SPETTRI DI SISTEMI BIDIMENSIONALI IN CAMPO MAGNETICO

Università degli Studi di Trieste
DIPARTIMENTO DI FISICA
Corso di Laurea in Fisica
Tesi di Laurea
SPETTRI DI SISTEMI BIDIMENSIONALI IN CAMPO
MAGNETICO
Relatore:
Candidato:
Ch.mo Prof. RAFFAELE RESTA
MATTEO RINALDI
Anno Accademico 2014–2015
Indice
Introduzione
v
1 Grafene e nanoribbons di grafene
1
2 Particella libera in due dimensioni e livelli di Landau
5
3 Il metodo tight-binding per il calcolo delle bande
7
1.1 Grafene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Nanoribbons di Grafene: armchair e zigzag . . . . . . . . . . .
2.1 DOS di elettrone libero in 2d . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Livelli di Landau per particella libera 2d . . . . . . . . . . . .
1
3
5
6
3.1 Tight-binding: analisi teorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 La sostiuzione di Peierls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3 Il metodo delle nestre di Parzen per il calcolo della DOS . . . 11
4 Computazione e analisi dati
4.1 Implementazione del metodo tight binding
4.2 Primo caso: senza campo magnetico . . . .
4.2.1 Procedimento . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Analisi delle bande e della DOS . .
4.3 Secondo caso: con campo magnetico . . .
4.3.1 Procedimento . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Analisi delle bande e della DOS . .
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13
13
14
14
16
17
17
18
5 La matrice densità
21
Bibliograa
45
5.1 Analisi teorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.2 Calcolo della densità di carica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
iv
INDICE
Introduzione
Nel 2004 viene scoperto il grafene: le caratteristiche sorprendenti di questo materiale lo rendono subito materia di studio in un numero sconnato
di lavori che sono stati realizzati dalla sua scoperta a questa parte. I lavori
teorici si preggono preliminarmente lo studio della struttura a bande del
grafene mediante un tight-binding fatto sugli orbitali 2pz di tali esagoni disposti in strutture a nido d'ape. Il punto di partenza di questo lavoro si fonda
su queste basi; esso poi si dirige alla realizzazione del modello del nitruro di
boro esagonale (BN), che si ottiene partendo dal grafene stesso introducendo
una diversa ionicità per i due atomi nella cella. Questo comporta la rottura
della centrosimmetria che si aveva col grafene e quindi si ha la conseguente
apertura di un gap. Il fattore aggiuntivo consiste nell'accensione di un campo
magnetico perpendicolare al piano nel quale giacciono i due nastri ottenuti
tagliando il foglio di grafene, e successivamente di BN, lungo due direzioni
con una dierenza di orientazione pari a 30◦ . Questi sono i zigzag e armchair nanoribbons. Quindi si sono studiate le bande e le densità degli stati in
energia variando la larghezza di tali nastri, la dierenza di ionicità e il campo magnetico applicato. Come noto precedentemente l'hamiltoniana di una
particella libera è quadratica nel momento, quindi presenta una struttura di
banda parabolica ripiegata nella prima BZ attraverso il metodo del reduced
zone scheme. Inoltre in un campo magnetico uniforme, perpendicolare al
piano nel quale giace tale particella, essa presenta uno spettro non più continuo, ma quantizzato, della forma di un oscillatore armonico e ciascuno di tali
livelli energetici, detti livelli di Landau, presenta una degenerazione innita
nel momento. Questo non vale esattamente per il grafene il quale in assenza
di campo magnetico presenta una legge di dispersione lineare nell'energia nei
punti di contatto della banda di valenza e di conduzione, detti punti di Dirac,
e con l'accensione del campo magnetico l'energia non dipende
più come nel
caso di particella libera da una legge del tipo }ω n + 12 con n ≥ 0, ma come
la radice quadrata di n sempre con n ≥ 0. I graci realizzati in questo lavoro
vogliono mostrare la dierenza che si ha tra i livelli di Landau nel grafene
e nel BN rispetto a quelli di particella libera. Nel caso speciale del BN si
vi
INDICE
è inoltre studiato il comportamento dei livelli di Landau con l'apertura del
gap: un risultato importante si ha nel band edge e vicino al gap, dove in
assenza di campo magnetico la densità degli stati è piatta e quindi è quella
di particella libera. Allora, con l'accensione del campo, in
tali zone, l'energia dei livelli di Landau va eetivamente come }ω n + 12 . Successivamente
si è calcolata la matrice densità dei nastri di grafene e BN. Dalla teoria gli
elementi diagonali della matrice densità rappresentano la densità di carica
relativa a ciascun sito dei due nastri. Quindi partendo dal caso senza dierenza di ionicità si è analizzata la densità di carica dei due nastri: nel sistema
half-lling in esame la densità di ciascun elettrone è stata normalizzata ad
1
. Nel caso con dierenza di ionicità ci si aspetta una densità di carica sim2
metrica rispetto al centro del nastro nel caso armchair, poichè in qualunque
modo tale nastro venga tagliato esso presenta tale simmetria, e la formazione
di un nastro polare per nastri a zigzag stretti, in quanto a seconda del taglio
questo nastro può presentare un bordo tutto di anioni e uno tutto di cationi.
Allora, in quest'ultimo, nel caso di nastri con pochi atomi si ha la formazione
di un dipolo netto non nullo.
Le simulazioni dei sistemi in esame si basano su programmi realizzati in fortran con l'ausilio di subroutines della libreria LAPACK, quali ZHEEVR per
il calcolo delle bande e delle DOS e CHEEV per la densità di carica.
Capitolo 1
Grafene e nanoribbons di grafene
1.1 Grafene
Esistono in natura un gran numero di sistemi basati sul carbonio, le cui
proprietà dipendono dalla dimensionalità di queste strutture. La grate è
uno di questi, infatti essa è un allotropo tridimensionale del carbonio ed è
quello scoperto meno di recente; tale cristallo ha come costituente di base
strati di grafene. Questi fogli di grafene possono essere visti come costituiti
da un piastrellamento di esagoni di benzene, nei quali gli atomi di idrogeno
sono stati sostituiti dagli atomi di carbonio degli esagoni vicini. Inoltre tale
disposizione viene detta a nido d'ape. Nella grate tali fogli di grafene si
legano mediante l'azione delle forze di van der Waals che è più debole dei
legami covalenti che tengono assieme gli atomi di carbonio degli strati di
grafene. Tale fatto permette la separazione degli strati di grafene nel momento nel quale si scrive con una matita su un foglio di carta. Nonostante
ciò è stato isolato 440 anni dopo la scoperta della grate [1], prima non ci si
aspettava che potesse esistere libero in natura. Il grafene è l'allotropo base
per comprendere le proprietà degli altri allotropi quali fullereni (come la molecola C60 ); nanotubi di carbonio, ottenuti arrotolando un foglio di grafene
lungo una determinata direzione e legando tra di loro gli atomi di carbonio
dei bordi e altri.
Nel grafene, come detto, gli atomi di carbonio si legano in una struttura
a nido d'ape attraverso una ibridizzazione sp2 degli orbitali 2s, 2px e 2py che
porta ad una struttura trigonale planare con la formazione di tre legami σ
tra gli atomi carbonio, separati da una distanza di 1.42Å. Tali legami σ sono
responsabili della robustezza che caratterizza il grafene e tutti gli altri allotropi. Gli orbitali p rimanenti, perpendicolari al piano, si legano covalentemente
mediante legami π portando alla formazione di una banda π metà riempita,
2
Grafene e nanoribbons di grafene
in quanto ognuno di tali orbitali contribuisce con un elettrone. Inoltre, essendo che i tre elettroni nel piano non prendono parte alla conduttività, si
ha che il grafene ha un elettrone di conduzione nello stato 2pz .
La struttura a nido d'ape non è un reticolo di Bravais. Questo deriva dal
fatto che non vi è un array di punti ripetuto con una disposizione e un orientamento che appare lo stesso da qualsiasi punto del reticolo. La struttura
a nido d'ape può essere sudddivisa in due sottoreticoli di Bravais triangolari
e quindi questa può essere vista come un reticolo di Bravais triangolare con
una base di due atomi. La costante reticolare è quindi denita come la distanza tra due siti appartenenti allo stesso sottoreticolo di Bravais.
I vettori della cella primitiva sono:
a1 =
√ a
+1, 3 ,
2
a1 =
√ a
−1, 3
2
(1.1)
2π √ − 3, 1 .
3a
(1.2)
mentre quelli del reticolo reciproco:
2π √ + 3, 1 ,
3a
b1 = √
b1 = √
I vettori della base:
a
d1 = √ (0, −1) ,
2 3
a
d1 = √ (0, +1)
2 3
(1.3)
e inne quelli che uniscono i primi vicini tra loro:
a
3
n1 = √ (0, +1) ,
a √
− 3, −1
2 3
n1 = √
a √
+ 3, −1 . (1.4)
2 3
n1 = √
La scelta dei vettori primitivi, ponendo l'origine al centro dell'esagono, non
è unica, in quanto possono essere presi quelli che formano tra loro un angolo
di 120◦ pittosto che 60◦ . Inoltre la scelta dell'origine al centro dell'esagono
permette di avere una più alta simmetria rispetto al caso nel quale la si pone
su un sito atomico
Mediante un tight binding a secondi vicini per gli orbitali 2pz si ottiene la
seguente espressione per le bande π : [2]
p
0
E± (k) = ±t 3 + f (k) − t f (k)
!
√
√
3
3
f (k) = 2 cos
3ky a + 4 cos
ky a cos
kx a
2
2
(1.5)
(1.6)
1.2 Nanoribbons di Grafene: armchair e zigzag
(a)
3
(b)
Figura 1.1: In (a) reticolo diretto del grafene con vettori primitivi a1 e a2 ,
vettori di base b1 e b2 e vettori ai siti primi vicini n1 e n2 . In (b) struttura
