POTENZE
23= 2·2·2 = 8 (2 è la base e 3 è l'esponente)
3 volte
34= 3·3·3·3 = 81 (3 è la base e 4 è l'esponente)
4 volte
(-5)6= (-5)·(-5)·(-5)·(-5)·(-5)·(-5) = +15625
6 volte
(-5 è la base e 6 è l'esponente. Poiché l'esponente è pari il segno del risultato è +)
(-5)5= (-5)·(-5)·(-5)·(-5)·(-5) = -3125
5 volte
(-5 è la base e 5 è l'esponente. Poiché l'esponente è dispari il segno del risultato è -)
(+5)6= (+5)·(+5)·(+5)·(+5)·(+5)·(+5) = +15625
6 volte
(+5 è la base e 6 è l'esponente. Poiché la base è positiva il segno del risultato è +)
Se indico con il carattere a un numero intero qualunque (sia positivo che negativo) e con b un numero naturale
qualunque:
ab= a·a·...a
b volte
PROPRIETÀ DELLE POTENZE
Prodotto di potenze con uguale base
3
4
2
2
23·24 = 2·2·2 · 2·2·2·2 = 27 (esponente 7=3+4)
4
2
3
4
3
2
3 ·3 = 3·3·3·3 · 3·3 = 36
(-5)
2
(esponente 6=4+2)
(-5)
4
(-5)2·(-5)4= (-5)·(-5) · (-5)·(-5)·(-5)·(-5) = (-5)6
(esponente 6=2+4)
In generale, se con a indico un intero qualunque (sia positivo che negativo) e con b e c due numeri naturali
qualunque:
a b·a c= a b+c
Quoziente di potenze con uguale base
La divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione. Per esempio, eseguire 8:4 significa trovare quel numero
che moltiplicato per 4 dia 8; questo numero è 2, quindi 8:4=2
Analogamente, eseguire 27:23 significa trovare quel numero che moltiplicato per 23 dia 27. Per quanto visto prima,
tale numero è 24 (infatti 24 ·23=27)
In generale, se con a indico un intero qualunque (sia positivo che negativo) e con b e c due numeri naturali
qualunque:
ab:ac= ab - c
Questo significa che a0=1 qualunque sia a (diverso da 0). Infatti si può pensare che a0=a n:a n e sappiamo che un
numero diviso per sé stesso dà 1, quindi a0=1
Potenza di una potenza
3
2
3 4
(2 ) = (2·2·2)·(2·2·2)·(2·2·2)·(2·2·2) = 212 (l'esponente 12=4·3)
4 volte
(-5)
2
[(-5)3]2=(-5)·(-5)·(-5)·(-5)·(-5)·(-5)
= (-5)6 (l'esponente 6=3·2)
3 volte
In generale, se con a indico un intero qualunque (sia positivo che negativo) e con b e c due numeri naturali
qualunque:
(ab)c= a b · c
Prodotto di potenze con uguale esponente
42·62=(4·4) · (6·6) = (4·6)·(4·6) = (4·6)2
(-5)2·(+3)2= (-5)·(-5) · (+3)·(+3) = (-5)·(+3) · (-5)·(+3) = [(-5)·(+3)]2
In generale, se con a e b indico due interi qualunque (sia positivi che negativi) e con c un numero naturale
qualunque:
a c·b c= (a·b) c
Quoziente di potenze con uguale esponente
82 :42:=(8·8) : (4·4) = (8:4)·(8:4) = (8:4)2
(-15)2:(+3)2= (-15)·(-15) : (+3)·(+3) = [(-15):(+3)] · [(-15):(+3)] = [(-15):(+3)]2
In generale, se con a e b indico due interi qualunque (sia positivi che negativi) e con c un numero naturale
qualunque:
a c:b c= (a:b) c
Esempio: Calcolare il valore della seguente espressione:
82·28·164:(43)4+(155-154):154+(28)0·2+(394:134)2:94
Prima di iniziare a fare i calcoli conviene controllare se l'espressione si può modificare in modo da poter applicare
le proprietà delle potenze. In questo modo i calcoli potrebbero essere più semplici.
All'inizio dell'espressione si ha 82·28·164:(43)4. Apparentemente non si può applicare quanto visto prima, ma a ben
guardare si vede che 4, 8 e 16 sono potenze del 2 e si possono riscrivere in questo modo:
4=22
8=23
16=24
Possiamo quindi riscrivere l'espressione nel modo seguente:
(23)2·28·(24)4:((22)3)4+(155-154):154+(28)0·2+(394:134)2:94
Nella prima parte si hanno ora prodotti e quozienti di potenze con la stessa base, quindi si possono applicare le
regole viste prima:
(23)2·28·(24)4:((22)3)4=26·28·216:224= 26
quindi riscriviamo l'espressione:
26+(155-154):154+(28)0·2+(394:134)2:94
Ora sembrerebbe che non si possa fare più nulla, ma si può applicare la proprietà distributiva della divisione rispetto
alla somma, che dice che se la somma di numeri deve essere divisa per un altro numero, si può eseguire la divisione
di ciascun addendo per il numero e poi si sommano i quozienti. Per esempio, (10+8+24):2= (10:2)+(8:2)+(24:2)
Nel notro caso (155-154):154 si può quindi riscrivere nel modo seguente:
(155-154):154 =(155:154 )-(154:154 ) = 151-150=151-1 = 14
L'espressione si riscrive nel modo seguente:
26+14+(28)0·2+(394:134)2:94
Sappiamo che un numero elevato 0 dà 1, quindi (28)0=1. Inoltre, poiché 39=3·13 e 9=32, possiamo riscrivere
l'espressione in questo modo:
26+14+1·2+((3·13)4:134)2:(32)4 =64+14+2+(34 ·134:134)2: 38 = 80+(34·130)2:38 = 80+38:38=81
