Misure di Termologia
prof. Chiefari
Marzo 2014
Capitolo 7
Misure di Termologia
7.1
Introduzione
Le grandezze fisiche che hanno importanza in Termologia sono la temperatura, che si misura
con il termometro, e la quantita di calore , che si misura con il calorimetro .
Anello di Gravesande (Fig.I ) : una sfera
passa a "freddo" attraverso un anello rna
non vi passa pili a "caldo".
Fig.I·
Una barra di rame AB ( Fig.2 ) ha una lunghezza variabile : pili
Fig.2
1
e lunga e pili scotta.
Pili in generale esistono grandezze fisiche 'IjJ che variano con la temperatura T :
• Ie dimensioni geometriche di un corpo ( in generale esse aumentano all'aumentare di
T
• la pressione di un gas, tenuto a volume costante, aumenta con T
• la resistenza elettrica specifica di una sostanza in generale aumenta con T
Si puo misurare allora la temperatura, facendo misure di 'IjJ, purche venga definito un
procedimento di taratura, ossia venga stabilita una corrispondenza tra 'IjJ e T.
Un latto importante : sperimentalmente si nota che la generica grandezza 'IjJ rimane
costante durante il cambiamento di stato di una generica sostanza, che costituisca l'ambiente
in cui tale grandezza e misurata. Se ne deduce allora che anche T rimane costante durante
i cambiamenti di stato.
Fissiamo allora l'attenzione su due diversi cambiamenti di stato, cui corrispondono T 1 e
T2 • Per valori intermedi di temperatura, potremo scrivere la seguente relazione lineare :
'IjJ(T) - 'IjJ(TI)
ossla
7.2
Cella a punto triplo dell'acqua
...--vapore
Si usa un recipiente a doppia parete, come in Fig.3,
nella cui intercapedine si introduce acqua distil­
lata. All'interno viene posta una miscela frigorife­
ra ( per es. acetone e ghiaccio secco ) e vi viene
tenuta finche una parte dell'acqua si sia solidifi­
cata.
......!iiI--- ghiaccio
'B~_acqua
Fig.3
In seguito il ghiaccio tended!. a sciogliersi, rna finche tale processo e In corso Ie tre fasi
coesistono in equilibrio termico. Un termometro introdotto all'interno del recipiente puo
essere COS! tarato a 273.16 K . Da not are che la pressione nell'intercapedine e quella del
vapore saturo d'acqua, che risulta ~ 4.59 mm di mercurio.
2
Avendo fissato la temperatura del punto triplo dell'acqua 273.16 K , la temperatura
del ghiaccio fondente, a pressione atmosferica, vale 273.15 K ( pari a DOC), mentre quella
dell'ebollizione dell'acqua, sempre a pressione atmosferica, vale 373.15 K ( pari a 100°C ).
T = 273.15
+
100
1/J(T) - 1/J(273.15K)
K
1/J(373.15K) -1/J(273.15K)
oppure
La dipendenza di 1/J da T e caratteristica della sostanza termometrica. Un caso notevole
e quello del gas perfetto ( idealizzazione di un gas reale lontano dalle condizioni critiche ) in
cui la variazione di volume ~ V e data da
~V =
con a =
7.3
27i.15K-1,
V - YO = Voa(T - To)
indipendente dal gas usato.
Quantita di calore
• Un sistema si dice in equilibrio termico quando ogni sua parte e alla stessa temperatura
• due sistemi, se coesistono, mantenendo ciascuno una temperatura costante e diversa
da quella dell'altro, sono per definizione termicamente isolati, altrimenti si dice che
sono in contatto termico
Si puo vedere sperimentalmente che due sistemi omogenei di masse ml e m2 e temperature
iniziali T1 e T 2 , con T1 :::; T 2 , posti in contatto termico fra di loro rna termicamente isolati da
qualunque altro sistema, raggiungono, dopo un certo tempo, una temperatura di equilibrio
T* tale che
clml(T* - Td
= -C2m2(T* -
T 2)
con T1 :::; T* :::; T 2 • I due membri dell'espressione precedente vengono interpretati come
quantita di calore scambiate da due sistemi ( il corpo a temperatura pili alta "cede" calore,
l'altro 10 " assorbe" ) .
