CONNESSIONI PRINCIPALI COSTANTI - Nardelli

CONNESSIONI MATEMATICHE PRINCIPALI
TRA LE COSTANTI π, Φ ed e
Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pierfrancesco Roggero
Abstract
In this paper we show some connections between
π, Φ and e
Riassunto
In questo breve lavoro mostreremo alcune principali
connessioni tra π, Φ ed e, alcune delle quali da noi
scoperte
Testo
Ci baseremo su un apposito reticolo che riportale tre
costanti matematiche in esame e le loro possibili
1
connessioni, nel relativo incrocio indichiamo il numero
di riferimento ai lavori o loro brani, nostri o altrui, che
riportano queste connessioni tramite formule
matematiche o breve descrizioni.
Reticolo
e
Φ
π
e
3
5
Φ
1
6
π
2
4
-
Riferimenti
1 e 2 insieme:
Da Internet (un post su Facebook, profilo della Sig.ra
Nicoletta Sapioli)
2
“I
will attempt to definitively answer how the numbers, shapes,
and properties of these 3 irrationals are intertwined... more details
coming soon.
Come vediamo, i numeri di Fibonacci 5, 8 e 13 sono
connessi rispettivamente alle costanti π, Φ, π ed e
π, e e Φ.
Possiamo quindi valutare il prossimo numero di
Fibonacci, 21, come 13*1,618 , e sostituendo 13 con
π *e* Φ, avremo
π *e* Φ* Φ = 13,81758*1,618 =
22,35684 ≈ 21.
3
Moltiplicando ancora il valore ottenuto per 1,618,
avremo 36,17337≈ 34, e così via, ottenendo valori per
eccesso prossimi ai successivi numeri di Fibonacci:
formula generale
π *e* Φ^n
1) distribuzione dei numeri primi , e e Φ
La successione di Fibonacci e
il Teorema dei numeri primi (TNP)
Francesco Di Noto
Sul sito www.divinesection.net
Brano interessato, con correzione di piccoli errori (in rosso)
“Ora possiamo vedere come le due costanti e, Ф, e la funzione π(n) sono
strettamente collegate alla distribuzione dei numeri primi fino alle potenze di 10 ,
tramite la relazione:
e^N ≈ 10^k / π(10^3k ) ≈ log 10^3k ≈ Fi + 4
(23)
quando k = Fi, ed eN · Ф ≈ Fi +1 (24)
Cominciamo con e = 2,718 e Ф =1,618 insieme:
4
TABELLA 1 (e^N , e^N · Ф )
N
e^N ≈ Fi
1
2,718 ≈
2
7,389
3
20,085
4
54,598
5
148,336
6
7
8
…
403,177
1095,837
2979,486
…
e^N * Φ
4,39
11,95
32,49
88,33
240.00
3
8
21
55
144
377
987
2584
652,34
1773,06
4819,19
…
≈ Fi + 1
5
13
34
89
233
610
1597
4181
…
Al crescere ancora di N, e^N dà però valori sempre più lontani da Fi e da Fi+1, e
approssimati per eccesso a partire da N = 5 in poi. Si nota subito, peraltro, che
per i primi valori di N, e^N dà valori molto prossimi a Fi = 3, 8, 21, 55, 144…
mentre e^N · Ф dà valori molto prossimi a Fi+1 = 5, 13, 34, 89, 233… Mettendo in
un ordine unico tali numeri, si ottiene la serie completa di Fibonacci, tranne i
primi termini iniziali 0, 1, 1 e 2.
Quando anche N è anch’esso un numero di Fibonacci, abbiamo la connessione
tra e, Ф, Fi ed Fi+1:
e^N ≈ Fi, e^N · Ф ≈ Fi+1 alternati.
(25)
Per il resto rimandiamo al lavoro sopra indicato.
Conclusioni
In tal modo abbiamo scoperto le suddette relazioni
matematiche tra la serie di Fibonacci e la distribuzione
dei numeri primi ed e =2,718028…, e quindi anche con
il Teorema dei numeri primi (TNP) già dimostrato da
Jacques Hadamard e Charles Jean de la Vallée-Poussin
e a sua volta connesso all’ipotesi di Riemann, uno dei sei
problemi del Millennio (Rif. 2).
