Unità di misura e calcolo dimensionale

Università degli Studi di Milano
Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali
Corsi di Laurea in: Informatica ed Informatica per le Telecomunicazioni
Anno accademico 2011/12, Laurea Triennale, Edizione diurna
FISICA
Lezione n. 1 (4 ore)
Unità di misura e calcolo dimensionale
Carlo Pagani (A-G) & Flavia Maria Groppi (H-Z)
Dipartimento di Fisica – Laboratorio LASA
Via F.lli Cervi 201, 20090 Segrate (Milano)
web page: http://wwwsrf.mi.infn.it/Members/pagani
e-mail: [email protected] & [email protected]
Schema del corso
Lezioni: 12 settimane, in ognuna delle quali si tengono due ore di lezione e
due ore di esercizi (parte integrante delle lezioni, con la finalità non solo di
preparare allo scritto d’esame ma di formare al “problem solving”).
Argomenti delle 12 unità (ogni settimana un argomento con esempi):
Unità di misura e calcolo dimensionale.
Sistemi di coordinate, vettori e calcolo vettoriale.
Cinematica in una dimensione, 1D.
Leggi di Newton - Piano inclinato - Attrito.
Moti in due dimensioni, 2D - Quantità di moto e impulso.
Lavoro ed energia (cinetica, potenziale gravitazionale ed elastica).
Statica e dinamica dei fluidi.
Termologia, calorimetria e 1° principio della termodinamica.
Trasformazioni, legge dei gas perfetti e teoria cinetica
Forze elettriche, campi e potenziale elettrostatico.
Capacità, resistenza, legge di Ohm e circuiti RC.
Campo magnetico e forza di Lorentz - Induzione elettromagnetica.
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica – Lez. 1 - 2011-12
Orario, testi di riferimento, esame
I due corsi diurni vanno, per quanto possibile, in parallelo.
Lunedì 10.30-12.30 e mercoledì 8.30-10.30.
Tutoraggio: supporto alla soluzione dei problemi con diretta
partecipazione degli studenti: venerdì 8:30-10:30
David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker. Fondamenti di Fisica
(Casa Editrice Ambrosiana).
Jewett & Serway. Fondamenti di Fisica. Vol. I (EdiSES).
Esercizi da: John R. Gordon, Ralph V. McGrew, Raymond A. Serway,
John W. Jewett Jr. Esercizi di Fisica. Guida ragionata alla soluzione
(EdiSES).
Modalità di esame: Prova scritta + breve orale di verifica (facoltativa)
Prova scritta: 5 esercizi in 2 ore. Le due prove in itinere durante il corso
sono sostitutive della prova scritta
Sito web:
http://wwwsrf.mi.infn.it/Members/pagani/teaching
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica – Lez. 1 - 2011-12
Che cos’è la Fisica ?
È il tentativo dell’essere umano di descrivere in
maniera quantitativa i fenomeni che osserviamo
– L’osservazione inizia attraverso i sensi e da essi è limitata.
– La fisica ci ha dato strumenti per estendere le osservazioni al di là
dei nostri sensi, dal quark (10-19 m), all’universo (1026 m).
La Fisica non può affrontare il problema ontologico
– Significato della fisica quantistica: “zitto e calcola”
(Richard Feynman / D. Mermin).
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica – Lez. 1 - 2011-12
Metodo Scientifico e sue Basi
Metodo scientifico:
– Acquisire i dati necessari a descrivere un sistema oggetto di studio.
– Costruire un modello matematico del sistema in esame.
– Utilizzare il modello per predire il comportamento del sistema.
– Verificare la correttezza delle previsioni (nuovo esperimento).
Conoscenze necessarie
– Capacità di utilizzare strumentazione complessa per l’acquisizione
dei dati.
– Conoscere gli strumenti matematici necessari per la costruzione del
modello e per la predizione di nuovi comportamenti.
– Conoscenze tecnologiche per progettare e costruire l’esperimento.
– Conoscere la fisica ...
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica – Lez. 1 - 2011-12
La fisica NON coincide con la matematica
La fisica parte da osservabili alle quali associa grandezze reali
(massa, lunghezza, velocità, temperatura, ecc.) che è possibile
misurare. Il procedimento operativo per la misura è parte della
definizione della grandezza !
La matematica è il linguaggio attraverso il quale la fisica può
esprimere le sue leggi e calcolare altre grandezze collegate a quelle
definite.
F
x<0
x>0
Fisica
Matematica
F=-kx
x ⇒ allungamento della molla
k ⇒ costante elastica della molla
F=-kx
x ⇒ variabile indipendente ∊ ℛ
k ⇒ costante ∊ ℛ
F ⇒ forza esercitata dalla molla
F ⇒ variabile dipendente ∊ ℛ
Nota: La forza esercitata da una molla è direttamente proporzionale al suo allungamento.
Il coefficiente di proporzionalità, k, si dice costante elastica
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica – Lez. 1 - 2011-12
Definizione di una Grandezza Fisica
È necessario che ciò che osserviamo possa venire
rappresentato in modo quantitativo
Osservazione
Grandezza Fisica
La definizione di una grandezza fisica deve essere operativa, essa
deve cioè descrivere le operazioni da compiere per misurare la
grandezza in esame.
Queste operazioni devono consentire di associare alla grandezza un
numero [oppure un vettore: modulo(=numero) + direzione + verso],
secondo operazioni fissate da regole ben precise.
Il numero esprime il rapporto tra la grandezza ed un’altra grandezza
omogenea usata come unità di misura.
10 chilometri
Carlo Pagani & Flavia Groppi
27 mele
100 watt
7
50 barili
75 chilogrammi
Fisica x Informatica – Lez. 1 - 2011-12
Relazioni tra grandezze fisiche
Le grandezze fisiche e le loro relazioni comunicano un’informazione.
– L’informazione deve essere “strutturata”.
• Unità di Misura: fondamentali e derivate.
• Sistemi di unità di misura: es. Sistema Internazionale (S.I.).
– Si deve fornire esattamente l’attendibilità di questa informazione.
• Cifre significative !
– L’informazione deve essere coerente.
• Calcolo dimensionale.
– L’informazione deve essere completa.
massa = 57.3 kg = 573 hg = 57.3 ·103 g ……
v
Carlo Pagani & Flavia Groppi
velocità = 72 km/ora = 20 m/s = ……
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Fisica x Informatica – Lez. 1 - 2011-12
Unità di Misura: Sistema Internazionale (SI)
Il SI è un insieme minimo di grandezze di riferimento (7) dalle quali tutte
le altre possono essere derivate attraverso relazioni coerenti.
Granzezza
–
–
–
–
–
–
–
Unità di riferimento
lunghezza
massa (∝ al peso se c’è gravità)
tempo
intensità di corrente elettrica
temperatura
quantità di sostanza
intensità luminosa
metro
chilogrammo
secondo
ampere
kelvin
mole
candela
Simbolo SI
m
kg
s
A
K
mol
cd
Tutte le altre grandezze fisiche possono essere espresse attraverso le
grandezze fondamentali del Sistema Internazionale.
Se si usa un altro sistema di grandezze di riferimento congruente le
formule possono essere diverse.
Se si mischiano i sistemi di riferimento il risultato che si ottiene è
semplicemente sbagliato !
http://physics.nist.gov/cuu/Units/units.html
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica – Lez. 1 - 2011-12
Grandezze fisiche derivate
Le grandezze fisiche sono molte e la loro unità di misura (SI) ha, in
molti casi, associato un nome specifico: watt, joule, volt, newton, ecc.
Poiché il sistema SI è coerente, tutte possono comunque essere
espresse attraverso le grandezze di riferimento: m, kg, s, A, K, mol, cd.
Attenzione: in tutte le relazioni tra grandezze fisiche (equazioni):
– Si possono sommare o sottrarre solo grandezze omogenee.
– In un’esponenziale, l’esponente deve sempre essere adimensionale, così
come gli argomenti dei logaritmi e delle funzioni trigonometriche*.
– Moltiplicando e dividendo tra loro grandezze fisiche differenti si ottengono
altre grandezze fisiche, derivate da quelle che le hanno originate.
Esempi di grandezze fisiche derivate:
Velocità
Accelerazione
Volume
Forza
Energia
Potenza
Tensione
N (newton)
J (joule)
W (watt)
V (volt)
m/s = m s-1
m/s2 = m s-2
m3
kg m s-2
kg m2 s-2
kg m2 s-3
kg m2 s-3 A-1
Nota: l’angolo è sempre espresso in radianti: rad [m/m] = adimensionale.
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica – Lez. 1 - 2011-12
Il Radiante
Si rammenta la definizione: data una circonferenza di raggio r, l’angolo che
sottende un arco lungo l misura l/r radianti (vedi figura).
Conversione:
αrad : αdeg = 2π : 360º
 αrad = (αdeg / 180º) π
Un angolo di 90º, 180º e 360º
corrisponde rispettivamente a
π/2, π e 2π radianti.
1 radiante = 57,29578º = 57º 17´ 44,8''
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica – Lez. 1 - 2011-12
Prefissi SI ed esempi di lunghezze
Lunghezze, ordini di grandezza
Prefissi delle unità SI
Fattore Prefisso Simbolo
1018
1015
1012
109
106
103
102
101
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
10-15
10-18
exapetateragigamegakiloettodecadecicentimillimicronanopicofemtoatto-
E
P
T
G
M
k
h
D
d
c
m

n
p
f
a
Carlo Pagani & Flavia Groppi
Esempio
Quark
10-19 m
terawatt = 1012 W
Elettrone
10-18 m
gigawatt = 109 W
Protone/Neutrone
10-15 m = 1 fm
Atomo
10-10 m = 1 Å
petawatt =
1015
W
megajoule = 106 J
kilometro =
103
m
10-8 - 10-3 m
ettolitro = 102 litri
Cellula
decametro = 101 m
Essere umano
100
m
centimetro = 10-2 m
Terra
107
m
millimetro = 10-3 m
Sole
109
m = 1 Gm
nanosecondo = 10-9 s
Sistema solare
1013 m = 10 Tm
picosecondo = 10-12 s
Via lattea
1021 m
Universo
1026 m
decimetro = 10-1 m
micrometro =
10-6
m
femtosecondo = 10-15 s
attosecondo =
10-15
s
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Fisica x Informatica – Lez. 1 - 2011-12
Unità di misura del tempo, s
Per misurare un tempo è necessario un orologio, cioè un oggetto che conta
qualcosa (es.: le oscillazioni di un fenomeno periodico)
Strumento
– Pendolo
– Rotazione della terra
– Oscillatore a quarzo
Orologio atomico Cs
Errore di misura
(un secondo per anno)
(1 ms ogni giorno)
(1 s ogni 10 anni)
(1 s ogni 300̇000 anni)
– 1 secondo ≡ 9192631770 vibrazioni della radiazione emessa dal cesio
Limiti sperimentali:
– Direttamente è possibile misurare intervalli di tempo fino a qualche ps (10-13 e 10-14 s
raggiunti recentemente)
– In fisica entrano in gioco circa 40 ordini di grandezza
Carlo Pagani & Flavia Groppi
Fenomeni nucleari
10-22 s
Vibrazioni dei solidi
10-13 s
Un anno
3 107 s
Vita dell’Universo
5 1017 s = 15 miliardi di anni (Big bang)
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Fisica x Informatica – Lez. 1 - 2011-12
Unità di misura della lunghezza, m
Per misurare una lunghezza è necessario un metro campione
Esempi storici:
– Il metro è la 1/40̇000̇000 parte della circonferenza della terra all’Equatore
– Il metro è la lunghezza di una barra di Platino-Iridio conservata a Parigi
• La barra di Parigi non è un campione sufficientemente preciso (~10-7)
• Le copie hanno un errore maggiore (~10-6)
Definizione attuale:
1 m ≡ Lunghezza percorsa dalla luce nel vuoto in un intervallo di tempo
pari a 1/299792458 di secondo (c ≡ 299792458 m s-1 → valore esatto)
Limiti sperimentali:
– Direttamente è possibile misurare lunghezze fino a qualche nm
– In fisica entrano in gioco più di 40 ordini di grandezza
10-19 m
10-15 m
10-10 m
6.4 106 m
9.5 1015 m
2 1026 m
Carlo Pagani & Flavia Groppi
Dimensione di un quark
Dimensione di un nucleone (protone). 1 fm
Dimensione atomica. 10 nm, 1 Angstrom
Raggio medio della terra. 6.4 Mm
Un anno luce
Distanza tra la Terra e la Quasar più lontana
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Fisica x Informatica – Lez. 1 - 2011-12
Unità di misura della massa, kg
Per misurare una massa è necessaria una massa campione
Esempi storici:
– 1 kg = la massa di un dm3 di acqua
– 1 kg ≡ la massa del cilindro di Platino-Iridio conservato a Parigi
• Il cilindro di Parigi è un campione unico
• Le copie hanno un errore che porta ad una precisione insufficiente (~10-8)
Una definizione sostitutiva e soddisfacente non c’è ancora
In fisica nucleare/particelle si usa l’unità di massa atomica “u”
u ≡ 1/12 della massa di un atomo di 12C
– La definizione di kg come un certo numero di “u” sarebbe ottima (vedi “s “e “m”)
Il problema è che “u” è noto con solo 4 cifre significative: u = 1.661‧10-27 kg
Nota: in Fisica le masse sono 2: inerziale e gravitazionale
– La massa inerziale ha una definizione dinamica
– La massa gravitazionale ha una definizione gravitazionale


