3_Rapporti e proporzioni

Rapporti e proporzioni
Def:
Si dice RAPPORTO FRA DUE NUMERI, il secondo dei quali sia
diverso da zero, il quoziente ottenuto dividendo il primo per il
secondo.
𝒂∶𝒃=
𝒂
𝒃
a e b si dicono TERMINI del rapporto e il primo si chiama
ANTECEDENTE, mentre il secondo CONSEGUENTE.
OSSERVAZIONE:
Il rapporto fra due numeri si può rappresentare come:
DIVISIONE
3:2
7:2
FRAZIONE
𝟑
𝟐
𝟕
𝟐
NUMERO DECIMALE
1,5
3,5
Proprietà INVARIANTIVA dei rapporti:
Ogni rapporto non varia moltiplicando o dividendo i suoi termini per
uno stesso numero diverso da zero.
Esempio:
12 12 ∶ 3 4 2
=
= = = 0, 6̅
18 18 ∶ 3 6 3
12 12 ∙ 2 24 2
=
=
= = 0, 6̅
18 18 ∙ 2 36 3
1
Def:
Se in un rapporto si scambia l’antecedente con il conseguente, si
ottiene un NUOVO RAPPORTO, detto RAPPORTO INVERSO o
RECIPROCO.
3 4
Esempio: il rapporto inverso di è .
4 3
Regole per trovare l’antecedente o il conseguente in un
rapporto.
Per trovare l’antecedente:
si porta il conseguente dall’altra parte dell’uguale, cambiando di
segno, ovvero moltiplicando.
Es:
Es:
2
1
=1+
3
5
2 5+1
𝑥∶ =
3
5
2 6
𝑥∶ =
3 5
6 2 4
𝑥 = ∙ =
5 3 5
3
𝑥∶ =6
4
3 9
𝑥 =6∙ =
4 2
𝑥∶
Per trovare il conseguente:
bisogna portare l’incognita dall’altra parte dell’uguale, cambiando di
segno, quindi moltiplica;
poi si “isola” l’incognita portando dall’altra parte il numero, che
cambiando di segno divide.
2
Es:
20: 𝑥 = 4
20 = 4 ∙ 𝑥
 4 ∙ 𝑥 = 20
𝑥 = 20: 4 = 5
6: 𝑥 =
3
4
3
6= ∙𝑥
4
3
∙𝑥 =6
4
3
4
𝑥 = 6: = 6 ∙ = 8
4
3
Rapporto fra Grandezze Omogenee
Def:
Due grandezze si dicono omogenee se è possibile confrontarle e
stabilire se una di esse è maggiore o minore o uguale all’altra; si
esprimono qcon la stessa unità di misura.
Def:
Il rapporto tra due grandezze omogenee è uguale al rapporto fra le
rispettive misure ed è un numero.
Esempio:
il rapporto tra la base di un rettangolo e la sua altezza
̅̅̅̅
𝐴𝐵 = 10 𝑐𝑚
̅̅̅̅
𝐴𝐵
Rapporto: 𝐵𝐶
=
̅̅̅̅
̅̅̅̅
𝐵𝐶 = 4 𝑐𝑚
10 𝑐𝑚
4 𝑐𝑚
5
=2
3
Def:
due grandezze omogenee si dicono:
COMMENSURABILI
se il loro rapporto è un numero
RAZIONALE
 ammettono un sottomultiplo
comune
INCOMMENSURABILI
se il loro rapporto è un numero
IRRAZIONALE
non ammettono sottomultipli
comuni
Esempio:
esempio:
due lati di un rettangolo, lato e diagonale di un quadrato
altezza e ipotenusa di un
triangolo,…..
Rapporto fra Grandezze Non Omogenee
Def:
due grandezze si dicono NON omogenee se non è possibile
confrontarle e non possono essere espresse con la stessa unità di
misura.
