esercizi in preparazione compito in classe n. 1

TEMPERATURA E CALORE
Una sfera di rame (λ = 17 x 10-6) ha il raggio di 15,00 cm a 20°C; calcola il volume della sfera a
150°C
La legge della dilatazione volumica è espressa dalla relazione:
Vt = V0 (1 + 3λt )
Scriviamola per la temperatura di 20°C e per 150°C:
⎧V20 = V0 (1 + 3 ⋅ λ ⋅ 20 )
⎨
⎩V150 = V0 (1 + 3 ⋅ λ ⋅ 150 )
Risolviamo ricavando V0 dalla prima e sostituendo nella seconda::
V150 = V20
1 + 3 ⋅ λ ⋅ 150
1 + 3 ⋅ λ ⋅ 20
I dati del problema sono:
4
V20 = πR 3 = 14137 cm 3
3
λ = 17 × 10 −6 / °C
Sostituendo si ottiene:
V150 = 14137 ×
(1 + 3 × 17 × 10
(1 + 3 × 17 × 10
−6
−6
)
)
× 150
= 14231 cm 3
× 20
Some cookware has a stainless steel interior (α =17,3x10-6 K-1) and a copper bottom
(α=17,0x10-6 K-1) for better heat distribution. Suppose a 18 cm diameter pot of this
construction is heated to 610°C on the stove. If the initial temperature of the pot is 22°C, what
is the difference in diameter change for the copper and the steel?
Vediamo per prima cosa la traduzione del quesito:
Alcuni tipi di pentole hanno l’interno in acciaio (α =17,3x10-6 K-1) e il fondo in rame (α=17,0x10-6
K-1) per migliorare la distribuzione del calore. Supponi che una pentola da 18 cm di diametro
costruita in questo modo sia riscaldata su una stufa fino a 610°C. Se la temperatura iniziale della
pentola è 22°C, qual è la differenza nel cambiamento di diametro per il rame e l’acciaio?
Si tratta di un classico problema di dilatazione termica, nella quale dobbiamo utilizzare la formula:
ΔL = L0 ⋅ α ⋅ ΔT
con:
L0 = 18 cm = 0,18 m
ΔT = 610 − 22 = 588°C
Calcoliamo la dilatazione dell’ l’acciaio:
ΔL1 = 0,18 × 17,3 × 10 −6 × 588 = 0,00183 = 1,831 × 10 −3 m
e quella del rame:
ΔL2 = 0,18 × 17,0 × 10 −6 × 588 = 0,001799 = 1,799 × 10 −3 m
La differenza tra le due è quindi:
ΔL1 − ΔL2 = (1,831 − 1,799) × 10 −3 = 3,2 × 10 −5 m
Un recipiente contiene 200 g di acqua inizialmente alla temperatura di 20°C. In esso viene
immersa una pallina di ferro [cs = 448 J⋅ kg-1⋅ K-1] di massa 50 g. Dopo un po’ di tempo viene
raggiunto l’equilibrio termico e la temperatura raggiunta dal sistema è di 22°C. Determinare
qual era la temperatura iniziale della pallina di ferro, trascurando tutte le dispersioni.
Possiamo utilizzare la relazione che esprime la conservazione dell’energia nel passaggio di calore
tra la pallina e l’acqua:
→ c F m F (Tx − TE ) = c A m A (TE − T A )
QF = Q A
c F m F Tx = c F m F TE + c A m A (TE − T A )
T x = TE +
→
→
cAmA
(TE − TA ) = 22 + 4186 × 0,2 × (22 − 20) = 97°C
448 × 0,05
cF mF
Una pallina di piombo (cs = 128 J/(Kg ⋅ °K) di massa 50,0 g viene riscaldata ad una
temperatura di 100 °C e poi immersa in un calorimetro contenente 200 g di acqua
inizialmente alla temperatura di 22,0 °C. Calcolare la temperatura raggiunta all’equilibrio.
Per risolvere il problema dobbiamo ricordare la formula che dà la temperatura di equilibrio:
Te =
m p c p T p + ma c a Ta
m p c p + ma c a
sostituendo con i dati del problema si ha:
Te =
0,050 × 128 × 100 + 0,200 × 4186 × 22
= 22,6°C
0,050 × 128 + 0,200 × 4186
Una lastra di un certo materiale, di spessore uguale a 10 cm e superficie 0,5 m2, viene
attraversata da un flusso di calore pari a 5,25 J/s quando le sue facce sono mantenute
rispettivamente alla temperatura di 5°C e 20 °C. Calcolare la conducibilità termica del
materiale
La relazione che definisce la conducibilità termica è la seguente:
S
Q
= k ⋅ ⋅ ΔT
l
t
→ k=
Q
l
⋅
t S ⋅ Δt
Sostituendo con i dati del problema si ha quindi:
k=
5,25 × 0,1
= 0,07 J /( s ⋅ m ⋅ ° K )
0,5 × 15
Una tazza contenente 150 g di the inizialmente alla temperatura di 15°C viene riscaldata con
15 g di vapore inizialmente a 120°C. Calcolare la temperatura finale raggiunta dalla bevanda.