2) e e π
5
Da Wikipedia, Formula di Eulero, paragrafo
sull’”Identità di Eulero”
“L'identità di Eulero[modifica | modifica wikitesto]
La formula di Eulero dà origine ad un'identità considerata
tra le più affascinanti della matematica, nota come identità
di Eulero, che mette in relazione tra loro cinque simboli che
sono alla base dell'analisi matematica: e, i, , 1 e 0:
“
Qui ci interessano però solo le costanti e e π
2) Formula di Stirling, e e π , insieme anche qui
Da Wikipedia, Approssimazione di Stirling:
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Vai a: navigazione, ricerca
6
Al crescere di n, il rapporto tra (ln n!) e (n ln n − n) tende a 1.
In matematica l'approssimazione di Stirling o formula di Stirling o formula approssimata di
Stirling è un'approssimazione per fattoriali grandi. Deve il suo nome al matematico scozzese
James Stirling (1692-1770).
La formulazione corretta è:
che viene scritta spesso come:
Per valori elevati di n il secondo membro della formula fornisce una buona approssimazione
di n! che si può calcolare rapidamente e facilmente. Ad esempio la formula per 30! fornisce
l'approssimazione 2,6452 × 1032, mentre un valore più preciso è 2,6525 × 1032; in questo caso si
ha una discrepanza minore dello 0,3%, più precisamente:
Anche in queste formule compaiono insieme e e π
7
6) COSTANTE DI STRUTTURA FINE E DIMENSIONI
EXTRA
Dott. Michele Nardelli, Francesco Di Noto, Ing. Pierfrancesco Roggero
Già sul nostro sito
http://nardelli.xoom.it/virgiliowizard/
(Connessione tra π e Φ)
Brano finale interessato
““…Vi sono ulteriori connessioni matematiche che vale la pena di andare a
descrivere ed analizzare. L’Ing. Christian Lange ha ottenuto alcuni risultati
lavorando sul numero 432, corrispondente alla frequenza del La naturale
(ricordiamo che 432 =24 · 18). Dividendo 432 per π, si ottiene 137,5 un valore
molto vicino a quello della Costante di Struttura Fine,di importanza
fondamentale nella fisica teorica e nella cosmologia, in quanto ha un ruolo di
primo piano nelle teorie delle stringhe e del multiverso.
Inoltre, dividendo 432 per Ф e per Ф^2 si ottengono rispettivamente i numeri
267 e 165. Le somme di tali numeri forniscono nuovamente 432…Si osserva
anche che i numeri 267 e 165 sono dati da somme di numeri di Fibonacci.
Infatti:267 = 233 + 34, e 165 = 144 + 21 (233 = 89 + 144; 144 = 55 + 89)…”.
(E anche le formule per ottenere i numeri 267 = 432/Ф
Ф e 165=432/Ф
Ф^2 sono
connesse alla sezione aurea) Ora però il numero 137,5796 si ottiene da 432/π
π.
Ma 432 è connesso anche ad alcuni numeri di Fibonacci, dalle relazioni di cui
sopra. Quindi anche π, già presente nella formula della costante di struttura fine,
potrebbe essere connesso all’angolo aureo 137,5° (ma per angolo aureo si
intendono anche altri angoli, come 36°, ecc. ; noi in questo lavoro ci riferiremo
sempre all’angolo 137,5 , molto prossimo all’inverso della costante di struttura
fine, 137,035…)
Quindi, sarebbe possibile una connessione tra 432, π, Ф, e α = costante di
struttura fine “.
