LE PROPORZIONI
La proporzione è un’uguaglianza tra due rapporti. Es 3:4 =6:8
In generale una proporzione si indica usando le lettere: a:b=c:d
a e c sono antecedenti nei loro rispettivi rapporti così come b e d sono i conseguenti.
In una proporzione il 1° e l’ultimo termine si dicono estremi, il 2° e il 3° medi. Es
a:b = c:d
Una proporzione si dice continua se ha i medi uguali. Il medio si dirà medio proporzionale, il 4° termine si dirà terzo proporzionale.
Es
9:6 = 6:4. Generalizzando
a:b =b :c
Per verificare che 4 numeri dati con un ordine preciso formino una proporzione bisogna applicare la proprietà fondamentale.
Proprietà fondamentale: Quattro numeri dati con un ordine preciso formano una proporzione se il prodotto degli estremi è uguale al prodotto dei medi
Es: 8 :7 =16 :14
Verifico: medio x medio1 = 7 x 16 =112
Estremo x estremo1 =8 x 14 = 112. I numeri dati nell’ordine, formano una proporzione
Es: 5 : 7 =12 :14
Verifico: medio x medio1 = 7 x 12 =84
Estremo x estremo1 =5 x 14 = 70. I numeri dati nell’ordine, non formano una proporzione
PROPRIETA’ DELLE PROPORZIONI
Proprietà dell’ invertire : In una proporzione se si scambiano gli antecedenti con i propri conseguenti si ottiene una nuova proporzione:
a:b = c :d applicando la proprietà b:a = d:c
Es: 9 :10 =18 :20 applicando la proprietà
10: 9 = 20 :18
Proprietà del permutare: In una proporzione se si scambiano:
a. i medi tra loro;
b. Gli estremi tra loro;
c. Sia i medi che gli estremi tra loro si ottengono nuove proporzioni:
Data la proporzione 5:3 =10:6
a:b = c :d a:b = c :d a:b = c :d applicando la proprietà a
applicando la proprietà b
applicando la proprietà c
a:c = b:d
d:b = c :a
d:c = b :a
5:10 = 3 :6
6:3 =10:5
6:10 = 3 :5
Proprietà del comporre: In una proporzione la somma del 1° e del 2° termine sta al 1°
o al 2° come la somma tra il 3° e il 4° termine sta al 3° o al 4°. Si ottengono sempre
proporzioni diverse
Es: a:b=c:d
applico la proprietà: (a+b) :a =(c+d) :c oppure (a+b) :b = (c+d) : d .
Se nel primo rapporto scelgo come secondo termine l’antecedente devo fare la stessa cosa con il secondo rapporto, lo stesso ragionamento deve essere seguito se si sceglie il conseguente.
Es : 4 :2 = 12 :6 applico la proprietà (4+2) :4 = (12+6):12 (4+2) :2 = (12+6):6
cioè cioè 6 :4 = 18 :12
6 :2 = 18 :6
Proprietà dello scomporre: In una proporzione la differenza tra il 1° e il 2°
termine sta al 1° o al 2° come la differenza tra il 3° e il 4° termine sta al 3° o al 4°. Si ottengono sempre proporzioni diverse
Es: a:b=c:d applico la proprietà: (a‐b) :a =(c‐d) :c oppure (a‐b) :b = (c‐d) : d .
Se nel primo rapporto scelgo come secondo termine l’antecedente devo fare la stessa cosa con il secondo rapporto, lo stesso ragionamento deve essere seguito se si sceglie il conseguente.
Es : 4 :2 = 12 :6 (4‐2) :4 = (12‐6):12 (4‐2) :2 = (12‐6):6 applico la proprietà cioè cioè 2 :4 = 6 :12
2 :2 = 6 :6
RICERCA DEL TERMINE INCOGNITO
Il termine incognito si indica con la lettera x, esso può essere un estremo o un medio. Se il termine incognito è un estremo per calcolare il suo valore si procede in questo modo:
mxm1
x 1
e
x: m = m1: e1
Per calcolare l’estremo incognito si moltiplicano i medi e si divide il prodotto per l’estremo noto
30 x12
Es : x : 30 = 12 :4
x
90
4
Per calcolare il medio incognito si moltiplicano gli estremi e si divide il prodotto per il medio noto
e : x = m1 : e1
Es : 24:x = 12 : 4
exe1
x 1
m
x
24 x 4
8
12
CALCOLO DEL MEDIO PROPORZIONALE
Per calcolare il medio proporzionale (proporzione continua) si esegue la radice quadrata del prodotto degli estremi.
e: x= x :e1
x exe1
Es : 4 : x =x : 9
x 4 x9 36 6
CASI PARTICOLARI
Non sempre la risoluzione di una proporzione è immediata, a volte bisogna applicare delle proprietà prima di procedere alla ricerca del valore del termine incognito.
Es : (20 – x ) : x = 3 : 7
Grazie all’uso dei colori si comprende che : 20‐x è l’antecedente, x è il conseguente, nell’altro membro 3 è l’antecedente, 7 è il conseguente. Se applichiamo la proprietà del comporre scegliendo come conseguenti il 2° e il 4° termine avremo:
(20‐x +x) : x = (3+7) :7; le x interne alla parentesi si eliminano , quindi
20 : x =10 : 7
A questo punto abbiamo solo un medio incognito, quindi :
x
20 x7
14
10
avremo
Se la x si trova sia al 1° che al 2° membro dovrò portarle prima nello stesso membro applicando le proprietà note
9:x = 12 : (7‐x)
Applico il permutare gli estremi, la proporzione diventa
(7‐x) : x =12 :9
Se applichiamo la proprietà del comporre scegliendo come conseguenti il 2° e il 4°
termine avremo:
(7‐x+x): x =(12+9) :9
le x interne alla parentesi si eliminano, avremo 7 :x = 21 :9.
Il termine incognito è un medio, quindi
x
7 x9
3
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CATENA DI RAPPORTI UGUALI
L’uguaglianza tra più di due rapporti costituisce una catena di rapporti uguali
In una catena di rapporti uguali valgono le proprietà dell’invertire e del comporre.
Spesso, nella risoluzione di alcuni esercizi in cui bisogna calcolare il valore di tutti gli antecedenti o di tutti i conseguenti ci può aiutare la proprietà del comporre, perché la somma degli antecedenti sta alla somma dei conseguenti come un antecedente sta al proprio conseguente
Es : Determina tre numeri sapendo che la loro somma è 150 e che stanno tra loro come 2, 3,5
Indichiamo i tre numeri rispettivamente con le lettere x, y, z. Avremo x+y+z =150 inoltre
x : 2 = y :3 = z:5
applicando la proprietà:
(x+y+z) : (2+3+5) = x: 2
150:10=x:2
x=30
y=45
(x+y+z) : (2+3+5) = y: 3
150:10=y:3
(x+y+z) : (2+3+5) = z: 5
150:10=z:5
z=75
