Università degli Studi di Udine – Piano Nazionale Lauree Scientifiche
Progetto IDIFO5 – Scuola Nazionale di Fisica Moderna per Insegnanti
SNFMI – Università di Udine, 8-12 settembre 2014
Misura del Coefficiente di Hall
Mario Gervasio e Marisa Michelini
Unità di Ricerca in Didattica della Fisica dell’Università di Udine
Obiettivi: Misurare il coefficiente di Hall su campioni metallici ed a semiconduttore. Determinare il
segno ed il numero dei portatori liberi e la mobilità di deriva degli stessi.
Il modello classico (a gas di elettroni liberi) considera gli elettroni di valenza come un gas di
particelle che si muovono in maniera disordinata all’interno del reticolo cristallino del metallo.
Prendiamo in considerazione un campione (uno strato
di materiale di forma parallelepipeda) come indicato in
Figura 1, immerso in un campo magnetico uniforme di
intensità B e diretto secondo l’asse z. Si fa passare una
corrente di intensità Ix diretta lungo l’asse delle x.
Gli elettroni, sotto l’effetto del campo elettrico Ex,
acquistano una velocità di deriva v nel verso contrario al
campo elettrico. Essi risultano pertanto sottoposti alla forza di
Lorentz FL = q · v · B diretta lungo l’asse delle y negative
e tendono quindi ad accumularsi sulla faccia del campione perpendicolare all’asse y e posta verso chi
guarda la figura.
Questo accumulo di cariche determina una differenza di potenziale VH tra le due facce del
campione perpendicolari all’asse y. Il campo elettrico EH che si viene a generare (campo di Hall)
determina una forza elettrica q · EH uguale ed opposta alla forza di Lorentz nei termini che EH =
v · B dalla quale si evidenzia che il campo di Hall è direttamente proporzionale sia al campo
magnetico B che alla velocità di deriva v.
Si definisce il coefficiente di Hall come RH = EH /(Jx · B) dove EH = v · B. Ricordando che
Jx = Ix / a · s = q · n · v si ottiene
RH = v B / (q · n · v B) = 1/ q · n = - 1/ e · n
(1.1)
quindi la misura di RH ci permette di conoscere la concentrazione n dei portatori liberi.
La misura della conducibilità elettrica σ, associata alla misura di RH ci permette inoltre di
conoscere la mobilità di deriva μ, definita come rapporto tra la velocità di deriva v ed il campo
elettrico Ex
RH σ = RH (Jx / Ex) = 1/ q · n (q · n · v · μ / v) = μ
(1.2)
Per effettuare la misura del coefficiente di Hall è necessario misurare VH , Ix , B e lo spessore
del campione s, in quanto RH = EH / (Jx · B) dove EH = VH / a e Jx = Ix / a · s e pertanto
RH = VH · s / (Ix · B)
(1.3)
Apparato di misura
M. Gervasio, M. Michelini – Misura del coefficiente di Hall: appunti a supporto dell’attività sperimentale – SNFMI 2014
R7 - 1
L’apparato di misura è composto da una parte per la generazione e la misura del campo magnetico e da
una seconda parte per la misura della tensione di Hall.
La corrente iniettata nel campione causa una caduta di potenziale ohmica longitudinalmente al
campione. Se l’allineamento su di una linea equipotenziale dei contatti trasversali del voltmetro e`
imperfetto, compare una differenza di potenziale che si sovrappone alla ddp di Hall e che va eliminata.
L’azzeramento preliminare di questa ddp va fatta facendo scorrere una corrente prossima al valore
massimo tenendo il campione in un luogo a campo magnetico nullo. A tal fine e` consigliabile estrarre
il campione dal magnete, poiche’ qui, a causa della magnetizzazione residua, c’e` campo anche senza
corrente.
Per trovare il segno dei portatori e` necessario conoscere il verso della corrente lungo il campione
e il verso del campo magnetico tra le espansioni polari. Per la corrente basta controllare la
corrispondenza tra i teminali del generatore di corrente e quelli del campione. Per il campo magnetico
usiamo una bussola (attenzione a non avvicinarsi troppo, altrimenti il magnete inverte la
magnetizzazione della bussola). Useremo il segno cosi’ determinato assieme al valore assoluto del
potenziale di Hall.