(Calore latente di vaporizzazione acqua = 2,25 × 106 J/Kg)
Per comodità conviene dividere il processo in tre fasi logiche:
fase 1: il vapore si raffredda fino alla temperatura di 100 °C
Assumendo per il vapore acqueo lo stesso calore specifico dell’acqua, il calore ceduto in questa
fase è pari a:
Q1 = c s ⋅ m ⋅ ΔT = 4186 × 0,015 × 20 = 1256 J
Assorbendo questa quantità di calore, l’acqua del the innalza la propria temperatura della
quantità:
ΔT =
Q1
1256
=
= 2 °C
c s ⋅ m 0,15 × 4186
e passa alla temperatura di 17 °C
fase 2: il vapore condensa
Nella condensazione viene ceduta una quantità di calore pari a:
Q2 = lV ⋅ m = 2,25 × 10 6 × 0,015 = 33750 J
Assorbendo questa quantità di calore, l’acqua del the innalza la propria temperatura della
quantità:
ΔT =
Q2
33750
=
= 53,7 °C
c s ⋅ m 0,15 × 4186
e passa alla temperatura di 70,7 °C
fase 3: il vapore, ormai diventato acqua a 100°C, raggiunge la temperatura di equilibrio con il resto
con il the che si trova a 70,7°C
La temperatura di equilibrio è data dalla relazione seguente:
T=
m1T1 + m2T2 0,015 × 100 + 0,150 × 70,7
=
= 73,4°C
0,015 + 0,150
m1 + m2
Una pallina di rame [cs = 387 J/(Kg×K)] di massa 90 g e temperatura 100 °C, viene immersa
in un calorimetro in cui si trovano 160 g di acqua alla temperatura di 20,0°C. Determinare la
temperatura raggiunta dal sistema all’equilibrio, trascurando tutte le perdite.
Possiamo applicare la relazione che fornisce la temperatura di equilibrio per due corpi posti in
contatto termico:
TE =
m1 ⋅ c s1 ⋅ T1 + m2 ⋅ c s 2 ⋅ T2 0,09 × 387 × 100 + 0,16 × 4186 × 20
=
= 24,1°C
0,09 × 387 + 0,16 × 4186
m1 ⋅ c s1 + m2 ⋅ c s 2
Una pallina di vetro (cs = 837 J/(Kg⋅K) di massa 30 g inizialmente alla temperatura di 80°C
viene immersa in un contenitore termicamente isolato in cui è contenuta dell’acqua che si
trova inizialmente ad una temperatura di 40°C. Il sistema raggiunge l’equilibrio ad una
temperatura di 41°C. Determinare la quantità di acqua presente nel contenitore.
Possiamo risolvere il problema ricorrendo al principio di conservazione dell’energia: il calore
ceduto dalla pallina (che inizialmente è a temperatura più alta) deve essere uguale a quello assorbito
dall’acqua (trascurando le dispersioni):
Q p = Qa
da cui:
m p cv (Tv − TE ) = ma c a (TE − Ta )
ma =
→ ma =
mv c v (Tv − TE )
c a (TE − Ta )
0,030 × 837 × (80 − 41)
= 0,234 Kg = 234 g
4186(41 − 40 )
Un anello di rame (α = 17×10-6 K-1) , che a 20°C ha un diametro di 5,000 cm, deve essere
infilato su una sbarra cilindrica di acciaio (α = 12×10-6 K-1) di diametro 5,010 cm, sempre alla
temperatura di 20°C. Calcolare la temperatura a cui devono essere riscaldati
contemporaneamente l’anello e la sbarra affinché ciò sia possibile.
