33 Circuiti in corrente alternata

C A P I T O L O
33
Circuiti in corrente
alternata
33.1 Generatori di c.a.
33.2 Resistori in un circuito
in c.a.
33.3 Induttori in un circuito
in c.a.
33.4 Condensatori in un
circuito in c.a.
33.5 Il circuito RLC in serie
33.6 Potenza in un circuito
in c.a.
33.7 Risonanza in un circuito
RLC in serie
33.8 Il trasformatore e la
trasmissione di potenza
33.9 Raddrizzatori e filtri
Questi grandi trasformatori
vengono usati per aumentare la
tensione prima del trasferimento
dell’energia elettrica da una
centrale alla rete di distribuzione.
La tensione può essere cambiata
in modo relativamente semplice,
in quanto la potenza è distribuita
utilizzando corrente alternata
invece di quella continua.
(©Lester Lefkowitz/Getty Images)
In questo capitolo descriveremo i circuiti in corrente alternata (c.a.). Ogni volta che
accendiamo un televisore, un computer o qualunque altro apparecchio domestico, chiamiamo in causa correnti alternate che forniscono l’energia per il funzionamento di tali
dispositivi. Inizieremo la nostra analisi discutendo le caratteristiche di circuiti semplici in
cui resistori, induttori e condensatori siano collegati in serie ed alimentati da una tensione
sinusoidale. Lo scopo principale di questo capitolo è mostrare come sia possibile calcolare,
in tali circuiti, l’ampiezza della corrente e come essa dipenda dal tempo. Concluderemo il
capitolo con due paragrafi riguardanti i trasformatori, la trasmissione di potenza ed i filtri
elettrici.
33.1 Generatori di c.a.
Un circuito in c.a. è una combinazione di elementi circuitali e di un generatore che
fornisce una tensione alternata Dv. L’andamento temporale di tale tensione è dato
dall’espressione
Dv 5 DVmax sin vt
dove DVmax è la tensione massima di uscita del generatore, chiamata anche ampiezza
della tensione. Ci sono vari modi per generare una corrente alternata in un circuito,
come ad esempio i generatori discussi nel Paragrafo 31.5 e gli oscillatori elettrici. In
una casa, ogni presa elettrica è una sorgente di corrente alternata. Poiché la tensio-
998 999
33.2 Resistori in un circuito in c.a.
ne in uscita da un generatore di tensione alternata varia sinusoidalmente nel tempo,
tale tensione, come mostrato nella Figura 33.1, è positiva durante un mezzo periodo
e negativa durante l’altro mezzo periodo. Allo stesso modo, anche la corrente in un
circuito alimentato da un generatore di tensione alternata varia sinusoidalmente nel
tempo.
Dall’Equazione 15.12, la pulsazione v della tensione alternata è
2p
T
2p
2p
v
5
2pf
5
v 5e2pf
dove f è la frequenza del generatore
T il5
periodo.
Il generatore determina la freT
T
quenza della corrente in un circuito qualunque ad esso collegato. In Italia l’energia
elettrica viene fornita ad una frequenza f = 50.0 Hz, a cui corrisponde la pulsazione
(frequenza angolare) v = 314 rad/s (in USA 60.0 Hz e 377 rad/s).
v 5 2pf 5
v
T
Vmax
t
Figura 33.1 La tensione fornita da un generatore di c.a.
è sinusoidale nel tempo, con
periodo T.
vR
33.2 Resistori in un circuito in c.a.
Consideriamo il semplice circuito in c.a., composto da un resistore e un generatore
di tensione alternata
, mostrato nella Figura 33.2. In ogni istante, la somma algebrica delle tensioni lungo una singola maglia del circuito deve essere nulla (legge
di Kirchhoff delle maglie). Quindi, Dv 1 DvR 5 0, ovvero, usando l’Equazione 27.7
Dv 2resistenza,
iRR 5 0
per esprimere la tensione ai capi della
Dv2
2ii iRRR
R5
500
Dv
Dv
2
RR 5 0
Sostituendo l’espressione DVmax sin vt a Dv e riscrivendo la precedente espressione,
DV
Dv
la corrente istantanea nel resistore
è max
data da
5
sin vt 5 I max sin vt
(33.1)
iR 5
R
R
DV
Dv
Dv 5 DVmax
max sin vt 5 I
sin vt
(33.1)
ii R 5
sin vt 5 I max
(33.1)
R 5 R 5
max sin vt
R
R
R
DVmax
dove Imax è la corrente massima: I
(33.2)
max 5
R
DVmax
5 DVmax
(33.2)
(33.2)
II max
max 5
R
R
5 iR R 5istantanea
I max R sin vt
(33.3)
L’Equazione 33.1 mostra cheDv
laRtensione
ai capi del resistore è
5 II max R
Dv
sin vt
Dv RR 5
5 iiRR R
R5
max R sin vt
(33.3)
(33.3)
Il grafico della tensione e della corrente in funzione del tempo per questo circuito è mostrato nella Figura 33.3a. Nel punto a la corrente è massima in un certo
verso che, arbitrariamente, chiameremo verso positivo. Fra i punti a e b la corrente
diminuisce, ma è sempre positiva. In b la corrente è nulla; fra b e c diventa sempre
più negativa, il che significa che la sua intensità aumenta, ma che scorre nel verso
negativo. In c la corrente raggiunge la massima intensità nel verso negativo.
La corrente e la tensione hanno la stessa dipendenza temporale. Poiché iR e DvR
variano entrambi come sin vt e raggiungono, come illustrato nella Figura 33.3a, i
loro valori massimi nello stesso istante, diciamo che sono in fase. La situazione è
analoga a quella che si presenta quando due onde sono in fase, situazione che è
stata discussa nello studio dei moti ondulatori nel Capitolo 18. Possiamo quindi dire
che, per una tensione applicata sinusoidale, la corrente in un resistore è sempre
in fase con la tensione ai capi del resistore. Per i resistori nei circuiti in c.a. non ci
sono nuovi concetti da imparare. I resistori si comportano in modo analogo sia nei
circuiti in c.c. che in quelli in c.a. Al contrario, i condensatori e gli induttori hanno
comportamenti differenti.
Per studiare in maniera semplice i circuiti contenenti due o più elementi useremo il diagramma dei fasori. Un fasore è un vettore la cui lunghezza è proporzionale
al valore massimo della variabile che esso rappresenta (DVmax per la tensione ed Imax
per la corrente). Il fasore ruota in senso antiorario con velocità angolare uguale alla
frequenza angolare della variabile che rappresenta e la proiezione del fasore sull’asse verticale dà il valore istantaneo di tale variabile.
R
v Vmax sin vt
Figura 33.2 Un circuito che
consiste in una resistenza R
connessa ad un generatore di
c.a., indicato con il simbolo
..
..
WW
Corrente massima in un
resistore
WW
Tensione ai capi di un
resistore
Prevenire l’errore 33.1
Valori che variano nel
tempo Usiamo le lettere
minuscole Dv ed i per indicare
i valori istantanei di tensioni
e correnti che dipendono dal
tempo. Le lettere maiuscole
indicano invece valori costanti
delle tensioni e delle correnti,
come ad esempio DVmax e I max.
1000Capitolo 33 Circuiti in corrente alternata
Figura 33.3 (a) Grafici
La corrente è in fase con la tensione, e
quindi è nulla quando la tensione è nulla,
massima quando la tensione è massima e
minima quando la tensione è minima.
che mostrano la corrente iR e
la tensione DvR ai capi di un
resistore in funzione del tempo.
Al tempo t 5 T, la corrente e la
tensione hanno compiuto un
ciclo completo. (b) Diagramma
dei fasori per il circuito resistivo
che mostra come la corrente e la
tensione siano in fase.
iR , vR
Imax
a
iR
iR
vR
b
Un fasore è simile ad un grafico Una tensione alternata può essere
rappresentata graficamente in
vari modi. Un esempio è mostrato
nella Figura 33.1, dove la tensione
è disegnata usando un sistema
di assi cartesiani. In tale grafico,
sull’asse verticale si riporta la
tensione e sull’asse orizzontale
il tempo. Un’altra possibile
rappresentazione è mostrata nella
Figura 33.3b. Lo spazio delle fasi
in cui si disegna il fasore è simile
ad un piano in coordinate polari.
La coordinata radiale rappresenta
l’ampiezza del segnale e la
coordinata angolare la sua fase.
La coordinata verticale della
freccia del fasore rappresenta,
in un dato istante, il valore
della tensione. Al contrario, la
coordinata orizzontale di tale
freccia non rappresenta alcuna
grandezza fisica. Come mostrato
nella Figura 33.3b, anche le
correnti alternate possono essere
rappresentate con il diagramma
dei fasori.
Per seguire meglio questa
discussione in cui si fa uso dei
fasori, può essere opportuno
rivedere il Paragrafo 15.4,
dove abbiamo rappresentato
il moto armonico di un
corpo proiettando il moto
circolare uniforme di un
corpo immaginario sugli assi
coordinati. La rappresentazione
mediante fasori, infatti, è
l’analogo di questo tipo di
approccio.
iR , vR
Vmax
Prevenire l’errore 33.2
I fasori della corrente e della
tensione hanno la stessa
direzione, in quanto la corrente
e la tensione sono in fase.
T
Imax
vR
t
vt
Vmax
c
a
b
La Figura 33.3b mostra, in un certo istante, i fasori relativi alla tensione ed alla
corrente per il circuito della Figura 33.2. Le proiezioni dei fasori sull’asse verticale
dipendono dal seno dell’angolo che il fasore forma con l’asse orizzontale. Ad esempio, la proiezione del fasore associato alla corrente e mostrato nella Figura 33.3b è
Imax sin vt. Si noti che tale espressione è identica a quella data dall’Equazione 33.1.
Quindi, le proiezioni dei fasori rappresentano correnti che variano sinusoidalmente
con il tempo. Possiamo fare la stessa cosa per tensioni dipendenti dal tempo. Il vantaggio di questo tipo di approccio è rappresentato dal fatto che le relazioni che intercorrono tra le fasi delle correnti e delle tensioni possono essere ricavate applicando
ai fasori che le rappresentano le regole di somma dei vettori, discusse nel Capitolo 3.
Nel caso del circuito resistivo a singola maglia mostrato nella Figura 33.2, i fasori
che rappresentano la corrente e la tensione giacciono sulla stessa retta, come mostrato in Figura 33.3b. Infatti, in questo caso iR e DvR sono in fase tra loro. Al contrario, la corrente e la tensione in circuiti contenenti elementi capacitivi o induttivi
hanno relazioni di fase differenti.
a
Q uiz 33.1 ​
Si consideri il fasore, che rappresenta una tensione, disegnato nella
Figura 33.4 in tre diversi istanti temporali. (i) Si dica a quale caso, (a), (b) o (c),
corrisponde il valore istantaneo maggiore per la tensione. (ii) Si dica a quale
caso, (a), (b) o (c), corrisponde il valore istantaneo minore per la tensione.
a
b
b
c
.
a
Figura 33.4 ​(Quiz 33.1) Un fasore associato alla tensione è mostrato per tre diversi
istanti temporali, (a), (b) e (c).
b
c
Si noti che, per il semplice circuito resistivo mostrato nella Figura 33.2, il valore
medio della corrente in un ciclo completo è zero. Infatti, la corrente circola nel verso positivo per lo stesso intervallo di tempo e con la stessa intensità con cui circola
nel verso negativo. Tuttavia, il verso della corrente non influisce sul comportamento del resistore. Ciò si capisce facilmente osservando che gli urti fra gli elettroni e
c
gli atomi fissi del resistore producono
un aumento della temperatura del resistore.
L’aumento della temperatura dipende dall’intensità della corrente, ma è indipendente dal suo verso.
33.2 Resistori in un circuito in c.a.
1001
Figura 33.5 (a) Grafico della
i
corrente in un resistore in
funzione del tempo. (b) Grafico
del quadrato della corrente in un
resistore in funzione del tempo,
che mostra come la linea rossa
tratteggiata rappresenti la media
di I 2max sin vt. In generale, si tenga
presente che il valore medio di
sin2 vt o di cos2 vt su un ciclo è
sempre –12 .
Imax
0
t
a
i2
I 2max
1 2
2
(i )media 2 I max
0
t
Le regioni ombreggiate in grigio sotto la curva e sopra la linea rossa
tratteggiata hanno la stessa area delle regioni ombreggiate in grigio
sopra la curva e sotto la linea rossa tratteggiata.
b
Possiamo rendere quantitativa questa discussione ricordando che in un resistore la rapidità con cui l’energia elettrica viene dissipata in energia interna è data dalla potenza P = i 2R, in cui i è il valore istantaneo della corrente
nel resistore. Poiché la potenza è proporzionale al quadrato della corrente, non c’è differenza fra corrente continua e corrente alternata; non importa, cioè, se la corrente scorre nel verso positivo o in quello negativo. Tuttavia,
l’aumento di temperatura prodotto da una corrente alternata di valore massimo Imax è diverso da quello prodotto da una corrente continua uguale ad Imax.
Infatti, in un ciclo, la corrente alternata raggiunge il suo valore massimo solamente in un istante (Fig. 33.5a). Quello che è importante in un circuito in
c.a. è un certo tipo di valore medio della corrente, chiamato corrente efficace. La corrente efficace non è altro che il valore quadratico medio già definito
nel Paragrafo 21.1. La corrente efficace è la radice quadrata del valor medio
del quadrato della corrente: I eff 1
. Poiché i 2 varia nel tempo come
1((ii2)2)media
media
11 22
2
2
sin vt e poiché il valor medio di i è 22IImax
max (Fig. 33.5b), la corrente efficace è
II eff
eff 5
5
II m
max
m
ax
max
ax
"2
"
"
"2
5
max
m
ax
5 0.707I
0.707III m
max
ax
(33.4)
(33.4)
Il significato di questa equazione è che una corrente alternata di valore massimo
2.00 A fornirà ad un resistore la stessa potenza di una corrente continua di (0.707)
(2.00 A) = 1.41 A. La potenza media fornita ad un resistore percorso da una corrente alternata è
P media 5 I 2effR
Anche per la tensione alternata è utile definire un valore efficace. La relazione è
identica a quella della corrente:
5
DV
Veff
DV
V
eff 5
V
DV
max
m
ax
Vm
DV
max
ax
"2
"
"
"2
5 0.707
0.707 DV
DV
Vm
max
ax
5
V
max
m
ax
(33.5)
(33.5)
Quando si dice che ai capi di una presa di corrente alternata si misura una
tensione di 120 V, in realtà si vuol dire che la tensione efficace è 120 V. Un
semplice calcolo, usando l’Equazione 33.5, mostra che questa tensione alternata
ha in realtà un valore massimo di circa 170 V. La principale ragione per riferirsi
a valori efficaci è il fatto che gli amperometri ed i voltmetri sono progettati per
indicare direttamente tali valori. Inoltre, facendo uso dei valori efficaci, molte
equazioni hanno la stessa forma di quelle già trovate nello studio dei circuiti
percorsi da corrente continua.
WW
Corrente efficace
WW
Potenza media trasferita
ad un resistore
WW
Tensione efficace
1002Capitolo 33 Circuiti in corrente alternata
Esempio 33.1 Che cosa rappresenta la corrente efficace?
La tensione di uscita di un generatore di c.a. è descritta dall’espressione Dv 5 200 sin vt, con Dv in volt. Si calcoli la
corrente efficace quando il generatore è connesso ad un resistore da 100 V.
SOLUZIONE
Concettualizzare La Figura 33.2 mostra la situazione fisica analizzata in questo esempio.
Classificare ​Si calcolerà la corrente usando un’equazione ricavata in questo paragrafo, quindi questo esempio può
essere classificato come un problema di sostituzione.
Si combinano le Equazioni 33.2 e 33.4 per trovare la
corrente efficace:
Confrontando l’espressione fornita per la tensione
del generatore con quella generale Dv 5 DVmax sin
vt si ricava DVmax 5 200 V. Si sostituiscono i valori
numerici:
vL
L
v Vmax sin vt
Figura 33.6 Un circuito in
c.a. che consiste in un induttore
di induttanza L collegato ad un
generatore di c.a.
I eff
eff 5
I max
max
"2
5
DVmax
max
"2 R
V max
I max200 DV
eff 5
II eff
5 DVmax 5
I"2
max
DV
max
max
2
100
Vmax
II eff
5 max 15
5
"2
R
eff 5
eff
"2
"2 R
200 V
5
I eff 5
200 V
V
200
I eff
eff 5 "2 1 100 V 2 5
eff
"2 1 100
100 V
V2
"2
1.41 A
1.41 A
1.41 A
33.3 Induttori in un circuito in c.a.
Consideriamo ora un circuito in c.a. che consiste solamente in un induttore collegato
ai capi di un generatore, come mostrato nella Figura 33.6. Se DvL 5 2L(diL /dt) è la
diL
f.e.m. autoindotta istantanea ai capi
Dv dell’induttore
2 L L 5 0 (si veda l’Eq. 32.1), la legge di
dt 1 DvL 5 0, ovvero
Kirchhoff, applicata a questo circuito, dà Dv
di
Dv 2 L diLL 5 0
diL dtLL 5 0
5 dt
DVmax sin vt
Dv 5 Dv
L 2L L
dt max otteniamo
Sostituendo DVmax sin vt a Dv in questa
dt equazione,
di
Dv 5 L diLL 5 DVmax sin vt
L
DV
max
L max
5 DV
sin
Dvdi5LL 5
L dt
maxvt
max
sin
dt vt
max
dt L
dt
(33.6)
(33.6)
(33.6)
Si ottiene allora per diL
Corrente in un induttore 
DV
sin vt dt
diL 5 DVmax
max
max
Lmax
di
5
sin
vt dt
L
diLL
DVmax
L
DVmax
max
max
cos vt
(33.7)
iLL 5
3 sin vt dt 5 2
1
L
vL nell’induttore in funzione
Integrando questa espressione, otteniamo la corrente
del tempo:
DVmax
DVmax
cos vt
(33.7)
sin vt dt 5 2 DV
iL 5 DV
DVmax
max 3
max
DV
max
L
max
max cos vt
(33.7)
sin vt
vt dt
dt 5
5 2
2 vL
5
cos vt
(33.7)
iiLLL 5
3 sin
3
L
vL
DVmax
p
max
sin avt 2 b
(33.8)
iLL 5
Usando l’identità trigonometrica cos
vL vt 5 2sin(vt22 p/2), l’Equazione 33.7 può
essere scritta nella forma
DVmax
p
sin avt 2 p b
(33.8)
iL 5 DVmax
max
max sin avt 2 p
2b
(33.8)
iLLL 5 vL
sin avt 2 2
vL
vL
2
Confrontando questo risultato con l’Equazione 33.6, si vede chiaramente che la corrente iL nell’induttore è in ritardo di fase di p/2 rad 5 90° rispetto alla tensione DvL
ai suoi capi.