0
delle bande π per il grafene. In questo caso t non è nullo: ciò determina la
asimmetria delle bande intorno allo zero. In (b) viene rappresentata la prima
BZ.
dove t è l'integrale di hopping tra primi vicini e t è quello tra secondi vicini.
0
Se t = 0 lo spettro è simmetrico intorno allo zero. Di particolare importanza
0
sica sono i punti K e K della prima zona di Brillouin, detti punti di Dirac, in
un intorno dei quali espandendo la legge di dispersione ottenuta si ottiene un
andamento lineare nel momento. In tali punti, inoltre, la forma delle bande
è localmente doppio conica e ivi si trova il livello di Fermi, cioè all'energia
E (k) = 0, dato che ogni atomo di carbonio possiede un elettrone nell'orbitale
2pz .
0
1.2 Nanoribbons di Grafene: armchair e zigzag
Tagliando un cristallo di grafene lungo due direzioni parallele, che distano non più di una decina di nanometri, si ottiene un graphene nanoribbon.
Tali nastri di grafene si dierenziano in due tipi a seconda della forma del
bordo che presenta il ribbon, infatti si possono avere zigzag nanoribbons o
armchair nanoribbons. Questi due tipi di bordi hanno una dierenza di orientazione pari a 30◦ rispetto al foglio di grafene.
Si denisce la larghezza del ribbon con W che è pari alla metà degli atomi presenti nella cella unitaria
√ rettangolare. La costante reticolare è pari ad a per
che√la prima
zigzag nanoribbons e 3a per armchair nanoribbons; ciò implica
√
zona di Brillouin è rispettivamente [−π/a, +π/a] e [−π/ 3a, +π/ 3a].
4
Grafene e nanoribbons di grafene
Figura 1.2: Zigzag e armchair nanoribbons
Capitolo 2
Particella libera in due
dimensioni e livelli di Landau
2.1 DOS di elettrone libero in 2d
Si consideri un elettone libero in 2d di massa m e momento k, allora
questo soddisfa la seguente equazione di Scrödinger stazionaria:
}2
−
2m
∂2
∂2
+
∂x2 ∂y 2
ψk (r) = εk ψk (r) .
(2.1)
Le soluzioni di tale equazione agli autovalori sono:
εk =
}2 k2
2m
ψk (r) = eik · r .
(2.2)
Quindi i valori che può assumere l'energia sono distribuiti in modo continuo
tra zero e innito, inoltre lo spettro di particella libera è rappresentato da una
banda parabolica. Imponendo le condizioni al contorno di Born-von Karman
lungo la direzione x e y : ψk (x + L, y) = ψk (x, y) e ψk (x, y + L) = ψk (x, y)
si sta richiedendo che la funzione d'onda ψk sia periodica lungo tali direzioni
con periodo L. Quindi i valori del vettore d'onda k che realizzano queste
condizioni sono:
kx = 0, ±
2π 4π
, ± , ...
L
L
ky = 0, ±
2π 4π
, ± , ...
L
L
(2.3)
allora kx = 2πn
e lo stesso per ky , dove n ∈ Z. Per un sistema di N elettroni
L
liberi gli orbitali occupati vengono rappresentati come punti in una sfera
denita nello spazio reciproco, dove l'energia di Fermi è l'energia che si ha
6
Particella libera in due dimensioni e livelli di Landau
alla supercie di tale sfera, che si riduce ad una circonferenza nel caso 2dimensionale in questione. La densità degli stati si ottiene tramite la seguente
relazione:
1X
p2
2X
p2
D (ε) =
δ ε−
=
δ ε−
A p,σ
2m
A p
2m
(2.4)
dove si è considerato il fattore 2 dello spin e A è l'area del campione in
esame.
2π 2
Ogni punto della circonferenza di Fermi occupa un area pari a L quindi
la relazione si riduce a:
Z
D (ε) = 2
Z ∞ dp
p2
2
p2
δ ε−
= 2 2π
pδ ε −
dp
2m
h
2m
}2 (2π)2
0
denendo ora una nuova variabile: E =
D (ε) =
p2
2m
(2.5)
, si ottiene che la DOS diventa :
4mπ
θ (ε) .
h2
(2.6)
Da tale espressione si deduce che la densità degli stati di una particella libera
è una costante.
2.2 Livelli di Landau per particella libera 2d
L'equazione di Scrödinger di una particella libera soggetta all'azione di un
campo magnetico B perpendicolare al piano può essere risolta sia scegliendo
la gauge di Landau che la gauge centrale. Lo spettro è discreto
ed è quello
eB
di un oscillatore armonico 2-dimensionale: εn = }ωc n + 12 , dove ωc = mc
2
e in gauge di Landau le funzioni d'onda sono:
ψnk (x, y) ∝ eikx χn y − l2 k
(2.7)
e quindi sono date da un'onda piana lungo x e da una gaussiana lungo y , in
quanto χn è l'autostato n-esimo dell'oscillatore armonico unidimensionale, e
1
}c 2
viene detta lunghezza magnetica. Ogni livello di Landau è
dove l = eB
innitamente degenere in k e lungo la direzione x occupa un'area pari a 2πl2 ,
A
quindi il numero di stati in ogni livello di Landau è: N = 2πl
2 . Allora in
un sistema di N elettroni non interagenti il più basso livello di Landau sarà
pienamente occupato quando N = N .
Capitolo 3
Il metodo tight-binding per il
calcolo delle bande
3.1 Tight-binding: analisi teorica
Si considerino inizialmente due atomi neutri separati a distanza nita e
si osservino i cambiamenti nei livelli energetici di ciascun atomo quando le
due distribuzioni di carica atomiche si sovrappongono: da ciò si nota il fatto che per ogni livello energetico di un atomo isolato si formano due livelli
energetici. Quindi, estendendo tale procedimento al caso in cui si considerino N atomi, i quali vengono messi insieme a creare un cristallo, N orbitali
si formano per ciascuno degli orbitali atomici degli atomi isolati. Nel momento nel quale gli N atomi sono messi assieme, l'interazione coulombiana
divide i livelli energetici degli atomi isolati formando la struttura a bande
del cristallo. La modicazione dei livelli atomici diventa rilevante quando lo
spazio interatomico diventa comparabile alla lunghezza d'onda della funzione
d'onda di tale livello, infatti in tali condizioni la sovrapposizione di tali funzioni degli atomi isolati è non trascurabile e un elettrone che si trova in tale
stato sente la presenza degli altri vicini che si trovano nel medesimo stato.
Allora il metodo del tight-bindig si applica a quei casi nei quali l'overlap di
tali funzioni d'onda determina delle modicazioni nei corrispondenti livelli
energetici degli atomi isolati, ma non nei casi nei quali la descrizione atomica
non diventa più ecace.
Tale metodo è una tecnica semi-empirica, detto anche metodo LCAO a base
minimale, e si pregge lo scopo di determinare la struttura di banda di un
cristallo partendo dalle funzioni d'onda degli elettroni quando gli atomi sono isolati e gli stati di Bloch di singola particella nel cristallo, considerando
un orbitale atomico ben localizzato per ciascun atomo che tende a zero per
8
Il metodo tight-binding per il calcolo delle bande
distanze che superano la costante reticolare del cristallo in questione. Quindi l'approccio adottato consiste nell'assunzione primaria che gli stati degli
elettroni nel cristallo sono dati da combinazioni lineari degli orbitali atomici
degli atomi isolati: questo fatto si verica prevalentemente in semiconduttori
e isolanti piuttosto che in metalli dove gli elettroni sono liberi e si trattano
gli stati di singola particella con onde piane.
Considerato un cristallo, si prende l'hamiltoniana di un singolo atomo H =
Hat + ∆U , dove Hat è l'hamiltoniana dell'atomo in questione e ∆U racchiude
tutte le dierenze tra il potenziale nel cristallo e quello dell'atomo isolato e
quindi le correzioni al potenziale richieste per riprodurre il potenziale periodico. Si assume allora ragionevolmente che ∆U → 0 per r = 0, cioè al centro
di ogni atomo nel cristallo. Siano l un indice di cella e s un indice di base,
la base LCAO è data dai seguenti orbitali atomici:
χls (r) = χ̃ls (r − rls )
(3.1)
dove rls è il vettore che individua la posizione di un determinato atomo;
inoltre tali orbitali atomici vengono presi ortonormali tra loro: hχl0 s0 |χls i =
δll0 δss0 . Chiaramente questi orbitali non soddisfano il teorema di Bloch. Inoltre sono autostati di Hat e decadono rapidamente allontandandosi dall'atomo
in questione. Quindi da tale considerazione discende che l'integrale di overlap
tra gli atomi localizzati in dierenti posizioni, cioè tra atomi che non sono tra
loro primi o secondi vicini, assume valori bassi e allora si sta considerando un
sistema nel quale gli elettroni interagiscono debolmente tra loro. La funzione
d'onda approssimata è quindi data dalla seguente funzione di Bloch:
N
1 X X (m)
(m)
cs (k) eikrls χls (r)
ψk (r) = √
N s l=1
(3.2)
dove si è preso un cristallo generico costituito da N celle e rls è il vettore
che individua un generico sito. L'indice di banda m verrà di seguito omesso.
Quindi gli stati di singola particella in tale sistema sono funzioni di Bloch
ψk che soddisfano l'equazione di Scrödinger stazionaria Hψk = εk ψk , dove k
è consistente con le condizioni al contorno periodiche di Born-von Karman.
Tali funzioni rappresentano le funzioni d'onda di singolo elettrone, immerso in
un potenziale periodico, il quale interagisce debolmente con gli altri elettroni
del cristallo. Dal calcolo del valore di aspettazione dell'energia si ricava che:
N
1 XX
cs (k) c∗s0 (k) eik · (rls −rl0 s0 ) hχl0 s0 |H|χls i
hψk |H|ψk i =
N s,s0 l,l0
(3.3)
3.1 Tight-binding: analisi teorica
9
dove χls (k) = χ̃ls (r − rls ). Nei casi considerati successivamente si considerano nastri di grafene (armchair e zigzag) e si prende in esame la sola cella
unitaria, quindi tale espressione si riduce a:
hψk |H|ψk i =
X
cs (k) c∗s0 (k) eik · (rs −rs0 ) hχs0 |H|χs i .
(3.4)
s,s0
Inoltre il modello col quale si calcolano le bande dei nastri di grafene si
basa su un tight-bindig a primi vicini, quindi nella espressione precedente
si trascurano tutti gli integrali eccetto quelli sullo stesso atomo e quelli tra
primi vicini. Allora:
Z
V


