Cap. 18 Teoria cinetica dei gas

TEORIA CINETICA DEI GAS
Gas perfetto
•N molto grande
•Traiettorie classiche
•Interazione da sfere rigide, urti elastici
•Casualita’
vx
v
∑
=
jx
N
vx = v y = vz = 0
v
2
=
x =
2
v
∑ j
N
∑ xj
N
v =0
v 2j = v 2jx + v 2jy + v 2jz
1
= l
2
P ( x; x + Δx) =
v 2 = 3 vx2
Δx
l
PRESSIONE
Δp jx = p jxf − p ijx = m(−v jx ) − m(v jx ) = −2mv jx
J 'jx (dalla parete) = Δp jx = −2mv jx = − J jx
1
v jx Δt
P= 2
l
J = FΔt
1
v jx Δt mv 2 Δt
jx
J jx = 2mv jx 2
=
l
l
Fx
p=
=
ll
m∑ v 2jx
l3
pV = m∑ v
Jx =
2
jx
mΔt
v 2jx
∑
l
∑v
2
jx
=
Fx =
Jx
m
= ∑ v 2jx
Δt
l
N v2
3
pV =
Nm v 2
3
TEMPERATURA
Gas monoatomico →
1 2
U = ∑ mv j
2
1 2
∑ 2 mv j 1 ∑ v 2j 1 2
K =
= m
= m v
N
N
2
2
pV =
Nm v 2
3
3
U = nRT
2
2⎛1
⎞
= ⎜ Nm v 2 ⎟
3⎝ 2
⎠
U=
1
Nm v 2
2
2
pV = U
3
pV = nRT
L’energia di un gas perfetto e’ proporzionale alla
temperatura (scala Kelvin)
TEMPERATURA
N
n=
NA
3N
RT
3R
U 2N A
K = =
=
T
2N A
N
N
R
k=
= 1.38 × 10−23 J / K
NA
Velocita’ quadratica media
3
1
K = kT = m v 2
2
2
Costante di Boltzmann
vqm =
vqm
v2
3kT
=
m
3
K = kT
2
EQUIPARTIZIONE DELL’ENERGIA
3
K = kT
2
v 2j = v 2jx + v 2jy + v 2jz
1
1
1
1
2
2
2
m vx = m v y = m vz = kT
2
2
2
2
Principio di equipartizione
dell’energia
v 2 = 3 vx2
3 gradi di liberta’
traslazionali
⎛1 ⎞
E = η ⎜ kT ⎟
⎝2 ⎠
η = nr. di gradi di liberta'
EQUIPARTIZIONE DELL’ENERGIA
Gas biatomico
⎛1 ⎞
E = 5 ⎜ kT ⎟
⎝2 ⎠
1
V= kel x 2
2
Oscillatore armonico
⎛1 ⎞
E = 7 ⎜ kT ⎟
⎝2 ⎠
Non attivi a temperatura ambiente
CAPACITÀ TERMICHE DEI GAS IDEALI
CAPACITÀ TERMICA MOLARE A VOLUME COSTANTE
Se il sistema scambia con l’ambiente energia sotto forma di calore, tutta
l’energia si trasforma in energia interna del gas (energia cinetica), infatti
V è costante perciò non può essere compiuto lavoro esterno
Q = ΔU
Q
ΔU
CV =
=
nΔT nΔT
1 dU
CV =
n dT
„
Gas monoatomico
3
CV = R = 12.5 J/mole K
2
„
Gas biatomico
5
CV = R = 20.8 J/mole K
2
„
Gas poliatomico
CV = 3R = 24.1 J/mole K
CAPACITÀ TERMICA MOLARE
A PRESSIONE COSTANTE
Una trasformazione a pressione costante è
rappresentata nel piano di Clapeyron dal tratto
orizzontale (i-f)2 : in questa trasformazione la
temperatura varia da T a T+ΔT
Si considerano allora le due isoterme alle temperature T e T+ΔT. Poiché
tutti i punti di una isoterma corrispondono a stati che hanno la stessa
energia interna, in ogni trasformazione (1, 2, 3 …) che collega le due
isoterme si ha la stessa variazione di energia interna.