La Figura 33.7a mostra il grafico della tensione e della corrente in funzione
del tempo. Nell’istante in cui la corrente nell’induttore è massima (punto b nella
1Non
abbiamo tenuto conto della costante di integrazione, in quanto essa dipende dalle condizioni iniziali, che per
questa situazione non sono importanti.
33.3 Induttori in un circuito in c.a.
La corrente è in ritardo di un quarto
di ciclo rispetto alla tensione.
funzione del tempo della corrente
istantanea iL e della tensione
istantanea DvL ai capi di un
induttore. (b) Diagramma dei
fasori per il circuito induttivo.
vL, iL
b
Imax
Vmax
Figura 33.7 (a) Grafici in
I fasori della corrente e della
tensione sono sfasati di 90°.
vL, iL
iL
c
a
1003
vL
d
e
T
t
vL
Vmax
vt
f
iL
a
Imax
b
Fig. 33.7a), essa ha una variazione nel tempo nulla, quindi la tensione ai capi dell’induttore è zero (punto d). Nei punti come a ed e, la corrente è invece istantaneamente nulla, ma la sua variazione è massima. Quindi è massima anche la tensione ai capi
dell’induttore (punti c ed f). Si noti che la tensione raggiunge il suo valore massimo
un quarto di periodo prima che la corrente sia massima. Di conseguenza, quando
la tensione applicata da un generatore è sinusoidale, la corrente che circola in un
induttore è in ritardo di fase rispetto alla tensione presente ai capi dell’induttore di
90o (corrispondente ad un quarto di periodo).
Come nel caso di un circuito contenente solo un elemento resistivo, anche in
questo caso possiamo rappresentare la relazione tra la corrente e la tensione utilizzando il diagramma dei fasori, come mostrato nella Figura 33.7b. Il fasori formano
un angolo di 90o tra loro e ciò rappresenta infatti la differenza di fase di 90° fra
corrente e tensione.
L’Equazione 33.7 mostra che in un circuito induttivo la corrente raggiunge il suo
valore massimo quando cos vt 5 61:
DVmax
DV
max
(33.9)
II max 5
(33.9)
max 5 vL
vL
Questa relazione è simile a quella che lega tra loro corrente, tensione e resistenza
in un circuito in c.c., I 5 DV/R (Eq. 27.7). Dal momento che Imax è misurata in ampere e DVmax in volt, la quantità vL ha come unità di misura l’ohm. Quindi, vL ha
la stessa unità di misura della resistenza ed è legata alla corrente ed alla tensione in
modo analogo. Essa deve, allora, in qualche modo rappresentare la resistenza offerta al flusso delle cariche. Dal momento che vL dipende dalla frequenza angolare
applicata v, un elemento induttivo reagisce in modo diverso, nel senso che si oppone
al passaggio di corrente in modo differente, a seconda della frequenza angolare. Per
questa ragione, definiamo il prodotto vL come la reattanza induttiva XL:
X
X LL ;
; vL
vL
(33.10)
(33.10)
Quindi, possiamo riscrivere l’Equazione 33.9 nella forma
V
DV
max
ax
Vm
DV
max
m
ax
max
ax 5
II m
max
m
ax 5
X
X LL
(33.11)
(33.11)
L’espressione per la corrente efficace in un induttore è simile all’Equazione 33.11;
basta sostituire Imax con Ieff e DVmax con DVeff.
L’Equazione 33.10 indica che, per una certa tensione applicata, la reattanza induttiva cresce all’aumentare della frequenza angolare. Questo è in accordo con la
legge di Faraday: infatti, quanto più rapidamente cambia la corrente nell’induttore,
tanto maggiore è la corrispondente forza controelettromotrice. La maggiore forza
controelettromotrice si traduce in un aumento della reattanza e in una diminuzione
della corrente.
WW
Corrente massima in un
induttore
WW
Reattanza induttiva
1004Capitolo 33 Circuiti in corrente alternata
Usando le Equazioni 33.6 e 33.11, si trova che la tensione istantanea ai capi
dell’induttore è
Tensione ai capi di un W
induttore Dv L 5 2L
diL
5 2DVmax sin vt 5 2I max X L sin vt
dt
(33.12)
diL
5 2DVmax sin vt 5 2I max X L sin vt
(33.12)
dt
diLdiL
Q uiz 33.2 ​
Si consideri
il2L
circuito
in2DV
c.a.
mostrato
Figura
Si
immagini di(33.12)
cambia5
2I
X Lsinsin
(33.12)
2L
55
2DV
sinsin
vtvt
5in
2I
X L33.8.
vtvt
DvDv
L 5
max
max
L 5
max
max
dt dtgeneratore mantenendo costante l’ampiezza della tensiore la frequenza angolare del
ne applicata. In quale situazione la luce emessa dalla lampadina risulterà più intensa?
(a) Ad alte frequenze. (b) A basse frequenze. (c) Sarà identica a tutte le frequenze.
Dv L 5 2L
R
L
Figura 33.8 ​(Quiz 33.2) Per quale
valore della frequenza la luce emessa
dalla lampadina è più intensa?
Esempio 33.2 Circuito in c.a. puramente induttivo
In un circuito in c.a. puramente induttivo, L 5 25.0 mH e la tensione efficace è 150 V. Si calcolino la reattanza
induttiva e la corrente efficace se la frequenza del generatore è 60.0 Hz.
SOLUZIONE
Concettualizzare ​La Figura 33.6 mostra la situazione fisica analizzata in questo esempio. Si tenga presente che la
reattanza induttiva aumenta all’aumentare della frequenza della tensione applicata.
Classificare Si calcoleranno la reattanza e la corrente usando le equazioni ricavate in questo paragrafo, quindi queX L 5 vL 5 2pfL 5 2p(60.0 Hz)(25.0 3 10
sto esempio può essere classificato come un problema di sostituzione.
23
Si usa l’Equazione 33.10 per calcolare la
reattanza induttiva:
H)
V 5 2p(60.0 Hz)(25.0 3 1023 H)
XL 5 5
vL 9.42
5 2pfL
DVVeff2pfL 150
V
2323
9.42
2p(60.0
Hz)(25.0
X LXI5
5
vL
55
2pfL555
2p(60.0
1010
H)H)
L5
5vL
5 Hz)(25.0
15.9
A 33
eff
XL
9.42 V
9.42
DV
559.42
effV V 150 V
Per calcolare la corrente efficace si usa
5 15.9 A
I eff 5
5
XL
9.42 V
l’Equazione 33.11:
DV
150
DVeff eff 150
VV
15.9
I effI eff55
55
5515.9
AA
9.42
X LX L 9.42
VV
E SE?
Se la frequenza venisse aumentata fino al valore di 6.00 kHz, come cambierebbe la corrente efficace nel
circuito?
23 H) 5 942
Risposta ​Aumentando la frequenza,
anche
la reattanza
perché
X L 5aumenta
2p(6.00 3
103 Hz)(25.0
3 10induttiva,
V la corrente cambia più rapida-
mente nel tempo. Aumentando la reattanza induttiva, diminuisce quindi la corrente.
150 V 3 1023 H) 5 942 V
X L 5 induttiva
2p(6.00 3
1035Hz)(25.0
Si calcolano quindi la reattanza
aI eff
questa
nuova5frequenza
0.159 A e la corrispondente corrente efficace:
942 V
3 Hz)(25.0
3150
2323
V
2p(6.00
10
H) 5 942 V
X LX5
2p(6.00
33
10
33
1010
L5
5 Hz)(25.0
5 0.159
A H) 5 942 V
I eff
942 V
150
150
VV
0.159
55
0.159
AA
I effI eff55
942
942 V V
33.4 Condensatori in un circuito in c.a.
q un condensatore collegato ai capi di
La Figura 33.9 mostra un circuito formato
Dv 2 da
50
(33.13)
C di Kirchhoff delle maglie, applicata a
un generatore di corrente alternata. La legge
q
questo circui­to, dà Dv 1 DvC 5 0, Dv
ovvero
2 50
(33.13)
Cq
q
(33.13)
DvDv
22 55
00
(33.13)
CC
33.4 Condensatori in un circuito in c.a.
1005
Figura 33.9 Un circuito
vC
che consiste in un condensatore di capacità C
connesso ad un generatore
di c.a.
C
v Vmax sin vt
Sostituendo DVmax sin vt a Dv, possiamo riscrivere l’equazione nella forma
qq 5
C DV
vt
(33.14)
max sin
sin vt
(33.14)
q5
5C
C DV
DVmax
(33.14)
max sin vt
dove q è la carica sul condensatore in un certo istante. Derivando l’Equazione 33.14
rispetto al tempo, otteniamo la corrente istantanea nel circuito:
dq
dq 5
max cos
iii CC 5
5
5 vC
vC DV
DVmax
cos vt
vt
C 5 dt 5 vC DVmax cos vt
dt
Usando l’identità trigonometrica
(33.15)
(33.15)
(33.15)
p
p
p
cos
vt
5
sin
1
avt
bb
cos
vt
5
sin
1
avt
cos vt 5 sin avt 1 2
2b
2
possiamo esprimere l’Equazione 33.15 nella forma alternativa
p
p
p bb
vC DV
iiCC 5
avt 1
max sin
sin
1
5 vC
vC DV
DVmax
sin
1
iC 5
avt
2b
max
2
(33.16)
(33.16)
(33.16)
WW
Corrente in un condensatore
Confrontando questa espressione con l’espressione Dv 5 DVmax sin vt, si vede che
la corrente è in anticipo di fase di p/2 rad 5 90° rispetto alla tensione ai capi del
condensatore. Il grafico della corrente e della tensione in funzione del tempo (Fig.
33.10a) mostra che la corrente raggiunge il suo valore massimo un quarto di periodo
prima che la tensione raggiunga il suo valore massimo.
Consideriamo, per esempio, il punto b in Figura 33.10a; in questo istante la corrente è nulla. Questo accade quando sul condensatore la carica è massima ed in tale
istante è massima anche la tensione tra le due armature (punto d). Nei punti a ed
e la corrente ha intensità massima, la carica sul condensatore è nulla ed il condensatore inizia a ricaricarsi con la polarità opposta. Quando la carica è nulla, anche la
tensione tra le armature del condensatore è nulla (punti c ed f), quindi la corrente
e la tensione non sono in fase.
Come nel caso degli induttori, possiamo rappresentare la corrente e la tensione
mediante un diagramma dei fasori. Il corrispondente diagramma, mostrato nella
Figura 33.10b, mostra che per una tensione applicata sinusoidale, la corrente è in
anticipo di fase di 90o rispetto alla tensione tra le armature del condensatore.
La corrente è in anticipo di un quarto
di ciclo rispetto alla tensione.
I fasori della corrente e della
tensione sono sfasati di 90°.
vC , iC
Imax
Vmax
c
vC , iC
iC
a
Imax
d
b
vC
vC
f
T
t
Vmax
vt
Figura 33.10 (a) Grafici in
e
a
iC
b
funzione del tempo della corrente
istantanea i C e della tensione
istantanea DvC ai capi di un
condensatore. (b) Diagramma dei
fasori per il circuito capacitivo.
1006Capitolo 33 Circuiti in corrente alternata
Dall’Equazione 33.15 si osserva che nel circuito la corrente raggiunge il suo valore massimo quando cos vt 5 61:
Reattanza capacitiva 
Corrente massima in un 
condensatore Tensione ai capi di un 
condensatore
DVmax
(33.17)
I max 5 vC DVmax 5
1 1/vC
2
DV
max
DV
max
5 vC DVmax 5
(33.17)
II max
5 1/vC 2
(33.17)
max 5 vC DVmax
1/vC 2
Come nel caso degli induttori, anche in questa 11situazione
la precedente equazione
risulta simile all’Equazione 27.7, e quindi il denominatore deve giocare un ruolo
analogo a quello di una resistenza e deve essere misurato in ohm. Indicheremo con
il simbolo XC la quantità 1/vC e, poiché questa quantità dipende dalla frequenza
angolare, la chiameremo reattanza capacitiva:
1
XC ;
(33.18)
vC
1
1
X
(33.18)
X CC ;
; vC
(33.18)
vC
Possiamo quindi riscrivere l’Equazione 33.17
nella forma
DV
Vm
max
ax
5
Im
max
ax
V
DV
X
max
m
ax
C
Vm
max
ax
5 DV
max
ax
II m
max
m
ax 5
X
X CC
(33.19)
(33.19)
(33.19)
La corrente efficace è data da un’espressione simile all’Equazione 33.19, con Ieff al
posto di Imax e con DVeff al posto di DVmax.
Usando l’Equazione 33.19, possiamo esprimere la tensione istantanea ai capi del
(33.20)
Dv C 5 DVmax sin vt 5 I max X C sin vt
condensatore come
sin vt
vt 5
5 II max X
(33.20)
Dv
5 DV
DVmax sin
X C sin
sin vt
vt
(33.20)
Dv C 5
C
max
max
C
Le Equazioni 33.18 e 33.19 indicano che, quando la frequenza angolare del generatore di tensione aumenta, la reattanza capacitiva del circuito diminuisce, per cui
la corrente massima aumenta. La frequenza angolare della corrente è determinata
dalla frequenza angolare del generatore di tensione che alimenta il circuito. Quando la frequenza angolare tende a zero, la reattanza capacitiva tende all’infinito e, di
conseguenza, la corrente tende a zero. Ciò è comprensibile, poiché, quando v tende
a 0, il circuito tende alla condizione di circuito in corrente continua ed il condensatore rappresenta un collegamento aperto.
Q uiz 33.3 Si consideri il circuito in c.a. mostrato in Figura 33.11. Se si cambia la
frequenza angolare del generatore di c.a. mantenendo costante l’ampiezza della tensione applicata, in quale situazione la luce emessa dalla lampadina risulterà
più intensa? (a) Ad alte frequenze. (b) A basse frequenze. (c) È identica a tutte le
frequenze.
R
C
Figura 33.11 ​(Quiz 33.3)
Q uiz 33.4 Si consideri il circuito in c.a. mostrato in Figura 33.12. Se si cambia la
frequenza angolare del generatore di c.a. mantenendo costante l’ampiezza della tensione applicata, in quale situazione la luce emessa dalla lampadina risulterà
più intensa? (a) Ad alte frequenze. (b) A basse frequenze. (c) È identica a tutte le
frequenze.
R
L
C
Figura 33.12 ​(Quiz 33.4)
33.5 Il circuito RLC in serie
1007
Esempio 33.3 Circuito in c.a. puramente capacitivo
Un condensatore da 8.00 mF è collegato ai capi di un generatore di c.a. che fornisce una tensione efficace di 150 V
a 60.0 Hz. Si calcolino la reattanza capacitiva e la corrente efficace nel circuito.
SOLUZIONE
Concettualizzare ​La Figura 33.9 mostra la situazione fisica analizzata in questo esempio. Si tenga presente che la
reattanza capacitiva diminuisce all’aumentare della frequenza della tensione applicata.
Classificare Si calcoleranno la reattanza e la corrente usando le equazioni ricavate in questo paragrafo, quindi
questo esempio può essere classificato come un problema di sostituzione.
11
11
11
Si usa l’Equazione 33.18 per calcolare la reattanza
X
5
X CC 5
512pf C 5
5 2p 1 60.0 Hz12 1 8.00 3 1026
51 vC 5
5 332
332 V
V
vC
2pf5
C
2p 1 60.0 Hz 2 1 8.00 3 1026 FF522 332 V
XC 5
5
capacitiva:
26
vC
2pf C
2p 1 60.0 Hz 2 1 8.00 3 10 F 2
DV
150
DVeff
150 V
V 5 0.452 A
eff
Per calcolare la corrente efficace, si usa l’Equazione
II eff
5
5
5 0.452 A
DVeffX 5
eff 5
150
V V
332
C
X
332
V
C5
5 0.452 A
I eff 5
33.19, prendendo i valori efficaci di entrambi i
XC
332 V
membri:
E SE?
Se la frequenza fosse raddoppiata, come cambierebbe la corrente efficace nel circuito?
Risposta ​Aumentando la frequenza, la reattanza capacitiva diminuisce, esattamente all’opposto di ciò che si veri-
fica per un circuito induttivo. Diminuendo la reattanza capacitiva, quindi, aumenta la corrente.