α, se s = s'
∗
χs (r) Hχs0 (r) dr = −t, se s e s' sono primi vicini .


0,
altrimenti
(3.5)
Ponendo successivamente
Hss0 (k) = e
−ik · (rs0 −rs )
Z
χs (r) Hχ∗s0 (r) dr
(3.6)
V
dove tali valori sono quindi gli elementi di matrice della hamiltoniana in
questione e :
Z
−ik · (rs0 −rs )
Sss0 (k) = e
χs (r) χ∗s0 (r) dr
(3.7)
V
si giunge alla seguente equazione:
εk hψk |ψk i = εk
X
cs (k) c∗s0 (k) Sss0 (k) =
s,s0
X
cs (k) c∗s0 (k) Hss0 (k) .
(3.8)
s,s0
Dal teorema variazionale si ha che il miglior set di coecienti dell'espansione
è dato da quelli che rendono minima l'energia. Quindi per trovare i coecienti
di ψk (r) bisogna minimizzare il valore di aspettazione dell'energia del sistema
rispetto ai coecienti dell'espansione. Quindi si deriva la seguente relazione:
P
εk =
cs (k) c∗s0 (k) Hss0 (k)
hψk |H|ψk i
= P
hψk |ψk i
cs (k) c∗s0 (k) Sss0 (k)
s,s0
(3.9)
s,s0
Nella derivazione del valore medio dell'energia rispetto ai coecienti dell'espansione, questi si trattano considerando i loro corrispondenti complessi
k
non ha eetto su
coniugati come variabili indipendenti, quindi la derivata ∂ε
∂cs
10
Il metodo tight-binding per il calcolo delle bande
c∗s0 . Derivando rispetto alla parte reale e immaginaria del coeciente c∗s0 (k)
si ottiene il seguente problema agli autovalori:
X
Hss0 (k) cs (k) = εk
s,s0
X
cs (k) Sss0 (k)
(3.10)
s,s0
dove la matrice di overlap Sss0 (k) = δss0 . La derivazione rispetto a cs (k)
restituisce una relazione perfettamente equivalente a quest'ultima. La 2.10
si riduce alla equazione generalizzata agli autovalori:
H (k) c (k) = εk c (k) .
(3.11)
Da ciò si deduce che per determinare le bande e i corrispondenti autovettori
cs (k), che sono i coecienti della funzione d'onda LCAO dell'elettrone nell'intero cristallo, è necessario diagonalizzare la matrice hamiltoniana H (k)
per ogni valore di k all'interno della prima BZ. Nelle simulazioni successive si
considera un sistema unidimensionale e si divide tale zona in intervalli niti
e per ognuno dei punti nei quali si suddivide la prima BZ si diagonalizza la
matrice hamiltoniana i cui elementi di matrice sono dati dalla relazione 3.6.
Nel caso dei nastri di grafene (armchair e zigzag) si porrà α = 0 e nel caso del
nitruro di boro esagonale gli elementi diagonali della matrice hamiltoniana
assumeranno i valori ±∆ a seconda del sito in considerazione per realizzare la
congurazione del BN. Ciò determina, di conseguenza, l'apertura di un gap
nelle bande, dove, a ssato k l'energia cambia in modo discontinuo passando
dalla banda di valenza a quella di conduzione dei due nanoribbons.
3.2 La sostiuzione di Peierls
Per introdurre un campo magnetico esterno B nel metodo tight-binding
si parte dalla considerazione che in meccanica quantistica la presenza di un
potenziale vettore A si ripercuote sulla hamiltoniana totale del sistema:
H=
p2
+V
2m
(3.12)
cambiando il momento attraverso la relazione detta accoppiamento minimale:
q
p → p + A.
c
(3.13)
Inoltre la presenza di un potenziale vettore modica l'ampiezza di probabilità
a campo nullo che ha una particella, di carica q , di passare da un punto a ad
3.3 Il metodo delle nestre di Parzen per il calcolo della DOS 11
un punto b attraverso la seguente relazione:
qc
hb|aiA = hb|ai0 e c}
Rb
a
A · dl
= hb|ai0 e
−2iπ
φ0
Rb
a
A · dl
(3.14)
dove il quanto di usso φ0 è pari a hce . Da ciò si deduce che gli elementi
di hopping della matrice hamiltoniana, in approssimazione tight-binding, di
un cristallo in presenza di un campo magnetico B, si modicano attraverso
questo fattore di fase aggiuntivo:
t0ba → tba = t0ba e
−2iπ
φ0
R b=(x1 ,y1 )
a=(x0 ,y0 )
A · dl
(3.15)
dove si prende un percorso rettilineo di integrazione: tale trasformazione
degli hoppings viene detta sostituzione di Peierls. Di seguito si applica tale
formula in presenza di un campo magnetico B uniforme e indipendente dal
tempo.
3.3 Il metodo delle nestre di Parzen per il
calcolo della DOS
Il metodo delle nestre di Parzen è una tecnica di interpolazione dati.
Quindi, data una variabile casuale X (nel nostro caso l'energia), tale procedimento ci permette di determinare la densità di probabilità P (X) che descrive il campione in questione. Essenzialmente questo procedimento utilizza
dei kernel centrati attorno a ciascun dato o osservazione xi che permettono
la stima della densità di probabilità della variabile aleatoria X in questione:
in questo modo ogni dato xi contribuisce alla stima della funzione densità
di probabilità totale. C'è un altro modo di vedere questo metodo di stima.
Si supponga di volere determinare la densità di probabilità in un punto x.
Quindi si pone una nestra in x e si determinano quanti dati xi cadono in
tale nestra e quale sia il loro contributo. Formalmente si consideri un ipercubo R centrato in x, sia h la lunghezza di un bordo di tale ipercubo, allora
si introduce la seguente funzione:
K
x − xi
hn
(3.16)
che è pari a 1 se la distanza del dato xi dal datox è minore
della larghezza
n
P
i
è pari al numero di
della nestra h o nulla altrimenti, quindi:
K x−x
hn
i=1
dati che cadono all'interno della nestra. Di conseguenza il valore della den-
12
Il metodo tight-binding per il calcolo delle bande
sità di probabilità relativo al dato x è data da tale somma dei contributi delle
xi a questa nestra diviso il numero di eventi e il volume totale dell'ipercubo
in questione. Lo stimatore è quindi denito come:
N
1X 1
P (x) =
K
n i=1 hd
x − xi
hn
(3.17)
dove K è la nestra o il kernel in uno spazio d-dimensionale e tale che:
Z
K (x) dx = 1
(3.18)
R
e hn è il parametro che corrisponde alla larghezza del kernel, dove il suo
valore è denito in base al numero n delle osservazioni. La funzione densità
di probabilità gaussiana è il kernel usato in questo lavoro per la stima della
P (x) . Quindi la relazione 2.16 diventa:
N
P (x) =
x−xi 2
1
1X
−1(
)
√ d e 2 h
n i=1 h 2π
(3.19)
dove h è la deviazione standard della gaussiana. Nel caso in questione si
considera un sistema con d = 2 quindi:
N
x−x 2
1X 1
− 21 ( σ i )
.
e
P (x) =
n i=1 (2πσ 2 )
(3.20)
Nella simulazione eettuata, il metodo delle nestre di Parzen è stato utilizzato per calcolare la DOS dei nanoribbons. Quindi per ogni valore dell'energia
è stata applicata la relazione 2.19 e si è ottenuto il valore della densità degli
stati per ognuna di queste. La varianza ottimale è stata ottenuta variando
il parametro σ 2 partendo da valori alti, in corrispondenza dei quali la funzione stimatrice presentava delle irregolarità per poi via via diminuire no a
quando queste irregolarità scomparivano. Il valore migliore adottato è pari
a 0.009.
Capitolo 4
Computazione e analisi dati
4.1 Implementazione del metodo tight binding
Il calcolo delle bande per i due nastri si eettua con un tight-binding a
primi vicini dove si diagonalizza una matrice hamiltoniana 2W × 2W per
ognuno dei valori di k nei quali si suddivide la BZ, dove W è pari alla metà
degli atomi presenti nella cella unitaria che forma il nastro in questione. Il
metodo per il calcolo degli elementi di matrice sfrutta l'individuazione di
una disposizione degli atomi che si ripete con periodicità lungo il nastro e
che è diversa nei due dierenti ribbons. La formula generale dalla quale si
parte per determinare ciascuno degli elementi di matrice delle hamiltoniane in
questione è data dalla 3.6, dove la dierenza tra i vettori posizione degli atomi
primi vicini è data dai vettori, riportati nella relazione 1.4, congiungenti
tali atomi. Per il nastro a zigzag il vettore d'onda k è stato preso pari
a (k, 0) in modo che l'hamiltoniana risulti simmetrica rispetto alla direzione
longitudinale del ribbon; per garantire questo fatto anche nel caso di armchair
nanoribbon si è preso k = (0, k). Di seguito riporto le espressioni delle matrici
hamiltoniane per i due nastri nel caso nel quale α = 0 e in assenza di campo
magnetico.
• Zigzag nanoribbons: la matrice hamiltoniana ha la seguente forma:


0 u
u 0 1





H(0) = −t  1 0 u
(4.1)



u
0
1


...
dove t è l'integrale di hopping tra primi vicini e u = 2 cos
k
a
2
.
14
Computazione e analisi dati
• Armchair nanoribbons

0 p q∗
p∗ 0 0 q

 q 0 0 p∗ q


q∗ p 0 0 q∗


q∗ 0 0 p q∗
H(0) = −t 

q p∗ 0 0 q


q 0 0 p∗


q∗ p 0

dove p (k) = e−i
a
√
k
3
e q (k) = e−i 2
a
√
k
3

...














(4.2)
.
Sono state implementate queste due hamiltoniane in un programma scritto
in fortran e diagonalizzate attraverso la subroutine ZHEEVR della libreria
LAPACK. Il calcolo degli autovalori è stato quindi eettuato variando il
vettore d'onda k all'interno della prima zona di Brillouin dei due ribbons
√ a
passi regolari. Nei graci k è stato normalizzato di un fattore π/a e π/ 3a
per zigzag e armchair nanoribbons rispettivamente e l'energia è stata scalata
di un fattore pari a −t. Gli autovalori sono stati usati per fare i plots delle
bande nella prima BZ e successivamente per eettuare il calcolo della DOS
attraverso il metodo delle nestre di Parzen.
4.2 Primo caso: senza campo magnetico
4.2.1
Procedimento
Per aprire un gap nelle bande dei nanoribbons si è realizzato il caso del nitruro di boro esagonale, il quale presenta la medesima struttura a nido d'ape
del grafene, ma con i due atomi della cella primitiva diversi. Il sistema si può
allora considerare come composto da due sottoreticoli di Bravais triangolari corrispondenti ai siti con energie denominate rispettivamente +∆ e −∆.
Quindi sia i l'atomo i − esimo, per zigzag si hanno due casi:
• i ≡ 1 (mod 2), Hi,i = −∆
• i ≡ 0 (mod 2), Hi,i = +∆
mentre per armchair si hanno quattro casi possibili:
4.2 Primo caso: senza campo magnetico
15
• i ≡ 1 (mod 4), Hi,i = −∆
• i ≡ 2 (mod 4), Hi,i = +∆
• i ≡ 3 (mod 4), Hi,i = +∆
• i ≡ 0 (mod 4), Hi,i = −∆
Allora la forma delle due matrici hamiltoniane è la seguente:
• Zigzag nanoribbons
H(0)

−∆ u
 u +∆ 1


1 −∆ u
= −t 

u +∆ 1


...






• Armchair nanoribbons

−∆ p
q∗
∗
p
+∆ 0
q

 q
0 +∆ p∗
q

∗

q
p −∆ 0
q∗

∗

q
0 −∆ p
q∗
H(0) = −t 

q
p∗ +∆ 0
q

∗

q
0
+∆
p


q∗
p −∆

dove p (k) = e
−i √a k
3
e q (k) = e
−i
a
√
k
2 3
.
(4.3)

...














(4.4)
In tale situazione si rompe la centrosimmetria che si aveva col grafene, ciò
determina l'apertura di un gap nelle bande. Quindi il BN è un isolante con
un gap nito variabile a secondo del valore assunto da ∆.
Si è quindi proceduto al calcolo delle bande e della DOS inizialmente nel caso
∆ = 0 e successivamente facendo variare tale parametro tenendo W ssato.
Tale modo di procedere ha permesso un confronto, a numero di atomi ssato,
della modica della struttura delle bande partendo dal caso ∆ = 0.
16
4.2.2
Computazione e analisi dati
Analisi delle bande e della DOS
Dai graci delle bande ottenuti per ∆ = 0 (gure dalla 5.1 alla 5.6) si
osserva che gli armchair nanoribbons presentano un comportamento metallico
solo se W = 3M − 1, dove M è un intero e le bande si incontrano in k = 0;
altrimenti sono semiconduttori. Per ribbons semiconduttori il gap diminuisce
nel limite termodinamico (W −→ ∞), come si nota nel passaggio dalla gura
5.1 alla gura 5.2 (dove rispettivamente si hanno le bande del ribbon con 14
e 200 atomi), tendendo quindi al comportamento delle bande del grafene che
ha un gap nullo. Inoltre si nota che per entrambi i ribbons il top della banda
di valenza e il bottom della banda di conduzione sono localizzati a k = 0.
I zigzag nanoribbons, invece, sono sempre metallici e in questi le bande di
conduzione e di valenza sono sempre degeneri al livello di Fermi in |k| = π/a
e tale degenerazione non è originata dalla struttura delle bande del grafene,
cioè non è dovuta a stati bulk. Come si nota passando dalla gura 5.4 alla
5.5 queste due bande centrali si appiattiscono all'aumentare di W no a che
la zona di contatto nel limite termodinamico comprende tutto l'intervallo
2
< |k|/ πa < 1. La densità degli stati per questi ribbons presenta quindi un
3
picco al livello di Fermi che, seppure nel limite W −→ ∞ non sparisce, si ha
che il rapporto tra il numero degli stati di queste bande e tutti gli altri va a 0
riproducendo così il comportamento del grafene. Gli stati elettronici relativi
alle bande parzialmente piatte dei zigzag nanoribbons sono stati localizzati
vicino al bordo a zigzag: ciò si comprende analizzando la distribuzione di
carica relativa a questi stati degeneri.
Successivamente si è proceduto con la diagonalizzazione della hamiltoniana
per ogni k nella BZ, ponendo ∆ = 1. Dai graci ottenuti della struttura delle
bande e della DOS si osserva l'apertura del gap che si estende tra −1 e +1
per armchair a centro zona(gure 5.7 e 5.8), mentre per zigzag nanoribbon
si estende tra −1 e +1 a bordo zona(gure da 5.9 e 5.10). Da tali graci
si ha inoltre che per armchair il gap raggiunge la sua estensione massima a
bordo zona, quindi aumenta partendo da k = 0 e dirigendosi a k = ± √π3a ;
mentre per zigzag si verica il contrario: cioè il gap raggiunge la sua massima
estensione per k = 0 per poi diminuire andando a bordo zona, cioè a k = ± πa .
Le corrispondenti DOS mostrano quindi che per energie comprese in tale
intervallo la densità degli stati è nulla. Inoltre dal caso zigzag si nota che le
due bande che per ∆ = 0 erano degeneri al livello di Fermi ora si separano e
in prossimità di tali bande, nel caso con 16 atomi, si hanno due picchi della
densità degli stati corrispondente e quindi il picco che si aveva per ∆ = 0 al
livello di Fermi scompare aprendo il gap. Inoltre se si osserva la DOS della
gura 5.8 e 5.10 si ha che sul gap e lontano dal gap la densità degli stati è
costante. Tale fatto si spiega osservando le bande: sul gap e lontano dal gap
4.3 Secondo caso: con campo magnetico
17
si hanno bande paraboliche, quindi spettro di particella libera, allora, come
si nota dalla relazione 2.6, si ha che la densità degli stati di particella libera
in 2d è costante. Da ciò si deduce che lo spettro sul bande edge e vicino al
gap è quello di particella libera e conseguentemente la DOS in tali regioni
è piatta. Il picco che si nota nelle medesime gure 5.8 e 5.10 corrisponde a
bande piatte, cioè con tangente orizzontale costante.
4.3 Secondo caso: con campo magnetico
4.3.1
Procedimento
Successivamente è stato inserito il campo magnetico, quindi gli elementi
di matrice della hamiltoniana tight binding si modicano secondo la sostituzione di Peierls dove il percorso di integrazione viene preso rettilineo. Il
campo magnetico è stato scelto uniforme e perpendicolare al piano del ribbon
e il potenziale vettore A simmetrico per traslazioni nella direzione longitudinale del nastro considerato attraverso la scelta di una determinata gauge
di Landau. Il motivo di tali scelte ha come scopo avere una hamiltoniana
in campo magnetico con la stessa periodicità da cella a cella di quella in
campo nullo: tale fatto permette quindi la scelta di una cella qualsiasi per
la diagonalizzazione e permette, inoltre, l'applicabilità del teorema di Bloch.
Il parametro attraverso il quale è stata regolata, caso per caso, l'intensità
del campo magnetico è φ/φ0 dove φ è il usso del campo magnetico attraverso la cella primitiva e φ0 è il quanto di usso elementare pari a hc/e.
Quindi il caso in questione presenta un hopping tra primi vicini complesso
(poichè gli elementi di matrice vengono moltiplicati per una fase data dalla
sostituzione di Peierls) e un hopping tra secondi vicini nullo (in quanto si
rimane in approssimazione tight binding a primi vicini). Le fasi di Peierls
utilizzate sono state calcolate in [3]. Per avere una hamiltoniana simmetrica
rispetto a traslazioni lungo la direzione longitudinale dei due ribbons sono
state prese allora due dierenti gauge di Landau: per zigzag nanoribbon il
campo è B = (0, 0, −B) e quindi A (y) = (−By, 0), mentre nel caso armchair B = (0, 0, B) e A (x) = (0, Bx). Di seguito riporto le espressioni delle
matrici hamiltoniane nei due casi:
18
Computazione e analisi dati
• Zigzag nanoribbons: la matrice hamiltoniana ha la seguente forma:


−∆ v1
 v1 +∆ 1





1 −∆ v3


H(0) = −t 
(4.5)

v
+∆
1
3




1 −∆ v5


...
dove vj = −2t cos
cella primitiva.
k
a
2
−
π φ
j
2 φ0
eφ=
√
3 2
aB
2
è il usso attraverso una
• Armchair nanoribbons


−∆ pr1∗ q ∗ s2

p∗ r1 +∆
0
qs∗2


∗
∗

 qs∗
0
+∆
p
r
qs
3
4

 2


q ∗ s2 pr3∗ −∆
0 q ∗ s4


∗
∗
∗


q
s
0
−∆
pr
q
s
4
6
H(0) = −t 
5

∗
∗ ∗
∗

qs
p
r
+∆
0
qs
4
5
6


0
+∆ p∗ r7 
qs∗6


∗
∗


−∆
q
s
pr
6
7


(4.6)
...
π
φ
π
φ
dove rj (φ) = e−i 3 j φ0 e sj (φ) = e−i 6 j φ0 .
Come si è proceduto nel caso φ/φ0 = 0, partendo dalla congurazione ∆ = 0,
si analizzano i ribbons facendo variare ∆, a numero di atomi ssato.
4.3.2
Analisi delle bande e della DOS
Con l'accensione del campo magnetico si osservano bande piatte, quindi
si ha la formazione dei livelli di Landau, e il centro di simmetria delle bande
stesse da k = 0 si sposta a k maggiori. Tale spostamento è uguale, a pari
larghezza del ribbon, quando si ha lo stesso valore del rapporto φ/φ0 . La
formazione del livelli di Landau interessa particolarmente solo ribbons con
una larghezza elevata; infatti nel caso W = 8 non si osservano tali livelli
energetici quantizzati, mentre nel caso W = 100 si ha una graduale comparsa
di questi all'aumentare del rapporto φ/φ0 . Tale comportamento è spiegato
dal fatto che nel limite termodinamico lo spettro degli elettroni 2pz del ribbon
soggetti all'azione del campo magnetico B approssima sempre meglio quello
4.3 Secondo caso: con campo magnetico
19
di elettroni liberi in due dimensioni nel piano xy soggetti allo stesso campo
perpendicolare al piano. La formazione di questi livelli quantizzati interessa,
all'aumentare graduale del campo, inizialmente la parte centrale dello spettro
(come si osserva in gura 2.7 e 2.9), per poi estendersi a tutto questo. Inoltre,
all'aumentare del rapporto φ/φ0 , la DOS tra un livello e il successivo va a
zero formando dei veri e propri livelli quantizzati. Se si osserva come si
modica la struttura delle bande si nota che, sia nel caso armchair che nel
caso zigzag, si ha un graduale appiattimento di queste e in corrispondenza
di tali bande piatte, che corrispondo ai livelli di Landau, la DOS presenta i
picchi relativi a tali livelli energetici.
Inoltre l'nergia dell'n-esimo livello di
√
Landau nel grafene va come la n, questo non si ha nel caso successivo del
nitruro di boro esagonale in presenza di campo magetico.
A questo punto si è posto ∆ = 1 per studiare i livelli di Landau nel caso del
BN. Se si confrontano le DOS di ribbons a ssato W e φ/φ0 con quelle con
∆ = 0 si osserva, soprattutto nella congurazione di ribbon con 200 atomi,
un inttimento di tali livelli per quelli vicini al gap e picchi laterali allo
stesso che corrispondo agli stati con energia in prossimità gap. La comparsa
dei livelli di Landau riguarda inizialmente i livelli con energia nell'intorno
del gap e successivamente si estende anche ai lati dello spettro. Inoltre se si
osservano le gure dalla 5.14 alla 5.22 e dalla 5.26 alla 5.31, che rappresentano
rispettivamente bande e densità degli stati di armchair e zigzag nanoribbons
in campo magnetico, con ∆ = 0 e con W = 100, e si confrontano con
quelle dalla 5.34 alla 5.39 e dalla 5.43 alla 5.46, che rappresentano anch'esse
rispettivamente le bande e la DOS dei due nastri in campo magnetico con
∆ = 1 e W = 100, si ha che nel primo caso i livelli di Landau iniziano prima
dei bordi dell'intervallo [−3, 3], mentre nel secondo caso iniziano fuori da tale
intervallo. Tale fatto corrispone, nel caso nel quale ∆ = 1, ad un band edge
maggiore di quello che si ha in assenza di gap. Inoltre il fatto che in assenza
di campo sul gap e sul band edge lo spettro sia quello di quello di particella
libera, e quindi si ha una DOS costante, si estende al caso nel quale si accende
il campo magnetico, infatti sul gap e sul band edge i livelli di Landau sono
quelli di particella libera e quindi la spaziatura tra un livello ed un altro è
costante e maggiore della spaziatura tra i livelli che si ha tra il band edge e
il gap, dove decresce passando dai bordi dello spettro a quelli del gap stesso,
per poi aumentare in prossimità del gap. Nella zona in cui la spaziatura è
minore non si hanno dei veri e propri livelli di energia quantizzati poichè la
DOS tra un livello ed un altro non va a zero come nel caso di particella libera.
20
Computazione e analisi dati
Capitolo 5
La matrice densità
5.1 Analisi teorica
Dato un cristallo con 2W siti, con un orbitale |χj i centrato su ognuno di
questi e tale che hχi |χj i = δij , si ha che gli orbitali molecolari sono dati dalla
seguente espressione, denita a meno di una normalizzazione:
(m)
φk
(x) ∝
2W X
N
X
ikxls
cm
χls (x) .
s (k) e
(5.1)
s=1 l=1
In tal espressione si stanno considerando le funzioni d'onda LCAO lungo la
direzione x, inoltre l è un'indice di cella, s di sito e m è un'indice di stato
o di banda. Ci sono W vettori d'onda k e questi sono dati dalla seguente
relazione:
2π j
(5.2)
kj =
a 2W
dove a è il passo reticolare e j = 0, 1, ..., 2W − 1. La matrice densità è data
dalla somma dei proiettori sugli stati |φ(m)
k i e sui k permessi:
ρ=
2W
−1 X
2W
X
(m)
(m)
n(m) |φk i hφk |
(5.3)
k=0 m=1
dove n(m) rappresenta l'occupanza dell'orbitale |φ(m)
k i. In questa analisi si
(m)
considera un sistema spinless, quindi n = 1 ∀m occupato e n(m) = 0 per
le bande non occupate. Quindi sostituendo nella espressione precedente la
22
La matrice densità
relazione 3.1 si ottiene:
ρ∝
2W
−1 X
2W
X
k=0 m=1
n(m)
2W X
N
X
∗
(m)
cs0 (k) c(m)
(k) eik(xl0 s0 −xls ) χl0 s0 (x) χ∗ls (x) .
s
s,s0 =1 l,l0 =1
(5.4)
Gli elementi diagonali, per i quali hχl0 s0 |χls i = δll0 δss0 , rappresentano la
densità di carica degli orbitali π centrati su ogni sito, allora:
n (x) ∝
2W
−1 X
2W
X
n
(m)
k=0 m=1
2W X
N
X
(m) 2 2
cs χls (x)
(5.5)
s=1 l=1
quindi prendendo orbitali atomici ortonormali e considerando la sola cella
unitaria, la densità lungo la direzione x del nastro diventa:
n (x) ∝
2W
2W
−1 X
X
k=0 m=1
n
(m)
2W
X
(m) 2
cs .
(5.6)
s=1
La costante di normalizzazione nella simulazione eettuata è stata determinata a ne calcolo degli elementi diagonali della matrice densità.
5.2 Calcolo della densità di carica
Nella simulazione realizzata si sono considerati i due dierenti nastri:
armchair e zigzag del BN. Si ha quindi che questi ribbons sono composti da
2W siti atomici e inoltre che questi sistemi sono half-lling. Questa ultima
constatazione deriva dal fatto che in tali sistemi c'è un elettrone per orbitale,
quindi nel caso speciale ∆ = 0 la densità di carica verrà normalizzata in