Le grandezze
Cl
e C2 sono i calori specifici delle due sostanze. La grandezza
C=mc
prodotto della massa per il calore specifico viene detta Capacita termica. Da notare che
per una certa sostanza non esiste un solo calore specifico, rna bisogna anche specificare la
trasformazione termodinamica. Per i solidi e per i liquidi di solito la pressione e costante e
il calore specifico definito prima e in realta il calore specifico a pressione cost ante.
7.4
Scambi di calore
I meccanismi base secondo i quali avvengono gli scambi di calore sono riconducibili all'irrag­
giamento, alIa conduzione e aHa convezione.
3
7.4.1
E dovuto
L'irraggiamento
aile onde elettromagnetiche. Vale la legge di Stefan:
dW
4
d S = arT
dove d W e la potenza emessa dall'elemento di superficie d S, u = 5.735 X 10- 8 in unita
S.L, Tela temperatura in Kelvin, E una grandezza adimensionale, che varia Ira 0 e 1 e che
dipende dalla natura della superficie che emette. Per superfici speculari E vale 0 ( es. il
comune thermos ) ; per superfici nere E vale l.
Tra due superfici, affacciate l'una ail'altra, a temperature T1 e T 2 con T 1 S T 2, la quantita
di calore scambiata Q e proporzionale a El E2(Ti - Tt), ossia
Da notare la dipendenza dalla quarta potenza della temperatura.
L'irraggiamento e il meccanismo con cui la Terra riceve energia dal Sole, il quale emette
una potenza di circa 3.9 X 10 26 W.
7.4.2
La cond uzione
II calore viene trasmesso tramite contatto stretto tra due corpi a temperature differenti.
In condizioni di regime, la quantita di calore dQ trasmessa nell'unita di tempo dt Ira due
estremi di un corpo che si trovino a temperature diverse T 1 e T 2 , e data da
dove 0, detta conducibilita termica, dipende dalla natura del contatto, cresce con la superficie
trasversa rispetto alIa direzione di propagazione del calore e diminuisce con la distanza.
Per esempio, se consideriamo un parallelepipedo 0 un cilindro omogeneo con Ie basi
opposte alle temperature T 1 e T 2 e la superficie laterale isolata termicamente, vale la relazione
dove S e la superficie di ognuna delle due basi, d la loro distanza eke la conducibilita termica
specijica.
7.4.3
La convezione
Si ha quando si verificano scambi di calore all'interno dei fluidi.
Una parte del fluido, riscaldandosi, si dilata : la diminuzione di densita ne provoca 10
spostamento verso l'alto. Si ha un rimescolamento continuo del fluido e una propagazione
del calore molto pili rapida che per pura conduzione. Cio vale se il riscaldamento avviene
dal basso, altrimenti si ha solo conduzione.
4
-------
7.4.4
-------
Conduzione esterna
Si ha quando si verifica uno scambio di calore fra un mezzo ed un altro, ad es. nel raffred­
damento di un corpo immerso in un fluido ( che puo essere ad es. l'aria , l'acqua, ... ). Lo
scambio di calore avviene attraverso la superficie del corpo e cooperano a cio conduzione,
convezione ed emissione di energia raggiante.
Newton ha trovato ( Legge di Newton del raffreddamento )che
~Q =
hS ~t
~T
dove ~Q e la quantita di calore scambiata, S e la superficie disperdente, ~t e la durata
delI'esperienza e ~T e la differenza tra la temperatura del corpo, nei punti prossimi alIa sua
superficie S, e la temperatura delI'ambiente, supposto isotermo, nei punti tanto lontani dal
corpo da non risentire sensibilmente delI'introduzione del corpo caldo nelI'ambiente stesso.
La legge vale solo se ~T si riduce a poche decine di gradi .
La grandezza h e il coefficiente di conducibilta esterna e dipende dalla natura e dalIo stato
( lucido, opaco, ... ) della superficie del corpo, dalIa natura e dalIe condizioni delI'ambiente
e dipende moltissimo dalle condizioni di calma 0 di agitazione del fluido circostante.
Da notare la somiglianza formale con la legge della conduzione.