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Misura di campioni metallici
L’ordine di grandezza di RH per i metalli più comuni è dell’ordine di 10-11 m3 C-1 ed è chiaro
che per avere valori di VH misurabili occorrerà utilizzare un campo magnetico sufficientemente
intenso (un valore facilmente ottenibile è di 1 Tesla), una corrente elevata (almeno 10 A) ed uno
spessore del campione ridotto a qualche centesimo di millimetro.
Dalla relazione (1.3) si evince che, anche con spessori del campione di qualche micron, la
tensione di Hall VH risulterà dell’ordine di pochi microvolt e sarà quindi necessario l’utilizzo di un
amplificatore con guadagno almeno 1.000 ed una altissima impedenza di ingresso.
Per la misura del campo magnetico B viene utilizzata una sonda ad induzione collegata ad un
integratore di carica.
F
D
E
M
A
H
B
H
C
L
I
G
I
Per la generazione e misura del campo magnetico sono necessari:
A
C
E
F
elettromagnete
B
alimentatore doppio 15 V - 3A
amperometro (fondo scale 10A)
D
sonda ad induzione
integratore di corrente per la misura del campo B
voltmetro da utilizzare con l’integratore (fondo scala 10V - collegamento giallo / blu).
Per la misura della tensione di Hall:
G
H
I
L
campione del materiale da studiare
2 alimentatori da 5A per la polarizzazione del campione (totale 10A)
2 diodi di potenza per il collegamento in parallelo degli alimentatori da 5A
amperometro per la misura della corrente iniettata nel campione (fondo scala 10A)
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M
F
amplificatore differenziale di d.d.p. (guadagno 1120) per la misura della tensione di Hall
voltmetro da usare con l’amplificatore (fondo scala 20 mV - collegamento rosso / nero).
Uso dell’amplificatore differenziale e dell’integratore di carica.
Entrambi i circuiti sono montati in uno stesso contenitore. Il circuito elettrico viene descritto
nella Appendice A.
Amplificatore differenziale
Nella parte di destra sono dislocate le boccole per collegare i campioni di rame o zinco
all’amplificatore differenziale (In). Vi sono inoltre le due boccole (Out) per collegare il voltmetro
esterno per la misura della d.d.p. di Hall amplificata ed il potenziometro multigiri per la regolazione di
offset.
In assenza di corrente iniettata nel campione, con campo magnetico acceso e con il campione
inserito tra le espansioni polari, si agisce sul
potenziometro multigiri (Appendice A - Fig.1 potenziometro P1)
fino ad ottenere
all’uscita
dell’amplificatore una tensione di 0 mV.
Integratore di carica
Nella parte sinistra del pannello frontale sono dislocate le boccole da utilizzare per il
collegamento della sonda ad induzione, il pulsante di reset
per la scarica del condensatore prima della estrazione della
bobina dal tra ferro (Appendice A - Fig.2 - pulsante I), le
due boccole per il collegamento del voltmetro esterno ed il
potenziometro multigiri per la minimizzazione della deriva
del segnale d’uscita dell’integratore (Appendice A - Fig.2 potenziometro P1).
Per ridurre al minimo la deriva del segnale è necessario, con la bobina fuori dal campo
magnetico, agire sul potenziometro multigiri in senso orario o antiorario fino a che si trova la posizione
in cui la tensione di uscita non cala e non cresce nel tempo.
Abbiamo innanzitutto misurato il campo magnetico in funzione della corrente nella bobina,
ottenendo i risultati seguenti:
B vs Im ag
B = RC / (NS) Vo = 1/3 Vo
1,1
y = 0,0309x 3 - 0,2716x 2 + 0,8699x + 0,0011
Vo
(V)
1,89
2,40
2,70
2,88
3,00
B
(T)
0,63
0,80
0,90
0,96
1,00
1
0,9
B(T)
I mag
(A)
1,00
1,50
2,00
2,48
3,00
0,8
0,7
0,6
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
I(A)
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Risultati ottenuti
Per un campione di Rame di spessore 16 μm , sottoposto ad un campo magnetico di 0,98 T, si sono
ottenuti i seguenti risultati:
Effetto Hall - rame
0,00E+00
0,00
-2,00E-06
2,00
4,00
6,00
8,00
10,00
12,00
yensione di Hall (V)
-4,00E-06
-6,00E-06
y = -1,90E-06x + 3,53E-07
-8,00E-06
-1,00E-05
-1,20E-05
-1,40E-05
-1,60E-05
-1,80E-05
-2,00E-05
corrente (A)
Figura 2: tensione di Hall VH in funzione della corrente I per B = 0,98T.
