le figure geometriche piane dal geopiano ai contesti reali con il

Unità di apprendimento per competenze.
LE FIGURE GEOMETRICHE PIANE DAL GEOPIANO AI CONTESTI
REALI CON IL TEOREMA DI PICK.
Elena Venturini
Scuola secondaria di I grado di Mortegliano
IC Mortegliano-Castions
Le figure geometriche piane dal geopiano ai contesti reali con il teorema di Pick
INTRODUZIONE
Questo percorso didattico per competenze si colloca nell'area di contenuto matematico
“Spazio e forma”, quindi rientra nell'ambito della geometria.
La geometria (etimologia: misura della terra) nasce come disciplina fortemente radicata
all'esperienza reale e diventa scienza matematica che studia le proprietà geometriche dei
corpi: forma, grandezza e trasformazioni.
La geometria come scienza è una disciplina non sperimentale, basata sulla correttezza
formale del ragionamento e sulla coerenza di un sistema formale.
Nella
geometria per la didattica è fondamentale il rapporto tra intuizioni connesse
all’esperienza e ragionamento geometrico.
Diverse ricerche hanno evidenziato che gli apprendimenti in geometria non sono facilitati
se il punto di partenza sono gli enti primitivi e gli assiomi (solitamente la didattica della
geometria nella scuola secondaria di I grado ha questo punto di partenza); in questo
modo, infatti, prende forma
tra gli studenti l'idea che la geometria sia qualcosa di
completamente scollegato dalla realtà e quindi di inutile. E' proprio per questo che gli
alunni spesso si domandano o chiedono esplicitamente all'insegnante “a cosa serve la
geometria”. Si tratta di una chiara richiesta di competenza matematica, intesa come
capacità di attivare l’insieme delle conoscenze e
delle abilità di tipo matematico per risolvere problemi con cui si devono confrontare nella
loro vita e nei quali la matematica offre un aiuto importante per la risoluzione.
Per dare una doverosa risposta a questa richiesta risulta utile sviluppare gli apprendimenti
in geometria ribaltando la prospettiva tradizionale, quindi le definizioni e gli assiomi della
geometria diventano il punto di arrivo della didattica e non quello di partenza.
Autore: Elena Venturini – IC di Mortegliano, Scuola Secondaria di I grado
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PRESENTAZIONE DEL PERCORSO DIDATTICO
Questo percorso didattico si propone di affrontare lo studio delle aree delle figure piane
sfruttando il Teorema di Pick.
Il teorema di Pick permette di calcolare con una semplice formula l'area di poligoni
semplici (non intrecciati) i cui vertici siano su un piano a coordinate intere .
L'applicazione di questo teorema può essere utilizzata:- per rafforzare la capacità di
calcolo delle aree, -per calcolare con facilità l'area di figure composte, -per calcolare l'area
di poligoni concavi (che non vengono mai trattati nella didattica della scuola secondaria di I
grado, ma che sono comunemente riscontrabili nella realtà).
CONOSCENZE E ABILITA'
-
saper definire e distinguere i concetti di area e perimetro
-
conoscere e saper applicare le formule per il calcolo dell'area di poligoni convessi
-
saper rappresentare graficamente e su supporto elettronico figure geometriche piane
COMPETENZE
-
riconoscere nella realtà poligoni semplici concavi o convessi
-
saper scomporre figure piane riscontrabili nella realtà riconducendole a poligoni
semplici convessi
-
individuare i contesti reali in cui è possibile applicare la formula del teorema di Pick,
per calcolare rapidamente un'area
-
saper dedurre una formula a partire da un certo numero di osservazioni
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STRATEGIE E METODI
Un elemento di problematicità nello studio della geometria è sicuramente la distinzione tra
perimetro e area: diverse ricerche hanno evidenziato che
un numero significativo di
studenti tende a confondere questi concetti nella scuola secondaria di I grado. L'utilizzo
dei geopiani per costruire/rappresentare le figure piane si è dimostrato particolarmente
utile per chiarire tali concetti.