F  min a
F G
m1, gr m2, gr
r2
– La teoria della relatività generale ha come ipotesi di partenza che la massa inerziale “min” e quella
gravitazionale “mgr” siano esattamente la stessa cosa
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica – Lez. 1 - 2011-12
Precisione e Cifre significative - 1
In fisica è sempre necessario fornire l’ ‘errore’, cioè una stima
ragionata dell’incertezza della misura che è stata effettuata (spesso è
legata alla sensibilità dello strumento (righello, cronometro,
termometro, ecc.)
Il risultato di una misura NON consiste SOLO nel valore fornito
dallo strumento, ma anche di un errore e di una unità di misura (la
mancanza di uno di questi termini rende gli altri inutili)
Esprimere il risultato con più cifre di quelle che conosciamo con
certezza non ne migliora la qualità. E’ solo sbagliato !
Le cifre che utilizziamo per esprimere un risultato devono essere
limitate a quelle di cui abbiamo certezza: cifre significative
Esempi:
Misura di una massa con una bilancia con precisione di 1 g
Massa = 874 ± 1 [g] = 8.74 ± 0.01 [hg] = 0.874 ± 0.001 [kg]
Misura di un tavolo con un metro a nastro (precisione del millimetro)
Lunghezza = 181 ± 0.1 [cm] = 1810 ± 1 [mm] = 1.81 ± 0.001 [m]
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica – Lez. 1 - 2011-12
Precisione e Cifre significative - 2
Il numero (dimensionale) associato a una misura è una informazione
E’ necessario conoscere la precisione e l’accuratezza dell’informazione.
La precisione di una misura è contenuta nel numero di cifre significative
fornite o, se presente, nell’errore di misura.
Il numero di cifre significative, o l’errore, forniscono le potenzialità ed i limiti
dell’informazione a disposizione. Non deve dipendere dalle unità di misura
scelte, o dalla notazione scelta (ad esempio, esponenziale).
Una manipolazione numerica non può né aumentare né diminuire la
precisione di una informazione: è una grave scorrettezza
•
Il numero di cifre significative si calcola contando le cifre, a partire dalla prima
cifra non nulla, da sinistra verso destra.
Esempi
Carlo Pagani & Flavia Groppi
187.3=1.873 102
4 cifre significative
10.0000
10.0101
1
1234.584
0.00001
6 cifre significative
6 cifre significative
1 cifra significativa
7 cifre significative
1 cifra significativa
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Fisica x Informatica – Lez. 1 - 2011-12
Precisione e Cifre significative - 3
Un semplice esempio per capire
Problema:
Faccio una torta con questi ingredienti
310 g di farina
5 uova (1 uovo pesa 75 ± 5 g)
150 g di zucchero
15 grammi di lievito
TOTALE
310
375
150
15
850
±1g
± 25 g
±1g
±1g
± 28 g
La divido in 6 fette: quanto pesa una fetta ?
– La torta non perde peso in cottura, è un cilindro perfetto e io la taglio con
una macchina perfetta
• (850 ± 28) [g] / 6 = 141.66666 ± 4.66666 [g] = 142 ± 5 g
– In un caso più realistico, tagliando la torta con cura
• (850 ± 28) / 6 ± 5÷10 % = 140 ± 10 g
già la 2° cifra è poco significaiva
– Nel caso più realistico avremo che la fetta peserà 130÷150 g
In tutti i casi definire il peso con la precisione del grammo è sbagliato
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica – Lez. 1 - 2011-12
Coerenza dimensionale
Ogni Equazione DEVE essere dimensionalmente coerente
– I metri si possono sommare solo ai metri
– Non posso sommare due grandezze dimensionalmente incoerenti
– Gli argomenti delle funzioni trascendenti* devono essere adimensionali
(numeri puri)
* funzione esponenziale e logaritmo, funzioni trigonometriche
Esempio: Legge di Newton ( Lunghezza [m]
F = ma
Massa [kg]
Tempo [s] )
Forza (F ) = massa (m) x accelerazione (a )
F [N] , m [kg] , a [m s-2] , [N] = [kg m s-2 ]
F [N] = m [kg] a [m s-2]
posso sommare e uguagliare soltanto grandezze dimensinalmente coerenti
prima di fare i conti devo convertire le grandezze che non lo sono:
–
–
–
–
–
1 litro = 1 dm3 = 10-3 [m3 ]
1 ora = 60 minuti = 3.6 103 [s]
1 pollice ≡ 25.4 mm = 2.54 10-2 [m]
100 km/ora = 105 [m] / 3.6 103 [s] = 27.8 [m/s] = 27.8 [m s-1]
50 °C = 50 + 273.15 [K] = 323.15 [K]
Carlo Pagani & Flavia Groppi
19
Fisica x Informatica – Lez. 1 - 2011-12
Equazioni dimensionali
Supponiamo che io non conosca una legge fisica, ma che immagini per semplicità che
una quantità ignota sia esprimibile come un monomio formato con quantità note (elevate
ad opportuna potenza).
Esempio: il pendolo
Le uniche quantità che possono intervenire sono: m, l, g
m [kg] , l [m] , g [m s-2]
La formula monomia è:
g x l y m z = periodo del pendolo = T [s]
Nota: Le dimensioni a destra e sinistra devono essere coerenti !
Quindi, per la coerenza dimensionale:

l
(m s-2) x m y kg z = s = m 0 s 1 kg 0
m x+y s -2x kg z = m 0 s 1 kg 0
m
Soluzione: x + y = 0, - 2x = 1, z = 0
 x = -1/2, y = 1/2, z = 0 

T = (l/g)1/2
mg
Nota: quella ottenuta è una relazione di proporzionalità, l’analisi dimensionale
non può determinare le eventuali costanti, e vedremo che T = 2π (l/g)1/2.
La costante adimensionale si può determinare sperimentalmente
Carlo Pagani & Flavia Groppi
20
Fisica x Informatica – Lez. 1 - 2011-12
Obiettivi esercizi Lezione 1
– Capire come in fisica spesso si possa costruire un modello
relativamente semplice, schematizzando in modo opportuno la
realtà.
– Capire con quante cifre significative rappresentare una misura
fisica, e con quante cifre rappresentare il risultato di un’operazione
tra grandezze fisiche.
– Saper gestire cambiamenti di unità di misura (per esempio da m a
cm, da kg a g, ecc.).
– Saper utilizzare elementi di calcolo dimensionale (per esempio:
ricavare le dimensioni di una costante o verificare la correttezza
dimensionale di una relazione tra grandezze fisiche.
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica – Lez. 1 - 2011-12
Esescizi Lezione 1
1.
Un cubo molto preciso ha il lato pari ha 5.35 cm e la massa m = 856 g. Determinare la
densità del cubo in unità SI. [5.59·103 kg/m3]
Nota: la densità  è la massa per unità di volume. Nel sistema SI  [kg/m3]
2.
Determinare quanti secondi ci sono in un giorno, in un anno normale e in un anno
bisestile. [86400 s, 31536000 s, 31622400 s]
3.
Un'unità astronomica (UA) vale 150 milioni di Km, un anno luce è la distanza percorsa
dalla luce in un anno. Quanti anni luce vale 1 UA ? Cifre significative e stime. [1.59·10-5]
4.
Determinare la massa della terra sapendo che il suo diametro e la sua densità sono
rispettivamente: D = 12.75·103 km,  = 5.515 kg/dm3. [5.99·1024 kg]
5.
Determinare nelle unità di misura del sistema SI le seguenti velocità:
130 km/ora
20 miglia/minuto
1.5 105 pollici/ora
6.
Determinare nell’unità di misura [miglia/ora] le seguenti velocità:
130 km/ora
20 miglia/minuto
1.5 105 pollici/ora
7.
(1 ml = 1.609 km = 1609 m)
(1 in ≡ 2.54 cm = 2.54·10-2 m)
[36.1 m/s o anche 36 m/s]
[536 m/s non 536.33 m/s]
[1.1 m/s non 1.058 m/s]
(1 m = 1/1609 ml = 6.214·10-4 ml)
(1 m = 1/0.0254 in = 39.37 in)
[80.8 ml/h o anche 81 ml/h]
[1.2·103 ml/h]
[2.37 ml/h o meglio 2.4 ml/h]
Determinare nell’unità di misura [iarde/s] le seguenti velocità:
Nota: 1 miglio ≡ 1760 iarde, 1 iarda ≡ 3 piedi, 1 piede ≡ 12 pollici, 1 pollice ≡ 25.4 mm
130 km/ora
20 miglia/minuto
1.5 105 pollici/ora
Carlo Pagani & Flavia Groppi
(1 m = 0.9144 ya)
(1 ml = 1760 ya)
(1 in = 1/36 ya = 0.0278 ya)
22
[39.5 ya/s o anche 40 ya/s o anche 39 ya/s]
[587 ya/s o meglio 590 ya/s
[1.16 ya/s o meglio 1.2 ya/s]
Fisica x Informatica – Lez. 1 - 2011-12
Esescizi Lezione 1 - continua
8.
Sapendo che F [N] = m [kg] · a [m/s2], cioè che la forza è uguale alla massa moltiplicata
per l’accelerazione, si determini quale forza si deve applicare ad un corpo di massa pari
a 10 kg perché subisca un’accelerazione pari a 5 g.
[490 N = 490 kg m s-2]
Nota: g è l’accelerazione di gravità sulla superficie della terra e vale: g = 9.83 m/s2
9.
Sapendo che la legge di gravitazione universale è la seguente:
F G
m1m2
r2
determinare le unità di misura della costante G
[G] = [N m2 kg-2]
[G] = [m3 kg-1 s-2]
Nota: F è la forza gravitazionale con cui le due masse m1 e m2 si attraggono, r è la loro distanza
10.
Utilizzando il risultato dell’esercizio 4. e la legge di gravitazione, in cui G = 6.67·10-11 [N
m2 kg-2], determinare il valore della forza e dell’accelerazione a cui è sottoposto un corpo
di massa m = 103 kg che si trovi a 104 km dal centro della terra. [F =4.00·103 N ; a = 4.00 m/s2]
11.
Discutere brevemente i risultati degli esercizi precedenti sulla base delle cifre
significative dei dati.
Nota: di ogni dato si suppone che tutte le cifre indicate siano significative. In generale, se non è indicato
esplicitamente l’errore, si suppone che l’ultima cifra sia stata approssimata alla cifra più vicina al vero, per eccesso o
per difetto (1.3454
1.345, 372.8
373)
12.
Ripetere l’esercizio 4. usando come dati del diametro della terra e della sua densità i
valori: D = 13·103 km,  = 5.5 kg/dm3. Confrontare i risultati e discutere il significato delle
6.3·1024 kg o anche 6·1024 kg]
cifre significative [6.327·1024 kg
Carlo Pagani & Flavia Groppi
23
Fisica x Informatica – Lez. 1 - 2011-12
Università degli Studi di Milano
Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali
Corsi di Laurea in: Informatica ed Informatica per le Telecomunicazioni
Anno accademico 2011/12, Laurea Triennale, Edizione diurna
FISICA
Lezione n. 2 (4 ore)
Sistemi di Coordinate, Vettori e Calcolo Vettoriale
Carlo Pagani (A-G) & Flavia Maria Groppi (H-Z)
Dipartimento di Fisica – Laboratorio LASA
Via F.lli Cervi 201, 20090 Segrate (Milano)
web page: http://wwwsrf.mi.infn.it/Members/pagani
e-mail: [email protected] & [email protected]
Posizione di un Punto - 1
Per descrivere la posizione di un punto nello spazio, è necessario
disporre di un sistema di coordinate rispetto al quale la posizione del
punto è definita
Lo spazio in cui un problema è descritto può essere a 1, 2 o 3
dimensioni: 1-D, 2-D, 3-D
Il sistema di coordinate più comune e intuitivo è quello cartesiano
Sistema di coordinate cartesiane: 1-D
O
xog > 0
Oggetto
Origine delle Coordinate
(posizione dell’osservatore)
Oggetto
xog
Carlo Pagani & Flavia Groppi
x
xog
xog < 0
O
x
Origine delle Coordinate
(posizione dell’osservatore)
2
Fisica x Informatica – Lez. 2 - 2011-12
Posizione di un Punto - 2
Sistemi di coordinate 2-D
Cartesiane
Polari
y
y
yP
xP
P (x ,y )
• P P
P (r ,)
•
yP
r
yP

