(Lezione 7 studio di funzione

Le funzioni
Dominio
• Funzione intera
• Funzione fratta
intero asse reale
escludo i valori che
annullano il denominatore
• Funzione irrazionale
radicando positivo o
(con indice pari)
• Funzione logaritmica
argomento
positivo
Esempi di calcolo di dominio
Trova il dominio della seguente funzione :
x -1
x2 − 4
In questo caso il dominio è dato da tutti i numeri reali
y=
x -1
≥ 0. Infatti il radicando di una
2
x −4
radice di indice pari deve essere ≥ 0.
che rendono
Bisogna quindi risolvere una disequazione fratta, le sue
soluzioni sono il dominio della funzione.
Le soluzioni, in questo caso, sono date dagli intervalli :
- 2 < x ≤ 1 ed x > 2.
Il primo è limitato, aperto a sinistra , chiuso a destra.
Il secondo limitato, aperto a sinistra, illimitato a destra.
Tali intervalli sono il campo di esistenza della funzione.
Trova il dominio della seguente funzione :
x+1
y = log
x −9
In questo caso il dominio è dato da tutti i numeri reali
x+1
che rendono
> 0. Infatti l' argomento di un
x −9
logaritmo può essere solo positivo ( > 0).
Bisogna quindi risolvere una disequazione fratta, le sue
soluzioni sono il dominio della funzione.
Le sue soluzioni, in questo caso, sono date dagli intervalli :
- 3 < x < −1 ed x > 3.
Il primo è limitato, aperto a sinistra ed a destra.
Il secondo limitato, aperto a sinistra, illimitato a destra.
2
2
Tali intervalli sono il campo di esistenza della funzione.
Intersezione con gli assi
• Devo risolvere un sistema di equazioni
• L’intersezione con asse x deve essere sempre
svolta
• L’intersezione con asse y deve essere svolto
solo se tale asse appartiene al dominio e se
l’intersezione con l’asse x non coincide con
l’origine degli assi
Segno della funzione
• Si deve porre la funzione maggiore di 0 (devo
risolvere una disequazione)
- Se la funzione è fratta N e D positivi e grafico
con i tratteggi
- Se la funzione è logaritmica 0=log1 (quando la
base è compresa tra 0 e 1 per passare agli
argomenti > diventa <)
- Se la funzione è irrazionale (indice pari) o
esponenziale nel relativo dominio è sempre
positiva
Segno di una funzione
• Dove la funzione è positiva il suo grafico è nel
primo o secondo quadrante
• Dove la funzione è negativa il suo grafico è nel
terzo o quarto quadrante
Limiti agli estremi del dominio
• Mi permettono di capire l’andamento del
grafico agli estremi del dominio
• Mi permettono di determinare eventuali
presenze di asintoti
Asintoti
Asintoti verticali
• Se il dominio della funzione è del tipo
R-{a, b, c,…}
bisogna calcolare il limite di f(x) per x→a.
• Se questo limite è infinito allora c’è l’asintoto
verticale di equazione x=a.
• Si ripete il calcolo per gli altri punti b, c, … nei
quali la funzione non è definita.
Asintoti
• Si procede in modo analogo se il dominio di
f(x) è un’unione di intervalli e in qualche
estremo inferiore o superiore di tali intervalli
la funzione non è definita.
Asintoti
Asintoti orizzontali
• Se il limite di f(x), per x →+∞, è il numero
finito l, allora c’è l’asintoto orizzontale di
equazione
y=l.
• Se tale limite è invece infinito si passa
all’esame dell’eventuale asintoto obliquo.
• Analogamente per x → -∞.
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Asintoti
Asintoti obliqui
• Se il limite di f(x)/ x, per x →+∞, è infinito
non c’è neppure l’asintoto obliquo.
• Se invece tale limite è il numero finito m
allora si calcola il limite di f(x)–mx. Solo se
anche questo limite è un numero finito q
possiamo dire che esiste, per x →+∞, un
asintoto obliquo. La sua equazione è
y=mx+q.
• Analogamente per x →-∞.
Derivata 1°
• Determino la derivata della funzione
• Pongo la derivata uguale a 0. Le soluzioni di
tale equazioni saranno le ascisse dei possibili
max e minimi della funzione
• Pongo la derivata positiva. Nell’intervallo in
cui la derivata è positiva il grafico della
funzione è crescente
Minimi e massimi relativi
• Se per x<a la funzione è crescente (= derivata
positiva) e per x>a la funzione è decrescente
(= derivata negativa), allora in x=a c’è un
punto di massimo relativo.