Conclusioni
Mostrate le connessioni tra le tre costanti a due a due o
tra tutte e tre (vedi Rif. 1 e 2 insieme nella connessione
8
riportata da Internet), tralasciamo le già ben note
formule di fisica e matematica in cui è presente solo una
costante, vogliamo ora accennare al fatto che oltre ad
essere connesse a svariati fenomeni naturali e argomenti
matematici, le tre costanti spuntano spesso fuori
inaspettatamente anche in contesti artificiali, per
esempio:
Φ è presente nella musica, nell’arte, nella finanza
(consentirebbe di prevedere l’andamento dei titoli in
borsa) , nei giochi d’azzardo tipo roulette
(permetterebbe, come martingala attenuata con Φ, una
regolazione delle poste successive in modo da non
perdere molto alla roulette...come succederebbe invece
con la ben più pericolosa martingala normale) ,
nell’elettronica, ecc. (vedi articoli in Rif. generali 1) e è
9
presente in questioni di matematica finanziaria, tipo
ammortamenti di interessi ecc., π è presente nel curioso
metodo di approssimazione (L’ago di Buffon) buttando
tantissime volte un ago in un reticolo e misurando gli
angoli formati (casualmente?...) tra ago e una delle
righe del reticolo . Vedi NOTA 1
Questo ci suggerirebbe che i fenomeni naturali in cui è
coinvolta una delle tre costanti, avrebbero degli
analoghi fenomeni nella sfera delle attività umane
artificiali, e quindi anch’essi regolati dalla stessa
costante in modi più o meno simili. Sarebbe un bel
futuro campo di ricerca, poiché scoprire e
approfondire una connessione matematica tra i due
fenomeni attraverso una o più delle costanti π, e, Φ
in comune, potrebbe portare ad una migliore
conoscenza di entrambi.
10
Riferimenti generali
1) sito www.divinesection.net , sezione Articoli
2) sito http://nardelli.xoom.it/virgiliowizard/
con diversi articoli in cui sono presenti fenomeni
matematici, naturali o artificiali regolati da una o più
delle tre costanti.
NOTA 1 circa l’ago di Buffon
Da Internet, link:
www.roma1.infn.it/people/rahatlou/labcalc/2012/.../ese
rcitazione-06.pdf
riportiamo parzialmente una curiosità :
“Stima di π con l’ago di Buffon
Lo scopo di questa esercitazione e`stimare il valore di π con un metodo iterativo noto dal XVIII
secolo.
Supponiamo di avere un piano percorso da linee parallele distanti d tra di loro e un ago di
lunghezza L con L < d. Lanciando l’ago sul piano, essa ha una probabilita2L/πd di
Incrociare una linea del piano. Sia x la distanza tra il centro dell’ago e la linea più vicina all’ago
e θ l’angolo acuto tra l’ago e le linee. L’ago incrocerà una delle linee se e`verificata la condizione
x <(L/2) sinθ. Effettuando N lanci e indicando con S il numero di volte che l’ago incroci a una
linea si ha che
11
N = 2*L
S
π*d
da cui possiamo ottenere
π = 2*L*N “
S*d
....
Nota 2 sulla legge di Benford
Dalla relativa voce di Wikipedia riportiamo
parzialmente :
Legge di Benford
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Vai a: navigazione, ricerca
La distribuzione di Benford meglio nota come legge di Benford o legge della prima cifra è una
distribuzione di probabilità che descrive la probabilità che un numero presente in molte raccolte di
dati reali (p.es. popolazione dei comuni, quotazione delle azioni, costanti fisiche o matematiche,
numero di strade esistenti nelle località) cominci con una data cifra, ad esempio "1", che secondo
questa variabile casuale discreta dovrebbe essere nel 30,1% dei casi la prima cifra. La funzione di
probabilità è data da
prima
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
12
cifra
P(x=n)
30,1%
17,6%
12,5%
9,7%
7,9%
6,7%
5,8%
5,1%
4,6%
prime due cifre
n
P(x=n)
10
4,1%
11
3,8%
12
3,5%
13
3,2%
14
3,0%
...
...
ecc.
...
99
0,4%
Una delle estensioni della legge di Benford, Diagramma a torta della distribuzione della prima cifra
prende in considerazione la coppia delle
prime due cifre (da 10 a 99 dunque), lasciando invariata la formula, ma semplicemente modificando
l'intervallo di validità da [1,9] a [10,99].