7.5
Termometri
Si possono effettuare misure di temperatura da 10- 3 K fino a 10 4 K per ognuna delle quali
bisogna usare un diverso tipo di termometro. Nella pratica di laboratorio si usera il comune
termometro a liquido.
7.5.1
I Termometri a liquido
Sono costituiti da un bulbo di vetro, connesso con un capillare anche esso di vetro e conte­
nente un opportuno liquido.
Per effetto di una certa variazione di temperatura, sia il contenitore sia illiquido subis­
cono una variazione di volume rna la diversita dei coefficienti di dilatazione determina una
variazione del livello del liquido nel capillare. Tale variazione di livello viene assunta come
misura della variazione della temperatura che l'ha provocata e una scala tarata suI capillare
consente la lettura diretta.
Soglia e portata
Soglia e portata sono legate aIle temperature di solidificazione e di ebollizione del liquido.
Inoltre a circa 500°C il vetro comincia a deformarsi. II vetro si comporta come un liquido
molto viscoso e quindi la taratura del termometro andrebbe controllata frequentemente.
5
Sensibilita
La scnsibilita S del termometro viene definita come
S
=
dh
dT
dove h c l'altezza del liquido nel capillare e Tela temperatura. Se la sezione del capillare
A e costante,
dV
Adh
V
V
e, se vogliamo una scala lineare,
dV
V
= a6.T
da cui
a V6.T
A
in cui Veil volume del liquqido, C a un parametro che tiene conto dei coefficienti di
dilatazione del liquido e del vetro. Quindi
Adh
=
a6.T
dh
->
=
V
S= aV
A
Fissato illiquido e il vetro ( ossia fissato a ), per aumentare S bisogna aumentare V ( il che
implica una minore prontezza ) 0 diminuire A ( rna e molto difficile mantenere A costante
lungo il capillare se A c molto piccolo ).
Per il mercurio, 1a legge di dilatazione e lineare entro 4 x 10- 6
usato nei comuni termometri a liquido.
:
ecco perche esso viene
Precisione ed errore di sensibilita
L'attrito esistente fra la superficie interna del capillare e il liquido fa sl che non sempre
il livello del liquido si fermi scmpre alla stessa quota quando il termometro si porta ad
una stessa temperatura: questo determina la precisione del termometro. A questo punto c
inutile avere un errore di sensibilita molto pili piccolo dell'errore di precisione. Tipicamente
in laboratorio ogni divisione della scala vale 0.1 - 0.2 ae.
Prontezza
Se un termometro a temperatura iniziale T 1 viene posta in un ambiente a temperatura T2 ,
esso assorbe 0 cede una quantita di calore, legata alla sua capacita termica C dalla relazione
6.Q
= C6.T
Per piccoli valori di 6.T, dQ = CdT. Questa quantita di calore non viene scambiata istan­
taneamente, rna seguendo la legge dQ = 8[T2 - T(t)]dt, dove T(t) c la temperatura del
termometro all'istante t e 8 e la conducibilita termica esterna della parcte di vetro del bulbo.
CdT
=
!5[T2
6
-
T(t)]dt
Ponendo
T
=
C/ 8 e separando Ie variabili
dT
dt
In[T2
T
t
-
T(t)] = - T
+ costante
Da cui
T2
At
= 0, T(O) = T1
La costante
mometro.
T
t
-
T(t) = ke--;
con k cost ante di integrazione
e quindi
ha Ie dimensioni di un tempo ed
L'andamento di T(t) in funzione del tempo
minore e T 0 quanto pili pronto e il termometro.
e chiamata
tempo caratteristico del ter­
e esponenziale,
tanto pili rapido quanto
Se si grafica su scala semilogaritmica
si ottiene una retta : vedremo fra breve come fare per determinare la variabile indipendente
fra t e In 2- 1 al fine della determinazione di in laboratorio.