L’interpolazione lineare dei dati ottenuti fornisce RH = - 5,8 · 10-11 m3/ C
In letteratura si trova RH 5,5 10 11 m 3 / C . Lo scostamento da questo valore è dovuto
principalmente alla incertezza data dagli errori sullo spessore del campione e sul valore di B.
Dalla 1.1 si ricava che la concentrazione degli elettroni liberi n , col valore da noi ottenuto per
RH è:
n = 1/( e · RH ) = 1 / (1,6·10-19 · 5,8·10-11) = 10,8·1028 m-3
Il confronto di questo risultato con il valore della previsione teorica (n ≈ 8,5·1028 m-3)
conferma che entro un margine di errore del 22 % la prova sperimentale conferma le previsioni del
modello a gas di elettroni liberi.
Le previsioni del modello a gas di elettroni liberi trovano conferma sperimentale per la tutti i
metalli del gruppo I della tabella di Mendeleev, ma non, ad esempio, per quelli del gruppo II. Questi
metalli hanno addirittura un valore di RH positivo come se i portatori liberi non fossero elettroni ma
cariche positive.
I risultati ottenuti per un campione di Zinco di spessore 30 μm , sottoposto ad un campo
magnetico di 0,99 T, sono evidenziati nella Figura 3.
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Effetto Hall - zinco
3,50E-05
tensione di Hall (V)
3,00E-05
2,50E-05
y = 3,06E-06x - 6,14E-07
2,00E-05
1,50E-05
1,00E-05
5,00E-06
0,00E+00
0
2
4
6
8
10
12
corrente (A)
Figura 3: tensione di Hall VH in funzione della corrente I per B = 0,99T.
Per poter spiegare queste anomalie occorre introdurre nuovi concetti, come la teoria delle
bande di energia per gli elettroni.
Il segno positivo di RH per questi metalli si spiega in quanto per essi la banda di valenza
risulta essere quasi piena. L’agitazione termica porta alcuni elettroni ad occupare i livelli più alti di
tale banda e quindi in essa rimangono presenti livelli energetici non occupati, ossia delle lacune che,
sottoposte all’azione del campo elettrico E si muovono, intuitivamente, nel verso del campo elettrico
stesso come fossero cariche positive.
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Misura di campioni semiconduttori
F
D
E
M
A
B
I
G
C
L
H
Per la generazione e misura del campo magnetico sono necessari:
A
B
C
D
E
F
elettromagnete
alimentatore doppio < 15 V - 1,5A > / < 15 V - 1,5 A >
amperometro (fondo scale 10A)
sonda ad induzione
integratore di corrente per la misura del campo B
voltmetro da utilizzare con l’integratore (fondo scala 2V - collegamento giallo / blu).
Per la misura della tensione di Hall
G campione del materiale da studiare
H basetta di collegamento
I
generatore di corrente costante (dev. “HIGH R / LOW R” su LOW R)
L
amperometro per la misura della corrente iniettata nel campione (fondo scala 200 mA)
F
voltmetro per la misura della tensione di Hall (fondo scala 200 mV - collegamento
rosso / nero).
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Il coefficiente di Hall dei semiconduttori è di molti ordini di grandezza inferiore a quello dei
metalli, dato il numero nettamente inferiore dei portatori liberi. L’esperimento richiede correnti di
polarizzazione dei campioni dell’ordine dei mA per ottenere tensioni di Hall già dell’ordine dei mV,
misurabili direttamente con lo strumento senza la necessità di interporre l’amplificatore differenziale.
I campioni di semiconduttore, predisposti per l’esperimento, terminano con un cavo di
collegamento a 5 fili di colore diverso che andranno collegati sulla basetta alle boccole di identico
colore. Sulla basetta di collegamento è presente un potenziometro che viene utilizzato per azzerare la
d.d.p. fra i contatti laterali provocata dalla corrente iniettata nel campione. Per fare questo è necessario
estrarre il campione dal tra ferro (assenza di campo magnetico), far circolare la massima corrente
iniettata nel campione ed in queste condizioni regolare il potenziometro fino ad ottenere una lettura
zero sul millivoltmetro utilizzato per la lettura della tensione di Hall.