Per risolvere il problema dobbiamo considerare che i duo corpi hanno inizialmente una dimensione
diversa ma, essendo diverso il loro coefficiente di dilatazione termica, deve esistere una temperatura
alla quale i due corpi avranno la stessa dimensione. La dimensione che consideriamo è la lunghezza
del diametro dell’anello e la lunghezza del diametro della sbarra. Dovrà essere:
L A = LS
La lunghezza di un oggetto è data dalla sua lunghezza iniziale sommata alla sua dilatazione termica,
quindi la relazione precedente diventa:
L0 A + ΔL A = L0 S + ΔLS
L0 A + L0 A ⋅ α A ⋅ ΔT = L0 S + L0 S ⋅ α S ⋅ ΔT
il significato dei simboli è il seguente:
L0A
αA
ΔT
L0S
αS
Diametro iniziale dell’anello = 5,000 cm
Coeff. dilatazione termica dell’anello = 17×10-6 K-1
Incremento di temperatura
Diametro iniziale sbarra = 5,010 cm
Coeff. dilatazione termica della sbarra = 12×10-6 K-1
A questo punto possiamo ricavare l’incremento di temperatura:
ΔT ⋅ (L0 A ⋅ α A − L0 S ⋅ α S ) = L0 S − L0 A
ΔT =
L0 S − L0 A
L0 A ⋅ α A − L0 S ⋅ α S
ΔT =
5,010 − 5,000
= 402°C
17 × 10 × 5,000 − 12 × 10 −6 × 5,010
−6
La temperatura a cui devono essere riscaldati i due oggetti è quindi:
T = 402° + 20° = 422° C
Una macchina da caffè produce vapore acqueo (cLV = 2,26×106 J/Kg) a 100°C che viene
utilizzato per scaldare un bicchiere contenente 80 cm3 di the (sostanzialmente acqua)
inizialmente alla temperatura di 8,0°C. La macchina immette nel the 2 g di vapore; calcolare
la temperatura raggiunta dalla bevanda, trascurando tutte le dispersioni.
Conviene suddividere idealmente il processo in due fasi successive:
fase 1: il vapore a 100°C si condensa in acqua a 100°C liberando il calore latente di vaporizzazione
Q = m ⋅ c LV = 2 × 10 −3 × 2,26 × 10 6 = 4520 J
con questo calore avremo un primo innalzamento di temperatura dell’acqua dato dalla relazione:
Q = m ⋅ c S ⋅ ΔT
→ ΔT =
Q
4520
=
= 13,5 ° C
m ⋅ c S 0,080 × 4186
la temperatura dell’acqua sale quindi a:
T1 = 8,0 + 13,5 = 21,5°C
fase 2: 2 g di acqua a 100°C vengono mescolati con 80 g di acqua a 21,5°C
La temperatura di equilibrio, quando si mescolano due quantità della stessa sostanza a temperature
differenti, è data dalla relazione:
TE =
m1T1 + m2T2
m1 + m2
→ TE =
0,002 × 100 + 0,080 × 21,50
= 23,4°C
0,002 + 0,080
Una palla di rame (α = 17×10-6) di raggio 1,3 cm, inizialmente alla temperatura di 22°C, viene
riscaldata finché il suo diametro aumenta di 0,20 mm. Calcolare la temperatura finale della
palla.
Applicando la nota formula per la dilatazione termica lineare, si ottiene subito:
ΔL = L0 ⋅ α ⋅ ΔT
→ ΔT =
ΔL
0,2 × 10 −3
= 452°C
=
L0 ⋅ α 2,6 × 10 −2 × 17 × 10 −6
La temperatura finale della palla è quindi:
T f = Ti + ΔT
→ T f = 474°C
Find the energy emitted every second by a human body assuming the following: external
temperature 21°C; body temperature 37°C; body surface 1,22 m2; emission coefficient 0,92;
σ = 5,67×10-8 W/(m2⋅ K4)
Iniziamo con la traduzione del testo:
“Trova l’energia emessa ogni secondo da un corpo umano assumendo quanto segue: temperatura
esterna 21°C; temperatura corporea 37°C; superficie corporea 1,22 m2;coefficiente di emissione
0,92”
Il problema si risolve applicando la legge di Stefan-Boltzmann:
(
P = e ⋅ σ ⋅ A ⋅ TB4 − TE4
)
(
)
P = 0,92 × 5,67 × 10 −8 × 1,22 × 310 4 − 294 4 = 112 W
Per preparare un cappuccino al bar, una tazza contenente 150 cm3 di caffè e latte,
inizialmente alla temperatura di 4 °C, viene riscaldata fino alla temperatura di 60° mediante
un getto di vapore (cL = 2,26×106 J/Kg) a 100°C. Calcolare la quantità di vapore necessaria,
assumendo che il cappuccino sia composto sostanzialmente di acqua e che sia trascurabile la
quantità di calore necessario per scaldare la tazza e quello disperso nell’ambiente.