• Se invece la decrescenza (= derivata negativa)
precede la crescenza (derivata positiva), allora
x=a è un punto di minimo relativo.
Minimi e massimi relativi
• Si calcola infine il valore del minimo o
massimo trovato sostituendo il numero reale
a alla variabile x nell’espressione della
funzione.
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Minimi e massimi relativi
Metodo alternativo
• Se f(x) è dotata di f’(x) e f”(x) continue in a,
allora la funzione ha un minimo relativo nel
punto considerato se
f’(a) = 0 e f”(a)>0.
• Se si verifica invece
f’(a)=0 e f”(a)<0
la funzione ha un massimo relativo in a.
Derivata 2°
• Calcolo la derivata della derivata
• Pongo la derivata = 0
• La soluzione dell’equazione che si ottiene
ponendo la derivata seconda nulla è l’ascissa
del punto in cui cambia la concavità (= punto
di flesso)
• Pongo la derivata seconda positiva
• Dove la derivata seconda risulta positiva la
concavità del grafico della funzione risulta
verso l’alto.
Punti di flesso
Primo metodo
• Se in x=a si ha il passaggio dalla concavità alla
convessità e a appartiene al dominio allora in
tale punto si ha un flesso discendente.
• Se invece la convessità precede la concavità
allora si ha un flesso ascendente.
Punti di flesso
Secondo metodo
Si determinano le radici a dell’equazione
f”(x)=0.
• Si ha un flesso in x=a solo se la prima
derivata, successiva alla seconda, che non
si annulla in a è di ordine dispari. In tal caso
se in a si annulla la derivata prima il flesso
è a tangente orizzontale.
• Altrimenti è un flesso a tangente obliqua.
Grafico finale
• Consiglio : “compilare” il grafico man mano
che si determinano informazioni sul
comportamento della funzione !!!
Esempio:
Funzione razionale fratta
x −4
y=
( x − 1)
2
2
Dominio
∀x ≠ 1
x −4
y = 0:
= o; x = −2, x = +2; B (−2,0), C (+2,0)
( x − 1)
2
Intersezioni asse x
2
Intersezione asse y
x = 0 : y = −4; A(0,−4)
Segno della funzione
x −4
y = f ( x) =
≥ 0 : x ≤ −2, x ≥ +2
( x − 1)
2
2
•
Calcolo limiti in estremi C.E.
x2 − 4
lim( x → −∞)[
] = +1
2
( x − 1)
x2 − 4
lim( x → +1 )[
] = −∞
( x − 1) 2
−
x2 − 4
lim( x → +∞)[
] = +1
( x − 1) 2
x2 − 4
lim( x → +1 )[
] = −∞
( x − 1) 2
+
Calcolo derivata prima
− 2 ⋅ x + 10 ⋅ x − 8
y′ =
( x − 1)
2
4
Pongo derivata prima = 0 e risolvo equazione trovata
− 2 ⋅ x 2 + 10 ⋅ x − 8
y′ =
=0
( x − 1) 4
Pongo derivata prima > 0 e risolvo disequazione trovata
− 2 ⋅ x + 10 ⋅ x − 8
y′ =
≥ 0 :1 < x ≤ 4
( x − 1)
2
4
La funzione è crescente per: 1<x<4
X=1 non è accettabile perché non appartiene al dominio (né della
funzione né della derivata)
X=4 è x del massimo
Calcolo f(4)
f(4)=4/3
Calcolo derivata seconda
2 ⋅ x − 13 ⋅ x + 11
y′′ =
( x − 1)
2
5
Studio segno derivata seconda
2 ⋅ x − 13 ⋅ x + 11
y′′ =
≥0
( x − 1)
2
5
Concavità verso l’alto e verso il basso
La funzione ha la concavità verso l’alto
per:x>11/2, verso il basso per: x<4 ma
Punti di flesso:c’è un punto di
flesso per x=11/2
Grafico della funzione:
x2 − 4
y=
( x − 1)2
(fare clic per visualizzare gli elementi)
X=+1
 4
M r  4, 
 3
Y=+1
Flesso
B(-2,0)
A(0,-4)
C(+2,0)