modo che sui siti faccia 1/2 e in modo tale che nel caso ∆ 6= 0 la somma su
anione e catione faccia 1 (un maggior contributo alla densità di carica si avrà
sul catione e uno minore sull'anione). Inoltre nel caso ∆ = 0 per gli stati
degeneri al livello di Fermi, cioè quegli stati con energie che dieriscono di
10−8 tra loro, vengono occupati ciascuno con una occupanza pari ad 1/2. Nel
caso ∆ 6= 0, cioè nel caso del BN, non si presentano questi stati poichè c'è il
gap e quindi in tale congurazione non si è ricorso a questo procedimento.
Nella realizzazione dei graci della densità di carica si è partito considerando
il caso ∆ = 0. Sia per armchair che per zigzag nanoribbons il plot della densità di carica rispetto ai siti atomici presenta una densità di carica costante
su tutti i siti e normlizzata a 0.5, questo è in accordo con quanto ci si aspetta
5.2 Calcolo della densità di carica
23
nel caso del grafene. I plot fatti riguardano nastri da W = 100. Inoltre la
densità di carica è perfettamente simmetrica nei due nastri rispetto al centro,
ciò è concorde col fatto che i due ribbons presentano tale simmetria. Successivamente si è passati al caso ∆ 6= 0, cioè al caso del BN, nel quale non si
presentano stati degeneri al livello di Fermi poichè c'è il gap e quindi in tale
congurazione non si è ricorso al procedimento dell'occupazione frazionaria.
Dall'analisi della densità di carica dei due ribbons plottate in funzione dei
siti atomici si osserva che: per zigzag nanoribbon la carica sui siti è circa 0.8
sul catione e 0.2 sull'anione: ciò è concorde con la normalizzazione eettuata (gura 5.49); per armchair come in zigzag, ma in questo caso si nota la
dierente distribuzione di carica che si ha in questo nastro. Infatti si notano valori della densità disposti a coppie: ciò è concorde con la numerazione
dei siti(gura 2.1) poichè cationi e anioni si dispongono a coppie contigue
nella numerazione stessa dei siti. La densità di armchair nanoribbon nella congurazione del BN è simmetrica rispetto alla metà del nastro, infatti
qualsiasi larghezza si scelga esso è sempre simmetrico rispetto al centro. Nel
caso del zigzag nanoribbon nella congurazione del BN è polare per nastri
stretti, come per esempio nel caso W = 1 e W = 2, poichè è composto da
un bordo tutto di anioni e uno tutto di cationi, quindi si ha la formazione di
un dipolo estensivo netto non nullo. Il fatto che il nastro sia polare rompe
la simmetria della densità di carica che si ha con nastri larghi, in quanto
con nastri stretti si hanno accumuli di carica positiva e negativa a formare
il dipolo; con l'aumento della larghezza del nastro non c'è più polarità e la
distribuzione di carica è simmetrica rispetto al centro del nastro. Questi due
fatti sono evidenti dall'analisi di nastri stretti sia per armchair che per zigzag
nanoribbon: infatti se si osserva la gura 5.50 nel caso W = 2 si nota che la
densità di carica non è più simmetrica come nel caso 100 e 200, e la carica
positiva è concentrata maggiormente sul sito 3 mentre quella negativa sul
sito 2 determinando la formazione di un dipolo netto non nullo che punta
dall'anione al catione, creando così la congurazione di nastro polare.
24
La matrice densità
Elenco delle gure
1.1 In (a) reticolo diretto del grafene con vettori primitivi a1 e a2 ,
vettori di base b1 e b2 e vettori ai siti primi vicini n1 e n2 . In
0
(b) struttura delle bande π per il grafene. In questo caso t
non è nullo: ciò determina la asimmetria delle bande intorno
allo zero. In (b) viene rappresentata la prima BZ. . . . . . . .
1.2 Zigzag e armchair nanoribbons . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
5.13
5.14
5.15
5.16
5.17
5.18
5.19
5.20
5.21
5.22
5.23
armchair con W = 7, ∆ = 0 e campo nullo . . . . . . . . . .
armchair con W = 8, ∆ = 0 e campo nullo . . . . . . . . . .
armchair 16 bande con W = 100, ∆ = 0 e campo nullo . . .
zigzag con W = 8, ∆ = 0 e campo nullo . . . . . . . . . . .
zigzag 16 bande con W = 100, ∆ = 0 e campo nullo . . . . .
Spettro completo nel caso armchair e zigzag con W = 100 con
∆ = 0 e campo nullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
armchair con W = 8, ∆ = 1 e campo nullo . . . . . . . . . .
armchair con W = 100, ∆ = 1 e campo nullo. . . . . . . . .
zigzag con W = 8, ∆ = 1 e campo nullo . . . . . . . . . . .
zigzag 16 bande con W = 100, ∆ = 1 e campo nullo . . . . .
armchair con W = 8, ∆ = 0 e φ/φ0 = 5/1000 . . . . . . . . .
armchair con W = 8, ∆ = 0 e φ/φ0 = 15/1000 . . . . . . . .
armchair con W = 8, ∆ = 0 e φ/φ0 = 50/1000 . . . . . . . .
armchair 16 bande con W = 100, ∆ = 0 e φ/φ0 = 2/1000 . .
armchair 16 bande con W = 100, ∆ = 0 e φ/φ0 = 3/1000 . .
armchair 16 bande con W = 100, ∆ = 0 e φ/φ0 = 4/1000 . .
armchair 16 bande con W = 100, ∆ = 0 e φ/φ0 = 5/1000 . .
armchair 16 bande con W = 100, ∆ = 0 e φ/φ0 = 10/1000 .
armchair 16 bande con W = 100, ∆ = 0 e φ/φ0 = 15/1000 .
armchair 16 bande con W = 100, ∆ = 0 e φ/φ0 = 20/1000 .
armchair 16 bande con W = 100, ∆ = 0 e φ/φ0 = 25/1000 .
armchair 16 bande con W = 100, ∆ = 0 e φ/φ0 = 50/1000 .
zigzag con W = 8, ∆ = 0 e φ/φ0 = 5/1000 . . . . . . . . . .
3
4
.
.
.
.
.
27
27
27
28
28
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
28
29
29
29
30
31
31
31
32
32
32
33
33
33
34
34
34
35
26
ELENCO DELLE FIGURE
5.24
5.25
5.26
5.27
5.28
5.29
5.30
5.31
5.32
5.33
5.34
5.35
5.36
5.37
5.38
5.39
5.40
5.41
5.42
5.43
5.44
5.45
5.46
5.47
zigzag con W = 8, ∆ = 0 e φ/φ0 = 15/1000 . . . . . . . . . .
zigzag con W = 8, ∆ = 0 e φ/φ0 = 50/1000 . . . . . . . . . .
zigzag 16 bande con W = 100, ∆ = 0 e φ/φ0 = 2/1000 . . . .
zigzag 16 bande con W = 100, ∆ = 0 e φ/φ0 = 5/1000 . . . .
zigzag 16 bande con W = 100, ∆ = 0 e φ/φ0 = 10/1000 . . . .
zigzag 16 bande con W = 100, ∆ = 0 e φ/φ0 = 15/1000 . . . .
zigzag 16 bande con W = 100, ∆ = 0 e φ/φ0 = 20/1000 . . . .
zigzag 16 bande con W = 100, ∆ = 0 e φ/φ0 = 25/1000 . . . .
armchair con W = 8, ∆ = 1 e φ/φ0 = 1/1000 . . . . . . . . . .
armchair con W = 8, ∆ = 1 e φ/φ0 = 50/1000 . . . . . . . . .
armchair con W = 100, ∆ = 1 e φ/φ0 = 2/1000 . . . . . . . .
armchair con W = 100, ∆ = 1 e φ/φ0 = 5/1000 . . . . . . . .
armchair con W = 100, ∆ = 1 e φ/φ0 = 10/1000 . . . . . . . .
armchair con W = 100, ∆ = 1 e φ/φ0 = 20/1000 . . . . . . . .
armchair con W = 100, ∆ = 1 e φ/φ0 = 25/1000 . . . . . . . .
armchair con W = 100, ∆ = 1 e φ/φ0 = 50/1000 . . . . . . . .
zigzag con W = 8, ∆ = 1 e φ/φ0 = 5/1000 . . . . . . . . . . .
zigzag con W = 8, ∆ = 1 e φ/φ0 = 50/1000 . . . . . . . . . .
