Incontri di introduzione
alla Relatività Generale
Prima parte
La Torre del Sole - 11 Novembre 2015
Dr. Andrea Castelli, Ph.D.
Università degli Studi di Bologna
Struttura del corso
PARTE PRIMA - 11 Novembre 2015
VERSO LA RELATIVITA’ GENERALE
1. Presentazione degli incontri
2. Definizione di sistema di riferimento inerziale e non inerziale
3. La Relatività prima di Einstein: da Galileo a Newton
4. Accenni all’elettromagnetismo
5. I concetti chiave della Relatività Ristretta
Struttura del corso
PARTE SECONDA - 18 Novembre 2015
LA STRUTTURA DELLA RELATIVITA’ GENERALE
1. La gravitazione prima di Einstein
2. Il principio di equivalenza
3. Il principio di relatività generale
4. La geometria dello spazio-tempo: brevi e semplici accenni alle geometrie non
euclidee e al calcolo tensoriale
5. Il principio di covarianza generale
Struttura del corso
PARTE TERZA - 25 Novembre 2015
LE EQUAZIONI DI CAMPO DELLA RELATIVITA’ GENERALE
1. L’universo in un’equazione: la struttura delle equazioni di campo
2. Un po’ di storia: la disputa con Hilbert sulla priorità della scoperta delle
equazioni del campo gravitazionale
3. Le conferme sperimentali della teoria
4. Accenni alla cosmologia moderna
4 Novembre 1915 - Zur allgemeinen Relativitätstheorie
[Sulla teoria della Relatività Generale]
11 Novembre 1915 - Zur allgemeinen Relativitätstheorie
(Nachtrag)
[Sulla teoria della Relatività Generale (Appendice)]
18 Novembre 1915 - Erklärung der Perihelbewegung des
Merkur aus der allgemeinen Relativitätstheorie
[Spiegazione del moto del perielio di Mercurio per mezzo della
teoria della Relatività Generale]
25 Novembre 1915 - Die Feldgleichungen der Gravitation
[Le equazioni di campo della gravitazione]
Il sistema di riferimento
Punti di vista…
Immagine tratta da “Immagini della fisica di Amaldi”, Zanichelli (2009)
Sistemi di riferimento inerziali
O
O’
Per entrambi gli osservatori O e O’, il ragazzo verifica il principio
di inerzia (primo p. della dinamica): essendo soggetto a forze la
cui risultante è nulla, egli persevera nel suo stato di quiete (O) o
di moto rettilineo uniforme (O’).
Un sistema di riferimento inerziale è un sistema rispetto al
quale un corpo non soggetto a forze resta fermo o si muove di
moto rettilineo uniforme.
Sistemi di riferimento non inerziali
Stando nel sistema di riferimento dell’autobus, il ragazzo ha la
sensazione di essere stato spinto in avanti (accelerato) da una
forza che si manifesta improvvisamente e misteriosamente… .
Un sistema di riferimento non inerziale è un sistema rispetto
al quale non è verificato il principio di inerzia. Si tratta quindi di
un sistema che si muove di moto accelerato.
Sistemi di riferimento non inerziali
Secondo l’osservatore sulla piattaforma, i
corpi sono in quiete: la condizione di
equilibrio viene spiegata introducendo due
forze apparenti, dette centrifughe, che
controbilanciano quelle centripete.
Per l’osservatore in un sistema di
riferimento inerziale i corpi,
entrambi animati di moto
circolare uniforme, devono essere
sottoposti a forze centripete
(caratterizzano il moto rotatorio).
Un moto “particolare”: inerziale o non inerziale?
Per l’osservatore all’interno dell’ascensore, il moto di caduta
libera nel vuoto è inerziale, mentre per un osservatore
all’esterno è non inerziale.
La relatività prima di Einstein: da Galileo a Newton
Non esiste alcun esperimento che possa permettere di
decidere se, in condizioni opportune, ci si trova in un sistema
di riferimento in quiete o in moto rettilineo uniforme.
