Equilibrio e efficienza:
il primo teorema del benessere con due beni
Supponiamo che la quantità complessivamente disponibile dei due beni considerati, pane e libri, sia data,
senza preoccuparci di come questi beni siano stati prodotti1. Il signor Rossi e il signor Neri, dunque, si
trovano con una ricchezza iniziale costituita da quantità di pane e libri, chiamate dotazioni iniziali. Poiché in
generale le dotazioni iniziali non rappresentano la combinazione dei due beni più soddisfacente per Rossi e
Neri, ognuno vorrà scambiare qualcosa con il suo prossimo. Si avrà una situazione di equilibrio generale solo
se esistono prezzi dei due beni tali che la domanda dei due beni è uguale all’offerta.
Per capire se vi può essere un equilibrio possiamo usare un grafico particolare, chiamato diagramma a
scatola di Edgeworth2, riportato nella FIG. 1. Gli assi orizzontali misurano la quantità complessiva di pane,
OP, mentre gli assi verticali misurano la quantità complessiva di libri, OL, dei quali possono disporre Rossi e
Neri. La quantità di pane della quale dispone Rossi è indicata, da sinistra verso destra, sull’asse orizzontale
inferiore, mentre la quantità di libri che egli possiede è indicata, dal basso verso l’alto, sull’asse verticale di
sinistra. Per esempio, il punto F indica che Rossi dispone della quantità OA di pane e della quantità OB di
libri. La quantità di pane della quale dispone Neri, invece, è indicata, da destra verso sinistra, sull’asse
orizzontale superiore, mentre la quantità di libri che egli possiede è indicata dall’alto verso il basso sull’asse
verticale di destra. Dunque, è come se la situazione di Neri fosse rappresentata su un grafico ruotato di 180
gradi rispetto all’usuale e avente origine in O’. Poiché la quantità di ciascun bene della quale dispone Neri è
uguale alla differenza tra la quantità totale disponibile e la quantità che ha Rossi, il punto F indica anche che
Neri ha la quantità O’C = OP – OA di pane e O’D = OL – OB di libri.
FIGURA 1
La scatola di Edgeworth
Pane di Neri
C
L
N2
F
•
N1
D
Libri di Rossi
N3
Libri di Neri
B
0’
R3
R2
R1
A
0
P
Pane di Rossi
La lunghezza e l’altezza del grafico, dunque, misurano la quantità complessiva dei due beni dei quali
dispongono la società formata da Rossi e Neri, e ogni punto del grafico indica una possibile distribuzione,
chiamata allocazione, di queste quantità dei due beni tra Rossi e Neri.
Nel grafico, inoltre, possiamo riportare anche le preferenze di Rossi e Neri, che sono rappresentate
rispettivamente da curve di indifferenza come la R1, R2 e R3 e da curve come la N1, N2 e N3. Poiché si
suppone che non solo il pane, ma anche i libri rappresentino un bene, queste curve hanno l’usuale forma
delle curve di indifferenza che esprimono le preferenze tra due beni. Dal punto di vista del consumatore al
quale la curva si riferisce, infatti, ogni curva di indifferenza è inclinata negativamente ed è convessa. Inoltre,
sempre dal punto di vista del consumatore al quale le curve si riferiscono, le curve di indifferenza più a
destra e più in alto rappresentano combinazioni di beni che assicurano una soddisfazione più alta.
Supponiamo ora, con riferimento alla FIG. 2, che l’allocazione iniziale di pane e libri sia quella
rappresentata dal punto F. I prezzi ai quali Rossi e Neri possono vendere e comprare pane e libri sono i
prezzi di mercato, rispettivamente PP e PL. Se un consumatore vende all’altro un chilo di pane, ottiene la
1
. In questa semplice economia, quindi, non consideriamo i produttori: i beni sono disponibili in quantità data e devono solo essere scambiati
dai consumatori. Peraltro, si ricorderà che il profitto eventualmente ottenuto dalle imprese viene poi distribuito ai consumatori, e quindi le
considerazioni di benessere sociale, che saranno sviluppate più avanti, possono essere limitate in prima approssimazione al benessere dei
consumatori.
2
. Dal nome dell’economista F. Y. Edgeworth, che la propose nel 1881.
somma PP che può usare per comprare dall’altro consumatore la quantità PP / PL di libri. Le quantità di libri e
di pane che ogni consumatore può avere, data la sua dotazione iniziale, saranno dunque rappresentate dalla
retta FHK, riportata nella FIG. 2, che rappresenta il vincolo di bilancio di entrambi i consumatori e ha
un’inclinazione uguale, in valore assoluto, a PP / PL. Nota3
FIGURA 2
Una situazione di squilibrio
Pane di Neri
C
C’
0’
L
Libri di Rossi
B’
N1
F
D
N2
H
K
D’
R2
Libri di Neri
B
R1
0
A
A’
P
Pane di Rossi
Consideriamo, allora, la posizione di Rossi. Costui inizialmente ha la quantità OA di pane e OB di libri.