Si calcolano la nuova reattanza capacitiva a questa frequenza e la nuova corrente efficace:
11
11
5
X
5 166
166 V
V
X CC 5
51 vC 5
5 2p 1 120 Hz12 1 8.00 3 1026
vC
2p 1 120 Hz 2 1 8.00 3 1026 FF522 166 V
XC 5
5
26
vC
2p 1 120 Hz 2 1 8.00 3 10 F 2
150
150 V
V 5 0.904 A
II ee ff ff 5
5
5 0.904 A
150
V
166
V
166 5
V 0.904 A
Ieff 5
166 V
33.5 Il circuito RLC in serie
Nei precedenti paragrafi abbiamo considerato singoli elementi circuitali collegati a
un generatore di c.a. La Figura 33.13a mostra un circuito contenente un resistore,
vLgeneratore
vC di tensione alvR ad un
un induttore ed un condensatore collegati in serie
ternata. Se la tensione applicata varia sinusoidalmente nel tempo, la tensione istanR
L
C
tanea è data dalla relazione
Dv
5
DV
sin
vt
Dv 5 DVmax
max sin vt
Dv 5 DVmax sin vt
Nella Figura 33.13b sono mostrate le tensioni ai capi di ogni elemento del circuito
in funzione del tempo e le loro relazioni di fase rispetto alla corrente, così come
ricavate nei Paragrafi 33.2-33.4, nell’ipotesi che ciascun elemento sia collegato sina
golarmente al generatore di tensione.
i
t
vR
t
vR
vL
vC
R
L
C
vL
t
vC
t
a
b
i
t
Figura 33.13 (a) Un circuito
in serie costituito da un resistore,
un induttore e un condensatore
collegati a un generatore di c.a.
(b) Relazioni di fase tra corrente e
tensioni nei singoli elementi circuitali se fossero collegati singolarmente al generatore di c.a.
1008Capitolo 33 ax
Induttoregli elementi circuitali
Condensatore
Quando
sono collegati tutti contemporaneamente al generatore
di
c.a.,
come
in
Figura
33.13a,
la corrente nel circuito è data da
VL
Resistore
v
Imax VR
a
re
Induttore
VL
v
v
VR
Imax
i 5 I max sin 1 vt 2 f 2
v
v
dove f è un certo angolo di faseI tra la corrente e la tensione applicata. Sulla base
i 5maxI max sin 1 vt 2 f 2
della discussione fatta nei Paragrafi 33.3
e 33.4, ci aspettiamo che in un circuito RLC
Imax qui considerato la corrente non sia in generale in fase con la tensione
come quello
VC
applicata.
Poiché gli elementi circuitali in Figura 33.13a sono in serie, in ogni istante la
c i punti del circuito. Ovvero, in tutti i punti di un circuito
bcorrente è la stessa in tutti
in c.a. costituito da elementi in serie la corrente alternata ha la stessa ampiezza e la
Condensatore
stessa fase. Quindi, come abbiamo visto nei paragrafi precedenti, la tensione ai capi
di ogni elemento avrà un’ampiezza e una fase diverse. In particolare, la tensione ai
capi del resistore è in fase rispetto alla corrente, la tensione ai capi dell’induttore
precede div90° la corrente e, infine, la tensione ai capi del condensatore è in ritardo
di 90° rispetto
alla corrente. Usando queste relazioni tra tensione e corrente, possiaImax
5 tre
DVRelementi
sin vt come
(33.21)
R 5 I max R
mo esprimere la tensioneDv
istantanea
ai sin
capivtdei
VC
p DVR sin vt
5 XI max
R sin vt 5
5 IRmax
Dv L Dv
b 5 DVL cos vt
L sin avt 1
2
p
Dv L 5 I maxXL sin avt 1p b 5 DVL cos vt
Dv C 5 I max X C sin avt 2 2b 5 2DVC cos vt
2
p
Dv C 5 I max X C sin avt 2 b 5 2DVC cos vt
2
c
b
re
Circuiti in corrente alternata
Condensatore
v
v
Imax
Imax
VC
c
Figura 33.14 Relazioni di fase
fra i fasori della tensione e della
corrente per (a) un resistore, (b)
un induttore e (c) un condensatore connessi in serie.
(33.22)
(33.23)
(33.23)
La somma di queste tre tensioni deve uguagliare la tensione del generatore; tuttavia,
poiché le tre differenze di potenziale hanno relazioni di fase diverse tra loro, non
possono essere sommate direttamente. La Figura 33.14 mostra i fasori associati a
questi tre elementi in un istante in cui la corrente che attraversa il circuito è istantaneamente nulla. La corrente nulla è rappresentata dal fasore della corrente che giace, in ciascuno dei tre grafici di figura, sull’asse orizzontale. Il fasore della tensione
è disegnato in modo che, per ciascun elemento di circuito, formi un angolo di fase
appropriato.
I tre fasori di tensione rappresentati nella Figura 33.14 possono essere sommati
utilizzando le regole del calcolo vettoriale, come mostrato nella Figura 33.15. In
particolare, nella Figura 33.15a sono riportati, sulla stessa coppia di assi, i tre fasori
di tensione della Figura 33.14. Nella Figura 33.15b è invece mostrata la loro somma
vettoriale. Poiché i fasori DVL e DVC sono antiparalleli, possiamo costruire il fasore
differenza DVL 2 DVC , che risulta perpendicolare al fasore DVR . Il diagramma mostra
inoltre che il fasore risultante, somma vettoriale delle ampiezze di tensione DVR , DVL
e DVC , è un fasore la cui lunghezza è uguale alla massima tensione applicata DVmax e
che forma un angolo di fase f rispetto al fasore Imax. Dal triangolo rettangolo della
Figura 33.15b si ottiene
I fasori della Figura 33.14
vengono combinati su un
unico sistema di assi.
La tensione totale Vmax
forma un angolo f con Imax.
VL
Vmax
VL VC
Figura 33.15 (a) Diagramma dei
fasori per il circuito RLC in serie
mostrato nella Figura 33.13a. (b)
I fasori associati all’induttanza ed
alla capacità vengono sommati fra
loro e poi sommati vettorialmente
al fasore associato alla resistenza.
(33.21)
(33.22)
f
v
a
VC
Imax V
R
Imax VR
v
b
33.5 Il circuito RLC in serie
2
1
DV
" 1 I max R 2 22 1 1 I max X L
L 2
C 22 2 5
111 DV
1
DV
2
DV
2 5 " 1 I max R 2 2 1 1 I max X L
L
C
1
2 DV 2 2 5 " 1 I R 2 22 1 1 I max X L
1 1 DV
DVLLL 2 DVCCC 2 2 5 " 1 I max
max
max R 2 1 1 I max
max X L
L
2
2
DV
5
I
"R
2 1 1 XL 2 XC 2 2
max
max
1
2
DV
5
I
"R
2 1 XL 2 XC 2
max
max
DVmax 5 I max "R 22 1 1 X L 2 X C 2 22
DVmax
max 5 I max
max "R 1 1 X L
L 2 XC
C2
Possiamo quindi esprimere la corrente massima come
DV
max
DV
DVmax
DVmax
max
max
5
"DVR22
5
"DV
5 "DVRR222
5 "DVRR
2
2
II max X
C 22 2
2
X
max
C
2 I max X C 2 222
2 I max
max X C
C2
DV
max
DV
5
(33.24)
DVmax
5
(33.24)
2 DVmax
2
max
1
2
5 "R
(33.24)
2
X
max
2 1 X
2
L
C
5
(33.24)
"R
2 1 1 XL 2 XC 2 2
"R
2 X 22
"R 22 1
1 11 X
X LLL 2 X CCC 2 2
Anche in questo esempio l’espressione ricavata ha la stessa forma matematica
dell’Equazione 27.7. Il denominatore della frazione gioca quindi il ruolo di una
resistenza e verrà chiamato impedenza Z del circuito:
II max
max
II max
max
max
Z
Z
Z
Z
2
"
;
2
"R
"
; "R
2
"R
"
;
"R 22
;"
1
1
1
1
11 X L
X
X LL
11 X
L
L
1009
2
2
X
C 22 2
2
X
C 22
2
X
2 X CCC 2 22
(33.25)
(33.25)
(33.25)
(33.25)
WW
Corrente massima in un
circuito RLC
WW
Impedenza
L’impedenza si misura quindi in ohm. Possiamo, quindi, riscrivere l’Equazione
33.24 nella forma
V
DV
max
m
ax
V
DV
max
m
ax
(33.26)
II m
V
DV
max
ax 5
max
ax
5
(33.26)
VZm
DV
max
ax 5
max
m
ax
(33.26)
II m
max
m
ax
max
m
ax 5
Z
(33.26)
max
m
ax
Z
max
m
ax
Z
L’Equazione 33.26 è l’equivalente in c.a. dell’Equazione 27.7. Si noti che, in un circuito in c.a., l’impedenza, e quindi la corrente, dipendono dalla resistenza, dall’induttanza, dalla capacità e dalla frequenza angolare (poiché le reattanze dipendono
dalla frequenza angolare).
Dal triangolo rettangolo mostrato nel diagramma dei fasori della Figura 33.15b si
ricava che la differenza 21
di fase
f traDV
la corrente21e laI max
tensione
è
DV
DVL 2
I X
2 DVC
XL 2
2 II max X
XC
f
5
tan
21 a DVL 2 DVC b 5 tan21 a I max X L 2 I max X C b
C
max
L
max X C b
5
tan
f
5
tan
b
a
21 a DVL
21
I
2
DV
X
2
I
LDVR
C b 5 tan21 a max
max IL
Lmax Rmax
max C
Cb
21
f
5
tan
L
C
a
DV
II max R
f 5 tan21 a
R
b 5 tan21 a
b
DV
R
DVRRR
I max
R
max
max
X 2
21 X L
2X
XC
(33.27)
f
5
tan
21 a X L 2 X C b
(33.27)
f
5
tan
21 a X L
X CCC bb
R
L 2
21
(33.27)
f
5
tan
L
a
R
(33.27)
f 5 tan21 a
b
R
R
Imax
WW
Angolo di fase
Vmax
Se XL > XC (cioè alle alte frequenze), la differenza di fase è positiva, il che significa che la corrente è in ritardo rispetto alla tensione applicata, come nella Figura
33.15b. In questo caso si suole dire che il circuito è più induttivo che capacitivo. Al
contrario, se XL < XC , la differenza di fase è negativa, il che significa che la corrente
a
è in anticipo rispetto alla tensione applicata,
nel qual caso si dice che il circuito è
più capacitivo che induttivo. Infine, quando XL V
5 XC , la differenza di fase è zero ed il
max
Vmax
Imax
circuito è puramente resistivo.
Imax
Q uiz 33.5 ​
Si indichi per ognuno dei casi (a), (b) e (c) mostrati nella Figura 33.16
se risulta XL > XC , XL = XC oppure XL < XC .
b
a
Imax
Vmax
Imax
Vmax
Vmax
Imax
a
c
b
Imax
Vmax
Figura 33.16 ​(Quiz 33.5) Si
associ ad ognuno dei diagrammi
di fasori la corretta relazione tra
le reattanze.
Vmax
Esempio 33.4 Analisi di un circuito serie RLC in serie
Imax
Un circuito RLC in serie ha
R 5 425 V, L 5 1.25 H, C 5 3.50 mF ed è connesso ad un generatore di c.a. di frequenza f = 60.0 Hz e tensione DVmax 5 150 V.
b
(A) ​Si calcolino lac reattanza induttiva, quella capacitiva e l’impedenza del circuito. Vmax
Imax
segue
1010Capitolo 33 Circuiti in corrente alternata
▸ 33.4 s e g u e
SOLUZIONE
Concettualizzare ​Il circuito da analizzare è mostrato nella Figura 33.13a. La corrente che scorre nella serie costituita
dal resistore, dall’induttore e dal condensatore oscilla con una ben determinata fase rispetto alla tensione applicata.
Classificare Quello analizzato è un semplice circuito RLC in serie, quindi per studiarlo si può usare l’approccio
descritto nel presente paragrafo.
Analizzare Si calcola la frequenza angolare:
21
5 2p(60.0
2pf 5
5 2p(60.0
2p(60.0
Hz)
5
377 ss21
v5
21377
v
2pf
Hz)
52pf
2pf
Hz)5
5377
377 5
s21
vv5
Hz)
v552p(60.0
2pf 5 2p(60.0
Hz)s5 377 s21
21)(1.25 H) 5 471 V
X L5
5(377
vL 5
5
(377
21
Si usa l’Equazione 33.10 per calcolare la reattanza induttiva: XX 5
X
5
vL
(377
ss21
)(1.25
H)
V
vL
)(1.25
H)5
5 471
4715
ss21
)(1.25
VV 471
LL 5vL
X LL55(377
vL 5
(377
s21H)
)(1.25
H) 5
471 V
11
1 5 11 5
1X
11
758 V
V
5
Si usa l’Equazione 33.18 per calcolare la reattanza capacitiva: XX 5
1 5
1
5
XC5
21
26758
526
758
5
VV 758
21
CC 5 X C5
1
2
1
21
263
vC
21
F2 5
377
s
3.50
3
10
758 V
231 3.50
s213
1377
21 13.50
vCC 5 1vC
3775
F2 210
3.50
1026
vC
ss 11 2377
F
10
26 F 2
2
2
1
vC
377 s
3.50 3 10 F
22 1 1 X 222 X 222
Si usa l’Equazione 33.25 per calcolare l’impedenza:
2
2
Z
5
"R
1
L
C
1
Z 51
1 1XXL2L2
22 2 X C 2 2
1"R
2 XX
5"R
"R
ZZ5
CCL
1 X1 X
Z 5 "R
L 2 XC 2
2
2
2
2
5"
"
425
V
1
471
V2
2
758
V513
5
513 V
V
2222 1
2222 5
5
471
V
1 471
5"
"1 1425
425
1 1V
2
758
V2 22758
5V
5
VV211122425
1
VV1112
758
5
VV 513
2 1
2 5
5"
425
V471
471
VV
2 758
V513
513 V
(B) ​Si calcoli la corrente massima che scorre nel circuito.
SOLUZIONE
DV150
150 V
V
max VV 150
DV
DVmax
DV
max
max
55
55
5 0.293
0.293 A
A
DV150
150
V 5
max 5
max 5
5 IImax
5
5
0.293
IImax
0.293
max5
513 V
V 5 AA0.293
I max
5
A
ZZ513V
V 513
ZZ 5 513
Z
513 V
Si usa l’Equazione 33.26 per ricavare la corrente massima:
(C) ​Si calcoli l’angolo di fase tra la corrente e la tensione applicata dal generatore.
SOLUZIONE
XL 2
2X
XC
471
VV
2
758 V
V
471
V
2
XLL21
2XaXX
21
21
X
2
471
2
758
V 758
471
VVa2
758
21
CCL 2 X C b
21
21
f21
5aatan
tan
5 234.08
234.08
5atan
tan
X
2bb758
f
5
a 471 V425
bb 5
Lb 5
C b215
5tan
tan
234.08
5
5V
Si usa l’Equazione 33.27 per calcolare l’angolo di fase: ff5
5
234.08
tan
21 a b
V
R tan
f 5 tan RR a
a
b 5 234.08
b 5a tan21425
425
V
R
425VV
425 V
R
(D) ​Si calcoli la tensione massima ai capi di ciascun elemento del circuito.
SOLUZIONE
10.293
DV
55
R5
5 A1A
0.293
A
425
V
5
124 V
V
222112425
22 5
max
5
IImax
R
V
1 10.293
2 21 1425
DVRR5
5IDV
Imax
R
5
0.293
425A
5 124
124
DV
VV
5
VV 124
RRR
max
DV
R 5 I max R 5 1 0.293 A 2 1 425 V 2 5 124 V
10.293
55
X
5 1A
0.293
A
471
V
5
138 V
V
DV
222112471
22 5
max
5
IImax
X
V
1 10.293
2 21 1471
5IDV
Imax
X
0.293
471A
5 138
138
DVLL5
VV
5
VV 138
DV
LLX
LL 5 A
max
LL 5
DV
L 5 I max X L 5 1 0.293 A 2 1 471 V 2 5 138 V
10.293
55
X
5 1A
0.293
A
758
V
5
222 V
V
DV
222112758
22 5
max
5
IImax
X
V
1 10.293
2 21 1758
5IDV
Imax
0.293
758A
5 222
222
DVCC5
VV
5
VV 222
DV
CCXX
CC 5 A
max
CC 5
DV
C 5 I max X C 5 1 0.293 A 2 1 758 V 2 5 222 V
Si usano le Equazioni 33.2, 33.11 e 33.19 per calcolare le
tensioni massime richieste:
(E) ​Se un ingegnere volesse che la corrente fosse sfasata di 30.0° rispetto alla tensione, che induttanza dovrebbe
utilizzare, senza modificare gli altri elementi del circuito?
SOLUZIONE
Si risolve l’Equazione 33.27 per la reattanza
induttiva:
Si sostituiscono le Equazioni 33.10 e 33.18
in questa espressione:
Si ricava L:
Si sostituiscono i valori assegnati:
5RX
Xtan
1fR
R tan
tan f
f
X L1
5
5XXX
XXLL5
CC 1f
1 R tan f
XCCL15RXtan
L
C
1 5 11 1 R tan f
1vL
1tan
5
1ffR tan f
vL5
5 vL
1R
tan
vL
vC
vL1
5RvC
1 R tan f
vC
vC
vC
1
11 L 5
11 11 a 1
1fb
R tan
tan fb
fb
1
5 1
1
R
a
5 L
1
R
tan
a
LL5
1
R
tan
a
v a vC
vC
5
1fb
R tan fb
vCv
vv L vC
v vC
11
11
115
11
1
425
V
tan 11230.08
230.08
22 tan
22 dd
1 21
1
1
2d d
1 1425
1 1 230.08
21 cc
21
26
5 LL 5
126
425
tanV
c
LL5
1
VV21112425
tan
c
21
2
1
2
1
1
21
21
263
21 377
F2 1
3.50
3
10
377
2 tan 12230.08
2d
L5
425
V230.08
231 3.50
ss213
ss377
2 1 1377
21 13.50
1 1377
F2 210
3.50
1026
377
F
ss2111 2377
10
21 2 ssc 1 2377
26 F 2
2
2
1
2
1
377 s
3.50 3 10 F
377 s
5
1.36 H
H
LL 5
5 1.36
1.36
H1.36
LL5
H
L5
1.36 H
Concludere Essendo la reattanza capacitiva maggiore di quella induttiva, il circuito è più capacitivo che induttivo.
