Esercitazione 4
Chimica e Tecnologia Farmaceutiche
Esercitazioni di Fisica
a.a. 2010 - 2011
Emanuele Biolcati
Ringraziamenti speciali a Monica Casale
per la preparazione delle slides
Quantità di moto ed
impulso – Esercizio
Un’automobile avente massa pari a 103 kg si muove su un
rettilineo con velocità di 108 km/h. Supponendo che
durante una frenata agisca una forza costante e sapendo che
il tempo di arresto è di 20 s, determinare:
•
la forza frenante
•
lo spazio percorso durante la frenata
Velocità
auto
Forza
frenante
2
Quantità di moto ed
impulso – Esercizio
Si ricorda che la variazione di quantità di moto è data da
∆p = pf – pi = 0 – mv = – pi
poiché la variazione della quantità di moto è uguale all’impulso della forza frenante
I = Ft = – pi = – mv
F = – mv / t
108 km/h =
108*0.28 m/s = 30.24
m/s
F = – (103 kg * 30.24 m/s) / 20 s = – 1512 N
il segno “-” significa che
la forza è diretta in
verso opposto al
moto
Durante la frenata, poiché la forza è costante, si parla di
MOTO UNIFORMEMENTE DECELERATO (a < 0)
a = F/m = – 1512 N / 103 kg = 1.512 m/s2
quindi lo spazio percorso durante la frenata sarà
s = s0 + v0t + ½ at2 = (30.24 m/s)(20s) – ½(1.512 m/s2)(20s)2 = 302.4 m
3
Urti – Esercizio 1
Una palla da biliardo di massa m1 urta elasticamente
con velocità v1 una seconda palla di massa m2 (uguale ad m1).
Dopo l’urto l’angolo formato dalla traiettoria della prima palla
rispetto alla direzione di v1 è θ ≠ 0,
calcolare:
la velocità di ciascuna palla da biliardo dopo l’urto
l’angolo ϕ formato dalla traiettoria della seconda palla
dopo l’urto
4
Urti – Esercizio 1
y
DOPO L’URTO
PRIMA DELL’URTO
1
v1’
x
1
v1
θ
ϕ
2
v 2’
URTO ELASTICO
2
Tenendo conto della conservazione della quantità di moto e dell’energia cinetica
m1v1 = m1v1’ cosθ + m2v2’ cosϕ
asse x
0 = m1v1’ senθ - m2v2’ senϕ
asse y
asse
y
½ m1v12 = ½ m1v1’2 + ½ m2v2’2
5
nega
tivo
Urti – Esercizio 1
Dalle prime due relazioni segue
m1v1 - m1v1’ cosθ = m2v2’ cosϕ
m1v1’ senθ = m2v2’ senϕ
Elevando al quadrato ambo i membri
m12 v12 + m12 v1’2 cos2θ - 2 m12v1v1’ cosθ = m22 v2’2 cos2ϕ
m12 v1’2 sen2θ = m22 v2’2 sen2ϕ
e sommando membro a membro
m12 v12 + m12 v1’2 (cos2θ + sen2θ) - 2 m12v1v1’ cosθ = m22 v2’2 (cos2ϕ + sen2ϕ)
½ m1v12 = ½ m1v1’2 + ½ m2v2’2
eliminando v2’2 dalla seconda relazione
v2’2 = (m1/m2) v12 – (m1/m2)v1’2
e sostituendo nella prima, si ottiene un’equazione di 2° grado
(m12 + m1 m2) v1’2 - 2 m12v1v1’ cosθ + m12 v12 - m1 m
6 2 v12 = 0
Urti – Esercizio 1
(m12 + m1 m2) v1’2 - 2 m12v1v1’ cosθ + m12 v12 - m1 m2 v12 = 0
ponendo ora m1 = m2 = M
2M2 v1’2 - 2M2v1v1’ cosθ + M2 v12 - M2 v12 = 0
2M2 v1’2 - 2M2v1v1’ cosθ + M2 v12 - M2 v12 = 0
v1’(v1’ – v1cosθ) = 0
y
Escludo questa
soluzione perché, dai
dati del problema, la
palla 1 continua il suo
moto dopo l’urto
v1’ = 0 oppure v1’ = v1cosθ
PRIMA DELL’URTO
DOPO L’URTO
1
v 1’
x
1
v1
θ
ϕ
2
v2’
7
2
Urti – Esercizio 1
Proviamo a risolvere l’esercizio inserendo alcuni valori numerici …
M = 10 g
v1 = 5 m/s
θ = 60°
Sostituendo il valore di v1 nella soluzione dell’equazione di secondo grado in v 1’:
v1’ = v1cosθ = (5 m/s) cos 60° = 2.5 m/s
Riprendendo ora l’equazione per la conservazione dell’energia cinetica:
½ M v12 = ½ M v1’2 + ½ M v2’2
½ M v12 = ½ M v1’2 + ½ M v2’2
v2’2 = v12 - v1’2 da cui infine v2’ = √v12 - v1’2 = √(25 – 6.25) m2/s2 = 4.3 m/s
Per determinare l’angolo di deviazione dopo l’urto della palla 2 rispetto alla direzione
iniziale, si parte dall’equazione per la conservazione della quantità di moto sull’asse
