Pagina 1 di 6 SISTEMI DI 1° GRADO CON DUE EQUAZIONI IN DUE INCOGNITE L’insieme di due equazioni di primo grado in due incognite si dice SISTEMA DI 1° GRADO. La soluzione del sistema è ogni coppia di numeri che è soluzione contemporaneamente di entrambe le equazioni. Un sistema è ridotto in forma normale quando tutte le sue equazioni sono ridotte in forma normale. Due sistemi si dicono equivalenti quando ammettono le stesse soluzioni. Un sistema di 1° grado può essere: DETERMINATO, quando ammette una soluzione IMPOSSIBILE, quando non ammette soluzioni INDETERMINATO, quando ammette infinite soluzioni RISOLUZIONI DEI SISTEMI DI 1° GRADO Per un sistema ridoto a forma normale sono possibili quattro metodi di risoluzione: METODO DI SOSTITUZIONE METODO DI CONFRONTO METODO DI RIDUZIONE METODO DI CRAMER Created by://baldosimone.wordpress.com/ Pagina 2 di 6 METODO DI SOSTITUZIONE Procedimento: 1. Si risolve una delle equazioni rispetto a una delle incognite, per esempio rispetto alla “x”. 2. Si sostituisce l’espressione trovata nell’altra equazione e la si risolve, trovando il valore della “y”. 3. Si sostituisce il valore della “y” nell’espressione della “x”. ESEMPIO x 2 y 3 3 x 2 y 1 1. Si ricava x nella 1a equazione, spostando “2y” al 2° membro. x 3 2 y 3 x 2 y 1 2. Si sostituisce la “x” nella 2a equazione l’espressione trovata “3-2y”. x 3 2 y 3 3 2 y 2 y 1 3. Si risolve la 2V equazione, ottenendo il valore di “y”. 9 6 y 2 y 1 6 y 2 y 8 1 8 y 8 y 1 4. Si sostituisce alla “y” nella 1 a equazione il valore ottenuto e si calcola il valore di “x”. x 3 2 1 x 3 2 x 1 y 1 y 1 y 1 Created by://baldosimone.wordpress.com/ Pagina 3 di 6 METODO DI CONFRONTO Procedimento: 1. Si ricava la stessa incognita in entrambe le equazioni. 2. Si uguagliano le due espressioni ottenute e si risolve calcolando il valore di una incognita. 3. Si sostituisce il valore trovato in una delle equazioni iniziali e si calcola il valore dell’altra incognita. ESEMPIO x 2 y 3 3 x 2 y 1 1. Si ricava nelle due equazioni. x 3 2 y x 3 2 y 1 2y 3 x 1 2 y x 3 2. Si uguagliano le espressioni di x e si riscrive, come 2 a equazione, una qualsiasi di esse. 1 2y 3 2 y 3 x 3 2 y 3. Si risolve la 1 a equazione, ottenendo il valore di “y”. 3 3 2 y 1 2 y 9 6 y 1 2 y 6 y 2 y 9 1 8 y 8 y 1 3 3 x 3 2 y 4. Si sostituisce il valore trovato di “y” nella 2a equazione e si ottiene “x”. y 1 y 1 y 1 x 3 2 1 x 3 2 x 1 Created by://baldosimone.wordpress.com/ Pagina 4 di 6 METODO DI RIDUZIONE Procedimento: 1. Si fa in modo che nelle due equazioni i coefficienti di un’incognita siano opposti moltiplicando, se necessario, una delle due equazioni per un numero opportuno. 2. Si addizionano membro a membro le due equazioni, ottenendo una combinazione lineare in una sola incognita, e si ricava tale incognita. 3. Si sostituisce il valore trovato in una delle equazioni, ricavando l’altra incognita. ESEMPIO x 2 y 3 3 x 2 y 1 1. I coefficienti della “y” sono opposti: se si addizionano membro a membro le due equazioni (combinazione lineare). x 2 y 3 3 x 2 y 1 4 x / / 4 Da cui si ricava x=1 2. A “x=1” si abbina una qualsiasi delle equazioni iniziali, si sostituisce e si ricava “y”. x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 2 y 3 1 2 y 3 2 y 3 1 2 y 2 y 1 Created by://baldosimone.wordpress.com/ Pagina 5 di 6 !!! NOTA BENE !!! METODO DI CRAMER Dati 4 numeri “a,b,c,d” il simbolo a b c d Procedimento: Dato un sistema in forma normale rappresenta una matrice quadrata di 2° ordine. ax by m cx dy n 1. si calcolano i tre determinanti. D a b c d Dx m b n d Dy a m c n 2. La soluzione del sistema è data Dx x D y Dy D ESEMPIO 3x 2 y 6 3x y 15 1. Si determina la D, Dx e Dy. D 3 2 3 Dx Dy 3 1 2 3 9 1 6 2 15 1 3 6 3 15 2 15 1 6 36 3 15 3 6 27 2. Si determina la soluzione. 36 x 9 4 y 27 3 9 Created by://baldosimone.wordpress.com/ Si chiama determinante della matrice, e si indica con il simbolo a b c d il numero che si ottiene moltiplicando in croce e sottraendo i risultati, cioè ad-bc. Pagina 6 di 6 RISOLUZIONE DEI SISTEMI FRATTI I sistemi fratti sono i sistemi nelle cui equazioni almeno una delle incognite compare al denominatore. I metodi di risoluzione sono sempre gli stessi, ma è necessario controllare che le soluzioni trovate non annullino uno dei denominatori del sistema dato. ESEMPIO y 3 x 1 2 x y 2 y x 1. Pongo le condizioni di esistenza 1 D 0 x 1 0 x 1 2 D 0 y 1 0 y x C .E. x 1 yx 2. Si riduce il sistema in forma normale y 3 2 x 1 2 x y 1 x y 2 y x 3x y 0 3. Dopo avere ridotto il sistema a forma normale si risolve con uno dei metodi seguenti: 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. METODO DI SOSTITUZIONE METODO DI CONFRONTO METODO DI RIDUZIONE METODO DI CRAMER Created by://baldosimone.wordpress.com/