x
O
O
xP
x
xP
Relazioni tra coordinate cartesiane e polari
P(xP ,yP) = P(x,y) = P(r,)
x = r cos 
y = r sin 
Carlo Pagani & Flavia Groppi
r = x2 + y2
= arctan (y/x)
3
Fisica x Informatica – Lez. 2 - 2011-12
Posizione di un Punto - 3
Sistemi di coordinate 3-D
Cartesiane
z
P(xP,yP,zP)
yP
Polari Sferiche
z
xP
P(r,)

zP
yP
0
zP
y
r
y
0
r sin()
xP

x
x
P(xP ,yP ,zP) = P(x,y,z) = P(r)
–
–
–
x = r sin (cos()
y = r sin(sin()
z = r cos()
Carlo Pagani & Flavia Groppi
r = x2 + y2 +z2
 = arccos (z/r)
 = arctan (y/x)
4
Fisica x Informatica – Lez. 2 - 2011-12
Posizione di un Punto - 4
Sistemi di coordinate 3-D
Cartesiane
z
P(xP,yP,zP)
yP
z
Polari Cilindriche
xP
P(r,θ,z)
zP
yP
0
zP
y
y
0
xP
r
θ
x
x
P(xP ,yP ,zP) = P(x,y,z) = P(r,θ,z)
–
–
–
x = r cos(θ)
y = r sin(θ)
z=z
Carlo Pagani & Flavia Groppi
r = x2 + y2
z=z
θ = arctan (y/x)
5
Fisica x Informatica – Lez. 2 - 2011-12
Grandezze Scalari e Vettoriali
Per caratterizzare completamente una grandezza fisica, a volte è
sufficiente dare soltanto un numero (scalare), mentre altre volte questo
non è sufficiente, serve anche una direzione e un verso (vettoriale)
– Massa, lunghezza, temperatura: grandezze scalari
– Spostamento, velocità, accelerazione: grandezze vettoriali
• Quanto è veloce ? Modulo (lunghezza del segmento)
• In quale direzione si muove ? Direzione (retta su cui giace)
• Con quale verso ? Verso (orientamento)
Una grandezza vettoriale è caratterizzata SEMPRE da un valore
numerico (modulo), da una direzione e da un verso
V
d
ne
o
i
z
ire
Notazione vettoriale
rso
e
v
lo
du
o
m
Carlo Pagani & Flavia Groppi
• vettore: V , V , V
V
V
6
• modulo: |V| , |V | , V
Fisica x Informatica – Lez. 2 - 2011-12
Rappresentazione grandezze vettoriali
Così come le “informazioni fornite” da una grandezza scalare possono
venire rappresentate mediante un punto su una retta, le “informazioni
fornite” da una grandezza vettoriale possono venire rappresentate
mediante un punto nello spazio
z
P
V
P
0
x
0
y
x
I vettori, rappresentazione matematica di una grandezza vettoriale,
sono segmenti orientati (dall’origine del sistema al punto)
Secondo la natura del problema possono essere a 2 dimensioni (2D) o
a 3 dimensioni (3D)
Carlo Pagani & Flavia Groppi
7
Fisica x Informatica – Lez. 2 - 2011-12
Vettori in 2D e loro somma
Esempio: lo spostamento di un punto su un piano
– Spostamenti da A a B e poi da B a C: vettore a e vettore b
– Somma = spostamento da A a C: vettore a + vettore b = vettore s
Regola del
parallelogramma
Lo spostamento non dipende dalla traiettoria
La somma vettoriale gode delle proprietà della somma algebrica
a+b=b+a
Carlo Pagani & Flavia Groppi
a + b + c = a + (b + c) = b + (a + c) = c + (a + b)
8
Fisica x Informatica – Lez. 2 - 2011-12
Vettore 2D sul piano
Un vettore 2D si può definire attraverso le sue componenti, che
dipendono dal sistema di coordinate (cartesiane o polari) e dal loro
orientamento ma non dalla posizione dell’origine
ax e ay sono le componenti di a in coordinate cartesiane
| a | e sono le sue coordinate polari
Carlo Pagani & Flavia Groppi
9
Fisica x Informatica – Lez. 2 - 2011-12
Coordinate cartesiane e polari
Poiché le componenti di un vettore non dipendono dal punto di
applicazione, si determinano posizionando il vettore all’origine del
sistema di coordinate scelto
y
Componenti di un vettore in coordinate
cartesiane e polari
– Coordinate cartesiane
ax , ay
a(ax,ay)
– Coordinate polari
|a| , 
a(|a|,)
x
Le equazioni sono le stesse di quelle viste per la posizione !
ax = |a| cos 
ay = |a| sin 
Nota:
|a|2 = ax2 +ay2
= arctan (ay / ax )
|a| = ax2 +ay2
|a| si ottiene applicando il teorema di Pitagora
si ottiene dividendo ay per ax
Carlo Pagani & Flavia Groppi
10
Fisica x Informatica – Lez. 2 - 2011-12
Riassunto per il caso 3D
E’ tutto uguale ma le componenti del vettore sono 3
La posizione di un punto P è definita da 3 coordinate
I sistemi di coordinate sono a 3 dimensioni
I 3 sistemi di coordinate più importanti
z
Cartesiane: x, y, z
Vz
x = distanza dal piano yz
y = distanza dal piano xz
z = distanza dal piano xy
Polari Sferiche: r, 
x = r sin() cos ()
y = r sin() sin ()
z = r cos()
V
Vx
Vy
0
x
y
V (Vx,Vy,Vz)
P (r,,)
V (|V|,)
Polari Cilindriche: r, , z
x = r cos()
y = r sin()
z=z
Carlo Pagani & Flavia Groppi
P (x,y,z)
P
V
11
P (r,,z)
V (|V|,Vz)
Fisica x Informatica – Lez. 2 - 2011-12
Significato di “sferiche” e “cilindriche”
P (r,,)
V (|V|,)
P (r,, z)
V (|V|,Vz)
V
V
Carlo Pagani & Flavia Groppi
12
Fisica x Informatica – Lez. 2 - 2011-12
Alcune considerazioni
Le componenti di un vettore dipendono dall’orientamento del sistema di
coordinate, ma la grandezza espressa da un vettore non cambia
La somma di vettori si può fare graficamente o analiticamente,
applicando le semplici relazioni trigonometriche dei triangoli rettangoli.
– Disegnati i vettori uno di seguito all’altro si chiude il poligono, stando attenti
al verso del vettore risultante
– Si sommano le componenti x e le componenti y tra loro, ottenendo la
componente x e la componente y del vettore somma (attenti ai segni)
Carlo Pagani & Flavia Groppi
13
Fisica x Informatica – Lez. 2 - 2011-12
Operazioni con i vettori
Con i vettori sono possibili operazioni di somma e moltiplicazione
– La matematica chiama questo capitolo algebra vettoriale
Somma: ne esiste un solo tipo possibile: somma algebrica:
vettore + vettore → Risultato: vettore
Prodotto: ne esistono 4 tipi possibili:
1) Vettore
per un numero puro:
scalare per vettore → Risultato: vettore
2) Prodotto
Scalare
vettore • vettore → Risultato: scalare
3) Prodotto
Vettoriale
vettore x vettore → Risultato: vettore
4) Prodotto Tensoriale
vettore  vettore → Risultato: tensore
Carlo Pagani & Flavia Groppi
14
Fisica x Informatica – Lez. 2 - 2011-12
Esempi di somma di vettori
Esempio di costruzione geometrica
a
b
c
a
a+b+c=s
c
s
b
Esempio di calcolo del vettore somma, usando vettori diversi e dati in
coordinate cilindriche: a (|a|, ) , b (|b|, ) , c (|c|, )
y
b
Partendo dai moduli e dagli angoli si ha:

a

c
Carlo Pagani & Flavia Groppi
x
ax = |a| cos > 0
ay = |a| sin > 0
bx = |b| cos 
<0
by = |b| sin 
cx = |c | cos 
>0
cy = |c| sin 

>0
<0
sx = ax + bx + cx
sy = ay + by + cy
15
Fisica x Informatica – Lez. 2 - 2011-12
Prodotto di un vettore per un numero
Ha come risultato un vettore
Si ottiene moltiplicando le componenti cartesiane del vettore per il
numero k
B (Bx ,By) = k A (Ax ,Ay)
Bx= k Ax
By= k Ay
Se si hanno le coordinate polari: si moltiplica il modulo per il numero
(NON l’angolo)
B (|B|,) = k A (|A|,)
|B| = k |A|
 = 
Le operazioni di somma vettoriale e di prodotto di un vettore per un
numero ci permettono di introdurre una nuova rappresentazione dei
vettori, usando i versori
I versori sono vettori unitari (modulo = 1) con direzione e verso conformi
agli assi del sistema di coordinate cartesiane di riferimento
Carlo Pagani & Flavia Groppi
16
Fisica x Informatica – Lez. 2 - 2011-12
Rappresentazione con i versori
In un sistema 3-D i versori sono 3, hanno modulo unitario, sono diretti
secondo gli assi cartesiani e si indicano con la seguente notazione
B
i ≡ i
A
Ax i
j ≡ j
Ay j
k ≡ k
A (Ax , Ay , Ay) = Ax i + Ay j + Az k
B (Bx , By , By) = Bx i + By j + Bz k
In un sistema 2-D i versori sono solo 2: i e j
Nota: Ovviamente esistono versori anche nella rappresentazione polare…
Carlo Pagani & Flavia Groppi
17
Fisica x Informatica – Lez. 2 - 2011-12
Versori associati alle coordinate polari : ei
P (r,,)
V (|V|,)
P (r,, z)
V (r,Vz)
V
V
Carlo Pagani & Flavia Groppi
18
Fisica x Informatica – Lez. 2 - 2011-12
Prodotto Scalare - 1
Il Prodotto Scalare di due vettori, A e B, ha come risultato uno scalare.
E’ il prodotto tra i moduli dei due vettori per il coseno dell’angolo
compreso, OVVERO il prodotto della proiezione del primo vettore sulla
direzione del secondo per il modulo del secondo (o viceversa).
A
A (Ax ,Ay)
B (Bx ,By)

B
A • B ≡ |A| |B| cos  |A| (|B| cos |A| cos  |B| B • 
Ma vale anche:
A • B = (Ax Bx) + (Ay By) = C = scalare
(dimostriamo questa affermazione nella prossima trasparenza).
Carlo Pagani & Flavia Groppi
19
Fisica x Informatica – Lez. 2 - 2011-12
Prodotto Scalare - 2
A (Ax ,Ay) • B (Bx ,By)
(Ax Bx) + (Ay By) =
= [|A| cos(θA) |B| cos(θB)] + [|A| sin(θA) |B| sin(θB)] =
= |A| |B| [cos(θA) cos(θB) + sin(θA) sin(θB)] =
= |A| |B| cos(θA-θB) = |A| |B| cos(θB-θA)
A
L’equivalenza è dimostrata
Le due formule sono ambedue utili

B

Conseguenze:
Il Prodotto scalare tra due vettori ortogonali è nullo !
Il Prodotto scalare tra due vettori paralleli è il prodotto dei loro moduli
Carlo Pagani & Flavia Groppi
20
Fisica x Informatica – Lez. 2 - 2011-12
Prodotto Vettoriale (o Vettore)
Il risultato del Prodotto Vettoriale tra 2 vettori, A e B, è un vettore, C,
ortogonale al piano formato dai vettori A e B.
AXB=AΛB=C
 modulo: |C| = |A| |B| sin 
 direzione:
⊥ al piano dei vettori
A