Def:
il RAPPORTO FRA DUE GRANDEZZE NON OMOGENEE è il quoziente
fra le loro misure ed è un’altra grandezza non omogenea a quelle date
e il cui valore dipende dalle unità di misura delle due grandezze date.
Esempio:
300km 60km

 60 km
h
5h
h
4
PROPORZIONI
Def:
PROPORZIONE è l’uguaglianza di due rapporti.
Quattro numeri formano una proporzione se il rapporto fra il primo e
il secondo è uguale al rapporto fra il terzo e il quarto.
a:b  c:d
ANTECEDENTI
CONSEGUENTI
MEDI
a:b  c:d
ESTREMI
NOTAZIONE:
una proporzione si legge: “a sta a b come c sta a d”
Def:
Se una proporzione ha i medi uguali si dice CONTINUA e il termine
medio si dice MEDIO PROPORZIONALE e l’ultimo termine si dice
TERZO PROPORZIONALE.
𝑎: 𝑐 = 𝑐: 𝑏
TERZO PROPORZIONALE
MEDIO PROPORZIONALE
5
Esempio:
5: 10 = 10: 20
3: 27 = 27: 243
3
1
Perché 27 = 9 e
27
1
= 9 questi due rapporti sono uguali!
243
Proprietà
1. Proprietà fondamentale delle proporzioni:
il prodotto degli estremi è uguale al prodotto dei medi
𝑎: 𝑏 = 𝑐: 𝑑  𝑎 ∙ 𝑑 = 𝑏 ∙ 𝑐
Esempio:
9 : 14 = 27 : 42
9 ∙42 = 14 ∙ 27
9
27
= 42
14
378=378  è una proporzione!
Definizione di PROPORZIONE:
Quattro numeri formano una proporzione se il prodotto del
primo per il quarto è uguale al prodotto del secondo per il
terzo.
2. Proprietà dell’invertire:
se in una qualsiasi proporzione si scambia ogni antecedente con
il suo conseguente, si ottiene una nuova proporzione.
𝒂: 𝒃 = 𝒄: 𝒅
𝒃: 𝒂 = 𝒅: 𝒄
6
 Si ottiene il rapporto inverso.
Es.
3 : 6 = 7 : 14
prop. invertire 6 : 3 = 14 : 7
3. Proprietà del permutare:
se in una qualsiasi proporzione si scambiano fra loro i due medi
o i due estremi o entrambi, si ottiene una nuova proporzione.
𝒂: 𝒃 = 𝒄: 𝒅
𝒂∙𝒅=𝒃∙𝒄
Scambio i medi
Scambio gli estremi
Scambio medi ed estremi
𝒂: 𝒄 = 𝒃: 𝒅
Perché 𝒂 ∙ 𝒅 = 𝒄 ∙ 𝒃
𝒅: 𝒃 = 𝒄: 𝒂
Perché 𝒅 ∙ 𝒂 = 𝒃 ∙ 𝒄
𝒅: 𝒄 = 𝒃: 𝒂
Perché 𝒅 ∙ 𝒂 = 𝒄 ∙ 𝒃
Es.
3 : 6 = 7 : 14
Scambio i medi  3 : 7 = 6 : 14 perché 7 ∙ 6 = 3 ∙ 14 = 42
Scambio gli estremi  14 : 6 = 7 : 3 perché 6 ∙ 7 = 14 ∙ 3 = 42
Scambio medi ed estremi  14 : 7 = 6 : 3 perché 7 ∙ 6 = 14 ∙ 3 = 42
4. Proprietà del comporre:
in ogni proporzione la somma del primo e del secondo termine
sta al primo (o al secondo) termine, come la somma del terzo e
del quarto sta al terzo (o al quarto) termine.