In tale situazione, l’angolo di fase f è negativo, quindi la corrente è in anticipo di fase rispetto alla tensione.
33.6 Potenza in un circuito in c.a.
1011
▸ 33.4 s e g u e
Usando le Equazioni 33.21, 33.22 e 33.23 si possono calcolare le tensioni massime ai capi di ciascun elemento:
DvR 5 (124 V) sin 377t
5
377t
5RR (138
V) V)
cossin
377t
DvLDv
5 (124
(124
V)
sin
377t
Dv
DvR 5 (124 V) sin 377t
DvCDv
5L (2222
5 (138V)
V)cos
cos377t
377t
Dv
L 5 (138 V) cos 377t
DvL 5 (138 V) cos 377t
Dv
V) cos
DvCC 5
5 (2222
(2222
cos 377t
377t
La somma dei valori massimi delle tre tensioni
è unaV)
quantità
che ha un significato fisico?
E SE?
DvC 5 (2222 V) cos 377t
Risposta ​La somma è DV R 1 DV L 1 DVC 5 484 V ed è molto maggiore della tensione in uscita dal generatore, che
è 150 V. Tuttavia, è importante osservare che la somma dei valori massimi delle tensioni è una quantità priva di
senso fisico, in quanto, sommando quantità che variano sinusoidalmente nel tempo, si deve tenere conto sia della
loro ampiezza che della loro fase. I valori massimi calcolati per le tensioni si hanno in istanti temporali differenti. Le
tensioni, al contrario, vanno sommate, come mostrato nella Figura 33.15, in modo da tenere conto delle relative
differenze di fase.
33.6 Potenza in un circuito in c.a.
Usiamo ora un approccio energetico per analizzare un circuito in c.a. e consideriamo il trasferimento di energia che avviene tra il generatore ed il circuito. La potenza
fornita da una batteria ad un circuito in corrente continua è il prodotto fra la corrente che circola nel circuito e la tensione del generatore. Allo stesso modo, anche
P 5 i Dv 5 I
sin (vt 2 f) DVmax sin vt
in un circuito in c.a. la potenzamax
istantanea trasferita
da una batteria al circuito è il
P
5
I
DV
sin
vt
sin
(vt
2
prodotto tra la corrente
e
la
tensione
applicata.
Nel
caso
delvtcircuito RLC(33.28)
mostrato
P
(vt 2 f) DV f) sin
max5
max
P5
5 ii Dv
Dv
5 II max
max sin (vt 2 f) DVmax
max sin vt
nella Figura 33.13a, possiamo
esprimere
la
potenza
istantanea
P
nella
forma
P 5 i Dv 5 I max sin (vt 2 f) DVmax sin vt
P
DV
sin vt sin (vt 2 f)
(33.28)
P5
5 II max
(33.28)
max DVmax
max sin vt sin (vt 2 f)
P 5Pi 5
DvI 5
I
sin
(vt
2
f)
DV
sin
vt
DV
sin
vt
sin
(vt
2
f)
(33.28)
max
max maxmax
P 5 I max DVmax sin vt sin (vt 2 f)
(33.28)
Questa espressione è una complicata funzione del tempo, per cui non è molto utile
da un punto di vista pratico.2 Quello che generalmente interessa è la potenza media
P 5 I max DVmax sin vt cos f 2 I max DVmax sin vt cos vt sin f
(33.29)
su uno o più cicli.
Tale media può essere calcolata sostituendo nell’Equazione 33.28
2
l’identità trigonometrica
(vt
2 cos
f) 5
cosvtvtcos
sinvtf:sin f
2 vt
P
DV sinsin
f sin
2 I vt cos
DV f 2sin
(33.29)
P5
5 II max
(33.29)
max DVmax
max sin vt cos f 2 I max
max DVmax
max sin vt cos vt sin f
P 5 I max DVmax sin22 vt cos f 2 I max DVmax sin vt cos vt sin f
(33.29)
P 5 I max DVmax sin vt cos f 2 I max DVmax sin vt cos vt sin f
(33.29)
Facciamo ora la media di P su uno o più cicli, notando che I max, DVmax, f e v
sono delle costanti. La media temporale del primo termine al secondo membro del­
l’Equa­zione 33.29 è proporzionale al valor medio di sin2 vt, che è –12 . La media temporale del secondo termine si annulla, poiché sin vt cos vt 5 –12 sin 2vt ed il valore
I max DVesprimere
(33.30)
Pmedia 5 12quindi,
max cos f la potenza media Pmedia
medio di sin 2vt è zero. Possiamo,
come
1
1I
(33.30)
Pmedia 5
max DVmax cos f
P
(33.30)
media 5 2
2 I max DVmax cos f
(33.30)
Pmedia 5 12 I max DVmax cos f
È conveniente esprimere la potenza media in funzione della corrente e della
tensione efficaci, definite dalle
33.4
e 33.5:
PmediaEquazioni
5 Ieff DV
Veff
cos
f
(33.31)
Pmedia5
I
DV
V
cos f
(33.31)
P
Veff
(33.31)
media5 Ieff
eff DV
eff cos f
Pmedia5 Ieff DV
Veff cos f
(33.31)
in cui il fattore cos f è chiamato fattore di potenza. Esaminando la Figura 33.15b,
vediamo che il valore massimo della tensione ai capi del resistore è DV R 5 DVmax
cos f 5 I max R. Quindi, cos f 5 I max R/DVmax R5 R/Z e Pmedia
DVeff può essere espressa
Pmedia 5 I eff DVeff cos f 5 I eff DVeff a b 5 I eff a
bR
come
Z
ZDV
R
R b 5 I a DVeff
eff R
P
media 5
eff DV
eff cos
eff DV
eff a
eff a DVeff b
5 II eff
DVeff
cos f
f5
5 II eff
DVeff
Pmedia
aR
b 5 I eff
bR
Z
Z
Pmedia 5 I eff DVeff cos f 5 I eff DVeff a Z b 5 I eff a Z b R
Z
Z
WW
Potenza media trasferita
ad un circuito RLC
1012Capitolo 33 Circuiti in corrente alternata
Poiché DVeff/Z = Ieff ,
(33.32)
P media 5 I 2effR
In altre parole, la potenza media fornita dal generatore si converte in energia interna nel resistore, proprio come nel caso di un circuito percorso da corrente continua.
Quando il carico è puramente resistivo, allora f 5 0 e cos f 5 1; dall’Equazione
33.31 si ottiene allora
P media 5 I eff DVeff
Si noti che in un circuito in c.a. non vi è potenza dissipata all’interno di elementi
puramente induttivi o puramente capacitivi. Per vedere come ciò sia possibile, analizziamo il caso di un circuito in c.a. costituito solo da un generatore e da un condensatore. Quando la corrente nel circuito in c.a. inizia ad aumentare, circolando in una
direzione, della carica inizia ad accumularsi sul condensatore ed una differenza di
potenziale si instaura ai suoi capi. Quando tale tensione raggiunge il suo valore massimo, l’energia immagazzinata nel condensatore come energia potenziale elettrica è
–12C(DVmax)2. Tuttavia, tale energia risulta immagazzinata nel condensatore solo momentaneamente. Infatti, il condensatore si carica e si scarica due volte per ogni ciclo: la carica viene depositata sulle sue armature durante due quarti del periodo e
ritorna al generatore durante gli altri due quarti. Quindi, la potenza media fornita
dal generatore è nulla. Di conseguenza, non avviene alcuna dissipazione di energia
in un condensatore in un circuito in c.a.
Consideriamo ora il caso di un induttore. Quando la corrente nell’induttore è
massima, l’energia immagazzinata è massima ed è data da –12LI 2max. Quando la corrente inizia a diminuire, questa energia viene nuovamente trasferita al generatore
mentre l’induttore cerca di opporsi alla diminuzione di corrente nel circuito.
L’Equazione 33.31 mostra che la potenza fornita da un generatore di tensione
alternata ad un circuito qualunque dipende dalla differenza di fase e questo risultato
ha molte applicazioni interessanti. Per esempio, una fabbrica che usa grandi motori
per macchine, generatori o trasformatori ha un grosso carico induttivo (a causa di
tutte le bobine). Per rifornire la fabbrica della potenza necessaria ad alimentare questi apparecchi, evitando l’uso di tensioni di alimentazione eccessivamente grandi, i
tecnici inseriscono nei circuiti capacità opportune per modificare la fase.
Q uiz 33.6 Un generatore di tensione alternata alimenta un circuito RLC con una
tensione di ampiezza fissata. Alla frequenza angolare v1, il circuito è più capacitivo che induttivo e l’angolo di fase è 210°. Se invece la frequenza angolare è v2,
il circuito è più induttivo che capacitivo e l’angolo di fase è 110°. Per quale frequenza angolare si ha il massimo trasferimento di potenza al circuito? (a) Per v1.
(b) Per v2. (c) La potenza trasferita è la stessa ad entrambe le frequenze angolari.
Esempio 33.5 Potenza media trasferita ad un circuito RLC in serie
Si calcoli la potenza media trasferita al circuito RLC in serie descritto nell’Esempio 33.4.
SOLUZIONE
Concettualizzare Si consideri il circuito mostrato nella Figura 33.13a e si immagini che una certa quantità di energia
venga ad esso trasferita mediante un generatore di c.a. Può essere utile rivedere l’Esempio 33.4 per alcuni dettagli che
riguardano tale circuito.
Classificare ​Dal momento che per ottenere i risultati si useranno le equazioni ricavate in questo paragrafo, si può
classificare questo esempio come un problema di sostituzione.
Si usano l’Equazione 33.5 ed il valore massimo della tensione ricavato
nell’Esempio 33.4 per calcolare la tensione efficace erogata dal generatore:
DVeff 5
Analogamente si calcola la corrente efficace che scorre nel circuito:
I eff 5
DVmax
"2
I max
"2
5
5
150 V
"2
0.293 A
"2
5 106 V
5 0.207 A
33.7 Risonanza in un circuito RLC in serie
1013
▸ 33.5 s e g u e
Si usa quindi l’Equazione 33.31 per calcolare la potenza
trasferita dal generatore:
Pmedia 5 I eff Veff cos f 5 (0.207 A)(106 V) cos (234.0°)
I eff
Veff
cos f 5 (0.207 A)(106 V) cos (234.0°)
Pmedia
media 55
eff18.2
eff W
5 18.2 W
5 II eff VVeff cos
cos ff 5
5 (0.207
(0.207 A)(106
A)(106 V)
V)cos
cos (234.0°)
(234.0°)
media5
PPmedia
eff eff
33.7 Risonanza in un circuito RLC in serie
18.2 W
W
5 18.2
5
Capitolo 15 abbiamo analizzato la risonanza nei sistemi meccanici oscillanti. Come
abbiamo visto nel Capitolo 32, un circuito RLC in serie è un sistema elettrico oscillante. Un tale circuito si dice che è in risonanza quando la frequenza del generatore
è tale che la corrente efficace che attraversa il circuito ha il massimo valore possibile.
In generale, la corrente efficace può essere DV
scritta come
eff
(33.33)
I eff 5
Z
DVeff
eff
(33.33)
I eff
eff 5
Z
dove Z è l’impedenza. Sostituendo nell’Equazione 33.33 l’espressione di Z del­
DVeff
l’Equazione 33.25, otteniamo la relazione
eff
Veff
5 DVDV
(33.33)
I eff 5
(33.33)
I
eff
Z
(33.34)
I eff 5
2 Z
2
1 X L 2 XC 2
"R DV
"
1Veff
eff
5
(33.34)
I eff
eff
2
2
"R 2 1 1 X LL 2 X CC 2 2
"
DV
eff frequenza del generatore, anche la
VVeff
Dal momento che l’impedenza
dipende DV
dalla
5
(33.34)
I eff 5
(33.34)
I
2
2
eff
corrente nel circuito RLC dipende
dalla
frequenza.
1
2 1 X L 2 X C 22 La pulsazione v 0, alla quale
"R
"
1
2
"R 1 X L 2 X C
"
X L 2 X C 5 0, è chiamata frequenza angolare di risonanza. Per trovare v0 usiamo la
condizione X L 5 X C , da cui otteniamo v0 L 511/v0C ed anche
v0 5
(33.35)
1 C
"L
"
"LC
WW
Frequenza angolare di risonanza
v 00 5
(33.35)
"LC
"
"LC
Si noti che questa frequenza angolare corrisponde
anche alla frequenza angolare
11
5 (Par.
(33.35)
vv00LC
5
propria di oscillazione di un circuito
32.5). Quindi, in un circuito(33.35)
RLC in
"LCC
"
"LC
"L
"
"LC
serie la corrente efficace raggiunge il suo valore massimo quando la frequenza della
tensione applicata coincide con la frequenza propria dell’oscillatore, che dipende
solo da L e da C. Inoltre, a questa frequenza, la corrente è in fase con la tensione
applicata.
Q uiz 33.7 Com’è l’impedenza di un circuito RLC in serie in condizioni di risonanza? (a) Maggiore di R. (b) Minore di R. (c) Uguale ad R. (d) Impossibile da determinare.
Un grafico della corrente efficace in funzione di v per un circuito RLC in serie è mostrato nella Figura 33.17a. Si sono usati i seguenti dati: DVeff 5 5.0 mV, L 5
5.0 mH e C 5 2.0 nF. Le tre curve corrispondono a tre valori differenti di R. Si noti che la
corrente efficace raggiunge sempre il suo valore massimo alla frequenza angolare di risonanza v0. Inoltre, le curve diventano più strette e più alte al diminuire della resistenza.
L’Equazione 33.34 mostra che, quando R = 0, la corrente alla risonanza diventa
infinita. Sebbene l’equazione preveda un tale comportamento, c’è da osservare che
2
i circuiti reali presentano sempre una
resistenza
1 DVqualche
1 DVeffche
2 2R limita il valore della
eff 2
2
5I
R
5
R
5
(33.36)
P
corrente ad un valoremedia
finito.eff
22
2
R 2 11
X L2 22R
2 XC 22
DVZ
DV1eff
1
eff 2
eff
eff
2
2
Per un circuitoPRLC
in serie
si può anche
calcolare la potenza media in funzione
R5
(33.36)
eff R 5
media5I eff
2
2
2
media
2
2
1 X LL 2si Xtrova
R 2 e133.25
C
della frequenza. Usando le EquazioniZ 33.32, 33.33
che
C2
DVeff2222
DVeff2222RR
11DV
11DV
2
2
2 eff
eff
2eff R 5
5I
R
5
(33.36)
P
1
L
media
2
R 5 22 1 11Xv 2 2
(33.36)
Pmedia
1 X L5I
2 eff
X CR2 255 avL
2 Xv 22222 2
ZZ 2 2 vC22b RR5
1
2v 21 X LL 2 X CC02
2
1 X LL 2 X CC 2 22 5 avL 2 1 b 5 L 2 1 v 22 2 v 0022 2 22
v 2 (X L 2 X C)2 può essere espresso
Poiché X L 5 vL, X C 5 1/vC e v02 5 1/LC,vC
il termine
come
1 22 LL22 2
2 XX C2222 5
5 avL
2 1 bb 5
5 2 11vv2 2
2 vv 0222222
avL 2
11XXLL 2
C
0
vC
2
v
vC
v
1014Capitolo 33 Circuiti in corrente alternata
Figura 33.17 (a) La corrente
efficace per un circuito RLC
in serie per tre valori di R. (b)
Potenza media trasferita ad un
circuito RLC in serie in funzione
della frequenza per tre valori di
R diversi.
La corrente raggiunge
il suo valore massimo
alla frequenza di
risonanza v0.
Ieff (mA)
1.6
1.4
7
6
1
R 5.0 0.8
5
4
0.6
R 10 0.4
R 3.5 3
R 5.0 v
2
0.2
a
8
R 3.5 1.2
0
Pmedia (mW)
All’aumentare della
resistenza, aumenta
v0 nel punto di
emipotenza.
1
v0
8
9
10
R 10 11
v (Mrad/s)
12
0
v0
8
9
10
11
v (Mrad/s)
12
b
Sostituendo questo risultato nell’Equazione 33.36, si ottiene
Potenza media in 
funzione della frequenza in
un circuito RLC
Fattore di qualità 
22 222 Rv
DVeff
Rv 222
111 DV
eff
DV
eff 2 Rv
5
(33.37)
P
media
5
(33.37)
P
2
2
2
2
(33.37)
Pmedia
2 2
2
2 1 v2
2
2
222
media 5 R
R
v
1
L
2
v
R2 v
v 1
1L
L2 11 v
2v
v0002 22 2
v2 2
Questa espressione mostra che alla risonanza, cioè quando v = v0, la potenza media
è massima ed il suo valore è (DVeff)2/R. In Figura 33.17b è riportato il grafico della
potenza media in funzione di v per tre valori di R. Più la resistenza diventa piccola,
più la curva diventa stretta e ripida in prossimità della frequenza angolare di risonanza. La larghezza della curva intorno alla risonanza è usualmente descritta da un
parametro adimensionale, noto come fattore di qualità,2 indicato con Q :
v
v
v 000
Q
5
Q
Q5
5 Dv
Dv
Dv
dove Dv è la larghezza della curva misurata tra i due valori di v per i quali Pmedia ha
un valore che è metà del suo valore massimo, detti punti di emipotenza (Fig. 33.17b).