La relatività prima di Einstein: da Galileo a Newton
Il principio di relatività galileiana afferma che le leggi della
fisica hanno la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento che
sono in quiete o che si muovono di moto rettilineo uniforme
uno rispetto all’altro.
x0 = x v 0 t
y0 = y
z0 = z
0
t =t
Legge galileiana di
composizione delle
0
velocità: v = v V
La relatività prima di Einstein: da Galileo a Newton
Una trasformazione galileiana è una trasformazione di coordinate
che permette di passare da un sistema di riferimento inerziale ad
un altro sistema che abbia una velocità V costante rispetto al
primo.
a = a0quindi F = ma in entrambi i sistemi di riferimento inerziali
Le leggi della meccanica sono invariati rispetto alle
trasformazioni di Galileo.
L’elettromagnetismo: il contesto storico
Le onde luminose presentavano
caratteristiche elettromagnetiche.
Come per tutti i fenomeni ondulatori
noti all’epoca, si ipotizzò l’esistenza di
un mezzo che consentisse la
propagazione delle oscillazioni
elettromagnetiche, l’etere luminifero.
Si suppose che esperimenti con la luce
avrebbero permesso di rilevare
sperimentalmente il moto di un corpo
attraverso l’etere.
James Clerk Maxwell
L’elettromagnetismo: le equazioni di Maxwell
1) Legge di Gauss per il campo elettrico: le sorgenti del
campo elettrico sono le cariche.
2) Legge di Gauss per il campo magnetico: il flusso di un
campo magnetico uscente da una superficie chiusa è nullo perché
non esistono ‘cariche magnetiche’ elementari analoghe alle
cariche elettriche (non esistono cariche magnetiche isolate, ma
solo dipoli).
L’elettromagnetismo: le equazioni di Maxwell
3) Legge di Ampère-Maxwell: il campo magnetico è generato
sia da correnti sia da variazioni del campo elettrico.
4) Legge di Faraday-Henry: un campo magnetico variabile
genera un campo elettrico.
L’elettromagnetismo: problemi aperti
La velocità delle onde elettromagnetiche prevista dalle equazioni
di Maxwell rispetto a quale sistema di riferimento doveva essere
considerata?
Maxwell stesso rispondeva che la velocità della luce era riferita
all’etere.
Le equazioni di Maxwell non sono invariati rispetto alle
trasformazioni di Galileo, cioè cambiano forma e contenuti
cambiando il sistema di riferimento.
Se esiste l’etere, esso deve essere il sistema di riferimento
inerziale privilegiato (assoluto) rispetto al quale la luce ha
velocità c.
Non invarianza delle equazioni di Maxwell
Cosa accade alle leggi dell’elettromagnetismo quando vengono
sottoposte a una trasformazione galileiana?
Si supponga che le equazioni di Maxwell siano riferite a un
sistema di riferimento K.
Se si passa, per mezzo delle trasformazioni di Galilei, ad un
sistema di riferimento K’ in moto rispetto a K con velocità V, le
equazioni dell’elettromagnetismo perdono la loro covarianza.
Se in K la velocità della luce risulta essere c, applicando le
trasformazioni di Galilei avremo che in K’ essa sarà c - V.
In K’ le equazioni di Maxwell devono essere diverse per poter
rendere conto di questa incongruenza nella misura della velocità
della luce.
L’esperimento di Michelson-Morley
La speranza di riuscire a rilevare un moto della Terra rispetto
all’etere fu delusa dal risultato nullo del celebre esperimento del
1887 condotto da Michelson e Morley.
L’esperimento di Michelson-Morley
Se si ruota l’interferometro di 90°, la velocità della Terra si
sommerà questa volta alla velocità del raggio verticale e, di
conseguenza, la differenza tra la lunghezza dei due cammini ottici
varierà.
Si dovrebbe quindi rilevare uno spostamento nelle frange di
interferenza.