x:
0 = Μ v1’ senθ – M v2’ senϕ
senϕ = (v1’ senθ) / v2’
ed infine ϕ = arcsen [(v1’ senθ) / v2’] = arcsen [(2.5 m/s sen 60°)/ 4.3 m/s] = 30°
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Urti – Esercizio 2
Una biglia, avente la massa di 50 g, si muove su un tavolo alla
velocità di 2 m/s. Essa va ad infilarsi in una scatoletta
aperta appoggiata sul tavolo, rimanendovi intrappolata;
tuttavia non si ferma: la biglia spinge la scatola e continua
con essa la sua corsa. La massa del contenitore vuoto è di
30 g e l’attrito è trascurabile.
Calcolare la velocità della biglia dopo l’impatto.
vb
v b’
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Urti – Esercizio 2
URTO ANELASTICO
In questo tipo di urto si ha soltanto la conservazione della quantità di moto (non si
conserva invece l’energia cinetica)
p = mv
prima dell’urto
dopo l’urto
pi = mb vb
pf = (mb + ms) vb’
mb vb = (mb + ms) vb’
vb’ = (mb vb ) / (mb + ms)
= (50 g * 2 m/s) / (50 + 30) g = 1.25 m/s
N.B. All’aumentare della massa del sistema, si riduce la velocità dello stesso,
per la conservazione della quantità di moto
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Moto circolare – Esercizio 1
Una giostra circolare di diametro 8 m (øgiostra)compie 20 giri al
minuto. La giostra è costituita da una serie di macchinine
disposte a circa 50 cm (d) dal bordo esterno, mentre, nella
parte interna, trovano posto alcuni aerei, che si sollevano
descrivendo una circonferenza di 4 m di diametro (øaerei).
Calcolare:
•
•
•
•
il periodo del moto
la velocità angolare della giostra
la velocità periferica delle macchinine
la velocità periferica degli aerei
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Moto circolare – Esercizio 1
Si determina innanzitutto la frequenza del moto in unità standard
f = 20 giri / 1 minuto = 20 giri / 60 s = 1/3 Hz
per ottenere quindi il periodo
T = 1/f = 3 s
La velocità angolare è data da
ω = 2π / T = (2*3.14) / 3 s = 2.1 rad/s
Per determinare la velocità periferica
v=ωr
è necessario prima calcolare il raggio delle circonferenze descritte
rispettivamente dalle macchinine e dagli aerei…
rm = rgiostra – d = (øgiostra /2) – d = (4 – 0.5) m = 3.5 m
vm = ω rm = (2.1 rad/s)(3.5 m/rad) = 7.35 m/s
1m*r = 1 arco radiante
rm = (øaerei /2) = 2 m
va = ω ra = (2.1 rad/s)(2 m/rad) = 4.2 m/s
r = fattore di proporzionalità
da arco radiante a metro
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Moto circolare – Esercizio 2
Un’automobile si muove alla velocità costante di 90 km/h;
ad un certo istante, visto un ostacolo,
il guidatore frena e l’auto si ferma in 10 s.
Sapendo che le ruote hanno diametro pari a 50 cm (øruota),
•
•
•
•
determinare:
la velocità angolare delle ruote prima della frenata
la frequenza di rotazione delle ruote
la decelerazione angolare subita ad opera dei freni
il numero di giri (#giri) fatti dalle ruote prima di fermarsi
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Moto circolare – Esercizio 2
La velocità angolare è legata alla velocità periferica nella relazione
v=rω
ω ruote = v / r = (90 km/h) / [(0.5/2) m/rad]
= [(90*0.28)m/s] / [(0.25) m/rad] = 100 rad/s
La frequenza di rotazione delle ruote si ottiene dalla velocità angolare
ω = (2π) / T = (2π) f
con T = 1/f
fruote = ωruote / (2π) = (100 rad/s) / (2*3.14) = 15.9 s-1 = 15.9 Hz
L’accelerazione angolare si determina secondo la relazione
α = ∆ω / ∆t
α = [(0 − 100) rad/s] / 10 s = − 10 rad/s2
De
cel
era
zio
ne!