B
C
 verso: regola della mano destra,
o anche: verso uscente se per portare il
primo sul secondo devo ruotare in
senso antiorario
Note
• Il prodotto vettoriale tra due vettori paralleli è nullo
• |C| è massimo per  = ± /2
•
Carlo Pagani & Flavia Groppi
AxB=-BxA
21
(non è commutativo !)
Fisica x Informatica – Lez. 2 - 2011-12
P. V. in Coordinate Cartesiane
AXB=AΛB=C
A (Ax ,Ay , Az)
A = Ax i + Ay j +Az k
B (Bx , By , Bz)
B = Bx i + By j +Bz k
Cx = (Ay Bz – Az By)
Cy = (Az Bx – Ax Bz)
Cz = (Ax By – Ay Bx)
C (Cx ,Cy , Cz)
C = Cx i + Cy j +Cz k
i
j
k
Ax
Ay
Az
Bx
By
Bz
C = (Ay Bz – Az By) i + (Az Bx – Ax Bz) j + (Ax By – Ay Bx) k
z
Esempio
A
A (1,1,1) B (2,2,0)
C (0-2,0-2,2-2) = C (-2,2,0)
C = -2 i + 2 j +0 k = -2 i + 2 j
Carlo Pagani & Flavia Groppi
C
y
x
22
B
Fisica x Informatica – Lez. 2 - 2011-12
Obiettivi esercizi Cap. 3 (RHW)
Cap. 3
– Saper passare da un vettore (modulo e direzione) alle sue
componenti e dalle componenti al vettore.
– Saper compiere le operazioni fondamentali con i vettori (somma,
prodotto per un numero, prodotto scalare e prodotto vettore).
Carlo Pagani & Flavia Groppi
23
Fisica x Informatica – Lez. 2 - 2011-12
Esescizi Lezione 2
1.
Dati i vettori a = 4.2 i - 1.5 j , b = -1.6 i + 2.9 j e c = -3.7 j , trovare il vettore somma
a+b, il vettore a+b+c, e il vettore a+b-c. Fare le operazioni sia con il metodo algebrico,
che con il metodo grafico dopo averli disegnati su un piano cartesiano. Scrivere modulo,
direzione e verso (coordinate polari) dei vettori che si sono trovati.
[ a+b = 2.6 i + 1.4 j , a+b+c = 2.6 i -2.3 j , a+b-c = 2.6 i + 5.1 j , a+b (3.0 , 28.3 deg) , a+b+c (3.5 ,
- 41.5 deg) , a+b-c (5.7 , 63 deg) ]
y
-c
b
b
x
a
c
2.
La squadra che nel 1972 trovò la connessione nel sistema di grotte Mammut-Flint
percorse, dall'ingresso di Austin del sistema di grotte Flint-Ridge fino all'Echo River della
caverna del Mammut una distanza netta di 2.6 km verso ovest, 3.9 km verso sud e 25 m
verso l'alto. Definire i 3 spostamenti come vettori e calcolare lo spostamento
complessivo (modulo, direzione e verso).
[ Ov[km] = 2.6 i + 0 j +0 k ; Su[km] = 0 i + 3.9 j +0 k ; Al[km] = 0 i + 0 j + 2.5·10-2 k ; S=Ov+Su+Al ;
S[km] = 2.6 i + 3.9 j + 2.5·10-2 k ; S (4.69 , 56.3 deg , 2.5·10-2 ) ]
Carlo Pagani & Flavia Groppi
24
Fisica x Informatica – Lez. 2 - 2011-12
Esescizi Lezione 2 - continua
3.
Dati i vettori:
a = 2 i + 3 j [m]
b (| b | ,  b ) , con | b | = 4 m e  b = 65 gradi ⇒ b =
c=-4i-6j
d (| d | ,  d ) , con | d | = 5 m e  d = 235 gradi ⇒ d =
calcolare: a + b ; c + d ; a + b + c + d ; b • d ; (a + b) • (c + d)
y
[ a + b = 3.69 i + 6.63 j [m] ; c + d = - 6.87 i – 10.1 j [m]; a + b + c + d = - 3.18 i - 3.47 j [m] ;
b • d = - 19.7 m2 ; (a + b) • (c + d) = - 92.3 m2 ]
1
I
II
Disegnare nel piano cartesiano un quadrato con centro
nell'origine e lati di 2 m. Definire le componenti dei vettori
c
a = dal centro al vertice del quadrato nel 1° quadrante
b = dal centro al vertice del quadrato nel 4° quadrante
c = dal centro al punto medio del lato che attraversa il 2°
III
e il 3° quadrante. Calcolare a + b + c, e a • b.
[ a = 0.707 i + 0.707 j ; b = 0.707 i - 0.707 j ; c = - i + 0 j ; a + b + c = 0.41 i + 0 j ; a • b = 0 ]
2m
4.
5.
0
1
x
b
IV
Il vettore a giace nel piano xy. Il suo modulo è 18 e la sua direzione è 250 gradi rispetto
all'asse x. Il vettore b ha modulo 12 ed è diretto lungo l'asse z (concorde con il verso di
z). Calcolare il prodotto vettore c = a x b.
[ a = - 6.16 i – 16.91 j ; b = 12 k
6.
a
c = a x b = - 203 i + 73.9 j ⇒ c (216, 160 deg)
Se a = 3 i – 4 j e b = - 2 i + 3 k, quanto vale c = a x b ?
[ c = - 12 i -9 j - 8 k ]
Carlo Pagani & Flavia Groppi
25
Fisica x Informatica – Lez. 2 - 2011-12
Università degli Studi di Milano
Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali
Corsi di Laurea in: Informatica ed Informatica per le Telecomunicazioni
Anno accademico 2011/12, Laurea Triennale, Edizione diurna
FISICA
Lezione n. 3 (4 ore)
Cinematica in una dimensione, 1D
Carlo Pagani (A-G) & Flavia Maria Groppi (H-Z)
Dipartimento di Fisica – Laboratorio LASA
Via F.lli Cervi 201, 20090 Segrate (Milano)
web page: http://wwwsrf.mi.infn.it/Members/pagani
e-mail: [email protected] & [email protected]
Meccanica
La Meccanica è la branca della Fisica che studia il moto dei corpi in sè
(Cinematica), il moto in relazione alle forze che lo fanno variare (Dinamica),
e le condizioni di equilibrio delle forze che mantengono un corpo in quiete
(Statica)
– La Cinematica descrive il moto dei corpi senza fare riferimento esplicito alle
forze che agiscono su di essi
– La Dinamica è lo studio della relazione esplicita tra le forze ed il loro effetto sul
moto
– La Statica studia le condizioni che mantengono un corpo in quiete
Per descrivere un moto è necessario specificare la posizione del corpo in
ogni istante. E’ quindi necessario definire un sistema di coordinate (vedi
lezione precedente…)
O
xog > 0
Oggetto
Origine delle Coordinate
(posizione dell’osservatore)
Oggetto
xog
xog < 0
O
xog
Carlo Pagani & Flavia Groppi
x
x
Origine delle Coordinate
(posizione dell’osservatore)
2
Fisica x Informatica – Lez. 3 - 2011-12
Cinematica
Per descrivere il moto di un corpo è necessario fornire, in ogni istante di
tempo, la sua posizione, la sua velocità e la sua accelerazione
Per poterlo fare è necessario fissare un sistema di coordinate e un
istante di tempo, t0 , da cui facciamo partire la nostra descrizione del
moto
Il punto P(x,y,z) si muoverà in funzione del tempo t e sarà quindi più
propriamente descritto dalla notazione P(x(t),y(t),z(t))
Così come le coordinate, (x(t), y(t), z(t)), sono misurate rispetto
all’origine del sistema di coordinate scelto, anche il tempo t sarà
misurato a partire da t0
La velocità e l’accelerazione sono grandezze vettoriali poiché è
necessario conoscerne, oltre al valore, anche la direzione ed il verso
I vettori velocità, v, e accelerazione, a, sono applicati nel punto P
Sappiamo inoltre che anche alla posizione del punto possiamo dare
una descrizione vettoriale: r = (rx i , ry j , rz k) = (x i , yj , zk)
Carlo Pagani & Flavia Groppi
3
Fisica x Informatica – Lez. 3 - 2011-12
Moto di un punto in un piano e traiettoria
i = 0, 1, 2, 3, ….
y
P = P (x , y , z )
r = r (x i , y j , z k)
Traiettoria
P3
x = x (t )
y = y (t )
z = z (t )
Pi = P (xi , yi , zi )
ri = r (xi i, yi j , zi k)
a = a (t ) = a ( P(t) )
ai = a ( P(ti ) )
Carlo Pagani & Flavia Groppi
P2
r2
v1
v = v (t ) = v ( P(t) )
v i = v ( P(ti ) )
r1
v2
a2
r3
xi = x (ti )
yi = y (ti )
zi = z (ti )
v3
a3
P1
a1
r0
0
Nota: la direzione di v è sempre tangente alla traiettoria !
4
P0
a0
v0
Fisica x Informatica – Lez. 3 - 2011-12
x
Spostamento di un punto e velocità media
Come è naturale fare, si definisce spostamento s di un punto P dalla
posizione P1 alla posizione P2 (più propriamente s12) il vettore che
congiunge r1 a r2, con verso da r1 a r2
Si vede subito che tra i vettori
r1 , r2 e s valgono le relazioni:
r1 + s12 = r2
s12 = r2 – r1
s12 ≡ r2 – r1
y
La velocità è definita come lo
spostamento eseguito nell’unità
di tempo
P2
r2
La velocità media da P1 a P2 è:
s12
r1
< v > = ( r2 – r1 ) / (t2 - t1 ) = s12 / t
P1
0
ed ha la direzione e il verso di s12
La velocità istantanea nel punto P1 , all’istante t1 , si ottiene come
caso limite quando lo spostamento tra i punti P1 e P2 tende a zero
Carlo Pagani & Flavia Groppi
5
Fisica x Informatica – Lez. 3 - 2011-12
x
Velocità istantanea
La velocità istantanea di un oggetto, rappresentato dal punto
P (x (t) , y (t) , z (t) ), all’istante generico t, è la velocità che il punto ha
esattamente all’istante t. Cioè è la velocità media tra due punti
infinitamente vicini, o tra due istanti di tempo infinitamente prossimi
Se chiamiamo s12 lo spostamento tra i punti P1 e P2 si ha:
 
r2  r1
ds
ds
ds
ds ds ds
Nota: per P2 che tende a P1 e s12 che tende
a ds, la direzione di ds tende esattamente alla
tangente alla traiettoria nel punto P1
Carlo Pagani & Flavia Groppi
6
Fisica x Informatica – Lez. 3 - 2011-12
Spostamento infinitesimo e traiettoria
A mano a mano che si considerano due posizioni sempre più vicine nel tempo il
vettore spostamento diventa sempre più simile ad un segmento della traiettoria
Portando questo ragionamento al limite è possibile definire il vettore
spostamento infinitesimo ds che descrive lo spostamento tra due
posizioni infinitamente vicine
Il vettore spostamento infinitesimo è quindi un segmentino della
traiettoria, che giace sulla tangente alla traiettoria in P
La traiettoria, che è il percorso del corpo nel piano (2-D) o nello spazio (3-D),
risulta essere la somma di tutti i vettori spostamento infinitesimo ds,
percorsi in intervalli di tempo infinitesimi
Se invece i punti P1 ( P1= P) e P2 non sono infinitamente vicini, lo spostamento
s = s12 = ( r2 - r1 ) non giace sulla traiettoria, e non è quindi tangente ad essa
ds
ds
Carlo Pagani & Flavia Groppi
ds
ds ds ds
7
Fisica x Informatica – Lez. 3 - 2011-12
Velocità come derivata dello spostamento
La velocità (istantanea) nel punto generico P, all’istante t, è il rapporto finito
tra due infinitesimi, ds e dt, detto derivata di s(t) rispetto a t
Il rapporto incrementale è proprio la velocità media e in quest’esempio si può
visualizzare il limite di tale rapporto, che dà la velocità istantanea
Significato geometrico della derivata:
coeff. angolare della
retta tangente
x
dx
θ
θ
Carlo Pagani & Flavia Groppi
dt
t
8
Fisica x Informatica – Lez. 3 - 2011-12
Legge (equazione) oraria
Il disegno appena visto è un esempio NON di traiettoria ma di legge oraria !
Nella traiettoria, t è un parametro e si mostra il moto nello spazio reale
La legge oraria è l’equazione che descrive la posizione del punto P in
funzione del tempo
Nel Sistema cartesiano …
… o polare:
P = P (x(t) , y(t) , z(t) )
r = r (x(t) , y(t) , z(t) )
P = P (r(t) , (t) , (t) )
r = r (|r(t)| , (t) , (t) )
sono esempi di leggi orarie
Ogni moto ha una specifica legge oraria esplicita che lo descrive
Esempi monodimensionali:
x(t) = A t2+C,
x(t) = A cos (t+),
x(t) = A t + C
Nota: A, C,  e  sono costanti che dipendono sia dai dati del problema, sia
dalla posizione e dalla velocità del punto all’istante t = 0
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica – Lez. 3 - 2011-12
Moto Rettilineo (monodimensionale)
I moti rettilinei sono moti monodimensionali
esprimibili nella forma
P(t)=x(t) (ovvero P(t)=y(t), ovvero P(t)=z(t))
Partendo dalla posizione all’istante t=0, il moto
può essere rappresentato graficamente sugli
assi cartesiani t [s] e x [m]
Ad ogni istante di tempo t (rappresentato
normalmente sull’asse orizzontale) si associa il
valore della posizione del corpo
(rappresentandolo sull’asse verticale)
Collegando tra loro i punti in cui abbiamo
effettuato la misurazione, si ottiene l’espressione
grafica della legge oraria del moto a partire
dall’istante t=0.
A lato c’è la rappresentazione grafica
(diagramma orario) di un armadillo:
Armadillo fermo: diagramma orario
– fermo nella posizione x = -2m (figura in alto)
– che si muove a partire dalla posizione x = -5m
(figura in basso)
Armadillo in moto: diagramma orario
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica – Lez. 3 - 2011-12
Velocità in un moto rettilineo
La velocità è una grandezza vettoriale: oltre al suo valore (medio o
istantaneo) si deve conoscerne la direzione e il verso
Ne caso monodimensionale, tuttavia, la velocità (che ha la direzione e il
verso dello spostamento) giace sempre sull’asse x
In questo caso la notazione vettoriale è ridondante e si può evitare
Il verso della velocità, espressa dal segno + o -, indica se il punto si
muove rispettivamente verso le x positive o negative
Anche della velocità si può tracciare il diagramma orario: v = v (t)
Esempio dell’ascensore:
Nell’esempio si nota che:
• dopo la chiusura delle porte, l’ascensore
comincia a salire (grafico sopra) e la velocità
aumenta
• Arrivata ad una valore massimo, la velocità
rimane costante
• All’avvicinarsi del piano la velocità comincia
decrescere fino ad annullarsi
v 
s
t
vist  v 
Carlo Pagani & Flavia Groppi
ds
dt
vist (t )  v(t) 
ds (t )
dt
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Fisica x Informatica – Lez. 3 - 2011-12
Accelerazione in un moto rettilineo
Laccelerazione è la variazione della velocità nell’unità di tempo
L’accelerazione è una grandezza vettoriale: oltre al suo valore (medio o
istantaneo) si deve conoscerne la direzione e il verso
Ne caso monodimensionale (moto rettilineo) l’accelerazione ha la direzione
della velocità e dello spostamento e giace quindi sempre sull’asse x.
In questo caso la notazione vettoriale è ridondante e si può evitare
Il verso dell’accelerazione, espressa dal segno + o -, indica se nel punto la
velocità cresce (+) o decresce (-)
Anche dell’accelerazione si può tracciare il diagramma orario: a = a (t)
Esempio dell’ascensore:
Nell’esempio si nota che
• Nel tratto in cui la velocità aumenta, l’accelerazione è
diversa da zero e positiva
• Quando la velocità rimane costante l’accelerazione è
nulla
• Nel tratto in cui la velocità diminuisce, l’accelerazione è
diversa da zero e negativa
v
a 
t
dv(t ) d dx(t ) d 2 x
aist (t )  a(t ) 