T;.-Tj.t)
T
Bisogna osservare pero che ci sono almeno due errori sistematici. II primo e dovuto al
fatto che i termometri a liquido sono tarati in condizioni di immersione totale. II secondo
e dovuto al fatto che si e supposta costante la temperatura dell'ambiente, anche quando
si immerso il termometro : non
la stessa cosa immergere il termometro in una
pentola d'acqua bollente oppure in una goceia d'olio bollente. Se la capacita termica
dell'oggetto di cui si vuole misurare la temperatura e Ca , dopo un certo tempo da quando si
e immerso il termometro nell'oggetto in esame, si raggiunge una temperatura di equilibrio
T*, tale che
e
e
ossla
T*
=
T2
T1
l+~
+l+~
Co.
C
Ne segue che la temperatura dell'oggetto varia nel tempo, a partire dal valore iniziale T 2 fino
al valore finale T*.
Solo se
Ca
C ~ Ca, 1 + C
per cm
Se questo non
e vero, allora istante per istante vale :
7
---+ 00
da cui
rna
C) T * = T + l+gGt T
(1 + -C
1+ c
a
2
a
per
CT1
= T 2 + -C
a
CUI
Ta(t)
=
(1 +~)
T* C
a
Siccome dQ
= <5[Ta(t) - T(t)]dt,
e sempre uguale a C dT,
~T(t)
C
a
sfruttando la precedente relazione
dQ
che
1
= <5[T* -
T(t)]
(1 + ga) dt
per cui
£ (1
dT
_
T* - T(t) - C
~) dt _ dt
+ Ca
- T*
dove
e la nuova costante di tempo e
T(t)
= T*
t
- (T* - Tde--;O
Si vede aHora che T( t) tende al valore T* con un andamento esponenziale con costante di
tempo T* :S T. Analogamente si puo vedere che
t
FigA
Le cose vanno come se ognuno dei due sistemi ( vedi FigA ) tendesse a mettersi in equilibrio
termico con un ipotetico sistema a temperatura T* e capacita termica infinitamente grande.
e' e da notare che l'equilibrio e raggiunto pili rapidamente, visto che T* :S T.
8
'( .0
UetermlnaZIOne Sperlmentale aena costante al tem­
po di un termometro
Gli strumenti a disposizione sono :
1. cronometro, al centesimo di secondo
2. termometro, al decimo di DC
3. thermos, contenente ghiaccio fondente a temperatura T 1 ( C 0 DC la temperatura del
ghiaccio fondente, quando e costituito da una mescolanza di ghiaccio puro e dalla sua
acqua distillata di fusione alla pressionc di una atmosfera normalc, ossia Po = 101.325
N/m2
)
4. bollitore, posta su un fornellino elettrico, contenente acqua a temperatura T 2 ( e 100 DC
la temperatura del vaporc d'acqua puro a contatto con acqua distillata bollente alIa
pressione di una atmosfera normale )
L'esperimento idealc potrebbe essere condotto come segue. Si pone il termometro inizial­
mente nel thermos a temperatura T 1 , poi s'immerge il termometro nel bollitore e contem­
poraneamente si fa partire il cronometro. Se fosse possibile inquadrare ad es. mediante una
cinepresa contemporaneamente termometro e cronometro si avrebbero delle coppie di punti
(t, T) che possono essere graficati. In realta bisogna scegliere se lavorarc a tempi oppure
temperature prefissate, ossia, fissato un certo tempo t fare una distribuziane statistica delle
misure di T oppure, fissata una certa temperatura T, ottenere una distribuziane statistica
di t.
Il primo metoda e abbastanza sconsigliabile, perche richiede la presenza attiva di due
operatori ( uno che guarda il cronomctro, l'altro che guarda il termometro ) e nascono
problerni di sincronismo fra i due apcratori.
Il secondo metoda puo essere portato avanti da un solo operatorc che guarda il ter­
mometro e arresta il cronometro, quando la temperatura c salita al valore desiderata. Se
questa misura viene ripetuta per almena 20 volte, si puo avere una ragianevole distribuzione
statistica di t, ricavarne il valore medio e l'errore della media.
Si puo controllare rozzamente se i dati sonG significativi, graficando T in funzione di t e
vederc se la curva c grosso modo esponenzialc :
se
Per t =
T,
T(T) = 100(1 -
~) = 63 DC
e
e quindi basta leggere il tempo corrispandente a 63 DC per avere una grossolana stima di T.