Una breve e intuitiva spiegazione del perché in "natura" accade ciò, e che quindi la cifra 1 si
presenti con maggior frequenza, poi la cifra 2 e così via, è dato dal fatto che noi contiamo a iniziare
dal numero 1 in avanti sino al 9. Se proviamo a pensare alle cifre da 1 a 9 è chiaro che abbiamo le
stesse probabilità che una cifra inizi con 1 o 2 o 3 o 9. Se, però, prendiamo già i numeri da 1 a 20
ecco che da 11 a 19 ho molti più numeri che iniziano con la cifra 1. Se prendiamo quelli da 1 a 30
ne ho molti che iniziano con 1 ma anche con 2. Come si può facilmente notare, per avere numeri
che inizino con 9, ad es, devo andare molto in là con i numeri e quindi aumento anche la quantità di
quelli che inizieranno con 1 o con 2 e quindi con cifre basse, per cui in una distribuzione di numeri
legati a superfici, popolazioni, sarà più alta la probabilità di averne che inizino con 1 piuttosto che
con 9. La cosa comunque singolare è che Benford riuscì a far vedere che, per molte distribuzioni, la
probabilità che un numero inizi con una certa cifra tra 1 e 9 è sempre la stessa (30,1% per la cifra 1,
17,6% per la cifra 2, 4,6% per la cifra 9)
...
Connessione con il numero e :
Invarianza di scala[modifica | modifica wikitesto]
Se un fenomeno segue la legge di Benford, allora moltiplicando tutti i valori per un numero
prefissato, si ottiene una nuova raccolta di valori che seguono a loro volta la legge di Benford.
Esempio: se le quotazioni espresse in Lire delle azioni quotate in borsa seguono la legge di
Benford, allora le stesse quotazioni espresse in Euro seguono anch'esse la legge di Benford.
L'invarianza di scala richiede che
e che anche
Essendo richiesto che
dev'essere del tipo 1/x. Effettivamente
si ricava che la forma
per
è una distribuzione continua di probabilità che produce valori casuali le cui prime cifre
rispettano la legge di Benford.
... “.
Ma noi abbiamo trovato una nuova connessione anche
13
con i numeri di Fibonacci . Prendiamo la tabella
iniziale:
prima
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
cifra
P(x=n)
30,1%
17,6%
12,5%
9,7%
7,9%
6,7%
5,8%
5,1%
4,6%
prime due cifre
n
P(x=n)
10
4,1%
11
3,8%
12
3,5%
13
3,2%
14
3,0%
...
...
ecc.
...
99
0,4%
Se prendiamo i numeri della seconda colonna e li
scriviamo in orizzontale e solo la loro parte intera,
abbiamo:
30 17 12 9 7
6
5 5 4,
con una prima e più debole connessione con i numeri di
Fibonacci:
30 ≈ 34 17 12 ≈ 9 ≈ 8 ≈ 7
6
5= 5 = 5
4 ≈ 3;
ma se scriviamo sotto le loro differenze successive, e
consecutive abbiamo, in rosso, per esempio
14
30-17= 13, ecc:
13 5 3 2 1 1 0 1 corrispondenti a numeri di
Fibonacci, tranne il numero 8 tra 5 e 13
Scriviamo invece le differenze alternate, per es. 30 -12 =
18 , 17 -9 = 8, ecc. avremo ora la serie di differenze
18 8 5 3 2
1 1
Ora recuperiamo il numero 8, ma perdiamo il 13.
Però lo recuperiamo, sia pure parzialmente, poiché 18
è circa la media tra 13 e 21 = 17, cosa che si verifica
spesso in altri fenomeni naturali o matematici che
coinvolgono i numeri di Fibonacci.
I numeri di Fibonacci più piccoli sono ovviamente
relativi alle cifre con minori frequenze percentuali,
mentre i più grandi, 8 e 18 come circa la media tra 13 e
21, sono relativi rispettivamente alle cifre 2 e 1.