Si lascia ad un problema (Problema 76) la dimostrazione che la distanza tra i due
punti di emipotenza è Dv 5 R/L, per cui
L
v0 L
v
(33.38)
Q5
5 v00 L
(33.38)
Q
(33.38)
Q
5
R
R
R
Un’applicazione importante di un circuito risonante è il circuito ricevente di una
radio. La radio viene sintonizzata su una particolare stazione (che trasmette un’onda elettromagnetica o un segnale di frequenza fissata) variando una capacità, che
cambia la frequenza di risonanza del circuito ricevente. Quando il circuito riceve un
segnale di antenna indotto da un’oscillazione elettromagnetica, il circuito risonante
risponde con un segnale elettrico di ampiezza significativa solo se la frequenza di
risonanza è sintonizzata sulla frequenza della stazione radio. Quindi, solo il segnale di una stazione radio viene amplificato e inviato all’altoparlante, anche se molti
altri segnali da altre stazioni radio sono ricevuti nello stesso tempo dal circuito. Dal
momento che spesso su un certo intervallo di frequenze sono presenti più segnali, è
importante progettare un circuito ricevente ad alto Q che elimini efficacemente i segnali indesiderati. In questo modo, le stazioni che hanno frequenze anche molto vicine alla frequenza di risonanza produrranno nel ricevitore segnali trascurabilmente
piccoli rispetto a quella stazione che è sintonizzata sulla frequenza di risonanza.
2 Il
fattore di qualità viene talvolta definito come il rapporto 2pE/DE, dove E è l’energia immagazzinata nel sistema
e DE la diminuzione di energia durante un’oscillazione a causa della resistenza.
33.8 Il trasformatore e la trasmissione di potenza
1015
Esempio 33.6 Circuito RLC in serie risonante
Si consideri un circuito RLC in serie per il quale si ha R 5 150 V, L 5 20.0 mH, DVeff 5 20.0 V e v 5 5 000 s21.
Si calcoli il valore della capacità per cui la corrente è massima.
SOLUZIONE
Concettualizzare ​Si consideri il circuito mostrato nella Figura 33.13a e si immagini di far variare la frequenza del
generatore di c.a. La corrente nel circuito è massima quando la frequenza è quella di risonanza v0.
Classificare ​Si troverà il risultato utilizzando le equazioni sviluppate in questo paragrafo, quindi si può classificare
questo esempio come un problema di sostituzione.
Si usa l’Equazione 33.35 per trovare la capacità in funzione
della frequenza di risonanza:
v0 5
Si sostituiscono i valori numerici:
C5
1
"LC
S C5
33.8 Il trasformatore e la trasmissione di potenza
Come discusso nel Paragrafo 27.6, quando si trasmette potenza elettrica su grandi
distanze, è economico usare alta tensione e bassa corrente, in modo da minimizzare
la perdita di potenza I 2R negli elettrodotti. Per questa ragione sono comuni elettrodotti da 350 kV e si cominciano ad usare anche elettrodotti a tensione ancora maggiore (765 kV). Agli estremi di tali elettrodotti l’utilizzatore richiede potenza a bassa
tensione e alta corrente (per sicurezza e semplicità di progettazione). In pratica, la
tensione viene ridotta a circa 20 000 V in una sottostazione di distribuzione, quindi
a 4 000 V per l’erogazione ad un’area residenziale e infine a 120 V e 240 V al domicilio dell’utente. È quindi necessario un dispositivo con cui si possano aumentare
(o diminuire) la tensione e la corrente alternate senza che ciò causi una variazione
apprezzabile della potenza erogata. Il trasformatore in c.a. è il dispositivo usato a
tale scopo.
Nella sua forma più semplice, il trasformatore in c.a. consiste in due bobine avvolte attorno ad un nucleo di ferro dolce, come in Figura 33.18. (Si confronti questo
insieme di dispositivi con quello relativo all’esperimento di Faraday, mostrato nella
Fig. 31.2.) La bobina sulla sinistra, che è collegata alla sorgente di tensione alternata in ingresso e che ha N1 spire, è chiamata avvolgimento primario (o primario). La
bobina sulla destra, di N2 spire e collegata alla resistenza di carico RL, è denominata
avvolgimento secondario (o secondario). Lo scopo del nucleo di ferro è aumentare il
flusso magnetico in ciascuna bobina e fornire un mezzo attraverso cui quasi tutto il
flusso passi da una bobina all’altra. Le perdite dovute alle correnti parassite vengono ridotte usando un nucleo di ferro a lamelle. La perdita di energia interna nella
resistenza finita dei fili delle bobine è di solito abbastanza piccola. I trasformatori
tipici hanno un’efficienza in potenza che va dal 90% al 99%. Nella discussione che
Ferro dolce
V 1
N 1 N2
Primario
(ingresso)
V 2
RL
Secondario
(uscita)
Figura 33.18 Un trasformatore ideale consiste
in due bobine avvolte
sullo stesso nucleo di
ferro dolce.
v 02 L
1
5 2.00 mF
1 5.00 3 103 s21 2 2 1 20.0 3 1023 H 2
Una tensione alternata V 1 è
applicata alla bobina primaria e
l’uscita V 2 alimenta una
resistenza RL.
1
1016Capitolo 33 Circuiti in corrente alternata
segue considereremo un trasformatore ideale, per il quale non sono presenti perdite di
energia negli avvolgimenti e nel nucleo.
La legge di Faraday stabilisce che la tensione Dv1 ai capi del primario è
dF
dFBB
(33.39)
2N
Dv
1 5
1 dFB
5
2N
(33.39)
Dv
1
1
(33.39)
Dv 1 5 2N1 dt
dt
dt
dF
B
dF
B
(33.39)
Dv
1
5 2N
2Nciascuna
(33.39)
Dv 11 5
dove FB è il flusso magnetico attraverso
spira. Se ipotizziamo che
tutte
1 dt
dt
le linee di campo magnetico siano confinate nel nucleo di ferro, allora il flusso attraverso ciascuna spira del primario è uguale al flusso attraverso ciascuna spira del
secondario. La tensione ai capi del secondario sarà quindi
dF
dFBB
(33.40)
2N
Dv 2 5
2 dFB
5
2N
(33.40)
Dv
2
2
(33.40)
Dv 2 5 2N2 dt
dt
dt
dFB
dF
B
2N
(33.40)
Dv
2 5
(33.40)
Dv 33.39
Ricavando d FB/dt dall’Equazione
e 22sostituendolo
nell’Equazione 33.40,
si
2 5 2N
dt
dt
trova che
N
2
N
(33.41)
Dv
N22 Dv
2 5
5
Dv 1
(33.41)
Dv
(33.41)
Dv 22 5 N
1 Dv 1
1
N
1
N
1
2
N
2
5
(33.41)
Dv
5 N Dv
Dv 11 della tensione Dv1 in ingresso.
(33.41)
Dvè22 maggiore
Se N2 . N1, la tensione Dv2 in uscita
Un
N11
trasformatore che opera in questo modo è detto trasformatore innalzatore. Se N2 , N1,
la tensione in uscita è minore di quella in ingresso e si parla di trasformatore abbassatore. Uno schema circuitale relativo a un trasformatore collegato a una resistenza di
carico è mostrato in Figura 33.19.
Quando nel circuito primario circola una corrente I1, nel secondario circolerà una corrente indotta I2. (Nella presente trattazione, le lettere maiuscole I e DV si riferiscono ai corrispondenti valori efficaci.) Se il carico nel circuito
secondario è un resistore puro, la corrente indotta sarà in fase con la tensione
indotta. La potenza erogata al circuito secondario sarà fornita dal generatore che è collegato al primario. In un trasformatore ideale in cui non ci siano
perdite di energia, la potenza I1 DV
dal generatore è uguale alla potenza
1 fornita
(33.42)
I1 DV
1 5 I
2 DV2
(33.42)
I2 DV2 nel circuito secondario, cioèII11 DV
DV11 5
5 II22 DV
DV22
(33.42)
(33.42)
(33.42)
© Bettmann/CORBIS
II1 DV
1 5 I2 DV2
1 DV1 5 I2 DV2
Nikola Tesla
Fisico americano (1856–1943)
Tesla nacque in Croazia, ma trascorse
la maggior parte della sua vita professionale di inventore negli Stati Uniti.
Fu una figura chiave nello sviluppo
dell’elettricità in corrente alternata, dei
trasformatori ad alta tensione e del trasporto di energia elettrica tramite linee
di trasmissione in corrente alternata. Il
punto di vista di Tesla, che poi sarebbe
risultato vincente, era in contrasto con
le idee di Thomas Edison che, per il
trasporto di energia, sostenne sempre
l’uso della corrente continua.
Il valore della resistenza di carico RL determina
il valore della corrente nel secon2
N
1 2
N
dario, poiché I 2 5 DV2 /R L . Inoltre,
la
corrente
nel
primario è I 1 5 DV1/R eq, (33.43)
dove
1 b2 R
R
5
a
N
eq 5 a 1 b R L
R
(33.43)
R eq
(33.43)
2 b RL
eq 5 a N
L
N
2
2
N 21 2
R
5 a N1 b RL
(33.43)
R eq
(33.43)
eq 5 a N b R L
N 22
è la resistenza equivalente della resistenza di carico vista dal primario. Si può vedere da questa analisi che un trasformatore può adattare la resistenza del circuito primario alla resistenza di carico. In questo modo si può ottenere il massimo
trasferimento di potenza da una data sorgente ad una resistenza di carico. Per
esempio, un trasformatore connesso fra l’uscita di 1 kV di un amplificatore audio
e l’altoparlante di 8 W assicura il massimo trasferimento di potenza dall’amplificatore all’altoparlante. Nella terminologia tecnica, questo si chiama adattamento di
impedenza.
Molti apparecchi elettronici casalinghi richiedono tensioni basse. La tensione
giusta può essere fornita da un piccolo trasformatore, come quello mostrato nella Figura 33.20, che viene collegato direttamente alla presa a parete. La fotografia
mostra i due avvolgimenti, stretti attorno allo stesso nucleo di ferro, che si trovano
in tutte queste “scatole nere”. Questo trasformatore particolare è stato progettato
Figura 33.19 Schema cir-
I1
cuitale per un trasformatore.
I2
RL
v1
N1
N2
v2
33.8 Il trasformatore e la trasmissione di potenza
Figura 33.20 I dispositivi
Il primario di questo trasformatore è in
contatto diretto con i due conduttori della
spina. L’avvolgimento secondario è connesso
al filo che si vede a destra e che alimenta un
apparecchio elettrico.
elettronici sono spesso alimentati
da adattatori in c.a. contenenti
trasformatori come questo. Tali
adattatori modificano la tensione
alternata. In molte applicazioni,
questi adattatori convertono
anche in corrente continua la
corrente alternata in ingresso.
© Cengage Learning/George Semple
© Cengage Learning/George Semple
1017
Questo trasformatore è più piccolo
di quello mostrato nella fotografia di
apertura di questo capitolo. Inoltre, è
un trasformatore che riduce la tensione,
portandola da 4 000 V ai 240 V necessari
per gli usi domestici americani.
per convertire la tensione alternata di 120 V della presa a parete in 12.5 V, sempre
alternata. (Sapreste calcolare il rapporto tra il numero di avvolgimenti delle due
bobine?) Altre “scatole nere” contengono anche un diodo per convertire la corrente
alternata in ingresso in corrente continua (Par. 33.9).
Esempio 33.7 Costi della potenza fornita in c.a.
Una centrale elettrica deve trasferire, ad una città che dista dalla centrale 1.0 km, una potenza di 20 MW. Nella
centrale, l’energia viene prodotta alla tensione, tipica dei generatori commerciali, di 22 kV, ma un trasformatore
innalzatore viene usato per aumentare la tensione fino a 230 kV prima del trasferimento alla città.
(A) ​Se la resistenza dei fili dell’elettrodotto è 2.0 V e i costi della fornitura di energia sono 11 ¢/kWh, si stimi a quale
costo giornaliero deve far fronte la compagnia elettrica a causa della conversione di energia in energia interna nei fili.
SOLUZIONE
Concettualizzare ​La resistenza dei fili è in serie con quella di carico (sia quella delle abitazioni sia quella per usi
commerciali). Quindi, attraverso i fili si ha una caduta di tensione e questo implica che parte dell’energia trasmessa
dalla compagnia viene convertita in energia interna dei fili e non raggiunge mai il carico di utilizzo.
Classificare ​Questo problema richiede di calcolare la potenza trasferita ad un carico resistivo in un circuito in c.a.
Si assumerà che nel carico di utilizzo non sia presente alcun elemento induttivo o capacitivo e si imporrà un fattore
di potenza uguale ad 1.
Pmedia
20 3 106 W
5 87 A
230 3 103 V
Analizzare Si calcola la corrente efficace Ieff nei fili mediante l’Equa-
I eff 5
Si calcola la velocità con cui l’energia viene trasferita alla resistenza
dei fili mediante l’Equazione 33.32:
Pfili 5 I 2eff R 5 1 87 A 2 2 1 2.0 V 2 5 15 kW
Si calcola l’energia TET trasferita ai fili in un giorno:
TET 5 Pfili Dt 5 1 15 kW 2 1 24 h 2 5 363 kWh
Si determina il costo di questa energia se la tariffa di fornitura è 11 ¢/kWh:
Costo 5 (360 kWh)($0.11/kWh) 5 $40
zione 33.31:
DVeff
5
(B) ​Si ripeta il calcolo assumendo che la centrale trasferisca energia alla tensione di produzione di 22 kV.
segue
1018Capitolo 33 Circuiti in corrente alternata
▸ 33.7 s e g u e
SOLUZIONE
Pmedia
20 3 106 W
5 909 A
22 3 103 V
Si calcola la corrente efficace che scorre nei fili usando
l’Equazione 33.31:
I eff 5
Dall’Equazione 33.32 si calcola la potenza con cui
­l’energia viene trasferita ai fili:
2
Pfili 5 I eff
R 5 1 909 A 2 2 1 2.0 V 2 5 1.7 3 103 kW
Si calcola l’energia trasferita ai fili durante un giorno:
TET 5 Pfili Dt 5 1 1.7 3 103 kW 2 1 24 h 2 5 4.0 3 104 kWh
Si calcola quindi il costo giornaliero di tale energia:
Costo 5 (4.0 3 104 kWh)($0.11/kWh) 5 $4.4 3 103
DVeff
5
Concludere Si noti quanto l’impiego di un trasformatore capace di innalzare la tensione prima del trasferimento
dell’energia elettrica permetta di avere un notevole risparmio economico. Tale risparmio, unito all’efficienza che si ha
nell’usare corrente alternata per alimentare i motori elettrici, ha definitivamente imposto come standard universale
l’uso della corrente alternata rispetto a quella continua nelle reti commerciali di distribuzione di potenza.
33.9 Raddrizzatori e filtri
Gli apparecchi elettronici portatili, per esempio le radio e i lettori di compact disc,
sono normalmente alimentati dalla corrente continua fornita da una batteria. Molti
apparecchi vengono forniti con un convertitore c.a.–c.c. come quello mostrato nella
Figura 33.20. Questi convertitori contengono un trasformatore che abbassa la tensione da 120 V a 6 V o a 9 V ed un circuito che converte la corrente alternata in corrente continua. Il processo di conversione di c.a. in c.c. è chiamato raddrizzamento
e lo strumento è chiamato raddrizzatore.
L’elemento più importante in un raddrizzatore è il diodo, un elemento di circuito che conduce corrente in un solo verso. Gran parte dei diodi usati nell’elettronica
moderna sono diodi semiconduttori. Il simbolo circuitale per un diodo è
, dove la freccia indica il verso della corrente che attraversa il diodo. Un diodo presenta una resistenza molto piccola quando la corrente scorre nel verso indicato dalla
freccia, mentre offre una resistenza elevata alla corrente nel verso opposto. Si comprende come un diodo possa raddrizzare una corrente analizzando la Figura 33.21a,
che mostra un diodo e un resistore connessi al secondario di un trasformatore. Il
trasformatore riduce la tensione da 120 V in c.a. al valore più basso che alimenta
l’apparecchio di resistenza R (la resistenza di carico). Poiché la corrente può passare
attraverso il diodo in un solo verso, la corrente alternata nella resistenza di carico è
ridotta alla forma mostrata dalla linea continua della Figura 33.21b. Il diodo conduDiodo
C
R
Primario
(ingresso)
a
iR
La curva a tratto pieno mostra la
corrente quando il condensatore
di filtro è assente, mentre la curva
tratteggiata rappresenta la corrente
nel circuito con il condensatore.
Figura 33.21 ​(a) Un
raddrizzatore a mezza onda con
un filtro capacitivo opzionale.
(b) La corrente nel resistore in
funzione del tempo.
t
b
33.9 Raddrizzatori e filtri
1019
ce corrente solo quando il ramo che contiene il simbolo con la freccia è a potenziale
positivo rispetto all’altro. In questa situazione il diodo agisce come un raddrizzatore a
mezza onda, perché la corrente scorre nel circuito solo per metà del ciclo.
Quando al circuito viene aggiunto un condensatore, rappresentato in Figura
33.21a dal simbolo tratteggiato del condensatore, il circuito diviene il più semplice
generatore di tensione continua. La corrente nella resistenza di carico (la curva
tratteggiata in Fig. 33.21b) tende a zero e la sua variazione dipende dalla costante di
tempo RC del circuito. Quando, sempre riferendosi alla Figura 33.21b, la corrente
inizia ad aumentare al tempo t 5 0, il condensatore si carica. Tuttavia, quando la corrente inizia a diminuire, il condensatore si scarica attraverso la resistenza, e quindi
la corrente nel resistore diminuisce meno rapidamente di quella nel trasformatore.
Il circuito RC in Figura 33.21a è un esempio di circuito di filtro, che può essere
usato per livellare o eliminare un segnale variabile nel tempo. Le radio, per esempio,
sono di solito alimentate ad una tensione a 60 Hz in c.a. Dopo che è stata raddrizzata, la tensione conterrà ancora una piccola componente alternata da 60 Hz (nel
linguaggio tecnico-scientifico chiamata ripple), che deve essere filtrata. Con “filtrare”
intendiamo dire che il ripple a 60 Hz deve essere ridotto ad un valore molto più
piccolo del segnale audio da amplificare, poiché senza filtraggio il segnale audio
risultante presenterebbe un ronzio fastidioso a 60 Hz.