Se i dati sono ragionevoli, bisogna attendersi che
9
dove il termine a contiene l'effetto di possibili errori sistematici, quali la ritardata 0 anti­
cipata partenza del cronometro. Bisogna adesso capire fra t e In T~;!J:) chi e la variabile
indipendente. Se fissiamo
R = T 2 - T(t)
T 2 -T1
si puo vedere che se !:J.T2 = !:J.T1
(
come accade, perche si usa un solo termometro )
Se si lavora a T fissata, si puo assumere che !:J.T2
= !:J.T e
!:J.ln R = T 2 !:J.T
2 -T
Tipicamente!:J.T
= 0.2 °C e T2 - T varia fra 70°C ( T = 30°C) e 5°C ( T = 95°C ), sicche
6
mentre
X
10- 3
::;
!:J.lnR::; 0.08
!:J.ln R
1 % ::; lIn R I
::; 3 %
7-
( e ~ 2 % a T = 30°C, e ~ 1 % a T = 60°C ). Nelle condizioni di mlsura ,
e
dello stesso ordine di grandezza dell'errore relativo su In R: sorge allora il problema di
decidere se e t 0 In R la variabile indipendente e di come combinare l'errore statistico su t
con l'errore massimo su In R. Conviene in questo caso considerare In R come variabile
indipendente, priva di errore .
Effet tuando il fit t = a + bIn R, con b = - 7 , e possibile ricavare la migliore stima dei
parametri a e b ( e quindi di 7 ) e la relativa matrice di covarianza, dopo avere controllato
il valore del X 2 •
7.7
Possibili errori sistematici nell'uso in laboratorio
del termometro a mercurio
Fissiamo adesso la nostra attenzione su tre dei possibili errori sistematici, che si possono
avere nella lettura di un termometro a mercurio, usato in laboratorio..
1. II primo e legato al fatto che il termometro viene tarato in condizioni di immersione
totale. In laboratorio invece solo il bulbo ed una parte della colonna di liquido sono
contenuti nell'ambiente, di cui si vuole misurare la temperatura, mentre il resto del
termometro e ad una temperatura pros sima a quella dell'ambiente esterno. Si puo
vedere che il termine correttivo e dato da
c
= ,n(T - t)
con
10
• I : differenza fra i coefficienti di dilatazione termica fra il mercurio e il vetro ;
dipende dalla temperatura, rna si puo considerare costante ne'uso di laboratorio
e pari a 0.00016 se Ie temperature si misurano in gradi Celsius.
• n : altezza della colonna sporgente di mercurio, espressa in gradi Celsius.
• T : temperatura da misurare
• t : temperatura media della colonna sporgente, che si determina con un altro
termometro, il cui bulbo
e posta in vicinanza della colonna sporgente.
Consideriamo un esempio, tratto dal Pancini e supponiamo di avere un termometro,
immerso fino al punto della scala corrispondente a 20 °C e indicante una temperatura
di 84.76 °C. La colonna sporgente n e data allora da n = 84.76 - 20 = 64.76 ~
65°C. Supponiamo che con un altro termometro si conosca la temperatura media
della colonna sporgente, ad es. 38 0 C. La correzione per la colonna sporgente si ottiene
da
c = 0.00016 x 65 x (85 - 38) = 0.49 °C
e data da 84.76 + 0.49 = 85.25 °C.
sistematico e legata al fatto che, quando un
e una stima pili corretta della temperatura T
2. Un'altra possibile causa di errore
ter­
mometro e raffreddato rapidamente da un'alta temperatura, i1 vetro del termometro
non si contrae immediatamente alIa sua dimensione originale. In questa condizione
10 sperimentatore effettuerebbe una lettura suI termometro pili bassa di quella che si
dovrebbe avere a menD che non aspetti per un certo intervallo di tempo, che dipende
dalla natura del vetro, finche il termometro non raggiunga una condizione di equilibrio.
3. Un'altra possibile fonte di errore, che si ha quando bisogna leggere della scale graduate,
e l'errore di parallasse ( Fig.5 ).
• la pOSlZlOne a) ongma una lettura
inferiore a quella reale
• la posizione c) origina una lettura
superiore a quella reale
c, --
• la posizione b) e quella corretta
Fig.5
11
