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Massimo e minimo limite di una successione
Definizione 1.1 Sia (an ) una successione di numeri reali. Si dice che M ∈ R è un maggiorante definitivo per la successione (an ) se esiste un numero n0 ∈ N tale che
an ≤ M, per ogni n ≥ n0 .
Se la successione (an ) è limitata superiormente, l’insieme dei maggioranti non è vuoto ed ogni
maggiorante è un maggiorante definitivo; il viceversa non è però, in generale, vero. Se la successione (an ) non è limitata superiormente, allora l’insieme dei maggioranti definitivi è vuoto, cosı̀
come è vuoto, ovviamente, l’insieme dei maggioranti.
Esempio 1.2
Consideriamo la successione (an ), con an = n1 , n ∈ N+ . I maggioranti sono i numeri reali maggiori o
uguali a 1; i maggioranti definitivi sono tutti i numeri reali positivi.
Definizione 1.3 Indichiamo con M l’insieme dei maggioranti definitivi della successione
(an ). Il massimo limite della successione (an ) è definito da
inf M se M =
6 ∅
.
max lim an =
+∞
se M = ∅.
n→∞
Le definizioni di minorante definitivo e di minimo limite sono ovvie modificazioni delle precedenti
e non le diamo qui esplicitamente.
Esempio 1.4
Consideriamo la successione (an ), con an = (−1)n . Sono maggioranti definitivi tutti e soli i numeri reali
x con x ≥ 1 e minoranti definitivi tutti e soli i numeri y con y ≤ −1. Si ha, quindi,
min lim (−1)n = −1,
max lim (−1)n = 1.
n→∞
n→∞
Esempio 1.5
Consideriamo la successione (an ), con
an =
2n
2−n
se n è pari
se n è dispari .
Questa successione non è limitata superiormente. Quindi,
max lim an = +∞.
n→∞
D’altra parte, ogni numero reale non positivo è un minorante definitivo (ed anche minorante). Dunque,
min lim an = 0.
n→∞
1
Esempio 1.6
Consideriamo ancora la successione (an ), con an = n1 . Nell’Esempio 1.2 abbiamo visto che l’insieme dei
maggioranti definitivi è costituito da tutti i numeri reali k > 0. Quindi
max lim an = 0.
n→∞
Se k 0 < 0, allora k 0 < n1 , per ogni n ∈ N+ . Tutti i numeri negativi sono, quindi, minoranti e, a maggior
ragione, minoranti definitivi. D’altra parte, se k 0 > 0, allora k 0 non è un minorante definitivo. In
conclusione, in questo caso,
max lim an = min lim an = 0.
n→∞
n→∞
Quindi, sia il massimo limite sia il minimo limite coincidono con il limite della successione.Questo fatto
non è casuale, come vedremo tra poco.
Proposizione 1.7 Se (an ) è una successione di numeri reali, allora
min lim an ≤ max lim an .
n→∞
n→∞
La dimostrazione è lasciata al lettore.
Teorema 1.8 Una successione (an ) ha limite a se, e soltanto se
max lim an = min lim an = a.
n→∞
Dimostrazione – Sia a =
n→∞
lim an . Allora, per ogni > 0, esiste n ∈ N tale che, per ogni n ≥ n ,
n→+∞
risulta a − < an < a + . Dalla definizione stessa segue allora che a − è, per ogni > 0, un minorante
definitivo. Analogamente, a + è, per ogni > 0, un maggiorante definitivo. Si ha, perciò,
a − ≤ min lim an ≤ max lim an ≤ a + .
n→∞
n→∞
Dall’arbitrarietà di segue l’asserto.
Viceversa, sia
max lim an = min lim an = a.
n→∞
n→∞
(1)
Allora, se > 0, a − 2 è un minorante definitivo; di conseguenza, esiste n(1)
∈ N tale che, per n ≥ n ,
∈
N
tale
a − < a − 2 ≤ an . Analogamente, a + 2 è un maggiorante definitivo; di conseguenza, esiste n(2)
(1)
(2)
che, per n ≥ n(2)
, an ≤ a + 2 < a + . Se n = max{n , n }, le due disuguaglianze precedenti valgono
contemporaneamente. Quindi lim an = a
n→+∞
Lemma 1.9 Sia (an ) una successione e sia a = max lim an . Allora, per ogni > 0, esistono
n→∞
infiniti numeri naturali tali che
a − < an < a + .
2
Dimostrazione – Se a = max lim an , allora a +
n→∞
2
è, per ogni > 0, un maggiorante definitivo. Ne
segue che esiste n ∈ N tale che, per n ≥ n , risulti an ≤ a + 2 < a + . D’altra parte a − < a e quindi
a − non è un maggiorante definitivo. Di conseguenza esistono infiniti valori di n per cui
an > a − (1)
Per tutti gli infiniti n per cui si realizza la (1) e tali che n > n risulta, allora,
a − < an < a + .
Teorema 1.10 Sia (an ) una successione e sia a = max lim an . Allora da (an ) si può
n→∞
estrarre una sottosuccessione (ank ) convergente ad a.
Dimostrazione – Il caso in cui max lim an = +∞ è banale. Supponiamo, quindi, a < +∞. Dal
n→∞
Lemma 1.9 segue che per, ogni > 0, esistono infiniti numeri naturali tali che
|an − a| < .
Scelto = 1, sia n1 un naturale tale che |an1 − a| < 1. Scegliamo ora = 21 e sia n2 un naturale tale
che n2 > n1 e |an2 − a| < 21 . Procediamo cosı̀ di passo in passo, e, per = k1 sia nk un naturale tale che
nk > nk−1 e |ank − a| < k1 . È immediato verificare che la sottosuccessione (ank ) cosı̀ costruita converge
ad a.
}} Osservazione 1.11 Utilizzando il Teorema 1.10 si può dare una dimostrazione alternativa e molto
rapida del Teorema di Bolzano - Weierstrass: Da una successione limitata si può estrarre una sottosuccessione convergente. Infatti, se la successione (an ) è limitata, allora a = max lim an è finito. Il Teorema
n→+∞
1.10 assicura, allora, che da (an ) si può estrarre una sottosuccessione convergente (ad a).
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