Consideriamo per prima cosa la quantità di calore necessaria a riscaldare il cappuccino. Essa è data
dalla relazione:
Q = c s m1 ΔT1 = 4186 × 0,153 × 56 = 35866 J
Questa quantità di calore deve essere fornita da una quantità m2 (da calcolare) di acqua che prima
passa dallo stato di vapore a quello liquido, liberando il calore latente cL, e poi abbassa la propria
temperatura da 100°C a 60°C.
Si ha quindi:
Q = c L ⋅ m2 + c s ⋅ m2 ⋅ ΔT2
→ m2 =
Q
35866
=
= 0,0147 Kg
c L + c s ⋅ ΔT2 2260000 + 4186 × 40
Sono quindi necessari circa 15 g di vapore.
Un recipiente, di capacità termica trascurabile, contiene 250 cm3 di acqua inizialmente alla
temperatura di 25°C. Il recipiente viene messo nella celletta di un frigorifero e si osserva che
dopo 4 ore l’acqua è congelata completamente e ha raggiunto la temperatura di – 4°C.
Calcolare la quantità di calore che mediamente è stata sottratta ogni secondo dal frigorifero.
[Lf = 3,35×105 J/Kg; cs del ghiaccio = 2000 J/(Kg⋅K)]
Calcoliamo la quantità di calore che, complessivamente, è stata sottratta dall’acqua. Per comodità
suddividiamo il procedimento in 3 fasi:
fase 1: L’acqua viene portata da 25 °C a 0 °C
Q1 = c s ⋅ m ⋅ ΔT = 4186 × 0,250 × 25 = 26126 2 J
fase 2: L’acqua congela alla temperatura di 0 °C
Q2 = L f ⋅ m = 3,35 × 10 5 × 0,25 = 83750 J
fase 3: Il ghiaccio viene portato da 0 °C a – 4 °C
Q3 = c s ⋅ m ⋅ ΔT = 2000 × 0,25 × 4 = 2000 J
La quantità totale di calore sottratta all’acqua è quindi:
Q = 26126 + 83750 + 2000 = 111876 J
Il tempo richiesto è di 4 ore, cioè 14400 s.
La quantità di calore sottratta mediamente ogni secondo (cioè la potenza sottratta), è quindi:
P=
Q 111876
=
= 7,8 W
Δt 14400
GAS PERFETTI
Un gas alla temperatura di 27°C è contenuto in un recipiente di volume 16 litri, chiuso da un
pistone mobile, ad una pressione di 70 atmosfere. Il volume successivamente viene portato a
20 litri e la temperatura a 100°C; quale sarà la nuova pressione?
Ricordiamo l’equazione di stato dei gas perfetti:
PV = nRT
Applichiamola allo stato iniziale e a quello finale:
⎧ P1V1 = nRT1
⎨
⎩ P2V2 = nRT2
Ricaviamo n dalla prima equazione e sostituiamo nella seconda:
P2V2 P1V1
=
T2
T1
→ P2 =
P1V1T2
T1V2
I dati del problema sono:
P1 = 70 × 1,01 × 10 5 Pa
V1 = 16 l = 1,6 × 10 − 2 m 3
V2 = 20 l = 2,0 × 10 − 2 m 3
T1 = 27°C = 300° K
T2 = 100°C = 373° K
Sostituendo si ha:
70 × 1,01 × 10 5 × 1,6 × 10 −2 × 373
P2 =
= 70,3 × 10 5 Pa
−2
300 × 2,0 × 10
Calcolare la velocità quadratica media degli atomi di elio (p.a. 4,0026) alla temperatura di
20°C
Partiamo dalla relazione dell’energia cinetica media per un gas monotaomico:
Ec =
3
kT
2
→
1
3
2
mv qm = kT
2
2
→ v qm =
3kT
m
In essa m rappresenta la massa di un atomo di gas. Nel nostro caso è fornito il peso atomico, che
corrisponde alla massa, espressa in grammi, di una mole di gas, cioè alla massa di 6,02×1023 atomi.
Dobbiamo quindi ricavare la massa m, espressa in Kg, di un atomo. Procediamo come segue:
m=
p.a. × 10 −3
6,02 × 10 23
→ m=
4,0026 × 10 −3
= 6,65 × 10 − 27 Kg
6,02 × 10 23
si ha inoltre:
T = 20°C = 293° K
Sostituendo i valori nella formula si ha:
v qm =
3 × 1,38 × 10 −23 × 293
= 1351 m / s
6,65 × 10 − 27
Due moli di gas perfetto sono contenute inizialmente in un recipiente di volume 16 litri ad una
pressione di 650 KPa; successivamente viene aperta una valvola di sfogo e in questo modo la
pressione scende a 300 KPa e la temperatura diminuisce di 200°C. Quante moli di gas sono
uscite?
