Le frazioni e le proporzioni

Le frazioni e le proporzioni
Prof. Walter Pugliese
Le frazioni e le proporzioni
Se una macchina per percorrere 60 km consuma 3 litri di benzina, diremo usando un linguaggio comune
che la stessa auto per percorrere 120 km consumerà in proporzione 6 litri di benzina. Cioè:
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#
=
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!
oppure si può scrivere 60 ∶ 3 = 120 ∶ 6
Possiamo allora dare la seguente definizione:
Una proporzione è un’uguaglianza tra due rapporti. Quindi un’uguaglianza tra due frazioni
equivalenti è una proporzione.
Proprietà fondamentale delle proporzioni
In una proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi
a:b=c:d ó bc=ad
Esempio:
2 ∶ 5 = 4 ∶ 10 ó 5 0 4 = 2 0 10
Proprietà del comporre
In ogni proporzione, la somma dei primi due termini sta al primo (o al secondo) termine come la
somma dei due restanti termini sta al terzo (o al quarto) termine.
a:b=c:d ó (a+b) : a = (c+d) : c
a:b=c:d ó (a+b) : b = (c+d) : d
Esempio:
Data la proporzione 4 : 8 = 10 :20 si ha:
(4+8) : 4 = (10+20) : 10 ó 12: 4 = 30: 10
Oppure
(4+8) : 8 = (10+20) : 20 ó 12: 8 = 30: 20
Proprietà dello scomporre
In ogni proporzione, la differenza dei primi due termini sta al primo (o al secondo)
termine come la differenza dei due restanti termini sta al terzo (o al quarto) termine.
a:b=c:d ó (a-b) : a = (c-d) : c
a:b=c:d ó (a-b) : b = (c-d) : d
Esempio:
Data la proporzione 8 : 4 = 20 :10 si ha:
(8-4) : 8 = (20-10) : 20 ó 4: 8 = 10: 20
Oppure
(8-4) : 4 = (20-10) : 10 ó 4: 4 = 10: 10
Proprietà del permutare
Data una proporzione, è ancora una proporzione quella che si ottiene scambiando fra
loro i medi (o gli estremi).
a:b=c:d ó a: c = b: d
a:b=c:d ó d: b = c: a
Esempio:
Data la proporzione 8 : 4 = 20 :10 , sono ancora proporzioni:
8 : 20 =4:10 e
10 : 4 = 20 :8
Proprietà dell’invertire
Data una proporzione, si ottiene ancora una proporzione se si scambia ogn
antecedente con il proprio conseguente.
a:b=c:d ó b: a = d: c
Esempio:
Data la proporzione 8 : 4 = 20 :10 , è ancora una proporzione:
4 : 8 = 10 :20
Il medio proporzionale
Il medio proporzionale x fra due numeri a e b è quel numero, se esiste, per cui vale la proporzione:
a:x = x :b
Per esempio:
3:x = x :27
applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, si ha:
𝑥 0 𝑥 = 3 0 27
𝑥 ! = 81
il numero positivo il cui il quadrato vale 81 è 9, pertanto:
𝑥=9