 2
dt
dt dt
dt
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica – Lez. 3 - 2011-12
Formule riepilogative
 
r2  r1
Spostamento da P1 a P2
P1 = P
Velocità media tra P1 a P2
Velocità in P1 = P
Spostamento da P1 a P2
Accelerazione media tra P1 a P2
Accelerazione in P1 = P
Velocità da P1 a P2
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica – Lez. 3 - 2011-12
Moto rettilineo uniforme
L’accelerazione è nulla. Questa è la definizione !
a(t )  0
La velocità è costante. E’ uguale al valore all’istante iniziale t=0 (ovvero v0):
t
v(t )  v (0)   a (t ) dt  v(0)  v0
0
Lo spostamento è dato da una semplice formula, in cui s0 è lo spostamento a
t=0:
t
s (t )  s (0)   v (t ) dt  s0  v0t
0
E’ un caso particolare delle formule precedenti. Disegnare le leggi orarie !
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica – Lez. 3 - 2011-12
Moto uniformemente accelerato: leggi orarie
L’accelerazione è costante
a (t )  a0  a
Velocità:
t
v (t )  v0   a (t ) dt  v0  a t
0
Spostamento:
t
1
s (t )  s0   v (t ) dt  s0  v0 t  a t 2
2
0
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica – Lez. 3 - 2011-12
Esempio numerico
Una Ferrari arriva da ferma alla velocità di 100 km/ora in 3 secondi.
Supponendo che l’accelerazione sia costante, determinare:
– Il valore dell’accelerazione
– La velocità raggiunta dopo 2 secondi
Svolgimento:
– Se a=cost= <a> =ao si ha:

a (t ) ms
2













dv (t ) ms 1
v ms 1
2

  a ms 
 ao ms  2  v(t ) ms 1  ao ms  2  t
dt s 
t s 

verifica : a (t ) ms
2






dv(t ) ms 1
d


(ao ms  2  t s )  ao ms  2
dt s 
dt s 

– Sappiamo che v (3 s) = 100 km/ora = 105 [m] /3600 [s] = 27.8 m/s
– Quindi ao = cost = v (3 s) [ms-1] / 3 [s] = 27.8/3 [ms-2] = 9.27 [ms-2]
ao = 9.27 [ms-2]
– La velocità dopo 2 secondi è:
v(2s) = ao t = cost t = 9.27[ms-2] 2[s] = 18.5 [m/s] = 18.5(3600/103) [km/ora] →
v(2s) ≃ 68 km/ora
Carlo Pagani & Flavia Groppi
v(2s) = 18.5 [ms-1] = 68 [km/h]
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Fisica x Informatica – Lez. 3 - 2011-12
Moto circolare uniforme - 1
Il moto circolare è un modo in due dimensioni che, se trattato in
coordinate polari, appare come un moto in una dimensione,   t,
poiché l’altra coordinata, r, è costante. E’ detto uniforme se la frequenza
angolare d(t)/dt= (t)= 0 = costante. 0 è detta pulsazione
y
 = (t) = o t
r = r(t) = ro
v(t)
P(t)
In coordinate cartesiane si ha invece:
x = x(t) = ro cos(o t)
y = y(t) = ro sin(o t)
Definizioni:
r a (t)
c
s

t = spostamento angolare
(t) = d(t)/dt = o = velocità angolare
’(t) = d(t)/dt = 0 accelerazione angolare
Ma anche, rispetto alla coordinata curvilinea s
v(t) = ds/dt = ro d/dt = ro o = velocità tangenziale
a(t) = d2s/dt2 = ro d2/dt2 = 0 = acc. tangenziale
E rispetto alle coordinate cartesiane x(t) e y(t)
vx(t) = dx(t)/dt = ro d(cos(o t)/dt = - ro o sin(0 t)
vy(t) = dy(t)/dt = ro d(sin(o t)/dt = ro o cos(o t)
Nota: l’accelerazione a = ac = ax i + ay j
Carlo Pagani & Flavia Groppi
accelerazione centripeta
ax(t) = dvx(t)/dt = - ro ocos(0 t)
ay(t) = dvy(t)/dt = - ro osin(0 t)
è diretta verso il centro ed è detta centripeta
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Fisica x Informatica – Lez. 3 - 2011-12
x
Moto circolare uniforme - 2
Alcune considerazioni sul moto circolare uniforme
Se lo esprimiamo in coordinate polari (o con la coordinata curvilinea s)
otteniamo una legge del moto, ma in termini scalari e ci manca
y
l’informazione vettoriale
Definizioni importanti
(t) = o t
r(t) = ro
v (t) = ro o
at(t) = (accelerazione tangenziale)
o = pulsazione
 =o/2 = frequenza
T = 1/ = periodo
v(t)
r
P(t)
ac(t)
s