Dobbiamo applicare l’equazione di stato dei gas perfetti:
PV = nRT
per prima cosa determiniamo la temperatura iniziale, sostituendo i dati del quesito:
PV 6,5 × 10 5 × 16 × 10 −3
T=
=
= 626 K
nR
2 × 8,31
Dopo che la valvola viene aperta, la temperatura scende di 200°C (ovviamente possiamo dire che
scende anche di 200 K), la pressione scende a 300 KPa mentre il volume del recipiente,
naturalmente, rimane invariato. Utilizziamo ancora una volta l’equazione di stato per determinare il
numero di moli di gas in queste condizioni:
n=
PV 3 × 10 5 × 16 × 10 −3
=
= 1,35
8,31 × 426
RT
Possiamo quindi affermare che sono uscite dal contenitore 0,65 moli di gas
Two moles of Helium gas are placed in a special, high pressure portable container with a
volume of 25 cm3. Find the pressure of the gas and the average kinetic energy of a molecule
knowing that the temperature is -100°C
Iniziamo con la traduzione del testo: “Due moli di gas elio sono collocate in uno speciale
contenitore ad alta pressione di volume 25 cm3.Trova la pressione del gas e l’energia cinetica
media di una molecola sapendo che la temperatura è –100°C”
Per rispondere al primo quesito basta applicare l’equazione di stato dei gas perfetti:
PV = nRT
nRT
V
→ P=
→ P=
2 × 8,31 × 173
= 1,15 × 10 8 Pa
25 × 10 −6
Per rispondere al secondo ricordiamo l’espressione dell’energia cinetica media per una particella di
gas monoatomico (infatti l’elio, essendo un gas nobile, si presenta in forma monoatomica):
Ec =
3
kT
2
→ Ec =
3
× 1,38 × 10 − 23 × 173 = 3,58 × 10 − 21 J
2
Un contenitore di volume 515 cm3 contiene 0,460 g di gas a una pressione di 153 KPa e
temperatura di 49° C. Calcolare il peso molecolare di questo gas
Per calcolare il peso molecolare del gas, possiamo usare la relazione:
M =
m grammi
n
dove n è il numero di moli che possiamo ottenere dall’equazione di stato dei gas perfetti:
PV = nRT
→ n=
PV
RT
→ n=
1,53 × 10 5 × 515 × 10 −6
= 0,029
8,31 × 322
Si ha quindi:
M =
0,460
= 15,9
0,029
Tre moli di un gas perfetto monoatomico sono contenute in un recipiente chiuso alla
temperatura iniziale di 20 °C; successivamente la temperatura viene portata a 200°C
mantenendo invariato il volume. Calcolare il lavoro compiuto dal gas e il calore assorbito.
Osserviamo che la trasformazione è isocora, quindi il lavoro è nullo. Il calore assorbito è quindi pari
alla variazione di energia interna del gas. Si ha quindi:
3
3
⋅ n ⋅ R ⋅ ΔT = × 3 × 8,31 × 180 = 6731 J
2
2
Una bombola contiene 114 g di ossigeno molecolare O2 alla temperatura di 30 °C. Calcolare
l’energia interna del gas
Q = ΔU =
L’energia interna, per un gas perfetto biatomico, è data dalla relazione:
U=
5
nRT
2
Per risolvere il problema dobbiamo quindi calcolare il numero di moli presenti. Osserviamo che una
mole di ossigeno molecolare corrisponde a 16×2 = 32 g. Nella bombola sono presenti 114 g di
ossigeno, quindi il numero di moli è:
n=
114
= 3,56 mol
32
a questo punto, dopo aver espresso la temperatura in gradi kelvin, si ha:
U=
5
nRT
2
→ U=
5
× 3,56 × 8,31 × 303 = 22409 J
2
Often, in the urban air, there are very subtle pollutants particles, whose mass is of the order
of 10-20 Kg. Find the mean square velocity of these particles when the temperature is 30° C
Iniziamo con la traduzione del testo:
“Spesso, nell’aria urbana, sono sospese piccolissime particelle inquinanti, la cui massa è
dell’ordine di 10-20 Kg. Determina la velocità quadratica media di queste particelle quando la
temperatura è di 30 °C”
Per risolvere il problema dobbiamo assumere che le particelle costituiscano un gas perfetto. In
questo caso la velocità quadratica media è espressa dalla relazione:
v=
3kT
3 × 1,38 × 10 −23 × 303
= 1,1 m / s
=
m
1 × 10 − 20