zigzag 16 bande con W = 100, ∆ = 1 e φ/φ0 = 2/1000 . . . .
zigzag 16 bande con W = 100, ∆ = 1 e φ/φ0 = 5/1000 . . . .
zigzag 16 bande con W = 100, ∆ = 1 e φ/φ0 = 10/1000 . . . .
zigzag 16 bande con W = 100, ∆ = 1 e φ/φ0 = 20/1000 . . . .
zigzag 16 bande con W = 100, ∆ = 1 e φ/φ0 = 25/1000 . . . .
Densità di carica armchair nanoribbon con W = 100, ∆ pari
a 0 e 1 rispettivamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.48 Densità di carica di armchair nanoribbon con W = 50 e 2, con
∆=1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.49 Densità di carica armchair nanoribbon con W = 100, ∆ pari
a 0 e 1 rispettivamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.50 Densità di carica zigzag nanoribbon con W = 50, 2 e 1, ∆ = 1
35
35
36
36
36
37
37
37
38
38
38
39
39
39
40
40
40
41
41
41
42
42
42
43
43
43
44
ELENCO DELLE FIGURE
27
3
7000
6000
2
5000
D(E)
E
1
0
4000
3000
-1
2000
-2
1000
-3
-0.6
0
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
-3
-2
-1
k
0
1
2
3
1
2
3
1
2
3
E
Figura 5.1: armchair con W = 7, ∆ = 0 e campo nullo
3
160
140
2
120
100
D(E)
E
1
0
80
60
-1
40
-2
20
-3
0
-1
-0.5
0
0.5
1
-3
-2
-1
k
0
E
Figura 5.2: armchair con W = 8, ∆ = 0 e campo nullo
1.5
100
90
1
80
70
0.5
D(E)
E
60
0
50
40
-0.5
30
20
-1
10
-1.5
0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
k
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-3
-2
-1
0
E
Figura 5.3: armchair 16 bande con W = 100, ∆ = 0 e campo nullo
28
ELENCO DELLE FIGURE
3
250
2
200
1
D(E)
E
150
0
100
-1
50
-2
-3
0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-3
-2
-1
0
k
1
2
3
1
2
3
E
Figura 5.4: zigzag con W = 8, ∆ = 0 e campo nullo
120
1
100
0.5
80
D(E)
1.5
E
0
60
-0.5
40
-1
20
-1.5
0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-3
-2
-1
0
k
E
3
3
2
2
1
1
0
0
E
E
Figura 5.5: zigzag 16 bande con W = 100, ∆ = 0 e campo nullo
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
k
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
k
Figura 5.6: Spettro completo nel caso armchair e zigzag con W = 100 con
∆ = 0 e campo nullo
1.5
2
ELENCO DELLE FIGURE
29
4
450
3
400
350
2
300
D(E)
E
1
0
-1
250
200
150
-2
100
-3
50
-4
0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-4
-3
-2
-1
k
0
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
E
Figura 5.7: armchair con W = 8, ∆ = 1 e campo nullo
4
140
3
120
2
100
D(E)
E
1
0
80
60
-1
40
-2
20
-3
-4
0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-4
-3
-2
-1
k
0
E
Figura 5.8: armchair con W = 100, ∆ = 1 e campo nullo.
4
180
3
160
140
2
120
D(E)
E
1
0
-1
100
80
60
-2
40
-3
20
-4
0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-4
-3
-2
-1
k
Figura 5.9: zigzag con W = 8, ∆ = 1 e campo nullo
0
E
30
ELENCO DELLE FIGURE
1.5
140
120
1
100
D(E)
E
0.5
0
80
60
-0.5
40
-1
20
-1.5
0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
k
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-4
-3
-2
-1
0
1
E
Figura 5.10: zigzag 16 bande con W = 100, ∆ = 1 e campo nullo
2
3
4
ELENCO DELLE FIGURE
31
3
160
140
2
120
100
0
E
E
1
80
60
-1
40
-2
20
-3
0
-1
-0.5
0
0.5
1
-3
-2
-1
k
0
1
2
3
1
2
3
1
2
3
k
Figura 5.11: armchair con W = 8, ∆ = 0 e φ/φ0 = 5/1000
3
160
140
2
120
100
0
E
E
1
80
60
-1
40
-2
20
-3
0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-3
-2
-1
k
0
k
Figura 5.12: armchair con W = 8, ∆ = 0 e φ/φ0 = 15/1000
3
180
160
2
140
120
D(E)
E
1
0
-1
100
80
60
40
-2
20
-3
0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
k
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-3
-2
-1
0
E
Figura 5.13: armchair con W = 8, ∆ = 0 e φ/φ0 = 50/1000
ELENCO DELLE FIGURE
1
100
0.8
90
0.6
80
0.4
70
0.2
60
D(E)
E
32
0
50
-0.2
40
-0.4
30
-0.6
20
-0.8
10
-1
0
-1
-0.5
0
0.5
1
-3
-2
-1
k
0
1
2
3
2
3
2
3
E
1
100
0.8
90
0.6
80
0.4
70
0.2
60
D(E)
E
Figura 5.14: armchair 16 bande con W = 100, ∆ = 0 e φ/φ0 = 2/1000
0
50
-0.2
40
-0.4
30
-0.6
20
-0.8
10
-1
0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-3
-2
-1
k
0
1
E
Figura 5.15: armchair 16 bande con W = 100, ∆ = 0 e φ/φ0 = 3/1000
0.8
100
90
0.6
80
0.4
70
60
D(E)
E
0.2
0
50
40
-0.2
30
-0.4
20
-0.6
10
-0.8
0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
k
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-3
-2
-1
0
1
E
Figura 5.16: armchair 16 bande con W = 100, ∆ = 0 e φ/φ0 = 4/1000
ELENCO DELLE FIGURE
33
0.6
100
90
0.4
80
0.2
70
60
E
D(E)
0
-0.2
50
40
30
-0.4
20
-0.6
10
-0.8
0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-3
-2
-1
k
0
1
2
3
2
3
2
3
E
0.8
160
0.6
140
0.4
120
0.2
100
D(E)
E
Figura 5.17: armchair 16 bande con W = 100, ∆ = 0 e φ/φ0 = 5/1000
0
80
-0.2
60
-0.4
40
-0.6
20
-0.8
0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-3
-2
-1
k
0
1
E
Figura 5.18: armchair 16 bande con W = 100, ∆ = 0 e φ/φ0 = 10/1000
0.6
250
0.4
200
0.2
D(E)
E
150
0
100
-0.2
50
-0.4
-0.6
0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
k
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-3
-2
-1
0
1
E
Figura 5.19: armchair 16 bande con W = 100, ∆ = 0 e φ/φ0 = 15/1000
34
ELENCO DELLE FIGURE
0.8
350
0.6
300
0.4
250
D(E)
E
0.2
0
200
150
-0.2
100
-0.4
50
-0.6
-0.8
0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-3
-2
-1
k
0
1
2
3
2
3
2
3
E
0.8
400
0.6
350
0.4
300
0.2
250
D(E)
E
Figura 5.20: armchair 16 bande con W = 100, ∆ = 0 e φ/φ0 = 20/1000
0
200
-0.2
150
-0.4
100
-0.6
50
-0.8
0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-3
-2
-1
k
0
1
E
Figura 5.21: armchair 16 bande con W = 100, ∆ = 0 e φ/φ0 = 25/1000
0.8
450
0.6
400
350
0.4
300
D(E)
E
0.2
0
-0.2
250
200
150
-0.4
100
-0.6
50
-0.8
0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
k
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-3
-2
-1
0
1
E
Figura 5.22: armchair 16 bande con W = 100, ∆ = 0 e φ/φ0 = 50/1000
ELENCO DELLE FIGURE
35
3
250
2
200
1
D(E)
E
150
0
100
-1
50
-2
-3
0
-1
-0.5
0
0.5
1
-3
-2
-1
k
0
1
2
3
1
2
3
1
2
3
E
3
300
2
250
1
200
D(E)
E
Figura 5.23: zigzag con W = 8, ∆ = 0 e φ/φ0 = 5/1000
0
150
-1
100
-2
50
-3
0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-3
-2
-1
k
0
E
Figura 5.24: zigzag con W = 8, ∆ = 0 e φ/φ0 = 15/1000
3
250
2
200
1
D(E)
E
150
0
100
-1
50
-2
-3
0
-1
-0.5
0
k
0.5
1
-3
-2
-1
0
E
Figura 5.25: zigzag con W = 8, ∆ = 0 e φ/φ0 = 50/1000
ELENCO DELLE FIGURE
1
100
0.8
90
0.6
80
0.4
70
0.2
60
D(E)
E
36
0
50
-0.2
40
-0.4
30
-0.6
20
-0.8
10
-1
0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-3
-2
-1
k
0
1
2
3
2
3
2
3
E
Figura 5.26: zigzag 16 bande con W = 100, ∆ = 0 e φ/φ0 = 2/1000
0.8
110
100
0.6
80
0.2
70
D(E)
E
90
0.4
0
60
50
-0.2
40
-0.4
30
20
-0.6
10
-0.8
0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-3