x
Se lo esprimiamo in coordinate cartesiane
l’informazione è completa e scopriamo che
l’accelerazione c’è, ma è ortogonale a v
r(t) = x(t) i + y(t) j = ro cos(o t) i + ro sin(o t) j
v (t) = vx(t) i + vy(t) j = - ro o sin(o t) i + ro o cos(o t) j
a(t) = ax(t) i + ay(t) j = - ro 2o cos(o t) i - ro 2o sin(o t) j
|r(t)| = ro = cost
|v (t)| = ro o = cost
|a(t)| = |ac(t)| = ro 2o = cost
Carlo Pagani & Flavia Groppi
e anche
18
|r(t)| = x2 + y2 = r0
|v(t)| = vx2 + vy2 = ro o
|a(t)| = ax2 + ay2 = ro 2o
v(t) r(t)
v(t) a(t)
r(t)
Fisica x Informatica – Lez. 3 - 2011-12
Riepilogo della Cinematica
Con la cinematica descriviamo il moto dei corpi attraverso una
equazione del moto, detta anche legge, o equazione, oraria
Cartesiano
Polare
P = P (r(t) , (t) , (t) )
r = r (|r(t)| , (t) , (t) )
P = P (x(t) , y(t) , z(t) )
r = r (x(t) , y(t) , z(t) )
Nota la legge oraria, la matematica ci permette di ricavare la traiettoria
del moto e le altre grandezze caratteristiche: velocità e accelerazione
– L’equazione che descrive la traiettoria si ricava, se possibile, dalla legge
oraria eliminando, per sostituzione, la variabile t
– La velocità, istantanea, in ogni punto P(t) = r (x(t), y(t), z(t)) = r (t) è data dalla
derivata della legge oraria nel punto stesso: v = d/dt r(t) [m s-1]
– L’accelerazione, istantanea, in ogni punto P(t) = r (x(t), y(t), z(t)) = r (t) è data
dalla derivata della velocità nel punto stesso: a = d/dt v(t) = d2/dt2 r(t) [m s-2]
Analogamente, attraverso l’integrazione, che è l’operazione inversa
della derivazione, note la velocità o l’accelerazione, in funzione del
tempo possiamo ricavare la legge oraria, e quindi la traiettoria:
r(t) =∫v(t) dt +ro v(t) =∫a(t) dt + vo r(t) =∬a(t) dt + vo t + ro
Nota: in questo caso è però necessario che venga fornita la posizione del
corpo e la sua velocità all’istante iniziale t = 0 (ovvero t = to )
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica – Lez. 3 - 2011-12
Riassunto su derivate e integrali
La derivata di una funzione x=x(t) rispetto alla variabile di cui è funzione è il
passaggio al limite del rapporto x/t per t che tende a 0
x(t )  x ' (t )  x(t )
( x ' (t )  x(t ))
dx  lim
x ' x
t  t '  t
dx(t ) d
Δx(t )
Δx(t )
 x(t )  lim
 lim
x ' x
t 't
dt
dt
t
t
Derivate più comuni
(t '  t )
dx  lim
t 't
d
d
d
d
(C t )  C
(C t 2 )  2C t
(C t 3 )  3C t 2
C 0
dt
dt
dt
dt
d
d
d
d
sin (α(t))  cos(α(t)) α(t)
cos(α(t))   sin (α(t)) α(t)
dt
dt
dt
dt
L’integrale, che ne è l’operazione inversa, è la somma finita di quantità
infinitesime. L’integrale tra t=0 e t della funzione v(t) lo possiamo pensate come
l’ “area” sottesa dalla funzione v(t) tra t=0 e il punto generico t
t
t
 v (t ) dt  
x
0
0
t
t
 a (t ) dt  
x
0
0
t
t
Nel caso unidimensionale
dx(t )
dt   dx(t )  x(t )  x(0)  x(t )  x0  x(t )   vx (t ) dt  x0
dt
0
0
dvx (t )
dt   dvx (t )  vx (t )  vx (0)  vx (t )  v0, x  vx (t )   a x (t ) dt  v0, x  se a x (t )  a x  cos t
dt
0
0
t
t
t
t
t
t
0
0
 dx  x(t )  x   v (t ) dt   ( a (t ) dt  v
0
x
0
x
0
t
0, x
se a(t) = cost = a
v(t) = a t + v0
vx (t )  a x t  v0, x
) dt se a x (t )  a x  cos t  vx (t )  a x t  v0, x 
x(t) = ½ a t2 + vot + x0
t
1
1
 x(t )  x0   a x (t ) dt   (a x t  v0, x )dt  a x t 2  v0, x t o anche x(t )  a x t 2  v0, x t  x0
2
2
0
0
t
t
 k dt  k t  k t0  k ( t  t0 )
t0
Integrali più comuni
t
 kt dt  k  t dt  k (
t0
t0
t
se t0  0
si ha :
 k dt  k t
t
0
t
 cos(α t ) dt 
t0
t
1
sin(α t ) dt  C
α t0
k
 kt dt  2 t
e
t 2 t02
k
 )  (t 2 -t02 )
2 2
2
k  cost
2
0
t
 sin(α t ) dt  
t0
t
1
cos(α t ) dt  C
α t0
Nota: le costanti, dette di integrazione e indicate genericamente tutte con C, sono necessarie perché l’
”area” dipende dal valore della funzione x(t) a t = t0. Questo valore va fornito separatamente, come
condizione iniziale, non essendo l’informazione contenuta nella derivata
Carlo Pagani & Flavia Groppi
20
Fisica x Informatica – Lez. 3 - 2011-12
Obiettivi esercizi Cap. 2 (RHW)
Saper ricavare velocità ed accelerazione, nota la legge
oraria.
Saper svolgere problemi su: moto rettilineo uniforme,
uniformemente accelerato, circolare
Carlo Pagani & Flavia Groppi
21
Fisica x Informatica – Lez. 3 - 2011-12
Esescizi Lezione 3
Esercizi da: John R. Gordon, Ralph V. McGrew, Raymond A. Serway, John W. Jewett
Jr. Esercizi di Fisica. Guida ragionata alla soluzione (EdiSES).
2-1: Una particella si muove lungo l’asse delle x, e la sua
posizione in funzione del tempo è riportata in figura. Sulla
base dei dati trovare la velocità media della particella negli
intervalli di tempo: a) da 0 a 2 s, b) da 0 a 4 s, c) da 2 s a 4 s,
d) da 4 s a 7 s, e) da 0 a 8 s.
[ a) 5 m/s, b) 1.25 m/s, c) -2.5 m/s, d) -3.3 m/s, e) 0 m/s ]
2-5: Un’aereo atterra alla velocità di 100 m/s e, per fermarsi, può accelerare al massimo
di - 5 m/s2. Determinare: a) dal momento che tocca il suolo l’intervallo di tempo minimo
necessario per fermarsi, b) La lunghezza minima della pista necessaria per fermarsi.
[ a) 20 s, b) 1000 m ]
2-6: Nel primato di velocità su terra del 1954, una slitta a razzi ha raggiunto la velocità di
632 miglia/h e successivamente è stata fermata in modo sicuro in 1,40 s. Determinare:
a) l’accelerazione che è stata applicata per fermare la slitta e b) lo spazio percorso
durante la frenata. [ a) -202 m/s2, b) 198 m ]
2-7: Una studentessa lancia un mazzo di chiavi ad un’amica affacciata alla finestra. La
mano dell’amica che afferra le chiavi è ad un’altezza 4 m superiore rispetto alla mano al
momento del lancio. Sapendo che le chiavi vengono afferrate dopo 1.5 s dal lancio
determinare la componente verticale della velocità: a) al momento del lancio, b) quando
le chiavi vengono afferrate. Spiegare perché la velocità orizzontale non entra in gioco.
[ a) 10 m/s, b) -4.68 m/s ]
Carlo Pagani & Flavia Groppi
22
Fisica x Informatica – Lez. 3 - 2011-12
Esescizi Lezione 3 - continua
Esercizi da: John R. Gordon, Ralph V. McGrew, Raymond A. Serway,
John W. Jewett Jr. Esercizi di Fisica. Guida ragionata alla soluzione
(EdiSES).
7-9: Un’acrobata, seduta su un ramo, si lascia cadere sulla sella di un
cavallo che sopraggiunge al galoppo, alla velocità di 36 km/h.
Sapendo che la distanza in verticale tra il ramo e la sella è di 3 m,
determinare: a) la distanza in orizzontale alla quale deve trovarsi il
cavallo al momento in cui l’acrobata l’ascia il ramo, b) il tempo in cui
resta in aria prima di raggiungere la sella. [ b) 0.782 s, a) 7.82 m ]
In assenza di gravità, una massa M = 1 kg è attaccata a una fune
(massa trascurabile) di lunghezza L=1m e compie un moto circolare
uniforme con velocità v = 10 m/s. Determinare il valore delle seguenti
altre grandezze caratteristiche del moto: raggio dell’orbita, velocità
angolare, accelerazione angolare, accelerazione centripeta, forza
centripeta, tensione a cui è soggetto il filo, periodo, frequenza. [R = 1 m,
 = 10 s-1, ’ = 10 s-1, ac = 100 m/s-2, Fc = 100 N, Te = 100 N, T = 0.628 s,  = 1.59
Hz ]
Carlo Pagani & Flavia Groppi
23
Fisica x Informatica – Lez. 3 - 2011-12
Università degli Studi di Milano
Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali
Corsi di Laurea in: Informatica ed Informatica per le Telecomunicazioni
Anno accademico 2011/12, Laurea Triennale, Edizione diurna
FISICA
Lezione n. 4 (4 ore)
Leggi di Newton - Piano inclinato - Attrito
Carlo Pagani (A-G) & Flavia Maria Groppi (H-Z)
Dipartimento di Fisica – Laboratorio LASA
Via F.lli Cervi 201, 20090 Segrate (Milano)
web page: http://wwwsrf.mi.infn.it/Members/pagani
e-mail: [email protected] & [email protected]
Introduzione alla Dinamica
Con la cinematica descriviamo il moto dei corpi attraverso una
equazione del moto, detta anche legge, o equazione, oraria
Cartesiano
Polare
P = P (r(t) , (t) , (t) )
r = r (|r(t)| , (t) , (t) )
P = P (x(t) , y(t) , z(t) )
r = r (x(t) , y(t) , z(t) )
Nota la legge oraria, la matematica ci permette di ricavare la traiettoria
del moto e le altre grandezze caratteristiche: velocità e accelerazione
La Dinamica descrive il perché un corpo si muove,
collegandone il movimento alle grandezze che lo
producono, e cioè le forze ad esso applicate
La Dinamica classica si basa sui 3 principi di Newton
(più il principio di relatività di Galileo)
– 1° - Principio di inerzia
– 2° - Principio della conservazione della quantità di moto
– 3° - Principio di azione e reazione
Carlo Pagani & Flavia Groppi
2
Fisica x Informatica – Lez. 4 - 2011-12
I principi della Dinamica
Principio di relatività galileiana
Le leggi della fisica hanno la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento inerziali,
cioè in moto tra loro di moto rettilineo uniforme
1° Principio o principio di Inerzia
Se un corpo è fermo o si muove di moto rettilineo uniforme, vuol dire che non è
soggetto a forze oppure che la risultante delle forze che agiscono su di esso è
nulla. Viceversa, se la risultante delle forze applicate a un corpo è nulla, esso è
fermo o si muove di moto rettilineo uniforme
2° Principio o principio della conservazione della quantità di moto
In ogni istante l'accelerazione di un corpo è determinata dalla forza che agisce
su di esso: l'accelerazione ha la stessa direzione e lo stesso verso della forza, il
suo modulo è proporzionale alla forza e inversamente proporzionale alla massa
del corpo
3° Principio o principio di azione e reazione
Se su un corpo agisce una forza, allora esiste un altro corpo che provoca tale
forza e su cui agisce una forza uguale e contraria
Carlo Pagani & Flavia Groppi
3
Fisica x Informatica – Lez. 4 - 2011-12
Relatività e Principio di Inerzia
Principio di relatività galileiana
Le leggi della fisica hanno la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento inerziali,
cioè in moto tra loro di moto rettilineo uniforme.
1° Principio della dinamica o principio di Inerzia
Se un corpo è fermo o si muove di moto rettilineo uniforme, vuol dire che non è
soggetto a forze oppure che la risultante delle forze che agiscono su di esso è
nulla. Viceversa, se la risultante delle forze applicate a un corpo è nulla, esso è
fermo o si muove di moto rettilineo uniforme.
L’insieme di questi due principi ci dice che lo stato naturale di un corpo, non
soggetto a forze, ovvero soggetto a forze la cui somma vettoriale (risultante)
sia nulla, è quello di muoversi di moto rettilineo uniforme
Il fatto di essere in quiete o in moto dipende soltanto dal sistema di
riferimento che adottiamo, visto che le leggi della fisica non cambiano rispetto
a due sistemi di riferimento in moto tra loro di moto rettilineo uniforme
Un passeggero che si trovi su un treno o un’automobile che viaggiano su
un rettilineo a velocità costante (moto rettilineo uniforme) non percepisce in
alcun modo il movimento. Nessuna delle cose che può fare risentono del
fatto che sia in moto. Se fa un esperimento di fisica (lascia per esempio cadere
un oggetto), può fare misure o previsioni teoriche senza che i risultati ne siano
affetti
Carlo Pagani & Flavia Groppi
4
Fisica x Informatica – Lez. 4 - 2011-12
Secondo Principio della Dinamica
2° Principio della dinamica o della conservazione della quantità di moto
In ogni istante l'accelerazione di un corpo è determinata dalla forza (“non equilibrata”)
che agisce su di esso: l'accelerazione ha la stessa direzione e lo stesso verso
della forza, il suo modulo è proporzionale alla forza e inversamente proporzionale
alla massa del corpo.
Possiamo allora dire che se un corpo è soggetto ad “azioni” che ne alterano lo “stato
naturale” questo si manifesta con una accelerazione. Le “azioni” che alterano lo stato di
quiete o di moto rettilineo uniforme sono le “forze”.
Le forze, nei nostri esempi di spinta o trazione, sono grandezze vettoriali in quanto per
essere definite è necessario fornire il valore della loro intensità (modulo), ma anche la
direzione e il verso.
Come possono essere misurate le forze in meccanica ?
– La risposta sta proprio nel modo in cui è definita la forza attraverso il secondo principio della
dinamica. La forza è una azione in grado di modificare lo stato naturale di moto dei corpi.
La forza ed è pertanto misurabile proprio a partire da come il moto di un corpo si discosta dal
moto rettilineo uniforme, variando la sua velocità, cioè accelerando.
Attenzione: tra la forza e l’accelerazione, che hanno dimensioni diverse, c’è di mezzo
una costante, la massa, che è la proprietà del corpo che “risponde” alla forza
Carlo Pagani & Flavia Groppi
5
Fisica x Informatica – Lez. 4 - 2011-12
Equazione di Newton
F=ma
Questa equazione è l’espressione matematica del 2° principio:
In ogni istante l’accelerazione di un corpo è proporzionale alla forza che agisce su di esso
Il coefficiente di proporzionalità tra le due grandezze vettoriali è l’inverso di una
grandezza scalare, che è una proprietà del corpo e che chiamiamo massa
Alcune conseguenze importanti
l'accelerazione ha la stessa direzione e lo stesso verso della forza, ma non le stesse
dimensioni: a [ms-2] , m [kg] , F [kg m s-2 ] ⇒ [N] = [kg m s-2 ]
La massa è la costante di proporzionalità tra la forza e l’accelerazione da essa prodotta
La massa viene quindi definita attraverso questa sua proprietà
def
def
m = F/a
Maggiore è la massa di un corpo, maggiore dovrà essere la forza necessaria per dare al
corpo una data accelerazione
La forza è sempre intesa come la risultante di tutte le forze applicate: F = Fi ⇒
F = Fx i + Fy j + Fy k =  (Fi,x) i +  (Fi,y) j +  (Fi,z) k
ed essendo l’accelerazione proporzionale alla forza attraverso uno scalare si ha:
a= ax i + ay j + ay k = (1/m)  (Fi,x) i + (1/m)  (Fi,y) j + (1/m)  (Fi,z) k
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica – Lez. 4 - 2011-12
Composizione delle forze
La forza che produce l’accelerazione è sempre la risultante delle
forze applicate al corpo, cioè la loro somma vettoriale
Nella composizione delle forze si dovrà anche tener conto della
eventuale forza resistente che si oppone al movimento del corpo (ad
esempio l’attrito sulla superficie sulla quale avviene il movimento)
In questo esempio la forza applicata, Fap ,è pari a (275+395) N e quella resistente, Fres , è pari a 560 N
Fres = Fres,x i = - 560 i
Fap = Fap,x i + Fap,y j + Fap,z k = 275 i + 395 i = 570 i [N]
F = Fi = 10 i
F = 10 N
Altri esempi
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica – Lez. 4 - 2011-12
Digressione sulle forze in natura
In natura esistono quattro forze fondamentali, con cui è possibile
descrivere tutti i fenomeni naturali noti
Forza Gravitazionale
è la forza responsabile di tutti i fenomeni astronomici, è la forza che ci tiene con
“i piedi per terra”, che fa cadere gli oggetti e ci fa percepire la massa attraverso
la forza peso ⇒ Legge di gravitazione universale di Newton
Forza Elettromagnetica
è la forza che lega gli elettroni al nucleo ed è responsabile di tutti i fenomeni
elettrici e magnetici ⇒ Equazioni di Maxwell
Forza Nucleare forte
è la forza che lega i mattoni più elementari della materia. Mantiene unite le
particelle, ed impedisce ai nuclei di disintegrarsi per la reciproca repulsione fra
protoni, tutti carichi positivamente
Forza Nucleare debole
è responsabile, tra l’altro, dei decadimenti radioattivi
Qualsiasi forza è riconducibile a queste quattro
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica – Lez. 4 - 2011-12
Gravità ⇒ Massa e Peso - 1
A causa della forza gravitazionale, Fg, due oggetti qualunque, siano
essi particelle, pianeti o galassie, si attraggono reciprocamente con una
forza proporzionale al prodotto delle loro masse
Fg  G
dove
M1 M 2
r2



Fg kg m s  2  G kg 1 m 3 s  2
 M kg 
 M kg
r m 
1
2
2
2
– G [kg-1 m3 s-2] è la costante di gravitazione che vedremo in seguito
– M1 e M2 sono le masse degli oggetti
– r è la distanza tra gli oggetti (o meglio tra i loro centri di massa)
La forza è diretta come r, cioè secondo la congiungente i centri di massa
Conseguenza: sulla superficie terrestre ogni oggetto ha un “peso”
Definizione: il peso PM di un corpo di massa M è il modulo della forza di
attrazione gravitazionale della terra che agisce su di esso (a livello del mare).
detti: RT il raggio della terra, MT la sua massa, M la massa dell’oggetto, PM il suo peso,si ha:
3
 5.97 10 24  kg 
M terra M
m
11  m