Possiamo anche pensare a filtri che rispondano diversamente a seconda della
frequenza. Consideriamo, ad esempio, il semplice circuito RC in serie mostrato nella Figura 33.22a. La tensione in ingresso è collegata alla serie dei due componenti,
mentre l’uscita del circuito è rappresentata dalla tensione ai capi del resistore. Un
grafico del rapporto tra la tensione di uscita e quella di ingresso in funzione del
logaritmo della frequenza angolare del segnale (Fig. 33.22b) mostra che a basse
frequenze DVout è molto minore di DVin, mentre queste due quantità sono pressoché uguali ad alte frequenze. Un circuito che, come questo, tende a far passare più
facilmente in uscita segnali di alta frequenza che non quelli di bassa frequenza, è
chiamato filtro RC passa-alto. (Per un’analisi dettagliata del funzionamento di filtri
di questo tipo si veda il Problema 54.)
Fisicamente, il funzionamento di un filtro passa-alto è basato sul fatto che il condensatore “blocca” sia la componente continua della corrente sia le componenti
alternate a basse frequenze. Infatti, a basse frequenze la reattanza del condensatore
è alta e la tensione ai capi di quest’ultimo è molto maggiore di quella ai capi del resistore. Quando la frequenza aumenta, la reattanza capacitiva diminuisce, e quindi la
tensione ai capi della resistenza è molto maggiore di quella sull’elemento capacitivo.
Consideriamo ora il circuito, mostrato in Figura 33.23a, in cui abbiamo scambiato tra loro il condensatore e il resistore e la tensione in uscita è presa ai capi del
condensatore. A basse frequenze la reattanza del condensatore è alta, e quindi è
alta la tensione tra le armature del condensatore, mentre alle alte frequenze accade
l’opposto. Quindi, in questa configurazione il circuito si comporta come un filtro
RC passa-basso. Il rapporto tra la tensione in uscita e quella in ingresso (si veda il
Problema 56) in funzione del logaritmo della frequenza angolare v del segnale,
mostrato nella Figura 33.23b, illustra questo comportamento.
La tensione di uscita del filtro
si avvicina moltissimo alla
tensione di ingresso ad alte
frequenze.
C
Vout/Vin
1
vin
R
Figura 33.22 (a) Un semplice
vout
log v
a
b
filtro RC passa-alto. (b) Rapporto tra le tensioni di uscita e di
ingresso in funzione della pulsazione del generatore di c.a. per un
filtro RC passa-alto.
v in
1020Capitolo 33 Circuiti in corrente alternata
C
vout
a
Figura 33.23 (a) Un semplice
La tensione di uscita del filtro si
avvicina moltissimo alla tensione
di ingresso a basse frequenze.
filtro RC passa-basso. (b) Rapporto tra le tensioni di uscita e di
ingresso in funzione della pulsazione del generatore di c.a. per un
filtro RC passa-basso.
R
Vout/Vin
1
v in
C
vout
log v
a
b
La tensione di uscita del filtro si
avvicina moltissimo alla tensione
Probabilmente
molti
di voi
avranno
di ingresso
a basse
frequenze.
familiarità con i “cross-over”, che sono una
componente importante degli altoparlanti in un sistema audio di alta fedeltà. Questi componentiV
utilizzano
filtri passa-basso per pilotare alle basse frequenze uno
out/Vin
speciale tipo di altoparlante, il “woofer”, che riproduce bene le note basse. Le alte
1
frequenze vengono
invece inviate agli altoparlanti “tweeter”, che riproducono le
note alte.
log v
Sommario
b
Definizioni
In un circuito in c.a. che contiene
induttori e condensatori è utile definire
la reattanza induttiva XL e la reattanza
capacitiva XC come
XLL;;
;vL
vL
(33.10)
XX
(33.10)
vL
(33.10)
L
X L ; vL
(33.10)
11
XCC;;
; 1
(33.18)
XX
(33.18)
(33.18)
C
vC
vC
vC
1
XC ;
(33.18)
vC angolare del gedove v è la frequenza
neratore di tensione alternata. Nel sistema SI l’unità di misura della reattanza
è l’ohm.
L’impedenza Z di un circuito RLC in serie in c.a.
11 XLL22XXCC2 222 22
"R22211
11 X
ZZ
Z;;
;"R
"R
X 2X
L
C
(33.25)
(33.25)
(33.25)
2
2
1 Xpossiamo
Z ; "R
L 2 X C 2 semplicemente (33.25)
Questa espressione mostra
che 1
non
sommare la resistenza e la reattanza di un circuito. Dobbiamo infatti considerare che la tensione applicata e la corrente sono sfasate e che l’angolo
di fase f tra corrente e tensione è dato dall’espressione
XLL22
XCC
21 XX
2XX
C
f55
5tan
tan21
(33.27)
21aa L
ff
(33.27)
tan
(33.27)
a RR bbb
R
X
2
X
L
C
f 5 tan 21 a
(33.27)
b
Il segno di f è positivo quando XL è più
R grande di XC e negativo quando XL è più piccolo. L’angolo di fase è nullo quando XL = XC.
Concetti e principi
La corrente efficace e la tensione
efficace in un circuito in c.a. in cui la
corrente e la tensione varino sinusoidalmente Inel
I maxtempo sono definite dalle
max 5
5 Imax
(33.4)
50.707I
0.707Imax
relazioni
IIIeffeff55
(33.4)
max
(33.4)
eff
"2 5 0.707I max
I"2
"2
max
I eff 5
5 0.707I max
(33.4)
DV
DV
max
"2
max
DV
max
DV
5
(33.5)
5
0.707
DV
DV
(33.5)
eff5
max
DVeffeff
5 "2 550.707
(33.5)
0.707DV
DVmax
max
"2
DV"2
max
DVeff 5
5 0.707 DVmax
(33.5)
"2
dove Imax e DVmax sono i valori massimi.
Se un circuito in c.a. è costituito solamente da un generatore e
da un resistore, la corrente è in fase con la tensione. Pertanto, la
corrente e la tensione raggiungono il lori valori massimi allo stesso
tempo.
In un circuito in c.a. costituito da un generatore e da un induttore
la corrente è in ritardo di 90° rispetto alla tensione. Ciò vuol dire che
la tensione raggiunge il suo valore massimo un quarto di periodo prima che la corrente raggiunga il suo valore massimo.
In un circuito in c.a. costituito da un generatore e da un condensatore la corrente anticipa la tensione di 90°. Ciò vuol dire che la corrente raggiunge il suo valore massimo un quarto di periodo prima che la
tensione raggiunga il suo valore massimo.
1021
Quesiti con risposta multipla
La potenza media fornita da un generatore ad un circuito RLC è
Pmedia 5 I eff DVeff cos f
(33.31)
Pmedia 5 I eff DVeff cos f
(33.31)
Pmedia55I I effDV
DVeffcos
cosff
(33.31)
Pmedia
(33.31)
eff
eff
Un’espressione equivalente per la2potenza media è
Pmedia 5 I eff R
(33.32)
Pmedia 5 I 2eff 2R
(33.32)
(33.32)
PPmedia55I I2effeffRR
(33.32)
La potenza media fornitamedia
da un generatore viene dissipata come
energia interna nel resistore. In un induttore o in un condensatore
ideale non c’è perdita di potenza.
Un circuito RLC in serie è in risonanza quando la reattanza induttiva è uguale alla reattanza capacitiva. Se questa condizione è verificata, la corrente efficace data dall’Equazione 33.34 raggiunge il suo
valore massimo. La frequenza angolare di risonanza v0 del circuito è
1
(33.35)
v0 5 1
(33.35)
v 0 5 "LC
1
1
(33.35)
v0 055"LC
(33.35)
In un circuito RLC in serievla
corrente
"LC raggiunge il suo valore massi"LC
mo quando la frequenza angolare del generatore è uguale a v0, cioè
quando la frequenza angolare che pilota il circuito è “sintonizzata”
sulla frequenza angolare di risonanza.
La corrente efficace in un circuito
RLC in serie è
DVeff
I eff 5
(33.34)
DVeff
2
2
1 Xeff
I eff 5 "R 1DV
(33.34)
DV
L 2 XC 2
2
(33.34)
1 X Leff2 X C 2 2
I Ieffeff55"R 1
(33.34)
1 X L22XX C2 22 2
"R2 2111 X
"R
L
C
Un trasformatore in c.a. è un dispositivo che permette di modificare le tensioni alternate secondo
N2 la relazione
Dv 2 5N2 Dv 1
(33.41)
1 1
Dv 2 5 NN
(33.41)
NDv
2
Dv 255N1 2 Dv
Dv 1
(33.41)
Dv
(33.41)
2
1
NN1 1
dove N1 ed N2 sono, rispettivamente, il
numero di avvolgimenti del primario e
del secondario, mentre Dv1 e Dv2 sono
le tensioni ai capi di queste bobine.
Quesiti con risposta multipla
1. Un induttore ed un resistore sono collegati in serie
ad un generatore di tensione alternata, come mostrato in Figura Q33.1. Si dica quali delle seguenti affermazioni sono vere immediatamente dopo la chiusura dell’interruttore S. (a) La corrente nel circuito vale DV/R. (b) La tensione ai capi dell’induttore è nulla.
(c) La corrente nel circuito è nulla. (d) La tensione ai
capi del resistore è DV. (e) La tensione ai capi dell’induttore è la metà del suo valore massimo.
R
L
La tensione ai capi del resistore è sfasata rispetto alla corrente. (c) La tensione ai capi del condensatore
è in anticipo di 90° rispetto alla corrente. (d) La corrente diminuisce all’aumentare della frequenza del
generatore, ma il suo valore di picco rimane invariato. (e) Nessuna delle precedenti affermazioni è vera.
R
C
S
S
Figura Q33.3
Figura Q33.1
2. (i) Collegando un certo induttore ad un generatore
di tensione sinusoidale di una certa ampiezza e di frequenza 60.0 Hz, la corrente efficace è 3.00 A. Quanto
vale la corrente efficace se si raddoppia la frequenza?
(a) 12.0 A (b) 6.00 A (c) 4.24 A (d) 3.00 A (e) 1.50
A (ii) Si risponda nuovamente alla domanda (i) assumendo che il carico sia rappresentato da un condensatore invece che da un induttore. (iii) Si risponda nuovamente alla domanda (i) assumendo che il carico sia
rappresentato da un resistore invece che da un induttore.
3. Un condensatore ed un resistore sono collegati in serie ad un generatore di tensione alternata come mostrato in Figura Q33.3. Si dica quali delle seguenti affermazioni sono vere immediatamente dopo la chiusura dell’interruttore. (a) La tensione ai capi del condensatore è in ritardo di 90° rispetto alla corrente. (b)
4.(i) Qual è la media temporale della tensione— a “onda quadra” mostrata in—Figura Q33.4? (a) √2 DVmax (b) DVmax (c) DVmax/√2 (d) DVmax/2 (e) DVmax/4 (ii) Qual è la tensione efficace? Si scelga tra le opzioni precedenti.
v
Vmax
t
0
Figura Q33.4
5. Sia la tensione ai capi di un elemento circuitale massima quando la corrente nel circuito è nulla. Si dica
quali delle seguenti affermazioni devono essere necessariamente vere. (a) L’elemento circuitale è un resistore. (b) L’elemento circuitale è un condensatore.
(c) L’elemento circuitale è un induttore. (d) La corrente e la tensione sono sfasate di 90°. (e) La corrente
e la tensione sono sfasate di 180°.
1022Capitolo 33 Circuiti in corrente alternata
6. Una tensione che varia in modo sinusoidale ha un’ampiezza di 170 V. (i) Qual è il suo valore istantaneo minimo? (a) 170 V (b) 120 V (c) 0 (d) ]120 V (e) ]170 V (ii) Qual è il suo valore medio? (iii) Qual è il suo valore efficace? Si scelga ancora tra le opzioni precedenti
in ciascuno degli ultimi due casi.
7. Un circuito RLC in serie è composto da un resistore
da 20.0 Ω, un condensatore da 0.750 mF e un induttore da 120 mH. (i) Il circuito viene chiuso su un generatore di tensione alternata con tensione efficace di 120
V alla frequenza f = 500 Hz. Quale sarà la corrente efficace? (a) 2.33 A (b) 6.00 A (c) 10.0 A (d) 17.0 A (e)
Nessuno di questi valori (ii) E se? Quale sarà la corrente efficace nel circuito alla frequenza di risonanza? Si
scelga tra le stesse possibilità
8. Un resistore, un condensatore ed un induttore cono collegati in serie ad un generatore di tensione alternata. Si dica quale delle seguenti affermazioni è
falsa. (a) La tensione istantanea ai capi del condensatore è in ritardo di 90° rispetto alla corrente. (b) La
tensione istantanea ai capi dell’induttore è in anticipo di 90° rispetto alla corrente. (c) La tensione istantanea ai capi del resistore è in fase con la corrente.
(d) Le tensioni ai capi del resistore, del condensatore e dell’induttore non sono in fase. (e) La tensione
efficace nel circuito eguaglia la somma algebrica delle tensioni efficaci ai capi dei singoli elementi circui­
tali.
9. Dire in quale dei seguenti casi l’impedenza di un circuito RLC in serie eguaglia la resistenza del circuito.
(a) La frequenza del generatore di tensione alternata
è minore della frequenza di risonanza. (b) La frequenza del generatore è uguale alla frequenza di risonanza.
(c) La frequenza del generatore è maggiore della frequenza di risonanza. (d) Sempre. (e) Mai.
10. Qual è l’angolo di fase in un circuito RLC in serie alla
risonanza? (a) 180° (b) 90° (c) 0 (d) –90° (e) Nessuna di queste risposte è necessariamente corretta
11. Un circuito contenente un generatore di c. a., un condensatore, un induttore ed un resistore ha una risonanza ad alto Q alla frequenza di 1 000 Hz. Si ordinino, dal più grande al più piccolo, i seguenti contributi all’impedenza del circuito sia a tale frequenza che
a frequenze maggiori e minori. Si indichino i casi di
uguaglianza. (a) XC a 500 Hz (b) XC a 1 500 Hz (c)
XL a 500 Hz (d) XL a 1 500 Hz (e) R a 1 000 Hz 12. Un trasformatore è costituito da un primario con 50 avvolgimenti ed un secondario con 100 avvolgimenti. Se
una batteria da 6.00 V viene collegata al primario del
trasformatore, quanto vale la tensione ai capi del secondario? (a) 24.0 V (b) 12.0 V (c) 6.00 V (d) 3.00 V
(e) Nessuno dei valori precedenti
13. Gli amperometri ed i voltmetri in c.a. leggono (a) l’escursione tra il massimo ed il minimo del segnale, (b)
il valore massimo, (c) il valore efficace oppure (d) il
valore medio?
Quesiti concettuali
1. (a) Si spieghi come il fattore di qualità dipenda dalle
caratteristiche di risposta di un ricevitore radio.
(b) Che cosa influisce maggiormente sul fattore di
qualità?
2. (a) Si spieghi come il detto inglese “ELI the ICE man”
possa servire per ricordare se la corrente è in anticipo
o in ritardo di fase rispetto alla tensione in un circuito
RLC. La lettera E indica la forza elettromotrice e. (b)
Si spieghi come la parola “CIVIL” funga anch’essa da
trucco mnemonico, dove V sta per voltaggio.
3. Come mai la somma delle tensioni massime ai capi di
ogni elemento in un circuito RLC può essere maggiore della massima tensione applicata dal generatore?
Perché la legge delle maglie di Kirchhoff non è violata?
4. (a) L’angolo di fase in un circuito RLC in serie dipende dalla frequenza? (b) Qual è l’angolo di fase per il
circuito quando la reattanza induttiva e quella capacitiva sono uguali?
5. Si faccia una ricerca per rispondere alle seguenti domande: Chi ha inventato il metal detector? Perché?
Quali sono i suoi limiti?
6. Come mostrato nella Figura QC33.6, una persona tira
un aspirapolvere con velocità v su un pavimento orizzontale, esercitando su di esso una forza di intensità F
diretta verso l’alto e formante un angolo u con l’asse
orizzontale. (a) Qual è la potenza trasferita dalla persona all’aspirapolvere? (b) Si confronti questa situazione con quanto avviene nel caso dei trasferimenti di
potenza in un circuito elettrico.
S
F
S
v
u
Figura QC33.6
7. Un certo generatore di potenza può essere schematizzato come una f.e.m. in serie con una resistenza di 10
Ω ed una reattanza induttiva di 5 Ω. Per massimizzare la potenza trasferita al carico, si trova che quest’ultimo dovrebbe avere una resistenza RL 5 10 Ω, una reattanza induttiva nulla ed una reattanza capacitiva di 5
Ω. (a) Con questo carico, il circuito è in condizioni di
risonanza? (b) Con questo carico, quale frazione della potenza media erogata dal generatore di f.e.m. viene trasferita al carico? (c) Per aumentare la potenza
trasferita al carico, come andrebbe cambiato quest’ultimo? Potrebbe essere utile rivedere l’Esempio 28.2 ed
il Problema 4 del Capitolo 28, che trattano della massima potenza trasferita nel caso di circuiti in c.c.
8. Un trasformatore potrebbe funzionare se si usasse come tensione di ingresso nel primario una batteria? Si
spieghi.
9. (a) Perché un condensatore agisce come un cortocircuito ad alte frequenze? (b) Perché invece si comporta come un circuito aperto a basse frequenze?