-2
-1
k
0
1
E
Figura 5.27: zigzag 16 bande con W = 100, ∆ = 0 e φ/φ0 = 5/1000
0.8
200
180
0.6
160
0.4
140
120
D(E)
E
0.2
0
100
80
-0.2
60
-0.4
40
-0.6
20
-0.8
0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
k
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-3
-2
-1
0
1
E
Figura 5.28: zigzag 16 bande con W = 100, ∆ = 0 e φ/φ0 = 10/1000
37
0.6
300
0.4
250
0.2
200
D(E)
E
ELENCO DELLE FIGURE
0
150
-0.2
100
-0.4
50
-0.6
0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-3
-2
-1
k
0
1
2
3
2
3
2
3
E
0.8
400
0.6
350
0.4
300
0.2
250
D(E)
E
Figura 5.29: zigzag 16 bande con W = 100, ∆ = 0 e φ/φ0 = 15/1000
0
200
-0.2
150
-0.4
100
-0.6
50
-0.8
0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-3
-2
-1
k
0
1
E
Figura 5.30: zigzag 16 bande con W = 100, ∆ = 0 e φ/φ0 = 20/1000
0.8
450
0.6
400
350
0.4
300
D(E)
E
0.2
0
-0.2
250
200
150
-0.4
100
-0.6
50
-0.8
0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
k
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-3
-2
-1
0
1
E
Figura 5.31: zigzag 16 bande con W = 100, ∆ = 0 e φ/φ0 = 25/1000
38
ELENCO DELLE FIGURE
4
450
3
400
350
2
300
D(E)
E
1
0
-1
250
200
150
-2
100
-3
50
-4
0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-4
-3
-2
-1
k
0
1
2
3
4
E
Figura 5.32: armchair con W = 8, ∆ = 1 e φ/φ0 = 1/1000
3
140
120
2
100
D(E)
E
1
0
80
60
-1
40
-2
20
-3
0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-3
-2
-1
0
k
1
2
3
E
Figura 5.33: armchair con W = 8, ∆ = 1 e φ/φ0 = 50/1000
4
140
3
120
2
100
D(E)
E
1
0
80
60
-1
40
-2
20
-3
-4
0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
k
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-4
-3
-2
-1
0
E
Figura 5.34: armchair con W = 100, ∆ = 1 e φ/φ0 = 2/1000
1
2
3
4
ELENCO DELLE FIGURE
39
4
140
3
120
2
100
D(E)
E
1
0
80
60
-1
40
-2
20
-3
-4
0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-4
-3
-2
-1
k
0
1
2
3
4
1
2
3
4
2
3
4
E
4
160
3
140
2
120
1
100
D(E)
E
Figura 5.35: armchair con W = 100, ∆ = 1 e φ/φ0 = 5/1000
0
80
-1
60
-2
40
-3
20
-4
0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-4
-3
-2
-1
k
0
E
Figura 5.36: armchair con W = 100, ∆ = 1 e φ/φ0 = 10/1000
4
350
3
300
2
250
D(E)
E
1
0
200
150
-1
100
-2
50
-3
-4
0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
k
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-4
-3
-2
-1
0
1
E
Figura 5.37: armchair con W = 100, ∆ = 1 e φ/φ0 = 20/1000
ELENCO DELLE FIGURE
4
400
3
350
2
300
1
250
D(E)
E
40
0
200
-1
150
-2
100
-3
50
-4
0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-4
-3
-2
-1
k
0
1
2
3
4
E
Figura 5.38: armchair con W = 100, ∆ = 1 e φ/φ0 = 25/1000
3
450
400
2
350
300
D(E)
E
1
0
-1
250
200
150
100
-2
50
-3
0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-3
-2
-1
0
k
1
2
3
E
Figura 5.39: armchair con W = 100, ∆ = 1 e φ/φ0 = 50/1000
4
180
3
160
140
2
120
D(E)
E
1
0
-1
100
80
60
-2
40
-3
20
-4
0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
k
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-4
-3
-2
-1
0
E
Figura 5.40: zigzag con W = 8, ∆ = 1 e φ/φ0 = 5/1000
1
2
3
4
ELENCO DELLE FIGURE
41
3
450
400
2
350
300
D(E)
E
1
0
-1
250
200
150
100
-2
50
-3
0
-1
-0.5
0
0.5
1
-3
-2
-1
0
k
1
2
3
E
Figura 5.41: zigzag con W = 8, ∆ = 1 e φ/φ0 = 50/1000
1.5
140
120
1
100
D(E)
E
0.5
0
80
60
-0.5
40
-1
20
-1.5
0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-4
-3
-2
-1
k
0
1
2
3
4
2
3
4
E
Figura 5.42: zigzag 16 bande con W = 100, ∆ = 1 e φ/φ0 = 2/1000
1.5
140
120
1
100
D(E)
E
0.5
0
80
60
-0.5
40
-1
20
-1.5
0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
k
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-4
-3
-2
-1
0
1
E
Figura 5.43: zigzag 16 bande con W = 100, ∆ = 1 e φ/φ0 = 5/1000
42
ELENCO DELLE FIGURE
1.5
180
160
1
140
0.5
120
E
E
100
0
80
-0.5
60
40
-1
20
-1.5
0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-4
-3
-2
-1
k
0
1
2
3
4
2
3
4
2
3
4
k
Figura 5.44: zigzag 16 bande con W = 100, ∆ = 1 e φ/φ0 = 10/1000
1.5
350
300
1
250
0.5
E
E
200
0
150
-0.5
100
-1
50
-1.5
0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-4
-3
-2
-1
k
0
1
k
Figura 5.45: zigzag 16 bande con W = 100, ∆ = 1 e φ/φ0 = 20/1000
1.5
400
350
1
300
250
0
E
E
0.5
200
150
-0.5
100
-1
50
-1.5
0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
k
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-4
-3
-2
-1
0
1
k
Figura 5.46: zigzag 16 bande con W = 100, ∆ = 1 e φ/φ0 = 25/1000
ELENCO DELLE FIGURE
43
0.506
0.9
0.8
0.504
0.7
0.6
densita'
densita'
0.502
0.5
0.5
0.4
0.498
0.3
0.496
0.2
0.494
0.1
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0
20
40
60
80
sito
100
120
140
160
180
200
sito
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
densita'
densita'
Figura 5.47: Densità di carica armchair nanoribbon con W = 100, ∆ pari a
0 e 1 rispettivamente
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
1
2
sito
3
4
5
sito
Figura 5.48: Densità di carica di armchair nanoribbon con W = 50 e 2, con
∆=1
0.506
0.9
0.8
0.504
0.7
densita'
densita'
0.502
0.5
0.6
0.5
0.498
0.4
0.496
0.3
0.494
0.2
0
20
40
60
80
100
sito
120
140
160
180
200
0
20
40
60
80
100
120
140
160
sito
Figura 5.49: Densità di carica armchair nanoribbon con W = 100, ∆ pari a
0 e 1 rispettivamente
180
200
ELENCO DELLE FIGURE
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
densita'
densia'
44
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
1
2
sito
3
4
sito
0.9
0.8
0.7
densita'
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
sito
Figura 5.50: Densità di carica zigzag nanoribbon con W = 50, 2 e 1, ∆ = 1
5
Bibliograa
[1] K. S. Novoselov, A. K. Geim, S. V. Morozov, D. Jiang, Y. Zhang, S. V.
Dubonos, I. V. Grigorieva, A. A. Firsov, Electric Field Eect in Atomically Thin Carbon Films, Science, vol. 306, 5696, 666-669, 2004, American
Association for the Advancement of Science
[2] A. H. Castro Neto, F. Guinea, N. M. R. Peres, K. S. Novoselov, and A. K.
Geim, The electronic properties of graphene, Reviews of modern physics,
81, 1, 109, 2009, APS
[3] M. D. Bò, Nastri di grafene: simulazioni con campo magnetico e
disordine,unpublished
[4] P. R. Wallace, The Band Theory of Graphite, Physical Review, 71, 9,
622, 1947, APS
[5] C. Kittel, Introduction to solid state physics, 2005, Wiley
[6] Ashcroft Neil W., Mermin N. David, Solid State Physics, Saunders
Philadelphia, 293, 1976
[7] R. Resta, Geometry and Topology in Electronic Structure Theory, Appunti del corso 'Geometria e Topologia in Struttura Elettronica' tenuto
presso l'Università degli Studi di Trieste, 2015
[8] http://www.netlib.org/lapack/
[9] http://www.netlib.org/blas/