Allora per esempio:
[3]3=[3]+[3]+[3]=[3+3+3]=[9]
[3]8=[3]+[3]+[3]+[3]+[3]+[3]+[3]+[3]=[3+3+3+3+3+3+3+3]=[24]=[4]
(perché 4 è il resto della divisione di 24 per 20)
[3]0=[0] (perché [0] è l’elemento neutro).
Consideriamo invece il gruppo delle classi di congruenza modulo 20 che sono simmetrizzabili
rispetto all’operazione di prodotto di classi (sappiamo che sono le classi [a] con a=1,2,…..,19 e tali
che mcd(a,20)=1):
Z20* = {[1],[3],[7],[9],[11],[13],[17],[19]}
e fissiamo di nuovo a=[3].
Allora per esempio:
[3]3=[3][3][3]=[333]=[27]=[7]
(perché 7 è il resto della divisione di 27 per 20).
[3]0=[1] (perché [1] è l’elemento neutro).
Per le potenze di un elemento a di un gruppo A valgono le ben note analoghe proprietà delle
potenze numeriche, che ora illustreremo.
Comunque presi gli interi non negativi h,k si ha:
1) (ah)*(ak)=ah+k
2) (ah)k=ahk
Dimostriamo per esempio la 1), distinguendo 3 casi e in ognuno di essi dimostrando la tesi:
caso 1: h=0; allora (indicato con eA il neutro di A) (ah)*(ak)=(a0)*(ak)=e*(ak)=ak=a0+k=ah+k;
caso 2: k=0 (dimostrazione simile)
caso 3: h,k>0; allora (ah)*(ak)=(a*a*…*a)*(a*a*…*a) (dove nella prima parentesi vi sono h
operandi, nella seconda k operandi), dunque (ah)*(ak)=a*a*…*a (con un totale di h+k operandi) e si
conclude che (ah)*(ak)=ah+k anche in questo caso.
La dimostrazione della 2) segue uno schema simile.
Teorema. Se A è un gruppo finito di cardinalità n con elemento neutro eA, fissato un elemento
aA esiste sempre qualche intero k>0, k≤n tale che ak = e.
Dimostrazione:
Consideriamo le seguenti potenze di a:
a0, a1, ……….., an
Tali elementi di A non sono tutti distinti (se così fosse sarebbero n+1 elementi distinti di A, in
contraddizione con l’ipotesi che n è la cardinalità di A), dunque esistono almeno 2 interi t,s tali che
ts, 0t,sn, at = as. Supponiamo per esempio t>s (se t<s si ragiona in modo analogo).
Se s=0 si ha la tesi, perché allora at = a0 = e, con t>0, tn, e il valore di k cercato è k=t.
Supponiamo dunque s>0.
Allora da at = as segue at = e*as, e poiché at = a*a*……*a (con t operandi), as = a*a*……*a (con
s operandi), applicando s volte la legge di cancellazione a destra (valida nel gruppo A):
at-s = e con t-s>0, t-stn
Si ottiene anche in questo caso la tesi, scegliendo k=t-s.
Se A è un gruppo finito di cardinalità n con elemento neutro eA, e se fissiamo un elemento aA,
per il Teorema precedente esistono esponenti positivi kn tali che ak=e, dunque (per l’Assioma del
minimo) possiamo considerare il più piccolo intero positivo kn tale che ak = e, detto periodo
dell’elemento a.
Notiamo anche che ovviamente il periodo dell’elemento neutro è sempre =1 perché e1 = e.
Esempio. Consideriamo il gruppo delle classi di congruenza modulo 18 che sono simmetrizzabili
rispetto all’operazione di prodotto di classi ([a] con a=1,2,…..,17 e tali che mcd(a,18)=1):
Z18* = {[1],[5],[7],[11],[13],[17]}
e calcoliamo per esempio il periodo dell’elemento a=[7], cioè il minimo intero positivo k tale che
[7]k = [1] (perché [1] è in questo caso l’elemento neutro del gruppo).
Si ha:
[7]1 = [7];
[7]2 = [7][7] = [77] = [49] = [13] (perché 13 è il resto della divisione di 49 per 18);
[7]3 = [7]2[7]1 = [13][7] = [137] = [91] = [1] (perché 1 è il resto della divisione di 91 per 18)
Dunque k=3 è il periodo dell’elemento a=[7] nel gruppo Z18*.
Facendo i calcoli per tutti gli elementi di Z18* si ottengono i seguenti risultati:
[1] ha periodo 1;
[17] ha periodo 2;
[7], [13] hanno periodo 3;
[5], [11] hanno periodo 6.