Sono chiamati “geopiani” alcuni strumenti didattici adatti a favorire l’esperienza
geometrica. Ideati dal matematico pedagogista inglese Caleb Gattegno, sono efficaci a
diversi livelli di apprendimento. Tale sussidio è costituito da una tavoletta di legno sulla
quale è disegnato un reticolato i cui nodi sono messi in evidenza con dei chiodini o delle
viti; fra di essi si possono tendere degli elastici di diverso colore (Fig. 1)
Sui geopiani si possono tracciare le più diverse figure; diviene così possibile rappresentare
e studiare numerose differenti situazioni geometriche: relative alla forma e alle proprietà
delle figure, alle dimensioni ed estensioni, problemi di simmetria, di similitudine, di
classificazione ed altri ancora. Con un geopiano a 9 chiodi si possono ottenere tutti i tipi di
quadrilateri: quadrati, rombi, rettangoli, parallelogrammi, trapezi....
Con un geopiano a 25 chiodi si possono costruire molti angoli oppure introdurre i primi
concetti sul piano cartesiano o proporre esercizi sulla simmetria assiale e su quella
centrale o sulla determinazione dell’area di figure poligonali. Naturalmente aumentando il
numero dei chiodi del geopiano, aumentano anche le situazioni che si possono proporre.
E' bene tenere presente l’opportunità che gli allievi riproducano sul quaderno le situazioni
e i risultati realizzati sul geopiano.
Molti esperti in didattica hanno evidenziato che per facilitare gli apprendimenti in geometria
è fondamentale ricorrere alla dimensione dell'operatività, procedimento attivo di ricerca
che, a partire da osservazioni, strutturazioni, esperimenti, porta alla formazione di concetti,
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al possesso di procedimenti ed, infine, alla formulazione di regole, di leggi.
Lo sviluppo cognitivo corrispondente alla fascia di età 11-14 anni risulta essere una fase
critica nella quale il ragazzo manifesta una certa capacità di generalizzare, di astrarre, di
dedurre sempre a partire, però, da osservazioni e manipolazione di oggetti concreti.
Questo percorso didattico prevede la strategia del problem solving, facendo lavorare i
ragazzi in gruppi di lavoro eterogenei composti da 3-4 alunni ciascuno.
MATERIALI
Geopiani di tutte le forme e dimensioni; l'ideale è avere a disposizione un geopiano
quadrato formato da 100 punti totali, in modo da avere uno spazio sufficiente per esplorare
diverse formule additive per il calcolo dell'area.
Qualora non vi fosse diponibilità di tali materiali per le attività previste è sufficiente
utilizzare dei fogli a quadretti, righello e matita o riproduzioni di geopiani diponibili online.
Fig.1
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PERCORSO DIDATTICO
Il percorso didattico che prevede l'introduzione del teorema di Pick si inserisce dopo la
trattazione delle aree delle figure piane. Al fine di ottenere con maggiore facilità gli
apprendimenti obiettivo di questo percorso, è auspicabile che la trattazione delle aree dei
poligoni convessi abbia previsto l'utilizzo di geopiani o di procedimenti quali il Tangram, in
modo da aver favorito la dimostrazione visiva del significato delle formule.
L'attività prevede, innanzi tutto, di riproporre le formule per il calcolo dell'area dei diversi
poligoni convessi: rettangolo, quadrato, parallelogrammo, triangolo, trapezio, rombo...
stimolando nuovamente il confronto tra le figure e tra le formule.
Questa attività di ripasso prevede di costruire i diversi poligoni sul geopiano e di riflettere
sul significato delle formule deducendole per equicomposizione.
Successivamente si chiede a ogni gruppo di studenti di costruire sul geopiano alcuni
rettangoli con diverse dimensioni, ad esempio come quelli rappresentati in Fig.2 e di
calcolarne l'area con la classica formula bxh.
Fig.2
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Si invitano quindi gli alunni a: pensare ad una formula per il calcolo dell'area che tenga
conto
solo
dei
punti
del
contorno
e
di
quelli
interni
ai
rettangoli.
La formula deve essere valida per tutti i rettangoli disegnati: Si può permettere l'utilizzo
della calcolatrice, in quanto le abilità su cui si devono concentrare le energie degli studenti
non sono le abilità di calcolo. E' bene ricordare agli studenti che la formula classica del
calcolo dell'area del rettangolo deve essere utilizzata solo come confronto con il risultato
delle formule proposte e non come punto di partenza per dedurre questa nuova formula.
