Liceo Scientifico Spallanzani
Reggio Emilia
a.s. 2010/11
Scheda di lavoro per la classe III
Problemi sulle leggi di Keplero e sulla gravitazione
Alcuni esercizi per riflettere e per prepararsi al compito.
1. Determinare il valore dell’accelerazione di gravità gL sulla superficie della Luna, sapendo
1
che il rapporto tra il raggio della Luna e quello della Terra vale
e il rapporto delle
3,67
1
rispettiva masse vale
. (ricordate che l’accelerazione di gravità sulla superficie
81,5
M
terrestre è legata alla massa della Terra e al raggio terrestre dalla relazione g G 2T ,
RT
mutate le masse e i raggi, la stessa relazione vale per l’accelerazione sulla superficie
lunare)
M
2. Ricavate la massa della Terra dalla legge di gravitazione: se g G 2T allora la massa della
RT
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Terra M T .... .. Calcolate la densità media della Terra.
Ricavate la massa del Sole dalla legge di gravitazione: riferendoci al moto di rivoluzione
annuale della Terra attorno al Sole e, facendo la solita approssimazione che l’orbita terrestre
sia una circonferenza di raggio medio r, la condizione perché la Terra ruoti attorno al Sole è
che la forza centripeta sia pari alla forza di gravitazione tra Terra e Sole. Si ha perciò
M M
M T 2 r G T 2 S da cui si ricava…
r
Ganimede, il più grande dei satelliti di Giove, si muove su un’orbita pressoché circolare, con
un raggio di 1,07 109 m e con un periodo di 6,18 105 s (poco più di una settimana terrestre).
Da questi dati ricava la massa di Giove e la sua densità media, sapendo che il raggio medio
di Giove vale 7 107 m .
Newton tentò una stima della costante di gravitazione G (prima che fosse misurata
sperimentalmente da Cavendish tramite la bilancia a torsione): suppose che la Terra fosse
composta da rocce con densità media di 2,2 103 kg / m3 e, dato che il volume della Terra
è 1,09 1021 m3 , la massa della Terra risulterebbe…… e , sostituendola nella formula
M
g G 2T , Newton ricavò per G il valore ………………. Il valore che ottenne è del tutto
RT
errato, ma l’esercizio serve per ricordare ancora una volta che la determinazione della
massa di un pianeta può dare informazioni sulla sua densità e quindi sulla sua
composizione chimico-fisica.
Alcune comete (come quella di Halley) si comportano come pianeti con orbite ellittiche
molto eccentriche. Calcolate la distanza media dal Sole della cometa di Halley sapendo che
il suo periodo è 76 anni.
La Luna sta sorgendo mentre il Sole tramonta: è luna piena, al primo quarto, ….?
Da quando il Sole inizia a tramontare , cioè dal momento in cui il disco solare tocca la linea
dell’orizzonte, a quando scompare sotto l’orizzonte passano circa 2 minuti primi. Sapreste
dedurre l’ampiezza angolare del disco solare visto dalla Terra? Tenuto conto che la distanza
media Terra-Sole è pari a 1 u.a., sapreste stimare il diametro solare? E la densità media del
Sole? Anche questo esercizio ricava da dati astronomici indicazioni sulla composizione
interna di un oggetto celeste.
9. Quanto vale l’accelerazione con cui la Terra attira un satellite posto su un’orbita circolare,
concentrica alla Terra e di raggio pari a 2RT ? Quanto deve valere la velocità lineare del
satellite per rimanere in orbita? Cosa succede se la velocità è maggiore o minore del valore
calcolato?
10. Se esistesse nel sistema solare un pianeta con orbita esterna rispetto a quella di Plutone,
questo pianeta avrebbe raggio medio dell’orbita a 6 1012 m3 . Quale sarebbe il suo periodo
minimo di rivoluzione T? Esprimete il risultato in secondi ed in anni terrestri.
11. Dopo aver ripassato il concetto di velocità di fuga, calcolate la velocità di fuga dalla Terra,
dalla Luna e dal Sole.
12. Cosa capita se la velocità di fuga supera la velocità della luce? Non esce nulla dal pianeta,
neanche ….. la luce: avremmo un buco nero. Supponiamo che il nostro Sole si possa
trasformare in un buco nero (in realtà non è così perché e troppo poco massiccio), ovvero
mantenendo costante la sua massa il Sole si restringe aumentando la densità: qual è il valore
del raggio della sfera solare per cui si avrebbe la velocità di fuga pari a quella della luce cioè
3 108 ms1 ?
13. Nel pianeta Due l’accelerazione di gravità g’ è pari al doppio di quella terrestre e il raggio
del pianeta Due è esattamente il doppio della raggio terrestre.
a. Quanto vale la massa del pianeta Due?
Dato che l’accelerazione di gravità sul pianeta Due è legata alla massa del pianeta dalla relazione
M
g ' G 2 si può ottenere la massa del pianeta nel modo seguente:
R
g 'R 2 (2 g )( 2 RT ) 2
M
8M T 4,8 10 25 kg .
G
G
b. Quanto vale la velocità di fuga dal pianeta Due?
In modo simile si ragiona per la velocità di fuga:
2G(8M T )
2GM T
2GM
vF
2
2vF ,terra 2,2 103 m / s .
R
(2RT )
RT
c. Quanto vale il peso di un astronauta di 75 Kg sulla superficie di Due? E in orbita
attorno al pianeta ad una distanza dal suolo pari al raggio del pianeta?