Si può notare in questo esempio che non solo il periodo di ogni elemento è della cardinalità 6 del
gruppo, ma è anche divisore della cardinalità 6 del gruppo (dimostreremo in seguito che ciò non è
casuale).
Se A è un gruppo finito di cardinalità n con elemento neutro eA, abbiamo dunque definito
periodo di un elemento aA il minimo intero positivo kn tale che ak=e.
Ovviamente possono esistere altri esponenti h (oltre il periodo k) tali che ah=e, ma essi dipendono
dal periodo k, come afferma il prossimo risultato:
Teorema. Sia A un gruppo finito con elemento neutro eA, e sia aA un elemento di periodo k.
Per ogni intero h0 si ha:
ah = e h è multiplo del periodo k
Dimostrazione:
(): Se h=0 è ovvio che h è multiplo di k. Sia dunque h>0, e dividiamo h per k mediante
l’algoritmo della divisione per i numeri naturali: esistono interi q,r0 tali che h=kq+r con r<k.
Se per assurdo h non fosse multiplo di k, sarebbe r0, dunque r>0, ed inoltre:
e = ah = akq+r =(ak)q*ar = eq*ar = e*ar = ar con 0<r<k
contraddizione perché k è il minimo intero positivo tale che ak = e.
(): Per ipotesi esiste un intero t0 tale che h=kt, da cui ah = akt = (ak)t = et = e.
Teorema (Lagrange). Sia A un gruppo commutativo finito di cardinalità n, con elemento neutro
eA.
Allora per ogni elemento aA si ha:
1) an = e
2) il periodo k di a è divisore della cardinalità n del gruppo.
Dimostrazione:
1) Fissato aA, si definisca la funzione f: A A ponendo f(x)=a*x per ogni xA.
La funzione f è iniettiva: infatti se per assurdo esistessero b,cA, bc, tali che f(b)=f(c) si avrebbe
a*b=a*c, e per la legge di cancellazione a sinistra si otterrebbe b=c, contraddizione.
Essendo dominio e codominio finiti di eguale cardinalità, f è anche surgettiva (dunque biunivoca).
Se a1,a2,…,an sono gli n elementi distinti di G, le immagini degli elementi a1,a2,…,an di A:
f(a1)=a*a1, f(a2)=a*a2,…, f(an)=a*an
sono tutti gli elementi di A (per la surgettività di f).
Dunque (dal punto di vista insiemistico):
A = { a*a1, a*a2,…, a*an } = {a1,a2,…,an }
(sono elenchi degli stessi elementi anche se non necessariamente nello stesso ordine).
Per la proprietà commutativa si ha:
(a*a1)*(a*a2)*……*(a*an) = a1*a2*……*an = e*a1*a2*……*an
Di nuovo per la proprietà commutativa (applicata al primo membro):
(an)*(a1*a2*……*an) = e*(a1*a2*……*an)
e per la legge di cancellazione a destra si ha la tesi an = e.
2) Per la 1) si ha an=e: per il Teorema precedente ciò implica che il periodo k di a è divisore
dell’esponente n.
Nota: Si può dimostrare, con altre tecniche, che la tesi del Teorema vale anche nel caso di un
gruppo (finito) non commutativo. Quindi in tutti i gruppi finiti elevando qualunque elemento
alla cardinalità del gruppo si ottiene sempre l’elemento neutro ed il periodo di ogni elemento è
divisore della cardinalità del gruppo.
Vedremo ora una importante conseguenza di questi risultati sull’aritmetica dei numeri naturali.
Teorema di Eulero-Fermat. Siano a,n due numeri naturali, con n>1, e supponiamo a,n coprimi
(quindi mcd(a,n)=1). Allora, se (n) è la funzione di Eulero di n, si ha:
a(n)1 (mod n).
Dimostrazione:
Sappiamo che il gruppo commutativo finito A = Zn* (contenente le classi di congruenza modulo n
simmetrizzabili rispetto al prodotto di classi) ha cardinalità (n) perché contiene le classi [a] con il
rappresentante a coprimo con n.
In particolare, essendo a,n coprimi per ipotesi, si ha [a]A.
Per il Teorema precedente, ogni elemento di un gruppo finito commutativo elevato alla cardinalità
del gruppo dà come risultato l’elemento neutro: nel nostro caso si ha
[1]=[a](n)=[a][a]….[a]=[aa….a]=[a(n)], da cui la tesi a(n)1 (mod n).