15
Le due tabelle seguenti rendono meglio l’idea
Tabella 1
Numeri interi di
Benford
30
17
12
9
7
6
5
5
4
Numeri interi di Differenze =
Benford slittati di Numeri di
un posto
Fibonacci
tranne l’8
17
13
12
5
9
3
7
2
6
1
5
1
5
0
4
1
Tabella 2
Numeri interi di
Benford
30
17
12
9
Numeri interi di Differenze =
Benford slittati di Numeri di
due posti
Fibonacci
tranne l’8
12
18 ≈ 17=
(13+21)/2
9
8
7
5
6
3
16
7
6
5
5
4
5
5
4
2
1
1
Se ora invece prendiamo i piccoli numeri della tabella di
Wikipedia (ultima colonna, parzialmente), relativi alla
seconda cifra notiamo un’altra piccola connessione di
Fibonacci: i rapporti successivi sono mediamente
lievemente superiori alla 2^3 -esima radice di 1,618 =
numero aureo
Tabella 3
Numeri di Benford
Relativi alla seconda
cifra
Rapporti successivi
≈ 2^3 -esima radice
di 1,618
1,0619 valore reale
4,1
3,8
3,5
3,2
4,1/3,8 =
3,8/3,5=
3,5/3,2=
3,2/3,0
1,078
1,085
1,093
1,066
≈ 1,0619
≈ 1,0619
≈ 1,0619
≈ 1,0619
La prima connessione con i numeri di Fibonacci
17
tramite le differenze èvidentissima (la seconda un po’
meno).
Con tale nuova nostra connessione, la scoperta di
Benford, già nota in statistica e già usata per qualche
applicazione, specialmente in campo fiscale, vedi Nota 3,
potrebbe essere oggetto di altre possibili applicazioni
pratiche, per esempio nel campo dei bigdata in ogni
campo, per estrarre, dalla loro grande massa di
informazioni, solo quelle più interessanti per fare
previsioni utili sull’andamento dei relativi fenomeni
naturali ( per es. clima, epidemie, ecc. ecc.) .
Per esempio, già con la serie di Fibonacci, e dei relativi e
potenti algoritmi, gli hft (high frequency trading) si è
già in grado di prevedere in modo attendibile
l’andamento azionario e di sfruttarlo per speculazioni
finanziarie, acquistando o vendendo azioni al momento
18
opportuno, con relativi e lauti guadagni.
Un nostro lavoro teorico in tal senso, già sul sito
www.divinesection.net/doc/Finanza_Aurea.pdf
è “Finanza aurea” . Comunque, una maggiore
conoscenza di questo argomento statistico ( legge di
Benford) e, possibilmente, anche della nostra modesta
correlazione con la serie di Fibonacci, potrebbe essere
molto utile ai ricercatori sui bigdata, già richiestissimi e
pagatissimi essendo ancora molto rari (ma già si stanno
preparando appositi stage universitari) , per poter
“spremere” dai bigdata che essi studieranno in futuro,
le informazioni necessarie per conoscere e prevedere
meglio l’andamento futuro del fenomeno studiato, sia
esso naturale (per es. clima) o artificiale ( es. mercato
azionario).
19
Nota 3 sulla applicazione della legge di Benford in
campo fiscale:
La recente “Garzantina” di matematica (Garzanti),
riporta a pag. 1408 la voce “ Cifre iniziali dei numeri
(Frank Benford, 1938), con una breve nota finale, che
riportiamo testualmente:
“La legge di Benford non costituisce solo un ‘intrigante
curiosità matematica, ma si presta anche a delle interessanti
applicazioni pratiche. Per esempio, negli USA viene utilizzata
per scovare gli evasori fiscali: tutte le dichiarazioni di reddito
I cui importi non presentano un’adeguata distribuzione delle
prime cifre vengono considerate sospette e sottoposte ad un
controllo più accurato: Si narra che , in un accertamento del
genere, fosse incappato anche Clinton, prima di diventare
presidente degli USA.”
Nostro commento.
Ecco un esempio di buona applicazione della legge di
Benford in campo fiscale, applicazione che potrebbe
essere ancora migliorata, possibilmente e sperabilmente,
20
anche con la nostra relazione con Fibonacci. E così
anche per altre possibili applicazioni statistiche in altri
campi . Ben 76 anni dopo l’intuizione di Benford, la
sua legge statistica è stata migliorata con la nostra, che
la connette chiaramente ai numeri di Fibonacci, e con
nuovi e possibili risvolti applicativi. Una volta tanto,
nessuno si rivolta nella tomba, poichè pensiamo che a
Benford la nostra connessione sarebbe proprio piaciuta.
21