La prima parte dell'attività si completa nel momento in cui i diversi gruppi di alunni,
ciascuno con un diverso livello di informazioni guida fornite dagli insegnanti, hanno
dedotto la nuova formula.
Successivamente si propone di verificare la validità della formula ottenuta per altri poligoni
(triangoli, rombi, trapezi...) attuando sempre un confronto con la formula classica studiata
precedentemente.
A questo punto l'insegnante può proporre, se non lo fanno autonomamente gli alunni, di
esplorare la “potenza” del teorema di Pick andando a costruire un poligono semplice,
concavo, composto per addizione di diversi poligoni semplici convessi.
Un esempio può essere quello in Fig.3
Fig.3
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A questo punto si chiederà di calcolare l'area di questa figura con i due metodi noti:
-scomposizione della figura data nei diversi poligoni convessi semplici di cui si conoscono
le formule e calcolo dell'area totale per addizione delle singole aree.
-applicazione della formula di Pick
Gli studenti verificheranno autonomamente che i due procedimenti portano allo stesso
risultato in tempi molto diversi.
Si potrà, quindi, presentare formalmente il teorema di Pick con la sua relativa formula
introducendo anche alcuni importanti riferimenti di storia della matematica.
E fondamentale chiarire da subito agli allievi la “limitazione” del teorema: permette di
calcolare l'area di figure i cui vertici sono i punti di un piano a coordinate intere.
Il teorema di Pick afferma che l'area di un qualunque poligono semplice i cui vertici sono
punti del reticolo è data dalla formula
A = I+(P/2)-1
con
I = numero punti del reticolo interni alla figura
P = numero punti del reticolo sul perimetro della figura
Sarà, quindi importante guidare alcune riflessioni sui contesti in cui risulta particolarmente
utile applicare la formula. Si ricorrerà a mappe di terreni (in particolare pioppeti), piante di
edifici, foto di oggetti in modo da stimolare una riflessione condivisa su quali siano le
situazioni in cui
è più conveniente applicare il classico calcolo delle aree per
scomposizione in poligoni convessi e successiva addizion e quali situazioni, invece si
prestano al rapido calcolo proposto dalla formula di Pick.
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VALUTAZIONE
Si prevede di effettuare la valutazione con due modalità.
Innanzitutto si chiede agli alunni di proporre una relazione sul percorso seguito, chiarendo
bene le conoscenze di partenza, gli strumenti e le modalità di lavoro, le riflessioni prodotte
e il risultato raggiunto.
Per la valutazione di questa prova si propone una rubrica di valutazione, che faciliti
l'individuazione dei diversi livelli di competenza raggiunti.
Successivamente il percorso può essere valutato proponendo una prova scritta in cui si
richiede di applicare le diverse modalità di calcolo dell'area conosciute, di distinguere i
contesti in cui è possibile sfruttare il calcolo rapido con la formula di Pick. Questi quesiti
saranno strutturati preferibilmente a partire da contesti reali in modo da verificare
l'acquisizione della competenza matematica.
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BIBLIOGRAFIA E SITOGRAFIA
Geddes D et al. (1992). Geometry in the Middle Grades. Reston, VA: National Council of
Teachers of Mathematics. (Activity 5D on p. 37 is entitled “Patterns on a Geoboard”;
Activity 5E, “Pythagorean Theorem”, also uses the geoboard.)
Lenzi D (2004) Una semplice dimostrazione del Teorema di Pick. Intervento al 3°
convegno nazionale ADT "Matematica, Formazione Scientifica e nuove tecnologie''
Luongo A, Marino M.,Il ruolo della matematica nel reale
Spikell MA (1993). Teaching Mathematics with Manipulatives: A Resource of Activities for
the K–12 Teacher. Boston: Allyn and Bacon. (Chapter 2 is entitled “Motivating the
Pythagorean Theorem with Geoboards”.)
Pozio S, La competenza matematica dei quindicenni. Capitolo 5. rapporto nazionale PISA
2006
http://www.matematicamente.it/approfondimenti/83-matematica
http://mathforum.org/trscavo/geoboards/biblio.html
http://www.scribd.com/doc/41294110/Geoboards-in-the-Classroom
http://www.museoinformatica.it/
http://matematicamedie.blogspot.com/2009/05/il-teorema-di-pick-conta-ipunti.html
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