Problemi
10. Una tempesta rompe una linea di trasmissione, interrompendo la fornitura di potenza elettrica ad una città. Un abitante accende un generatore a 120 V, che
funziona a gasolio, attaccandone gli estremi ai poli positivo e negativo del pannello elettrico della propria casa. L’elettricità arriva alla casa dalla rete elettrica centrale e viene convertita alla tensione di utilizzo domestico, più bassa, mediante un trasformatore fissato su
1023
un palo esterno all’abitazione. Tale trasformatore ha
un rapporto tra gli avvolgimenti nel primario e nel secondario N1/N2 uguale a 100 : 1. Se un tecnico si arrampica sul palo per sistemare il guasto, quale tensione troverà sul polo di ingresso del trasformatore? Come si capisce da questo semplice esempio, è necessario
essere molto cauti nell’uso di generatori autonomi anche durante i black-out.
Problemi
1. facile; 2. intermedio; 3. impegnativo
Paragrafo 33.1 Generatori di c.a.
Paragrafo 33.2 Resistori in un circuito in c.a.
1. Un resistore da 12.0 Ω, collegato ad un generatore di
tensione alternata, viene attraversato da una corrente
con valore efficace di 8.00 A. Si determinino (a) il valore della tensione efficace ai capi del resistore, (b) il
valore di picco della tensione fornita dal generatore,
(c) la corrente massima nel resistore e (d) la potenza
media dissipata sul resistore.
2. (a) Qual è la resistenza di una lampadina che assorbe
una potenza media di 75.0 W quando è collegata a un
generatore di tensione massima 170 V e di frequenza
60.0 Hz? (b) E se? Qual è la resistenza di una lampadina da 100 W?
3. Un generatore di c.a. eroga una tensione massima
DVmax 5 100 V ed è collegato ad un resistore con R =
24.0 Ω. Corrente e tensione ai capi del resistore vengono misurate da un amperometro e da un voltmetro in
c.a. ideali nel modo indicato in Figura P33.3. Un amperometro ideale ha resistenza nulla, mentre un voltmetro ideale ha resistenza infinita. Qual è la lettura
(a) sull’amperometro e (b) sul voltmetro?
V max
A
R
6. Nel circuito in c.a. mostrato in Figura P33.5,
R 5 70.0 Ω e la tensione di uscita del generatore di
c.a. è DV 5 DVmax sin vt. (a) Se, per la prima volta a t
5 0.010 0 s, DVR 5 0.250 DVmax, qual è la frequenza angolare del generatore? (b) Qual è il valore successivo
di t al quale DVR 5 0.250 DVmax?
7. Un amplificatore audio, rappresentato in Figura P33.7
dal generatore di c.a. e dal resistore, invia ad un altoparlante una tensione alternata a frequenze audio. Se
la tensione del generatore ha ampiezza 15.0 V, R 5
8.20 Ω e l’altoparlante è equivalente ad un resistore
da 10.4 Ω, qual è la potenza media che viene trasferita
all’altoparlante?
R
Altoparlante
Figura P33.7
8. La Figura P33.8 mostra tre lampadine collegate a un
generatore di c.a. domestico con tensione efficace di
120 V. Le lampadine 1 e 2 hanno una potenza di 150
W, mentre la lampadina 3 ha una potenza di 100 W. Si
trovino (a) la corrente efficace in ciascuna lampadina
e (b) la resistenza di ciascuna lampadina. (c) Qual è la
resistenza totale della combinazione delle tre lampadine?
120 V
1
2
3
V
Figura P33.3
4. Una lampadina dissipa una potenza di 60.0 W quando ai suoi capi viene applicata una tensione efficace
di 220 V. Si determinino (a) la tensione di picco ai capi della lampadina e (b) il valore della resistenza. (c)
Una lampadina da 100 W ha un valore di resistenza
maggiore o minore rispetto alla lampadina da 60.0
W? Si motivi la risposta.
Vmax sin vt
5. La corrente nel circuiR
to mostrato nella Figura
P33.5 raggiunge il 60.0%
del valore di picco a t 5
7.00 ms. Qual è la minima
frequenza del generatore
Figura P33.5 Problemi 5 e 6.
che eroga questa corrente?
Figura P33.8
Paragrafo 33.3 Induttori in un circuito in c.a.
9. Un induttore ha una reattanza di 54.0 Ω a 60.0 Hz. Se
questo induttore viene collegato ad un generatore a
50.0 Hz che eroga una tensione efficace di 100 V, quale sarà la corrente massima?
10. Nel circuito in c.a. puramente induttivo mostrato nella Figura P33.10, DVmax 5 100 V. (a) Si calcoli l’induttanza L, sapendo che la corrente massima alla frequenza di 50.0 Hz è 7.50 A. (b) E se? Per quale valore
della pulsazione v il valore massimo della corrente si
ridurrà a 2.50 A?
1024Capitolo 33 Circuiti in corrente alternata
Vmax sin vt
L
Figura P33.10 Problemi 10 e 11.
11.Nel circuito mostrato nella Figura P33.10, DVmax 5
80.0 V, v 5 65.0 p rad/s e L 5 70.0 mH. Si calcoli
la corrente nell’induttore a t = 15.5 ms.
12. Un induttore è collegato ad un generatore di tensione alternata con DVmax = 4.00 V alla frequenza f = 300
Hz. Quale valore di induttanza deve essere scelto per
mantenere il valore della corrente efficace al di sotto
di 2.00 mA?
13. Un generatore di tensione alternata fornisce in uscita
una tensione efficace di 78.0 V alla frequenza di 80.0
Hz. Se il generatore viene collegato ad un induttore da
25.0 mH, si determinino (a) la reattanza induttiva del
circuito, (b) il valore efficace della corrente nel circuito e (c) la massima corrente nel circuito.
14.Un induttore da 20.0 mH è collegato ad una presa
standard americana (DVeff 5 120 V, f 5 60.0 Hz). Si
determini l’energia immagazzinata nell’induttore a
1 s, facendo l’ipotesi che l’energia immagazzinat5—
180
ta a t 5 0 sia nulla.
15. Problema di riepilogo. Si determini il flusso magnetico massimo che attraversa un induttore collegato ad
una presa standard americana (DVeff 5 120 V, f 5 60.0
Hz).
16. Un generatore di tensione alternata con Dv 5 120 sin
30.0pt viene collegato ad un induttore da 0.500 H.
Si determinino (a) la frequenza del generatore, (b)
il valore efficace della tensione ai capi dell’induttore,
(c) la reattanza induttiva del circuito, (d) il valore della corrente efficace nell’induttore e (e) il valore della
corrente massima nell’induttore.
Paragrafo 33.4 Condensatori in un circuito in c.a.
17. Un condensatore da 1.00 mF è collegato ad una presa
standard americana (DVeff = 120 V, f = 60.0 Hz). Si de1 s, facentermini la corrente nel condensatore a t 5 —
180
do l’ipotesi che l’energia immagazzinata nel condensatore a t = 0 sia nulla.
18. Un generatore di tensione alternata fornisce in uscita
un valore efficace di 36.0 V ad una frequenza di 60.0
Hz. Se esso viene collegato ad un condensatore da
12.0 mF, si determinino, per il circuito, (a) la reattanza
capacitiva, (b) il valore della corrente efficace e (c) il
valore della corrente massima. (d) In corrispondenza
del valore massimo di corrente, la carica sul condensatore è massima? Si motivi la risposta.
19. (a) Per quali frequenze un condensatore da 22.0 mF
ha una reattanza minore di 175 Ω? (b) E se? In questo intervallo di frequenze quale sarà la reattanza di un
condensatore da 44.0 mF?
20. Un generatore di tensione alternata con Dv 5 98.0 sin
80pt è collegato ad un condensatore. La corrente
massima nel circuito vale 0.500 A. Si determinino (a)
la tensione efficace fornita dal generatore, (b) la frequenza del generatore e (c) il valore della capacità.
21. Qual è la corrente massima che può erogare un generatore di c.a. con DVmax 5 48.0 V e f 5 90.0 Hz quando
è collegato ai capi di un condensatore da 3.70 mF?
22. Un condensatore C è collegato ad un generatore che
opera alla frequenza f e produce una tensione efficace
DV. Qual è la carica massima che si accumula sulle sue
armature?
23.Qual è la corrente massima in un condensatore da
2.20 mF quando è collegato (a) ad una presa standard
americana (DVeff 5 120 V e f = 60.0 Hz) e (b) ad una
presa standard europea (DVeff = 240 V e f = 50.0 Hz)?
Paragrafo 33.5 Il circuito RLC in serie
24. Un generatore di c.a. con DVmax 5 150 V e f 5 50.0 Hz
è collegato tra i punti a e d come in Figura P33.24. Si
calcoli la differenza di potenziale massima fra i punti
(a) a e b, (b) b e c, (c) c e d, (d) b e d.
a
b
40.0 c
185 mH
d
65.0 mF
Figura P33.24 Problemi 24 e 81.
25. Oltre ai diagrammi dei fasori relativi alle tensioni, come in Figura 33.15, è possibile disegnare diagrammi
dei fasori relativi a resistenze e reattanze. La risultante
della somma dei fasori è l’impedenza. Si disegni in scala un diagramma dei fasori che rappresenti Z, XL, XC e
f per un circuito in c.a. in serie che ha R 5 300 Ω, C 5
11.0 mF, L 5 0.200 H e f 5 500/p Hz.
26. Una tensione sinusoidale Dv 5 40.0 sin 100t, con Dv
in volt e t in secondi, è applicata ad un circuito RLC in
serie con L = 160 mH, C = 99.0 mF e R 5 68.0 Ω. (a)
Qual è l’impedenza del circuito? (b) Qual è la corrente massima? Si determinino i valori numerici di (c) v e
(d) f nell’equazione i 5 Imax sin (vt – f).
27. Un circuito in c.a. in serie contiene un resistore un induttore da 150 mH, un condensatore da 5.00 mF ed un
generatore che opera a 50.0 Hz con DVmax 5 240 V. La
corrente massima nel circuito è di 100 mA. Si calcolino (a) la reattanza induttiva, (b) la reattanza capacitiva, (c) l’impedenza, (d) la resistenza nel circuito e (e)
l’angolo di fase fra corrente e tensione del generatore.
28. A quale frequenza la reattanza induttiva di un induttore da 57.0 mH sarà uguale alla reattanza capacitiva di
un condensatore da 57.0 mF?
29. Un circuito RLC in serie è costituito da un resistore da
150 Ω, un condensatore da 21.0 mF e un induttore da
460 mH collegati in serie a un generatore da 120 V e
60.0 Hz. (a) Qual è l’angolo di fase tra corrente e tensione applicata? (b) Il valore massimo è raggiunto prima dalla tensione o dalla corrente?
30. Si disegnino i fasori per le seguenti tensioni in unità
SI: (a) 25.0 sin vt quando vt = 90.0°; (b) 30.0 sin vt
quando vt = 60.0°; (c) 18.0 sin vt quando vt = 300°.
31. Un induttore (L = 400 mH), un condensatore (C =
4.43 mF) e un resistore (R 5 500 Ω) sono collegati in
serie. Un generatore di tensione alternata a 50.0 Hz
produce nel circuito una corrente di picco di 250 mA.
Problemi
(a) Si calcoli la tensione di picco DVmax del generatore. (b) Si determini l’angolo di fase di cui la corrente
è in anticipo o in ritardo rispetto alla tensione applicata.
32. Un resistore da 60.0 Ω è collegato in serie con un condensatore da 30.0 mF e una sorgente la cui massima
tensione è 120 V ed opera alla frequenza di 60.0 Hz.
Si determinino (a) la reattanza capacitiva del circuito, (b) l’impedenza del circuito e (c) la corrente massima nel circuito. (d) La tensione è in anticipo o in ritardo rispetto alla corrente? (e) La corrente varia se si
aggiunge in serie a questi elementi un ulteriore induttore? Si motivi la risposta.
33. Problema di riepilogo. In un circuito RLC in serie nel
quale è presente un generatore di corrente alternata
di frequenza e tensione fissate e note, la resistenza R
è uguale alla reattanza induttiva. Se la distanza tra le
armature del condensatore piano viene dimezzata, la
corrente nel circuito raddoppia. Si calcoli la reattanza
capacitiva iniziale esprimendola in funzione di R.
Paragrafo 33.6 Potenza in un circuito in c.a.
34. Perché ciò è impossibile? Un altoparlante di resistenza R
e induttanza L è collegato ad un generatore ideale di
tensione alternata (capacità ed induttanza interna trascurabili) con una tensione efficace DV alla frequenza
f. Variando l’induttanza L del circuito, si ottiene per
questo circuito un fattore di potenza del valore di 1.00?
35. Un circuito RLC in serie ha una resistenza di 45.0 Ω
e un’impedenza di 75.0 Ω. Quale potenza media sarà
erogata a questo circuito quando DVeff = 210 V?
36. Una tensione alternata di forma Dv 5 100 sin 1 000t,
con Dv in volt e t in secondi, è applicata ad un circuito
RLC in serie. Se la resistenza è 400 Ω, la capacità 5.00
mF e l’induttanza 0.500 H, si trovi la potenza media
fornita al circuito.
37. Un circuito RLC in serie ha una resistenza di 22.0 Ω ed
una impedenza di 80.0 Ω. Se la tensione efficace applicata al circuito vale 160 V, qual è la potenza media fornita al circuito?
38. Un generatore di tensione alternata Dv 5 90.0 sin 350t
è collegato ad un circuito RLC in serie. Se R = 50.0 Ω,
C = 25.0 mF, L = 0.200 H, si determinino (a) l’impedenza del circuito, (b) la corrente efficace nel circuito
e (c) la potenza media fornita al circuito.
39. In un circuito RLC in serie Ieff = 9.00 A, DVeff = 180 V e
la corrente anticipa la tensione di 37.0°. (a) Qual è la
resistenza totale del circuito? (b) Qual è la reattanza
(XL – XC) del circuito?
40. Ci si metta nei panni di un dirigente di un’azienda che
usa molti motori elettrici. I motori costituiscono, per
la linea elettrica di potenza, sia un grosso carico induttivo che un carico resistivo. La compagnia elettrica costruisce per l’azienda una linea di distribuzione che
fornisce una componente della corrente sfasata di 90°
rispetto alla tensione ed anche una componente della corrente in fase con la tensione. Il gestore carica un
costo ulteriore per la “reattività volt-amperomotrice”
in aggiunta al costo dell’energia utilizzata. Si potrebbe
risparmiare il costo extra installando un condensatore fra linea di potenza e azienda. Il problema seguente schematizza la soluzione.
1025
In un circuito RL, un generatore da 120 V (efficaci)
a 60.0 Hz è in serie ad un induttore da 25.0 mH e ad un
resistore da 20.0 Ω. Quali sono (a) la corrente efficace e
(b) il fattore di potenza? (c) Quale condensatore deve essere aggiunto in serie per rendere il fattore di potenza uguale a 1? (d) A quale valore può essere ridotta la tensione della sorgente perché la potenza erogata sia la stessa di quella erogata prima dell’installazione del condensatore?
41. Un diodo è un elemento di circuito che permette il
passaggio di corrente solo in un verso (quello indicato
dalla freccia del simbolo che lo rappresenta). Si trovi,
in termini di DVeff e di R, la potenza media erogata al
circuito di Figura P33.41.
2R
R
R
R
Veff
Figura P33.41
Paragrafo 33.7 Risonanza in un circuito RLC in serie
42. Un circuito RLC in serie ha componenti con i seguenti
valori: L 5 20.0 mH, C 5 100 nF, R 5 20.0 Ω e DVmax 5
100 V, con Dv 5 DVmax sin vt. Si trovino (a) la frequenza di risonanza del circuito, (b) l’ampiezza della corrente alla frequenza di risonanza, (c) il fattore di qualità Q del circuito e (d) l’ampiezza della tensione ai capi dell’induttore alla risonanza.
43. Un circuito RLC in serie è usato in una radio per sintonizzare il segnale di una stazione radiotrasmittente FM
a f = 99.7 MHz. La resistenza nel circuito è R = 12.0 Ω
e l’induttanza è L = 1.40 mH. Quale capacità deve essere utilizzata?
44. Il circuito LC di un trasmettitore radar oscilla alla frequenza di 9.00 GHz. (a) A quale valore dell’induttanza si ottiene una condizione di risonanza nel circuito
se la capacità vale 2.00 pF? (b) Qual è la reattanza induttiva del circuito a questa frequenza?
45. Un resistore da 10.0 Ω, un induttore da 10.0 mH e un
condensatore da 100 mF sono connessi in serie ad un
generatore a frequenza variabile di tensione efficace
50.0 V. Qual è l’energia fornita al circuito in un periodo se la frequenza di funzionamento è il doppio della
frequenza di risonanza?
46. Un resistore R, un induttore L e un condensatore C sono connessi in serie ad un generatore di c.a. a frequenza variabile di tensione efficace DV. Qual è l’energia
fornita al circuito in un periodo se la frequenza di funzionamento è il doppio della frequenza di risonanza?
47. Problema di riepilogo. Un trasmettitore radar contiene un circuito LC che oscilla alla frequenza di 1.00 3
1010 Hz. (a) Qual è la capacità del condensatore che,
in serie con una bobina di una singola spira e di induttanza 400 pH, fa risuonare il circuito a questa frequenza? (b) Se tale condensatore è piano ed ha le armature quadrate separate da un’intercapedine di 1.00
mm di aria, quale deve essere il lato delle armature?
1026Capitolo 33 Circuiti in corrente alternata
(c) Qual è la reattanza dell’insieme bobina-condensatore alla risonanza?
Paragrafo 33.8 Il trasformatore e la trasmissione di potenza
48. Un trasformatore abbassatore è usato per ricaricare le
batterie di uno strumento portatile, come per esempio
un lettore DVD. Il rapporto fra gli avvolgimenti del trasformatore è N1/N2 = 13 : 1 ed il trasformatore è connesso ad una presa a 120 V (efficaci). Se il trasformatore assorbe una corrente efficace di 20.0 mA dalla presa a parete, quali sono (a) la tensione efficace in uscita
dal trasformatore e (b) la potenza viene erogata al lettore DVD?
