Le frazioni e le proporzioni Prof. Walter Pugliese Le frazioni e le proporzioni Se una macchina per percorrere 60 km consuma 3 litri di benzina, diremo usando un linguaggio comune che la stessa auto per percorrere 120 km consumerà in proporzione 6 litri di benzina. Cioè: !" # = %&" ! oppure si può scrivere 60 ∶ 3 = 120 ∶ 6 Possiamo allora dare la seguente definizione: Una proporzione è un’uguaglianza tra due rapporti. Quindi un’uguaglianza tra due frazioni equivalenti è una proporzione. Proprietà fondamentale delle proporzioni In una proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi a:b=c:d ó bc=ad Esempio: 2 ∶ 5 = 4 ∶ 10 ó 5 0 4 = 2 0 10 Proprietà del comporre In ogni proporzione, la somma dei primi due termini sta al primo (o al secondo) termine come la somma dei due restanti termini sta al terzo (o al quarto) termine. a:b=c:d ó (a+b) : a = (c+d) : c a:b=c:d ó (a+b) : b = (c+d) : d Esempio: Data la proporzione 4 : 8 = 10 :20 si ha: (4+8) : 4 = (10+20) : 10 ó 12: 4 = 30: 10 Oppure (4+8) : 8 = (10+20) : 20 ó 12: 8 = 30: 20 Proprietà dello scomporre In ogni proporzione, la differenza dei primi due termini sta al primo (o al secondo) termine come la differenza dei due restanti termini sta al terzo (o al quarto) termine. a:b=c:d ó (a-b) : a = (c-d) : c a:b=c:d ó (a-b) : b = (c-d) : d Esempio: Data la proporzione 8 : 4 = 20 :10 si ha: (8-4) : 8 = (20-10) : 20 ó 4: 8 = 10: 20 Oppure (8-4) : 4 = (20-10) : 10 ó 4: 4 = 10: 10 Proprietà del permutare Data una proporzione, è ancora una proporzione quella che si ottiene scambiando fra loro i medi (o gli estremi). a:b=c:d ó a: c = b: d a:b=c:d ó d: b = c: a Esempio: Data la proporzione 8 : 4 = 20 :10 , sono ancora proporzioni: 8 : 20 =4:10 e 10 : 4 = 20 :8 Proprietà dell’invertire Data una proporzione, si ottiene ancora una proporzione se si scambia ogn antecedente con il proprio conseguente. a:b=c:d ó b: a = d: c Esempio: Data la proporzione 8 : 4 = 20 :10 , è ancora una proporzione: 4 : 8 = 10 :20 Il medio proporzionale Il medio proporzionale x fra due numeri a e b è quel numero, se esiste, per cui vale la proporzione: a:x = x :b Per esempio: 3:x = x :27 applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, si ha: 𝑥 0 𝑥 = 3 0 27 𝑥 ! = 81 il numero positivo il cui il quadrato vale 81 è 9, pertanto: 𝑥=9