L’esperimento di Michelson-Morley
La velocità della Terra rispetto all’etere luminifero risultò non
rilevabile.
Per spiegare tale risultato, furono proposte due ipotesi ad hoc da
parte di Lorentz, Fitzgerald e Poincarè:
1) la contrazione dei corpi rigidi nella direzione del moto
2) il rallentamento degli orologi quando si muovono attraverso
l’etere.
Entrambi questi fenomeni erano contenuti in alcune semplici
espressioni analitiche, note come trasformazioni di Lorentz.
Le trasformazioni di Lorentz
x vt
x =q
v2
1 c2
0
0
y =y
0
z =z
t
0
t =q
v
x
2
c
1
v2
c2
Rispetto a queste trasformazioni, le equazioni di Maxwell sono
invarianti nel passaggio da un sistema inerziale (etere) a uno in
moto uniforme rispetto a esso.
Facciamo il punto della situazione
1) La velocità della luce è la stessa in tutti i sistemi inerziali.
2) Si deve estendere all’elettromagnetismo il principio galileiano
di relatività.
3) Il principio di relatività comporta che, in accordo con le
trasformazioni di Galileo, la velocità della luce deve dipendere dal
sistema di riferimento.
4) Volendo conciliare il principio di relatività con l’invarianza della
velocità della luce si arriva ad una contraddizione: entrambe le
affermazioni sono corrette, ma in contrasto tra loro… .
Elettromagnetismo vs meccanica classica
Siamo di fronte ad un’asimmetria tra le leggi della meccanica e
quelle dell’elettromagnetismo: le prime sono covarianti per
trasformazioni di Galilei mentre le seconde non lo sono affatto.
Come risolvere la questione?
Questa asimmetria verrà sanata dalla Relatività Ristretta
(Giugno 1905).
I concetti chiave della Relatività Ristretta
Nel 1905 Albert Einstein fu in grado di derivare le trasformazioni
di Lorentz solamente da due postulati.
Principio di relatività speciale: le leggi della Fisica sono
invarianti per sistemi di riferimento inerziali in moto relativo e
tutti gli osservatori inerziali sono equivalenti.
Costanza della velocità della luce: la velocità della luce nel
vuoto è invariante per ogni osservatore inerziale e costituisce un
limite fisico invalicabile.
I concetti chiave della Relatività Ristretta
Queste due affermazioni non possono essere entrambe vere per
via del principio di relatività galileiano.
Per costruire una teoria coerente valida per la meccanica e
l’elettromagnetismo che ammetta come postulati le due
affermazioni precedenti, sono necessarie:
- nuove trasformazioni di coordinate tra sistemi inerziali in
moto relativo;
- una drastica revisione delle nozioni di spazio e tempo.
Il primo concetto che dovrà essere abbandonato sarà quello
dell’universalità del tempo.
I concetti chiave della Relatività Ristretta
Definizione di tempo di Einstein: stabilire quando due eventi
sono simultanei.
Verificare la simultaneità tra due eventi distanti comporta
l’utilizzo di due orologi sincronizzati tra loro.
Procedura di sincronizzazione degli orologi di Einstein:
posizionare gli orologi nei due luoghi di utilizzo e regolarli sulla
base della ricezione di un segnale luminoso emesso in un
preciso punto e a un determinato istante.
Relatività della simultaneità: due eventi simultanei in un dato
sistema inerziale non lo sono più per un altro sistema inerziale
in moto rispetto al primo.
I concetti chiave della RR: dilatazione dei tempi
A
B
a
h
h
d
d
Per un osservatore solidale con l’orologio in A vale:
Per un osservatore solidale con A che guarda B, vale:
0
t =q
1
t
v2
c2
=q
1
1
v2
c2
2a
t=
c
I concetti chiave della RR: contrazione delle lunghezze
Dalla relatività della simultaneità segue anche la relatività della
nozione di lunghezza di un corpo.