Per i campioni di semiconduttore, piu’ spessi di quelli metallici, si e` dovuto allargare il tra
ferro del magnete. Abbiamo quindi ripetuto la misura del campo magnetico in funzione della corrente
nella bobina del magnete, ottenendo i seguenti valori:
B vs I
B = RC / (NS) Vo = 1/3 Vo
0,470
y = 0,2038x + 0,1488
Vo
(V)
1,19
1,23
1,25
1,28
1,32
1,36
1,38
1,39
B
(T)
0,397
0,410
0,417
0,427
0,440
0,453
0,460
0,463
0,460
0,450
0,440
B (T)
I mag
(A)
1,22
1,27
1,32
1,37
1,43
1,49
1,52
1,55
0,430
0,420
0,410
0,400
0,390
1,20
1,25
1,30
1,35
1,40
1,45
1,50
1,55
1,60
I (A)
Anche per i semiconduttori i risultati sperimentali evidenziano il fatto che il segno della
tensione di Hall non è sempre negativo e questo naturalmente mette in discussione il modello a gas di
elettroni liberi.
Vi è inoltre una osservazione da fare e riguarda la deviazione dalla linearità che si riscontra per i
valori più elevati della corrente di polarizzazione. Ciò è dovuto al fatto che RH diminuisce al
crescere della temperatura ed addirittura, nel semiconduttore di Ge drogato P, si riscontra l’inversione
del segno della tensione di Hall qualora si riscaldi con un phon il campione mentre si trova tra le
espansioni polari del magnete.
Le prove su un campione di GeP sono state effettuate introducendo il campione nel campo
magnetico prima in un senso e poi ruotato di 180° (ciò equivale ad invertire la direzione di B).
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In un secondo tempo si è fatta la media delle due letture (in modulo) e questo per annullare
totalmente l’effetto della d.d.p. dovuta al non perfetto allineamento dei contatti trasversali del
campione su una linea equipotenziale.
Risultati ottenuti
Effetto Hall - Germanio P
Figura 4: tensione di Hall VH in
funzione della corrente I per
B=0,427 T.
180
160
tensione di Hall (V)
In Figura 4 sono
riportati i risultati ottenuti nelle
due serie di letture ed in Figura
5 la media delle misure
effettuate.
140
120
B
diretto
100
80
B
invertito
60
40
20
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
corrente (mA)
Effetto Hall - Germanio P
200
tensione di Hall (mV)
180
160
140
y = 2,15E+01x + 1,00E-02
120
100
80
60
40
20
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
corrente (m A)
Figura 5: valore medio, sulle misure precedentemente effettuate, della tensione di Hall VH in
funzione della corrente I per B = 0,427 T.
Dal fit del grafico otteniamo per RH il seguente valore:
RH = VH s / (Ix B) = (VH / Ix) · s /B = 3,02 ·10-2 m3/ C
Misurando anche la resistenza elettrica del campione, le sue dimensioni e calcolandone quindi
la resistività si può anche calcolare la mobilità di Hall (per questo campione ρ=15 Ω cm):
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μ H = RH / ρ = 0,201 m2V-1s-1
La mobilità di Hall, per campioni di Ge fortemente drogati, deve risultare circa uguale alla
mobilità di deriva (3900 cm2V-1s-1 per gli elettroni e 1900 cm2V-1s-1 per le lacune)
La concentrazione dei portatori liberi (nel nostro caso lacune) risulta
p = 2,1 ·1020 m-3
I risultati ottenuti per un campione di GeN dello spessore di 1,65 mm sottoposto ad un campo
magnetico di 0,46 T sono riportati in Figura 5.
Effetto Hall - germanio N
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
tensione di Hall (mV)
-5
-10
-15
-20
-25
y = -9,05E-01x - 4,95E-04
-30
-35
-40
corrente (mA)
Figura 5: tensione di Hall VH in funzione della corrente I per B = 0,46 T.
Dal fit del grafico otteniamo per RH il seguente valore:
RH = VH s / (Ix B) = (VH / Ix) · s /B = - 3,23 ·10-3 m3/ C
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