sistemi di 1° grado con due equazioni in due incognite risoluzioni

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SISTEMI DI 1° GRADO CON DUE EQUAZIONI IN DUE INCOGNITE
L’insieme di due equazioni di primo grado in due incognite si dice SISTEMA DI 1° GRADO.
La soluzione del sistema è ogni coppia di numeri che è soluzione contemporaneamente di entrambe le
equazioni.
Un sistema è ridotto in forma normale quando tutte le sue equazioni sono ridotte in forma normale.
Due sistemi si dicono equivalenti quando ammettono le stesse soluzioni.
Un sistema di 1° grado può essere:



DETERMINATO, quando ammette una soluzione
IMPOSSIBILE, quando non ammette soluzioni
INDETERMINATO, quando ammette infinite soluzioni
RISOLUZIONI DEI SISTEMI DI 1° GRADO
Per un sistema ridoto a forma normale sono possibili quattro metodi di risoluzione:




METODO DI SOSTITUZIONE
METODO DI CONFRONTO
METODO DI RIDUZIONE
METODO DI CRAMER
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METODO DI SOSTITUZIONE
Procedimento:
1. Si risolve una delle equazioni rispetto a una delle incognite, per esempio rispetto alla “x”.
2. Si sostituisce l’espressione trovata nell’altra equazione e la si risolve, trovando il valore della “y”.
3. Si sostituisce il valore della “y” nell’espressione della “x”.
ESEMPIO
x  2 y  3

3 x  2 y  1
1. Si ricava x nella 1a equazione, spostando “2y” al 2° membro.
x  3  2 y

3 x  2 y  1
2. Si sostituisce la “x” nella 2a equazione l’espressione trovata “3-2y”.
 x  3  2 y

3  3  2 y   2 y  1
3. Si risolve la 2V equazione, ottenendo il valore di “y”.








9  6 y  2 y  1  6 y  2 y  8  1 8 y  8  y  1
4. Si sostituisce alla “y” nella 1 a equazione il valore ottenuto e si calcola il valore di “x”.
 x  3  2 1  x  3  2  x  1



 y  1
y 1
y 1
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METODO DI CONFRONTO
Procedimento:
1. Si ricava la stessa incognita in entrambe le equazioni.
2. Si uguagliano le due espressioni ottenute e si risolve calcolando il valore di una incognita.
3. Si sostituisce il valore trovato in una delle equazioni iniziali e si calcola il valore dell’altra incognita.
ESEMPIO
x  2 y  3

3 x  2 y  1
1. Si ricava nelle due equazioni.
x  3  2 y
x  3  2 y



1 2y
3 x  1  2 y  x 
3

2. Si uguagliano le espressioni di x e si riscrive, come 2 a equazione, una qualsiasi di esse.
1 2y

3  2 y 
3

 x  3  2 y
3. Si risolve la 1 a equazione, ottenendo il valore di “y”.
 3 3  2 y  1  2 y
9  6 y  1  2 y  6 y  2 y  9  1  8 y  8  y  1






3
3 



x  3  2 y


4. Si sostituisce il valore trovato di “y” nella 2a equazione e si ottiene “x”.
 y  1
y 1
y 1



 x  3  2 1  x  3  2  x  1
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METODO DI RIDUZIONE
Procedimento:
1. Si fa in modo che nelle due equazioni i coefficienti di un’incognita siano opposti moltiplicando, se
necessario, una delle due equazioni per un numero opportuno.
2. Si addizionano membro a membro le due equazioni, ottenendo una combinazione lineare in una
sola incognita, e si ricava tale incognita.
3. Si sostituisce il valore trovato in una delle equazioni, ricavando l’altra incognita.
ESEMPIO
x  2 y  3

3 x  2 y  1
1. I coefficienti della “y” sono opposti: se si addizionano membro a membro le due equazioni
(combinazione lineare).
x  2 y  3

3 x  2 y  1
4 x / /  4 Da cui si ricava x=1
2. A “x=1” si abbina una qualsiasi delle equazioni iniziali, si sostituisce e si ricava “y”.
x  1
x  1
x  1
x  1
x  1





 x  2 y  3 1  2 y  3  2 y  3  1 2 y  2  y  1
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!!! NOTA BENE !!!
METODO DI CRAMER
Dati 4 numeri “a,b,c,d” il simbolo
a b
c d
Procedimento:
Dato un sistema in forma normale
rappresenta una matrice quadrata di
2° ordine.
 ax  by  m

cx  dy  n
1. si calcolano i tre determinanti.
D
a b
c d
Dx 
m b
n d
Dy 
a m
c n
2. La soluzione del sistema è data
Dx

 x  D

 y  Dy

D
ESEMPIO
3x  2 y  6

3x  y  15
1. Si determina la D, Dx e Dy.
D
3 2
3
Dx 
Dy 
 3 1  2  3  9
1
6
2
15
1
3
6
3 15
 2  15  1  6  36
 3  15  3  6  27
2. Si determina la soluzione.
36

 x  9  4

 y  27  3

9
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Si chiama determinante della matrice,
e si indica con il simbolo
a b
c d
il numero che si ottiene moltiplicando
in croce e sottraendo i risultati, cioè
ad-bc.
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RISOLUZIONE DEI SISTEMI FRATTI
I sistemi fratti sono i sistemi nelle cui equazioni almeno una delle incognite compare al denominatore.
I metodi di risoluzione sono sempre gli stessi, ma è necessario controllare che le soluzioni trovate non
annullino uno dei denominatori del sistema dato.
ESEMPIO
y 3
 x  1  2
x y

2
 y  x
1. Pongo le condizioni di esistenza
1 D  0  x  1  0  x  1
2 D  0  y  1  0  y  x
C .E.
x 1
yx
2. Si riduce il sistema in forma normale
 y  3  2  x  1
 2 x  y  1


 x  y  2  y  x  3x  y  0
3. Dopo avere ridotto il sistema a forma normale si risolve con uno dei metodi seguenti:
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
METODO DI SOSTITUZIONE
METODO DI CONFRONTO
METODO DI RIDUZIONE
METODO DI CRAMER
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