Se un oggetto ha una certa lunghezza per un osservatore
inerziale S rispetto al quale è in quiete, per un altro osservatore
S’ in moto uniforme rispetto a S la lunghezza dell’oggetto risulta
contratta di un fattore .
Come per la dilatazione dei tempi, si tratta di un effetto
perfettamente simmetrico.
Questo effetto, contrariamente a quanto sosteneva Lorentz, non
ha nulla a che vedere con una variazione di intensità delle forze
molecolari che tengono aggregato il corpo.
I concetti chiave della RR: contrazione delle lunghezze
Per un osservatore in quiete, la lunghezza di un corpo in moto
risulta essere:
0
l =v t=v t
0
r
1
v2
=l
2
c
r
1
v2
c2
I concetti chiave della RR: tempo e lunghezza propri
Tempo proprio: tempo misurato in un sistema di riferimento
nel quale l’orologio campione è in quiete.
Lunghezza propria: lunghezza misurata in un sistema di
riferimento nel quale il regolo campione è in quiete.
I concetti chiave della Relatività Ristretta
Fisica Classica: l’intervallo temporale è invariante per
trasformazioni di Galileo e la simultaneità è assoluta.
La distanza spaziale è invariante nel passaggio da un sistema di
riferimento a un altro.
Relatività Ristretta: rispetto a un sistema di riferimento in
quiete, il regolo misurato dal sistema in moto risulta contratto di
un fattore
e l’intervallo di tempo misurato dall’orologio in
moto dilatato dello stesso fattore .
La simultaneità è relativa al sistema di riferimento e, quindi,
allo stato di moto dell’osservatore.
Lo spaziotempo di Minkowski
La Relatività Ristretta mostra che spazio e tempo sono legati fra
loro. L’Universo, che era rappresentato da 3 dimensioni e dal
tempo, diviene ora uno spaziotempo a 4 dimensioni.
Un evento è ora descritto da quattro numeri : ct, x, y, z
(coordinate spazio-temporali).
Nello spaziotempo galileiano la distanza fra due oggetti nello
spazio e fra due eventi nel tempo è una quantità assoluta che
non dipende dall’osservatore.
Lo spaziotempo di Minkowski
Nella RR distanza spaziale e distanza temporale sono relative allo
stato di moto dell’osservatore, ma c’è una distanza assoluta,
ovvero l’intervallo (distanza) spazio-temporale fra due eventi:
s212 =
ct2 (t1
t2 )2 + (x1
x2 )2 + (y1
y2 )2 + (z1
z2 ) 2
Il segno meno all’inizio dell’equazione indica che siamo in
presenza di una geometria pseudo-euclidea o minkowskiana.
Lo spaziotempo di Minkowski
Intervallo di tipo tempo: i segnali che connettono due eventi
sono più lenti di quelli luminosi.
Intervallo di tipo spazio: i segnali che connettono due eventi
dovrebbero viaggiare più veloci della luce.
Lo spaziotempo di Minkowski
La struttura dello spaziotempo di Minkowski ci consente di
definire le relazioni causali tra eventi.
Futuro e passato: nel caso di valori di tau positivi, ogni evento
diverso dall’origine del sistema è un evento successivo, mentre
nel caso di valori di tau negativi ogni evento è precedente.
Due eventi possono essere connessi da una relazione causale se
e solo se l’intervallo che li separa è di tipo tempo:
solo in questo caso l’evento causante precede temporalmente
l’evento causato in modo invariante per ogni sistema di
riferimento.
Lo spaziotempo di Minkowski
Futuro assoluto: l’insieme degli eventi all’interno del cono di
luce futuro dell’evento in O (la zona superiore di colore
azzurro).
Futuro relativo: l’insieme di tutti gli eventi posti al di sopra di
qualunque ipersuperficie di simultaneità t = cost che interseca
l’evento O. Tale ipersuperficie è l’insieme di tutti gli eventi
contemporanei a O.
Nel contesto della Relatività Ristretta, il termine assoluto
significa indipendente dal sistema di riferimento.
FINE PRIMA PARTE