49. La bobina primaria di un trasformatore ha N1 5 350
spire e la bobina secondaria ha N2 5 2 000 spire. Se la
tensione in ingresso al primario è Dv 5 170 cos vt, con
Dv in volt e t in secondi, qual è la tensione efficace ai
capi del secondario?
50. Una linea elettrica ha una resistenza per unità di lunghezza di 4.50 3 10–4 Ω/m ed è utilizzata per trasmettere una potenza di 5.00 MW su una distanza di 6.44 3
105 m. La tensione in uscita del generatore è 4.50 kV.
(a) Se si usa un trasformatore per innalzare la tensione a 500 kV, qual è la caduta sulla linea? (b) In queste condizioni quale frazione della potenza in ingresso viene persa lungo la linea? (c) E se? Quali difficoltà
si incontrerebbero se si tentasse di trasmettere i 5.00
MW alla tensione di 4.50 kV del generatore?
51. Nel trasformatore mostrato in Figura P33.51, la resistenza di carico RL vale 50.0 Ω, il rapporto N1/N2 vale
2.50 e la tensione efficace DVs del generatore vale 80.0
V. Se con un voltmetro si misura ai capi della resistenza di carico una tensione efficace di 25.0 V, qual è il valore della resistenza del generatore Rs?
Rs
N1
Vs
N2
RL
Paragrafo 33.9 Raddrizzatori e filtri
53. Il filtro RC passa-alto mostrato in Figura P33.53 ha una
resistenza R = 0.500 Ω e una capacità C = 613 mF. Qual
è il rapporto fra le ampiezze di uscita e di ingresso per
questo filtro se il generatore ha una frequenza di 600
Hz?
C
v in
R
Figura P33.53 Problemi 53 e 54.
54. Si consideri il filtro RC passa-alto mostrato in Figura
P33.53. (a) Si trovi un’espressione per il rapporto tra
la tensione in uscita e quella in ingresso in termini di
R, C e della frequenza del generatore di c.a. v. (b) A
quale valore tende tale rapporto quando la frequenza
tende a zero? (c) A quale valore tende tale rapporto
quando la frequenza tende a infinito?
55. Un particolare alimentatore per radio è visivamente simile all’apparecchio mostrato in Figura 33.20 e riporta
le seguenti caratteristiche: Ingresso 120 V c.a. 8 W, Uscita
9 V c.c. 300 mA. Si assuma che questi valori siano accurati a due cifre decimali. (a) Si calcoli l’efficienza di
trasferimento dell’energia tra l’ingresso e l’uscita del
dispositivo quando la radio è accesa. (b) Quale potenza viene persa nel dispositivo mentre la radio è in funzione? (c) Si supponga che la potenza all’ingresso del
trasformatore sia 8.00 W quando la radio è spenta e si
assuma una tariffa per la fornitura di energia elettrica
di 0.110 $/kWh. Si calcoli quanto costa tenere sei alimentatori collegati in casa per 31 giorni.
56. Si consideri il filtro mostrato nella Figura P33.56. (a)
Si mostri che il rapporto tra la tensione in uscita e
quella in ingresso è
1/vC
DVout
5
DVin
Figura P33.51
Å
52. Una persona si trova nelle vicinanze di un trasformatore, come mostrato nella Figura P33.52. La tensione
sul primario è 120 V a 60.0 Hz. La tensione sul secondario vale 5 000 V. La capacità parassita Cs fra la mano e il secondario vale 20.0 pF. Schematizzando il corpo della persona come una resistenza verso massa Rb
= 50.0 kΩ, si determini la tensione efficace applicata
al corpo. Suggerimento: si modelli il secondario del trasformatore come una sorgente di tensione alternata.
vout
R2 1 a
1 2
b
vC
(b) A quale valore tende tale rapporto quando la frequenza tende a zero? (c) A quale valore tende tale rapporto quando la frequenza tende a infinito? (d) Per
quale frequenza tale rapporto vale la metà?
R
v in
C
vout
Cs
Trasformatore
Figura P33.56
5 000 V
Figura P33.52
Rb
Altri problemi
57. Un trasformatore ha una tensione efficace di uscita di
2 200 V quando il primario è collegato ad un generatore di una tensione efficace 110 V. (a) Se il primario
è costituito da 80 avvolgimenti, quanti avvolgimenti saranno necessari sul secondario? (b) Se una resistenza
1027
Problemi
di carico sul secondario assorbe una corrente di 1.50
A, quale sarà la corrente nel circuito primario in condizioni ideali? (c) E se? Se il trasformatore ha una efficienza del 95.0%, quale sarà la corrente nel primario
se la corrente nel secondario vale 1.20 A?
58. Perché ciò è impossibile? Si vuole utilizzare un circuito
RLC per sintonizzare un canale radio AM (modulazione di ampiezza). I valori dei componenti circuitali sono R = 15.0 Ω, L = 2.80 mH, C = 0.910 pF.
59. Problema di riepilogo. Il diagramma dei fasori delle
tensioni per un dato circuito RLC in serie è mostrato
in Figura P33.59. La resistenza del circuito è 75.0 Ω e
la frequenza è 60.0 Hz. Si determinino (a) la tensione
massima DVmax, (b) l’angolo di fase f, (c) la corrente
massima, (d) l’impedenza, (e) la capacità, (f) il valore
dell’induttanza del circuito e (g) la potenza media fornita al circuito.
VL 25.0 V
Vmax
v
f
VR 20.0 V
VC 15.0 V
Figura P33.59
60. Si consideri un circuito RLC in serie che ha R = 200 Ω,
L = 663 mH e C = 26.5 mF. La tensione applicata ha
un’ampiezza di 50.0 V e una frequenza di 60.0 Hz. Si
trovino (a) la corrente Imax e la sua fase rispetto alla tensione applicata Dv, (b) la tensione massima DVR
ai capi del resistore e la sua fase rispetto alla corrente, (c) la tensione massima DVC ai capi del condensatore e la sua fase rispetto alla corrente e (d) la tensione massima DVL ai capi dell’induttore e la sua fase rispetto alla corrente.
61. Su una linea di trasmissione viene trasferita energia
ad una potenza di 20.0 kW per mezzo di un doppino
di rame ai cui capi è presente una differenza di potenziale DVeff = 1.50 3 103 V. Assumendo una perdita
dell’1.00% su una distanza di 18.0 km e assumendo la
densità di corrente uniforme nei conduttori, si determini il diametro di ciascuno dei fili.
62. Su una linea di trasmissione si deve trasferire una potenza P con una perdita percentuale f su una distanza
, ed una differenza di potenziale DVeff fra i conduttori. Assumendo una densità di corrente uniforme nei
conduttori, si determini l’espressione del diametro di
ciascuno dei fili.
63. Un resistore da 400 Ω, un induttore ed un condensatore sono in serie con un generatore di c.a. La reattanza dell’induttore è 700 Ω e l’impedenza del circuito è 760 Ω. (a) Che cosa si può dire riguardo alla reattanza del condensatore? (b) Vedendo che la potenza
fornita dal generatore diminuisce all’aumentare della
frequenza, cosa si può dire relativamente alla reattanza capacitiva del circuito iniziale? (c) Si ripeta il punto (a) assumendo una resistenza di 200 Ω invece che
di 400 Ω e un’impedenza del circuito ancora pari a
760 Ω.
64. Si mostri che il valore efficace della tensione
a dente
—
di sega mostrata in Figura P33.64 è DVmax/√ 3.
v
Vmax
t
Vmax
Figura P33.64
65. Un trasformatore può essere utilizzato per ottenere il
massimo trasferimento di potenza tra due circuiti in
c.a. che abbiano diverse impedenze Z1 e Z2. Questo
processo è chiamato adattamento di impedenza. (a) Si dimostri che il rapporto di spire N1/N2 per tale trasformatore è
N1
Z1
5
N2
ÅZ2
(b) Si supponga di voler utilizzare un trasformatore
come adattatore di impedenza tra un amplificatore
audio che ha un’impedenza di uscita di 8.00 kΩ ed
un altoparlante che ha un’impedenza di ingresso di
8.00 Ω. Quanto deve valere in questo caso il rapporto
N1/N2?
66. Un circuito in corrente alternata è formato da un condensatore, una bobina e due resistori di uguale resistenza, come mostrato in Figura P33.66. Un generatore di c.a. fornisce una f.e.m. di tensione efficace DVeff
= 20.0 V a una frequenza di 60.0 Hz. Quando l’interruttore a due vie S è aperto, come nella figura, la corrente efficace è 183 mA. Quando invece esso è chiuso
nella posizione a, la corrente efficace è 298 mA, mentre quando è in posizione b essa vale 137 mA. Si trovino i valori di (a) R, (b) C e (c) L . (d) Ci sono più insiemi possibili dei tre valori? Si spieghi.
C
R
a
Veff
R
S
b
L
Figura P33.66
67. Intorno al 1880, il fisico dell’Istituto Politecnico di Parigi Marie Cornu inventò il metodo dei fasori. In questo problema si vuole più approfonditamente mettere
in luce la sua utilità nello studio dei fenomeni oscillatori. Si considerino due vibrazioni meccaniche descritte dalle equazioni
y1 5 12.0 sin 4.50t
e
y 2 5 12.0 sin (4.50t 1 70.0°)
dove y1 e y2 sono in centimetri e t in secondi. Si calcolino l’ampiezza e la costante di fase della somma di queste due funzioni (a) usando le identità trigonometriche fornite nell’Appendice B e (b) rappresentando tali oscillazioni con il metodo dei fasori. (c) Si faccia il
confronto tra i risultati ottenuti in (a) e in (b). (d) Il
1028Capitolo 33 Circuiti in corrente alternata
metodo dei fasori semplifica anche il processo di addizione di onde progressive. Si calcolino l’ampiezza e la
costante di fase della somma delle tre onde rappresentate dalle equazioni seguenti:
y1 5 12.0 sin (15.0x 2 4.50t 1 70.0°)
gia massima immagazzinata nell’induttore durante le
oscillazioni. (h) Se la frequenza del generatore viene
raddoppiata, si calcoli la differenza di fase fra corrente e tensione. (i) Si trovi la frequenza che rende la reattanza induttiva metà della reattanza capacitiva.
S1
y 2 5 15.5 sin (15.0x 2 4.50t 2 80.0°)
y 3 5 17.0 sin (15.0x 2 4.50t 1 160°)
dove x, y1, y2 e y3 sono in centimetri e t in secondi.
68. Un circuito RLC in serie è in risonanza alla frequenza angolare di 2.00 3 103 rad/s. Quando è in funzione
ad una certa frequenza, si ha XL 5 12.0 Ω e XC 5 8.00
Ω. (a) Tale frequenza è maggiore, uguale o minore di
quella di risonanza? Si spieghi. (b) Si dica se è possibile determinare i valori di L e C. (c) In caso affermativo, si calcolino tali valori. In caso contrario, si scriva la
relazione che L e C devono soddisfare.
69. Problema di riepilogo. Il filo di una comune prolunga ha una massa per unità di lunghezza di 19.0 g/m.
Quando un tratto della prolunga viene tenuto in tensione con due morsetti, una parte di esso si trova a giacere in una regione di spazio nella quale è presente un
campo magnetico di 15.3 mT diretto ortogonalmente
all’asse del filo. Quando la prolunga è attraversata da
una c.a. di 9.00 A a una frequenza di 60.0 Hz, si mette a vibrare, risuonando nello stato di oscillazione fondamentale. (a) Si determini quale relazione intercorre
tra la distanza d tra i morsetti e la tensione T della prolunga. (b) Si dica quale può essere una combinazione
possibile di questi due valori.
70. (a) Si faccia un grafico qualitativo dell’angolo di fase
in funzione della frequenza angolare per un circuito
RLC in serie nell’intervallo compreso tra la frequenza zero ed una molto maggiore di quella di risonanza.
(b) Si identifichi il valore di f alla frequenza angolare di risonanza v0. (c) Si mostri che la pendenza della
curva alla risonanza è data da 2Q/v0.
71.Si calcoli la corrente efficace erogata dal generatore
di tensione da 45.0 V efficaci di Figura P33.71 quando
(a) la frequenza è molto elevata e (b) la frequenza è
molto bassa.
200 200 mF
45.0 V (eff)
3.00 mH
100 Figura P33.71
72. Problema di riepilogo. Si faccia l’ipotesi che nel circuito di Figura P33.72 siano dati tutti i parametri tranne
C. Si trovino (a) la corrente che scorre nel circuito in
funzione del tempo e (b) la potenza fornita al circuito. (c) Si trovi la corrente in funzione del tempo dopo l’apertura del solo interruttore 1. (d) Dopo che anche l’interruttore 2 è stato aperto, la corrente e la tensione sono in fase. Si trovi la capacità C. Si trovino (e)
l’impedenza del circuito quando entrambi gli interruttori sono aperti, (f) l’energia massima immagazzinata
nel condensatore durante le oscillazioni e (g) l’ener-
L
R
C
S2
Vmax cos vt
Figura P33.72
73. Un circuito RLC in serie contiene i seguenti componenti: R = 150 Ω, L = 0.250 H, C = 2.00 mF collegati ad
un generatore di tensione alternata con DVmax = 210
V a 50.0 Hz. Si determinino (a) la reattanza induttiva
del circuito, (b) la reattanza capacitiva del circuito, (c)
l’impedenza del circuito, (d) la corrente massima nel
circuito, (e) la fase fra la corrente e la tensione del generatore, (f) il fattore di potenza e (g) la potenza fornita al circuito.
74. Un circuito RLC in serie opera a 2.00 3 103 Hz. A questa frequenza XL 5 XC 5 1 884 Ω. La resistenza del circuito è 40.0 Ω. (a) Si costruisca una tabella che mostri
i valori di XL, XC e Z per f = 300, 600, 800, 1.00 3 103,
1.50 3 103, 2.00 3 103, 3.00 3 103, 4.00 3 103, 6.00 3
103 e 1.00 3 104 Hz. (b) Si disegnino, utilizzando gli
stessi assi, i grafici di XL, XC e Z in funzione di ln f.
75.Un circuito RLC in serie consiste in un resistore da
8.00 Ω, un condensatore da 5.00 mF e un induttore da
50.0 mH. Il circuito è collegato ai capi di un generatore di frequenza variabile che applica al circuito una
f.e.m. efficace di 400 V. Si determini la potenza erogata al circuito quando la frequenza è metà della frequenza di risonanza.
76. Un circuito RLC in serie in cui R 5 1.00 Ω, L 5 1.00
mH e C 5 1.00 nF è collegato ad un generatore di c.a.
che fornisce una tensione efficace di 1.00 V. (a) Si disegni, con precisione, il grafico della potenza fornita
al circuito in funzione della frequenza e (b) si verifichi
che la larghezza del picco di risonanza a metà del massimo è R/2pL.
Problemi impegnativi
77. Il resistore in Figura P33.77 rappresenta un altoparlante di un sistema audio. Si assuma la sua resistenza
costante al valore di 8.00 Ω. Il generatore rappresenta un amplificatore audio con DVmax = 10.0 V indipendente dalla frequenza. Il circuito deve operare come
un filtro passa-banda con DVout /DVin = 1/2 alle frequenze di 200 Hz e 4.00 3 103 Hz. Si determinino (a) i
valori di L e C, (b) il valore massimo di DVout /DVin, (c)
la frequenza f0 per cui DVout /DVin è massimo, (d) la fase fra Dvin e Dvout alle frequenze di 200 Hz, f0 , 4.00 3
103 Hz, (e) la potenza media trasferita all’altoparlante
alle frequenze di 200 Hz, f0 , 4.00 3 103 Hz e (f) il fattore di qualità del circuito risonante.
1029
Problemi
L
v in
pi dei tre elementi di circuito sono le stesse e sono in
fase con la corrente che attraversa il resistore. Come
mostrato nel diagramma dei fasori di corrente in Figura P33.80b, le correnti in C e L sono in anticipo o in ritardo rispetto alla corrente nel resistore. (a) Si mostri
che la corrente efficace erogata dal generatore
è
2 1/2
C
R
v out
Figura P33.77
78.Un resistore da 80.0 Ω e un induttore da 200 mH sono
collegati in parallelo ai capi di un generatore che forni­
sce la tensione efficace di 100 V alla frequenza di 60.0 Hz.
(a) Qual è la corrente efficace nel resistore? (b) Di
quale angolo la corrente totale anticipa o segue la tensione?
79. Una tensione Dv 5 100 V sin vt, con Dv in volt e t in
secondi, è applicata ai capi di una serie formata da un
resistore da 10.0 Ω, un condensatore da 10.0 mF e un
induttore da 2.00 H. (a) Si determini la frequenza angolare v0 alla quale la potenza fornita al resistore è
massima. (b) Si calcoli la potenza fornita a questa frequenza angolare. (c) Si determinino le frequenze angolari v1 e v2 alle quali la potenza è metà di quella
massima. Nota: il Q del circuito è v0/(v2 – v1).
80. La Figura P33.80a mostra un circuito RLC in parallelo. Le tensioni istantanee (e le tensioni efficaci) ai ca-
1
1
I eff 5 DVeff c 2 11 avC 2
1b d 2 1/2
vL
R
I eff 5 DVeff c 2 1 avC 2
b d
vL
R
(b) Si mostri che l’angolo di fase f tra DVeff e Ieff è dato da
1
1
tan f 5 R a 12
1b
XL b
tan f 5 RXaC 2
XC
XL
IC
IR
V
V rms
R
L
C
v
IL
a
b
Figura P33.80
81. Un generatore di c.a. con DVeff = 120 V è collegato tra
i punti a e d di Figura P33.24. A quale frequenza fornirà una potenza di 250 W? Si giustifichi la risposta.