Questo vale in particolare per la trasformazione (i-f)1, a volume costante
Mentre nella trasformazione 1 la variazione di energia interna è dovuta
solamente al calore scambiato, nella trasformazione 2 è in parte dovuta
a lavoro esterno, che vale
L = pΔV
perciò:
Q2 = nC p ΔT
Q1 = ΔU = nCV ΔT
tenendo conto del I principio della termodinamica e dell’equazione di stato
dei gas perfetti:
ΔU = Q1 = Q2 − pΔV
nCV ΔT = nC p ΔT − pΔV = nC p ΔT − nRΔT
C p = CV + R
„
Gas monoatomico
„
Gas biatomico
„
Gas poliatomico
Relazione di Meyer
5
C p = R = 20.8 J/mole K
2
7
C p = R = 29.1 J/mole K
2
C p = 4 R = 33.3 J/mole K
Oscillazione
Effetti quantistici (H2)
Rotazione
Traslazione
E’ utile definire il
rapporto fra le capacità
termiche molari
„
Gas monoatomico
„
Gas biatomico
„
Gas poliatomico
γ=
Cp
CV
=
5
= 1.67
3
7
γ = = 1.40
5
4
γ = = 1.33
3
γ=
cp
cV
CAPACITÀ TERMICHE DEI SOLIDI
(1) Nel 1819 Doulong e Petit
notarono che le CAPACITA’
TERMICHE MOLARI A VOLUME
COSTANTE dei solidi sono circa
uguali a 25 J/mole K: la quantità
di calore per atomo necessaria per
variare la temperatura di un solido
di una data quantità è circa la
stessa per tutti i solidi
(2) La CAPACITA’ TERMICA MOLARE A VOLUME COSTANTE di un solido
dipende dalla temperatura: tende a 0 per TJ0 e a 25 J/mole K per temperature
sufficientemente elevate (al di sopra di un determinata temperatura, detta
temperatura di Debye, che dipende dalla sostanza). La meccanica statistica spiega
completamente questo comportamento tenendo conto della capacità degli atomi di
vibrare nel solido.
⎛1
⎞
U = N 6 ⎜ KT ⎟ =3nRT
⎝2
⎠
1 d
cv =
( 3nRT ) = 3R
n dT
IL I PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA
NELLE TRASFORMAZIONI REVERSIBILI
Processi adiabatici
Il sistema è isolato, perciò Q=0
dU = −δ L
pdV = δ L = −dU = − nCV dT
dU = nCV dT
d ( pV ) = d (nRT )
Vdp + pdV = nRdT
Vdp = + nCV dT + nRdT = nC p dT
(dalla relazione di Meyer)
nC p dT
Cp
Vdp
=
=−
= −γ
pdV − nCV dT
CV
dp
dV
= −γ
p
V
integrando termine a termine:
pB
VB
pB
VB
ln
= −γ ln
pA
VA
dp
dV
∫p p = −γ V∫ V
A
A
p AVAγ = pBVBγ
Si ottiene così la relazione fra pressione e volume nel caso di un
processo adiabatico
γ
pV = costante
adiabatica
isoterma
Da cui:
( pV )V γ −1 = costante
TV γ −1 = costante
DISTRIBUZIONE DELLE VELOCITA’
f (v) Funzione di distribuzione
ΔN = f (v)Δv
dN = f (v) dv
∞
N = ∫ f (v) dv
0
⎛ 1 2⎞
− mv ⎟
⎜
f (v) = Av 2 exp ⎜ 2
⎟
⎜ kT ⎟
⎝
⎠
Maxwell
⎛ m ⎞
A = 4π N ⎜
⎟
2
π
kT
⎝
⎠
3
2
DISTRIBUZIONE DELLE VELOCITA’
vqm =
v
2
3kT
=
m
∞
v =
∫ vf (v)dv
0
N
∞
v
8kT
=
πm
2
=
2
v
∫ f (v)dv
0
N
3kT
=
m
2kT
vP =
m