𝒂: 𝒃 = 𝒄: 𝒅
7
I CASO:
(𝑎 + 𝑏): 𝑎 = (𝑐 + 𝑑): 𝑐
II CASO:
(𝑎 + 𝑏): 𝑏 = (𝑐 + 𝑑): 𝑑
Es.:
3 : 6 = 7 : 14
I caso:
(3+6) : 3 = (7 + 14) : 7
9:3=21:7 prop.fond. 9 ∙ 7 = 21 ∙ 3 = 63
II caso:
(3 + 6) : 6 = (7 + 14) : 14
9 : 6 = 21 : 14  p. fond. 9 ∙ 14 = 6 ∙ 21 = 126
5. Proprietà dello scomporre:
se in una proporzione il primo termine è maggiore del secondo e
il terzo è maggiore del quarto, la differenza fra il primo e il
secondo sta al primo (o al secondo) come la differenza fra il terzo
e il quarto sta al terzo (o al quarto).
𝒂: 𝒃 = 𝒄: 𝒅
I CASO:
(𝑎 − 𝑏 ): 𝑎 = ( 𝑐 − 𝑑 ): 𝑐
II CASO:
(𝑎 − 𝑏 ): 𝑏 = ( 𝑐 − 𝑑 ) : 𝑑
8
OSSERVAZIONE:
se il primo termine è minore del secondo, si deve applicare la
PROPRIETA’ DELL’INVERTIRE e poi quella dello SCOMPORRE.
Es. :
3 : 6 = 7 : 14 prop. invertire
6 : 3 = 14 : 7
(6-3) : 6 = (14 - 7) : 14 prop. scomporre
3 : 6 = 7 : 14
Calcolo del termine incognito di una proporzione
Data una proporzione con un termine incognito, risolverla significa
trovare il valore di quel termine applicando le proprietà delle
proporzioni.
 I CASO:
calcolo di un ESTREMO incognito
Esempio:
𝒂∶𝒃=𝒄∶𝒙
12:8=3:x
Regola:
per la PROPRIETÀ FONDAMENTALE, 𝑎 ∙ 𝑥 = 𝑏 ∙ 𝑐, quindi
𝒙=
24
 𝑥 = 8∙3
= =2
12
12
𝒃∙𝒄
𝒂
infatti 12:8=3:2
9
In ogni proporzione un estremo incognito è uguale al prodotto dei
medi diviso l’altro estremo.
𝑴𝑬𝑫𝑰𝑶 ∙ 𝑴𝑬𝑫𝑰𝑶
𝑬𝑺𝑻𝑹𝑬𝑴𝑶 =
𝑬𝑺𝑻𝑹𝑬𝑴𝑶
Esempio: 𝑥 ∶ 16 = 5 ∶ 20
𝑥=
16∙5
20
80
= 20 = 4
 II CASO
calcolo di un MEDIO incognito 𝒂 ∶ 𝒃 = 𝒙 ∶ 𝒅
Regola:
per la PROPRIETÀ FONDAMENTALE, 𝑎 ∙ 𝑑 = 𝑏 ∙ 𝑥, quindi
𝒂∙𝒅
𝒙=
𝒃
In ogni proporzione un medio incognito è uguale al prodotto degli
estremi diviso l’altro medio.
𝑴𝑬𝑫𝑰𝑶 =
Esempio:
𝑬𝑺𝑻𝑹𝑬𝑴𝑶 ∙ 𝑬𝑺𝑻𝑹𝑬𝑴𝑶
𝑴𝑬𝑫𝑰𝑶
4 ∶ 𝑥 = 5 ∶ 20
𝑥=
4∙20
5
=
80
5
= 16
 III CASO:
proporzione CONTINUA
𝒂∶𝒙=𝒙∶𝒅
Regola:
per la PROPRIETÀ FONDAMENTALE, 𝑥 ∙ 𝑥 = 𝑎 ∙ 𝑑
 𝑥2 = 𝑎 ∙ 𝑑
𝒙 = √𝒂 ∙ 𝒅
10
In ogni proporzione continua il medio incognito è uguale alla radice
quadrata del prodotto degli estremi.