Il numero di giri compiuti dalle ruote prima di fermarsi si ricava dal rapporto
tra lo spazio totale percorso e la circonferenza della ruota
#giri = ∆stot / circonferenzaruota = (s0 + v0t - ½ at2) / (π øruota)
= (v0t - ½ at2) / (π øruota) = (v0t - ½ v0t) / (π øruota)
0
=
s0 = 0; v 0
= (½ v0t) / (π øruota)
2 =
t
a
a = v/ t 2
= (½ * 25m/s * 10 s) / (3.14 * 0.5
14 m) = 80
t
/ t) t = v
(v
Moto circolare – Esercizio 2
NOTE PER GLI STUDENTI
# giri = ∆stot / circonferenzaruota
= (s0 + v0t - ½ at2) / (π øruota)
= (v0t - ½ at2) / (π øruota)
= (v0t - ½ v0t) / (π øruota)
Moto decelerato
accelerazione
negativa
s0 = 0
v0 ≠ 0 !!!
devo tenere conto della
velocità iniziale della
macchina (quindi delle
ruote) per calcolare lo
spazio totale percorso
nella frenata dalle ruote
= (½ v0t) / (π øruota)
= (½ * 25m/s * 10 s) / (3.14 * 0.5 m) = 80
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Biomeccanica – Esercizio
Un “apprendista” acrobata, con una massa di 80 kg, effettua un
salto dall’altezza di un metro verso il suolo e cade
rigidamente su una gamba.
Al momento di toccare il suolo la velocità del corpo è di
4.5 m/s e se l’imbottitura della scarpa e del piede viene
schiacciata di 1 cm, il corpo si arresta in circa 0.005 s.
Valutare la forza che si esercita sulla gamba.
La tibia si romperà??? [sforzo limite = 2.13 *108 N/m2]
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Biomeccanica – Esercizio
Si ricorda l’identità tra la quantità di moto e l’impulso, da cui sarà possibile
ricavare il valore della forza esercitata sulla gamba dell’acrobata:
∆p = F ∆t
La variazione della quantità di moto risulta essere
∆p = ∆(mv) = (80 kg * 4.5 m/s) – (80 kg * 0 m/s) = 360 kg m/s
La forza esercitata sulla gamba, supposta rigida, è quindi data dalla relazione
F = ∆p / ∆t = (360 kg m/s) / 0.005 s = 7.2 *104 N
La tibia, con sezione (A) pari a circa 3.3 cm 2, sarà sottoposta ad uno sforzo
compressivo
σ=F/A
σ = (7.2 *104 N) / (3.3 *10-4 m2) = 2.18 *108 N/m2
Lo sforzo risultante è molto vicino al valore limite, per cui è probabile che
la tibia dell’acrobata si rompa!
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Biomeccanica – Esercizio
Una persona avente massa 70 kg esegue delle flessioni sulle
braccia a gambe tese.
Realizzare lo schema del problema
Determinare le forze che sono esercitate su mani e piedi del
ginnasta, sapendo che la distanza piedi-baricentro è pari a
100 cm, mentre quella mani-baricentro è di 60 cm.
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Biomeccanica – Esercizio
SCHEMA DEL PROBLEMA
CM
Fp
Fm
100 cm
60 cm
P
Si determina innanzitutto la forza peso (modulo) esercitata sul corpo del
ginnasta e rivolta verso il basso, che dovrà essere vinta da piedi e mani …
P = mg = 70 kg * 9.81 m/s2 = 686.7 N
Per calcolare la frazione di forza peso vinta dai piedi e dalle mani si valuta la
distanza del punto di applicazione di ciascuna forza rispetto al
baricentro (centro di massa CM)
Fp 100cm /160 cm = 5/8 Fp = 5/8 P = 5/8 * 686.7 N = 429.2 N
19N = 257.5 N
Fm 60cm /160 cm = 3/8 Fm = 3/8 P = 3/8 * 686.7