6
.
67
10
PM N   G
M
kg
g

2
2
6 2
2
 s 2
Rterra
kg
s

 (6.37 10 ) m
 

  M kg  M  g N 
g = 9.81 ms-2
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica – Lez. 4 - 2011-12
Gravità ⇒ Massa e Peso - 2
Alcune considerazioni
Il peso è l’effetto su una massa dell’attrazione gravitazionale terrestre
Il peso è il modulo di una forza (vettore), con modulo, direzione e verso
La direzione e il verso di Fg sono quelli dell’ accelerazione di gravità g
Il valore esatto di |g| dipende dalla
posizione sulla superficie terrestre
Fg = g m
L’accelerazione di gravità g è definita dalla relazione vettoriale:
g = -|g| j
nell’ipotesi che si usi un sistema di coordinate cartesiano con l’asse y diretto
verso l’alto. Il peso P di un oggetto e: P = m g
Esercizio: calcolare la massa della terra sapendo che G = 6.67 10-11 [N m2 kg-2] e
che il raggio della terra, rT , è: rT = 6.37 103 km
Poiché conosciamo i valori delle grandezze G e rT, e abbiamo misurato g, possiamo
scrivere:
gG


 



 



MT
gr 2 9.81 ms 2  (6.37 106 ) 2 m 2 9.81 ms 2  (6.37 106 ) 2 m 2
m 3 s 2
24




M


 6.0 10 24 kg 
6
.
0
10
T
2
2
11
2
11
2 2
2
1 3  2
G
6.67 10 Nm kg
6.67 10 kgms m kg
kg m s
rT


la massa della terra è quindi: M = 6.0 1024 kg
T
Carlo Pagani & Flavia Groppi
10


e parlare di peso della terra non ha senso
Fisica x Informatica – Lez. 4 - 2011-12
Misura del peso
Il peso P è una grandezza scalare e positiva, in quanto definito come il modulo
della forza Fg. La sua misura si effettua misurando la forza di gravità che agisce
sull’oggetto
Nel primo caso si misura il peso di un oggetto confrontandolo con dei pesi noti. Quando la
bilancia è in equilibrio i due pesi sono uguali
Nel secondo caso si misura l’allungamento di una molla prodotto dalla forza peso,
sapendo che l’allungamento è proporzionale alla forza applicata. Graduando la scala si
legge il peso
Nota: non è corretto esprimere il peso in kg. Il peso è il modulo di una forza e si
esprime in newton [N]. Il peso di una massa di 1 kg è uguale a 9.81 N.
Si suole definire il chilogrammo peso, kgw ≡ 1 kg · g , da cui la confusione
1 kgw = 9.81 [N] = 9.81 [kg m s-2] ≠ 1 kg [kg] anche se hanno lo stesso valore
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica – Lez. 4 - 2011-12
Terzo Principio della Dinamica
3° Principio della dinamica o principio di azione e reazione
Se su un corpo agisce una forza, allora esiste un altro corpo su cui agisce
una forza uguale e contraria
F
F
Nota: Le due forze sono identiche ma vengono esercitate su corpi diversi,
con masse differenti. Quindi l’effetto indotto da queste due forze identiche
può essere sensibilmente differente
Esempio
Carlo Pagani & Flavia Groppi
36
 0.0033 m / s 2
11000
 36

 0.39 m / s 2
92
aastronave 
F = 36 N
mastronave = 11000 kg
muomo = 92 kg
auomo
12
Fisica x Informatica – Lez. 4 - 2011-12
Altri tipi di forze: Forza normale
La “forza normale” è la forza di reazione alla forza di gravità prodotta
dall’appoggio su cui è posato un corpo di massa m. Essa è la forza
esercitata dall’appoggio, deformandosi, per sostenere il corpo appoggiato
La forza normale è una conseguenza del
3° principio della dinamica
La forza Normale è sempre perpendicolare alla
superficie e si indica con la lettera N
Se il corpo è in equilibrio la risultante delle
Forze ad esso applicate è nulla
Se la risultante delle forze è diversa da 0,
essa produrrà movimento
FN
Nota: la forza normale FN è la reazione dell’
appoggio ed è quindi sempre normale alla
superficie. Se la superficie non è orizzontale
Il suo modulo |FN| è minore di P = |Fg|
Fg
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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
Fisica x Informatica – Lez. 4 - 2011-12
Altri tipi di forze: Forza di attrito
La forza di attrito è la forza che si oppone al movimento di un
corpo sul suo piano di appoggio. Essa è dovuta all’interazione
tra le asperità delle superfici (attrito statico), ovvero alla
dissipazione di energia dovuta allo sfregamento tra le due
superfici quando sono in movimento (attrito dinamico)
Al crescere della forza applicata, la forza di reazione prodotta
dall’attrito statico cresce fino ad un valore massimo, fs
Superato il valore fs il corpo comincia a muoversi e la forza di
reazione prodotta dall’attrito, detto ora dinamico, si stabilizza
ad un valore più basso, fk
Carlo Pagani & Flavia Groppi
14
Fisica x Informatica – Lez. 4 - 2011-12
Ancora sulla forza di attrito dinamico
Le forze di attrito fs e fk
– sono proporzionali alla forza normale FN attraverso i coefficienti di attrito
detti: s e k . Nota: i coefficienti di attrito s e k dipendono dai materiali e dallo
stato delle loro superfici
– si oppongono al moto
– sono ortogonali a FN , e quindi paralleli alla superficie di scorrimento
|fs| = fs ≤ s FN
|fk| = fk = k FN
FN
fs
FN
fk
Fg sin
Fg

FN
fk
Fg sin
Fg

Fg sin
Fg

fs = Fg sin ≤ s FN
fk = k FN = Fg sin
fk = k FN < Fg sin
Il corpo resta fermo (in quiete)
Il corpo si muove di moto
rettilineo uniforme
Il corpo si muove di moto
uniformemente accelerato
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica – Lez. 4 - 2011-12
Altri tipi di forze: Resistenza del mezzo
Se un oggetto si muove in un mezzo che non sia il vuoto, il fluido (aria, acqua,
ecc.) in cui si muove esercita una forza, detta forza di resistenza del mezzo (o
coefficiente di resistenza aerodinamica), che si oppone al movimento
Poiché il movimento è prodotto dalla risultante di tutte le forze che agiscono sul
corpo, spesso questa forza non può essere trascurata
La forza che si oppone al movimento ha, in ogni punto, la direzione di v (P), ma
ha verso opposto. In sintesi ha la direzione e il verso di – v(P).
Il modulo di questa forza, indicata comunemente con D, è solitamente dato da
un’espressione empirica del tipo:
D = ½ C A v2 ∝ A v2
Dove:
–
–
–
–
C è il coefficiente aerodinamico (C = 0.1÷ 0.4)
A è l’area massima del corpo in movimento (perpendicolare al moto)
v è il modulo della velocità del corpo
 è la densità (massa volumica) del mezzo in cui si muove
I calcoli diventano normalmente parecchio complicati poiché la forza risultante,
proporzionale all’accelerazione, dipende dal quadrato della velocità
Carlo Pagani & Flavia Groppi
16
Fisica x Informatica – Lez. 4 - 2011-12
Altri tipi di forze: Tensione
Quando un filo è fissato ad un corpo soggetto ad una forza, il filo è sotto
tensione
Il filo esercita sul corpo una forza di trazione T applicata al punto di
fissaggio del filo e diretta lungo il filo
La tensione T della corda è il modulo di tale forza
Se il sistema è in equilibrio, ogni
elemento della corda è in equilibrio,
cioè soggetto ad un sistema di forze
a risultante nulla
Se in moto accelerato, ogni
elemento della corda è accelerato,
cioè soggetto ad un sistema di forze
a risultante ≠0
In generale le corde, o funi,
trasferiscono una forza da un punto
ad un altro
Usando anche le carrucole possiamo
trasferire una forza cambiandone
anche la direzione e il verso
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica – Lez. 4 - 2011-12
Altri tipi di forze: Forza elastica
La forza elastica è la forza che si oppone
alla deformazione di un corpo quando è
soggetto ad una forza che, a causa di un
vincolo non può produrre accelerazione
Una deformazione è elastica quando,
soppressa la forza che l’ha prodotta, il corpo
ritorna nella forma o posizione di riposo
Tutti i corpi sono in grado di rispondere
elasticamente ad una sollecitazione,
superata la quale la deformazione diventa
permanente: regime plastico
L’esempio tipico è la molla che, se tirata o
compressa, reagisce con una forza F che è
proporzionale allo spostamento, ma con
verso opposto (si oppone allo spostamento)
Detta k [N / m] la costante elastica della
molla, nell’esempio della figura la forza F
generata dalla molla è:
F=-kd=-kxi
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica – Lez. 4 - 2011-12
Altri tipi di forze: Forza centripeta
La forza centripeta è una forza diretta verso il centro di curvatura di una
traiettoria. Essa si ha quando l’oggetto compie una curva
Così come una forza (risultante di tutte le forze) che agisce su una massa produce
un’accelerazione, e quindi una variazione di velocità, e quindi un moto, se un corpo è
soggetto ad una accelerazione è necessario che ci sia una forza che l’ha generata
Facendo calcoli del moto circolare uniforme, dal punto di vista cinematico,
abbiamo trovato che l’accelerazione aveva solo una componente ortogonale al
moto e diretta verso il centro. Questa accelerazione, responsabile del cambio di
direzione della velocità (costante in modulo) l’abbiamo chiamata centripeta
La forza centripeta è la forza che genera l’accelerazione centripeta secondo
la solita legge di Newton: F = m a
Riscrivendo quanto visto in cinematica per il moto circolare uniforme:
y
v(t)
P(t)
r(t) = x(t) i + y(t) j = ro cos(o t) i + ro sin(o t) j
v(t) = vx(t) i + vy(t) j = - ro o sin(o t) i + ro o cos(o t) j
a(t) = ax(t) i + ay(t) j = - ro 2o cos(o t) i - ro 2o sin(o t) j
|r(t)| = ro = cost
|v(t)| = ro o = cost
|a(t)| = |ac(t)| = ro 2o = cost
Carlo Pagani & Flavia Groppi
|r(t)| = x2 + y2 = r0
|v(t)| = vx2 + vy2 = ro o
|a(t)| = ax2 + ay2 = ro 2o
r
a(t)