Dato il vincolo di bilancio, egli otterrebbe la soddisfazione più alta se avesse la quantità OA’ di pane e OB’
di libri, perché in corrispondenza di questa combinazione di beni la curva di indifferenza è tangente al
vincolo di bilancio. Rossi, quindi, sarà disposto a cedere la quantità BB’ di libri per avere la quantità AA’ di
pane. Neri, invece, inizialmente ha la quantità O’C di pane e O’D di libri. Dato il vincolo di bilancio, Neri
otterrebbe la soddisfazione più alta se avesse la quantità O’C’ di pane e O’D’ di libri, perché in
corrispondenza di questa combinazione di beni la curva di indifferenza è tangente al vincolo di bilancio.
Costui, dunque, sarebbe disposto a cedere la quantità CC’ di pane per avere la quantità DD’ di libri. Poiché
la quantità di libri che Rossi vuole vendere, BB’, è inferiore alla quantità di libri che Neri vuole comprare,
DD’, vi sarà un eccesso di domanda di libri. Inoltre, poiché la quantità di pane che Rossi vuole comprare,
AA’, è inferiore alla quantità di pane che Neri vuole vendere, CC’, vi sarà un eccesso di offerta di pane. I
prezzi PP e PL, dunque, non sono tali che per entrambi i beni la domanda è uguale all’offerta: questa non è
una situazione di equilibrio.
FIGURA 3
Una situazione di equilibrio
Pane di Neri
C
C’
0’
L
Libri di Rossi
N1
F
D
N2
E
B’
D’
Libri di Neri
B
R2
R1
0
A
A’
P
Pane di Rossi
Cosa succede, però, se vi è un eccesso di domanda di libri e un eccesso di offerta di pane? Il prezzo dei
libri aumenta fino a quando l’eccesso di domanda è eliminato, ed il prezzo del pane diminuisce fino a quando
3
Per chi non conosce queste cose: vedere l’altro documento allegato “scelta del consumatore”
è eliminato l’eccesso di offerta. Poiché l’inclinazione del vincolo di bilancio è uguale al rapporto tra i prezzi,
ciò significa che l’inclinazione della retta che rappresenta il vincolo di bilancio cambia fino a quando la
domanda di entrambi i beni è uguale all’offerta. Come si vede nella FIG. 3, quando il vincolo di bilancio
diventa FE la quantità di pane che Rossi vuole acquistare è uguale a quella che Neri vuole vendere, cioè si ha
AA’ = CC’, e la quantità di libri che Rossi vuole vendere è uguale alla quantità che Neri vuole acquistare,
cioè si ha BB’ = DD’. Poiché i nuovi prezzi del pane e dei libri sono tali che per entrambi i beni la domanda è
uguale all’offerta, si ha una situazione di equilibrio in entrambi mercati.
Un punto di equilibrio di mercato è caratterizzato, come è facile verificare, dalla tangenza delle curve di
indifferenza di Rossi e di Neri. Infatti Rossi e Neri, quando massimizzano il proprio benessere, scelgono
entrambi combinazioni di beni caratterizzate dalla tangenza di una curva di indifferenza alla stessa retta di
bilancio. Si noti, però, che le decisioni di Rossi e Neri, rappresentano un equilibrio se, e solo se, le
combinazioni da loro scelte sono rappresentate dallo stesso punto nella scatola di Edgeworth, perché solo
così la quantità di ognuno dei due beni offerti da un consumatore è uguale alla quantità di quel bene
domandata dall’altro. Allora, se le due curve di indifferenza sono tangenti allo stesso vincolo di bilancio e lo
sono nello stesso punto, le due curve sono tangenti tra loro, cioè hanno la medesima inclinazione. Poiché
l’inclinazione di una curva di indifferenza è uguale al saggio marginale di sostituzione, ciò significa che una
situazione di equilibrio è caratterizzata dall’uguaglianza del saggio marginale di sostituzione dei
consumatori.
Per quanto affermato in lezioni precedenti, questo equilibrio, evidentemente, è anche socialmente
efficiente, o ottimo nel senso di Pareto, in quanto è caratterizzato dal fatto che quella posizione coincide con
un punto di tangenza fra due curve di indifferenza, una di Rossi e una di Neri, ovvero appartiene alla curva
dei contratti.
Questo è il contenuto del “primo teorema del benessere: “se un mercato è perfettamente concorrenziale,
allora l’equilibrio di quel mercato è anche efficiente dal punto di vista sociale”