𝑴𝑬𝑫𝑰𝑶 = √𝑬𝑺𝑻𝑹𝑬𝑴𝑶 ∙ 𝑬𝑺𝑻𝑹𝑬𝑴𝑶
Esempio:
3: 𝑥 = 𝑥: 27
𝑥 = √3 ∙ 27 = √81 = 9
 IV CASO:
calcolare due numeri di cui sono noti la somma o la
differenza e il loro rapporto.
Es:
𝑎 + 𝑏 = 28
𝑎
3
=
𝑏
4
𝒂: 𝒃 = 𝟑: 𝟒
dato che nei dati c’è la SOMMA dei due numeri, applichiamo la
PROP. del COMPORRE
(𝒂 + 𝒃): 𝒂 = (𝟑 + 𝟒): 𝟑
𝟐𝟖: 𝒂 = 𝟕: 𝟑
𝟐𝟖 ∙ 𝟑
𝒂=
= 𝟏𝟐
𝟕
𝒃 = 𝟐𝟖 − 𝟏𝟐 = 𝟏𝟔
Es:
𝑥−𝑦 =6
𝑥: 𝑦 = 5: 3
11
Applico la prop. dello SCOMPORRE
(𝑥 − 𝑦): 𝑥 = (5 − 3): 5
6∙5
6: 𝑥 = 2: 5

𝑥=
15 − 𝑦 = 6

𝑦 = 15 − 6 = 9
2
= 15
 V CASO:
usare le proprietà necessarie a seconda dei casi.
 Esempio:
(5 − 𝑥 ) ∶ 𝑥 = 12 ∶ 8  obiettivo: “eliminare –x”
Applico la propr. del COMPORRE
(5 − 𝑥 + 𝑥 ): 𝑥 = (12 + 8) ∶ 8
5 ∶ 𝑥 = 20 ∶ 8
 𝑥=
5∙8
=2
20
 Esempio:
(20 + 𝑥 ): 𝑥 = 7 ∶ 3  obiettivo: “eliminare +x”
Applico la prop. dello SCOMPORRE
(20 + 𝑥 − 𝑥 ): 𝑥 = (7 − 3) ∶ 3
20 ∶ 𝑥 = 4 ∶ 3
 𝑥=
20∙3
4
= 15
12
 Esempio:
(8 − 𝑥 ): 9 = 𝑥 ∶ 3
 applico la prop. del PERMUTARE I MEDI
(8 − 𝑥 ): 𝑥 = 9 ∶ 3
 applico la pro. del COMPORRE
(8 − 𝑥 + 𝑥 ): 𝑥 = (9 + 3) ∶ 3
8 ∶ 𝑥 = 12 ∶ 3
 𝑥=
3∙8
12
=2
Def:
L’uguaglianza di tre o più rapporti costituisce una SUCCESSIONE DI
RAPPORTI UGUALI.
Si risolve applicando la PROPRIETÀ DEL COMPORRE:
la somma di tutti gli antecedenti sta alla somma di tutti i conseguenti
come un antecedente sta al suo conseguente.
𝒂: 𝒃 = 𝒄: 𝒅 = 𝒆: 𝒇
Esempio:
4:2=6:3=8:4
Propr. del comporre
(4 + 6 + 8) : (2 + 3+ 4) = 4 : 2
18 : 9 = 4 : 2
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Esercizio:
calcola tre numeri aventi per somma 180, tali che stanno fra loro
come i numeri 2,3,4.
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 180
𝑎: 2 = 𝑏: 3 = 𝑐: 4
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ): (2 + 3 + 4) = 𝑎: 2
180: 9 = 𝑎: 2 𝑎 =
180∙2
9
= 40
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ): (2 + 3 + 4) = 𝑏: 3
180: 9 = 𝑏: 3 𝑏 =
180∙3
9
= 60
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ): (2 + 3 + 4) = 𝑐: 4
180: 9 = 𝑐: 4 𝑐 =
180∙4
9
= 80
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