La domanda chiede, semplicemente, il calcolo della forza peso: FP mg' 2mg 1500N . Se poi
consideriamo l’astronauta a distanza dal suolo pari al raggio del pianeta e quindi ad una distanza
dal centro del pianeta pari a 2 volte il raggio del pianeta, l’accelerazione di gravità in quel punto
sarà 1/4 di quella al suolo e quindi l’astronauta peserà 1/4, ovvero circa 375 N.
14. Europa è un satellite di Giove, che approssimando la sua orbita a una circonferenza, dista
mediamente circa 6 10 5 km dalla superficie di Giove. Utilizzando i dati relativi alla massa
( 1,9 10 27 kg ) e al raggio equatoriale di Giove ( 7 107 m )
a. calcolate il periodo di rotazione di Europa attorno a Giove e
b. la velocità di rotazione.
Calcoliamo prima la velocità di rotazione: poiché ci dicono che l’orbita può essere approssimata
con una circonferenza, l’accelerazione centripeta deve essere pari al rapporto tra forza
M
v2
G 2G , e
gravitazionale e massa di Europa,
R
R
quindi v G
MG
6,67 10 11 1,9 10 27
1,38 10 4 m / s . Ricaviamo il periodo T dalla legge del
8
R
6,7 10
moto circolare uniforme, piuttosto che dalla terza legge di Keplero:
2R 6,28 6,7 108
T
3 105 s .
v
1,38 10 4
15. Due masse mA 1kg e mB 4kg sono collocate nei punti A e B distanti 30 cm l’uno
dall’altro.
a. Determinate le forze peso delle due masse e disegnatele.
Si richiede il peso delle due masse: PA m A g 9,8 N yˆ e PB mB g 39,2 N yˆ .
b. Determinate le forze con cui le masse si attraggono reciprocamente e disegnatele.
È sufficiente applicare la legge di gravitazione universale:
m m
4
FG G A 2 B 6,67 10 11
2,96 10 9 N , la forza ottenuta è estremamente piccola e
2
d
(0,3)
difficile da rilevare.
c. Se sul segmento AB a distanza x dall’estremo A viene collocata una
massa mC 1kg , come deve essere scelto x in modo che la massa mC sia in
equilibrio?
Se la massa mC è in equilibrio, deve essere attirata verso le masse mA e mB da forze di uguale
m m
m m
intensità: perciò deve essere G A 2 C G C B 2 e, semplificando ed estraendo al radice
x
(d x)
1
1
2
quadrata si arriva a
e quindi a x 0,1 m d . La posizione della massa mC è tale
3
x (0,3 x)
che il rapporto dei quadrati delle distanze dalle masse poste agli estremi sia pari al reciproco del
rapporto delle masse stesse.
16. Una cometa al perielio dista dal Sole 0,5 u.a. e all’afelio 15 u.a.:
a. Qual è il rapporto tra la velocità della cometa al perielio v P e quella all’afelio v A ?
M Sole
:
R
tale condizione non è valida se non è possibile approssimare l’orbita ad una circonferenza (raggio
costante e eccentricità nulla dell’orbita). L’orbita ha un’eccentricità e = 0,94 particolarmente
elevata e quindi l’applicazione della condizione fornisce valori errati. L’esercizio si risolve
agevolmente ricordando la II legge di Keplero sulla velocità aureolare. Abbiamo mostrato che la
velocità areolare costante equivale alla conservazione del momento angolare. Perciò
v
r
m v A rA m vP rP e quindi P A 30
v A rP
Qualcuno ha calcolato la velocità all’afelio e al perielio utilizzando al condizione v G
17. Si trovi la velocità di fuga dalla superficie di Mercurio, la cui massa è M = 3.331 × 1023 kg e il cui
raggio è R = 2.44 × 106 m.
18. Due corpi celesti di massa m1 = 3 × 1034 kg e m2 = 7 × 1034 kg distanti d = 108 m ruotano attorno al
centro di massa con velocità angolare .
a. Calcolare il valore di .
Il centro di massa si trova 3/10 d dalla massa maggiore e 7/10 d dalla minore e deve stare
fermo: quindi la forza di attrazione gravitazionale, uguale per le due stelle, deve fornireloro
l’accelerazione centripeta necessaria per compiere orbite circolari di raggio 3/10d e 7/10d
m1m2
2 7
G d 2 m1 10 d
attorno al centro di massa:
G m1m2 m 2 3 d
2
d 2
10
Si ricava che 2 G
10m2
10m1
G
6,68 s 2 e quindi 2,58 s 1 .
3
3
7d
3d
b. Se una meteora passa per il centro di massa del sistema perpendicolarmente alla
congiungente i centri dei due corpi, quale deve essere la minima velocità v0 perché possa
sfuggire al loro campo gravitazionale?
Imponendo che l’energia della cometa nel momento in cui passa per il centro di massa
del sistema sia positiva o nulla (condizione per riuscire ad arrivare infinitamente
1 1
lontana dalle due stelle) si ottiene: v 2 2G ovvero
d1 d 2
v
2Gm1 m2 3 7
8
1.92 10 m / s .
d
7 3
19. Quale deve essere la velocità di un corpo di massa m lanciato lungo la verticale verso la Luna,
perché si fermi nel punto in cui il campo gravitazionale dovuto alla terra e quello dovuto alla luna
sono uguali in modulo e direzione, ma hanno verso opposto? (Distanza media Terra – Luna D = 3.84
× 108 m, massa Terra = 5,98 × 1024 kg, massa Luna = 7,34 × 1022 kg)