Fcentripeta (t) = m acentripeta (t)
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Fisica x Informatica – Lez. 4 - 2011-12
s
x
Alcune note
Forza centrifuga
La forza centrifuga è una forza “apparente” che percepiamo quando ci troviamo
in un sistema di riferimento non inerziale (cioè che subisce un’accelerazione)
Se siamo su una moto in curva, noi e la moto, per curvare, avremo applicata una
forza centripeta, che sarà in equilibrio (3° principio) con la reazione vincolare, della
strada e del sellino. Poiché noi siamo sulla moto e siamo collegati, in ogni istante,
al sistema che genera la reazione vincolare, quello che percepiamo non è la forza
centripeta ma la reazione vincolare ad essa, cioè la forza centrifuga
La forza centrifuga (apparente perché non esiste nel sistema inerziale in cui
descriviamo il moto) è, come ogni reazione vincolare, uguale ed opposta alla forza
(centripeta) che la genera
Caduta di un corpo e resistenza del mezzo
Il campo gravitazionale terrestre applica ad ogni corpo
la stessa accelerazione g = cost, a prescindere dalla
sua massa e dalla sua forma. Il fatto che una piuma e
Un sasso non presentino la stessa legge del moto se
fatti cadere dalla torre di Pisa è solo una conseguenza
della resistenza dell’aria (che dipende da: A, v e C)
Carlo Pagani & Flavia Groppi
20
Fisica x Informatica – Lez. 4 - 2011-12
Obiettivi esercizi Cap. 5 e Cap. 6 (RHW)
Saper trovare la risultante di più forze che agiscono su un
corpo
Saper applicare i principi della dinamica in vari contesti
Saper ricavare la legge del moto dato un sistema di forze
agenti su un corpo
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica – Lez. 4 - 2011-12
Esescizi Lezione 4
1.
Una massa di 0.2 kg si trova su un piano orizzontale. Una forza F1 agisce verso destra e
un’altra forza F2 agisce verso sinistra, e i valori delle due forze sono rispettivamente 4 N
e 2 N.
a) Trovare forza e accelerazione risultanti. [Fris.= 2 N , aris = 10 m s-2 ]
Un’ulteriore forza F3 del valore di 1 N si aggiunge: essa agisce lungo una direzione di 30
gradi verso il basso rispetto all’orizzontale da sinistra a destra.
b) Trovare i nuovi valori di forza e accelerazione ? [ F = 2.87 N, a = 14.35 m s-2 ]
2.
Un elettrone di massa 9.11 10-31 kg ha una velocità iniziale di 3 105 m/s. Esso viaggia
in linea retta e la sua velocità aumenta fino ad essere 7·105 m/s in una distanza di 5 cm.
Assumendo che la sua accelerazione sia costante,
a) determinare la forza sull’elettrone [ 3.64·10-18 N ]
b) confrontare questa forza con il peso dell’elettrone, che avevamo trascurato. [ 8.93 ·10-30 N ] Eserciziario Serway, 4.2
3.
Un blocco su un piano inclinato liscio con inclinazione di 20 gradi possiede una velocità
iniziale di 5 m/s. Di quanto scivola in salita il blocco prima si arrestarsi? [3.73 m] Eserciziario Serway, 4.5
4.
Una moneta è appoggiata su un libro che è stato inclinato di un angolo  rispetto al piano
orizzontale. Per successive approssimazioni si trova che, quando  raggiunge i 13°, la
moneta è sul punto di scivolare lungo il libro (ovvero un piccolissimo incremento
dell’angolo la farebbe scivolare). Qual è il coefficiente d’attrito statico μs tra moneta e
libro. - Esercizio Halliday, 6.3. [μs=0.23]
Carlo Pagani & Flavia Groppi
22
Fisica x Informatica – Lez. 4 - 2011-12
Esescizi Lezione 4 - continua
5.
Un blocco di massa m=15 kg è trattenuto da una fune su un piano liscio inclinato di 27
gradi. (a) Quanto valgono la forza normale e la tensione della fune ? (b) Ora tagliamo la
corda: quanto vale l’accelerazione del blocco verso il basso ? - Esercizio Halliday 5.7. [ (a)
FN=130 N, T=67 N. (b) a = -4.4 m/s2]
6.
Una slitta si trova sulla neve, su un piano inclinato di 30º. La slitta ha una massa M = 5
kg, e un ragazzo la tiene ferma con una fune sottile di massa trascurabile. Se il
coefficiente di attrito statico è μs = 0.10, qual è la forza T che il ragazzo deve esercitare
per tenere ferma la slitta [T=20.26 N ] ? Dopo un certo tempo, il ragazzo lascia libera la
slitta, senza spingerla (dunque con velocità iniziale nulla). Se la slitta scivola per 10 m
lungo il pendio, che velocità finale v raggiunge [v=9.19 m/s] ? Si assuma che il coefficiente
di attrito dinamico d sia ugale a 0.08. - Tema d’esame gennaio 2008
Esercizi da: John R. Gordon, Ralph V. McGrew, Raymond A. Serway, John W. Jewett Jr. Esercizi di
Fisica. Guida ragionata alla soluzione (EdiSES).
4-1: Due forze, F1 e F2, agiscono su un corpo di massa
M = 5.00 kg. Se F1 = 20.0 N e F2 = 15.0 N, si trovi
l’accelerazione nei due casi in figura [ (4.00i + 3.00j) m/s2 ;
(5.50i + 2.60j) m/s2 ]


4-4: Un corpo di massa 1.00 kg si muove, sotto l’azione di due forze, con un’accelerazione di 10.0 m/s2 in
una direzione che forma un angolo di 30.0° rispetto all’orizzontale. Una delle due forze è verticale,
diretta verso l’alto, e ha modulo pari a 5.00 N. Determinare la seconda forza che agisce sul corpo,
esprimendola in forma cartesiana e polare. [ F = (8.66 i ) N ; F = 8.66 N,  = 0° ]
Carlo Pagani & Flavia Groppi
23
Fisica x Informatica – Lez. 4 - 2011-12
Esescizi Lezione 4 - continua
4-6: Nel sistema mostrato in figura una forza orizzontale di modulo
Fx agisce su un oggetto di massa 8.00 kg al quale è appesa, attraverso
una fune e una carrucola, una massa di 2 .00 kg. Trascurando tutti gli
attriti determinare:
a) i valori di Fx per i quali l’oggetto appeso accelera verso l’alto [Fx > 19.6 N]
b) i valori di Fx per i quali la tensione sulla fune è nulla [Fx < - 78.4 N]
c) Disegnare il diagramma dell’accelerazione dell’oggetto da 8 kg
in funzione della forza Fx che varia da -100 N a 100 N.
5-1: Un blocco di 3.00 kg parte da fermo dalla sommità di un piano inclinato di 30° e scivola
percorrendo una distanza di 2.00 m in 1.50 s. Determinare: a) l’accelerazione del blocco [a=1.78 m/s2],
b) il coefficiente di attrito dinamico tra il blocco e il piano [ d = 0.368 ], c) la forza di attrito che agisce sul
blocco [f = 9.37 N], d) la velocità del blocco dopo aver percorso i 2.00 m [vf = 2.67 m/s].
5-9: Consideriamo il caso di una meteora che si trovi a transitare ad una distanza dalla superficie
terrestre pari a 3.00 volte il raggio della terra (Rterra = 6.37·103 km). Determinare l’accelerazione di
caduta libera della meteora dovuta alla forza di gravità che agisce su di essa. [ g = 0.613 m/s2 ]
Carlo Pagani & Flavia Groppi
24
Fisica x Informatica – Lez. 4 - 2011-12
Università degli Studi di Milano
Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali
Corsi di Laurea in: Informatica ed Informatica per le Telecomunicazioni
Anno accademico 2011/12, Laurea Triennale, Edizione diurna
FISICA
Lezione n. 5 (4 ore)
Moti in due dimensioni, 2D
Quantità di moto, conservazione, impulso
Carlo Pagani (A-G) & Flavia Maria Groppi (H-Z)
Dipartimento di Fisica – Laboratorio LASA
Via F.lli Cervi 201, 20090 Segrate (Milano)
web page: http://wwwsrf.mi.infn.it/Members/pagani
e-mail: [email protected] & [email protected]
Equazione di Newton in 2D e 3D
F=ma
Questa equazione può essere proiettata sulle tre
direzioni indipendenti x, y e z
La forza è
F = Fx i + Fy j + Fy k =  (Fi,x) i +  (Fi,y) j +  (Fi,z) k
e dunque si ha:
Fx = max
Fy = may
Fz = maz
Carlo Pagani & Flavia Groppi
2
Fisica x Informatica – Lez. 5 - 2011-12
Caduta libera e moto parabolico
Sono questi due moti dovuti all’accelerazione di gravità, g, prodotta
dalla forza di gravità, Fg
y
Come si procede:
1.
2.
3.
4.
Si sceglie il sistema di coordinate
Si ricava l’accelerazione dalle forze
Si ricava l’equazione del moto dall’accelerazione
Si applicano le condizioni iniziali
Esempio del grattacielo:
0







Fg



Fg  m g   Fg j  m g j   m g j  a g 
g j
m
1 2
v y (t )   g t  v0 y e y (t )   g t  v0 y t  y0
2
Esempio del proiettile:
-gm
-gm
Fx  0  a x  0 ; x(0)  x0 , y (0)  y0 ; vx (0)  v0 x , v y (0)  v0 y
vx (t )  a x t  v0 x  v0 x
v y (t )  a y t  v0 y   g t  v0 y
1
a x t 2  vx 0 t  x0  v0 x t  x0
2
1
1
 y (t )  a y t 2  v0 y t  y0   g t 2  v0 y t  y0
2
2
-gm
 x(t ) 
Nota: i risultati non dipendono dalla massa m
Carlo Pagani & Flavia Groppi
3
-gm
-gm
g
-gm
Fisica x Informatica – Lez. 5 - 2011-12
Moto parabolico (seguito)
Se P(0)=0, le equazioni del moto sono:
-gm
-gm
La traiettoria si ottiene eliminando il tempo:
-gm
-gm
-gm
g
-gm
Altra formula specifica: gittata R (punto di
ritorno alla quota si partenza)
Altra formula specifica: coordinata x del punto
più alto della traiettoria:
Attenzione: le formule della traiettoria, della gittata e del punto più alto
non sono formule generali, valgono solo nelle condizioni indicate sopra:
in particolare esse presuppongono che: P(0)=0 e che yfinale = y(0) = 0
Carlo Pagani & Flavia Groppi
4
Fisica x Informatica – Lez. 5 - 2011-12
Esercizio sul moto parabolico
In figura è rappresentato un proiettile lanciato verso un terrapieno di altezza h con velocità
iniziale v0 = 42.0 m/s e angolo di lancio 0 = 60° sopra il piano orizzontale. Il proiettile cade nel
punto A, 5 s dopo il lancio. Calcolare: a) l’altezza del terrapieno, b) la velocità del proiettile
all’impatto, c) la massima altezza, H, che esso ha raggiunto sopra il livello del terreno. Si
trascuri la resistenza dell’aria.
y
I dati del problema sono:
 x0 = y0 = 0
tf = 5 s
0 = 60°
 v0.x= 42.0 cos(0) = 21.0 m/s
v
 v0.y= 42.0 sin(0) = 36.4 m/s
x
 y(tf )= h ?
Utilizzando le equazioni di pagina precedente, calcolo i valori di x(t) e y(t) all’istante t = tf
vx (t f )  v0, x

x(t f )  v0, x t f  21 5m  105 m
1
2
v y (t f )  a y t f  v0, y   g t f  v0, y  y (t f )   g t f 2  v0, y t f  h  
9.83 2
 5  36.4  5  59.1 m
2
Per calcolare il valore di H notiamo che il proiettile raggiunge la quota massima quando la
sua velocità verticale si annulla per passare da ascendente (vy > 0) a discendente (vy < 0).
Calcolo quindi il valore di tH al quale vy = 0 e poi sostituisco il valore trovato nella y (t) poiché H
= y (tH)
v0, y 36.4m s -1 
v y (t H )   g t H  v0, y  0  t H 
g


1
1
H  y (t H )   gt 2f  v0, y t f    9.83 ms  2
2
2
Carlo Pagani & Flavia Groppi
   3.70 s 
 3.7 s  36.4ms  3.7s  67.4 m
9.83 m s -2
5
2
2
1
Fisica x Informatica – Lez. 5 - 2011-12
Il moto armonico
Le oscillazioni sono onnipresenti nella vita quotidiana, dalle vibrazioni alla
musica. Il moto oscillatorio fondamentale è il moto armonico semplice.
Ad esempio, il moto associato ad una forza elastica, cioè proporzionale
allo spostamento con segno opposto, genera un moto armonico!
L’andamento della coordinata di spostamento (x) nel tempo è
rappresentato da una funzione caratteristica, detta sinusoide.
Carlo Pagani & Flavia Groppi
6
Fisica x Informatica – Lez. 5 - 2011-12
Legge oraria del moto armonico
L’equazione caratteristica di un moto periodico o armonico ed i suoi
parametri principali sono:
Grandezza
Unità SI
Frequenza
hertz, Hz
1 Hz = 1 oscillazione al secondo
Periodo
s
Tempo per un’oscillazione completa
T1
Escursione massima dalla posizione
di equilibrio
xm
Ampiezza
Pulsazione
Simbolo / Relazione


radianti/s
Carlo Pagani & Flavia Groppi

7
2
 2
T
Fisica x Informatica – Lez. 5 - 2011-12
Dinamica del moto armonico
Nota la legge oraria possiamo ricavare le espressioni di velocità ed
accelerazione del moto armonico:
dx d
vt    xm cos t      xm sin  t    at   dv   2 xm cos t   
dt dt
dt
E con queste, applicare il II principio della dinamica:


F  m a   m 2 x   k x ; k  m 2
Dunque il classico sistema massa-molla è caratterizzato da un moto
armonico semplice e lineare per cui vale:
k
m
– Pulsazione

– Periodo
T  2
Carlo Pagani & Flavia Groppi
m
k
8
Fisica x Informatica – Lez. 5 - 2011-12
Il pendolo semplice
L’oscillatore lineare è un valido modello per un grande numero di
sistemi fisici in cui è presente un’oscillazione, ad esempio il pendolo
La scomposizione delle forze per un generico angolo  permette
di ricavare l’espressione della forza di richiamo:
Fosc   Fg sin    mg sin  
Non si tratta dunque di una forza di richiamo lineare!
Ma per piccoli angoli vale sempre che:
sin    
E dunque, solo per piccoli scostamenti, possiamo scrivere:
Fosc   Fg sin     m g sin     m g    k 
; k  mg
Otteniamo infatti una legge di moto armonico per la variabile :
 g 
2
L
   0 sin t    0 sin t  ; T 
 2

g
 L 
Carlo Pagani & Flavia Groppi
9
Fisica x Informatica – Lez. 5 - 2011-12
Gravitazione
Newton per primo mise in relazione la forza che attira gli oggetti alla superficie
terrestre con la forza che vincola i corpi celesti e formulò qualitativamente la legge
di gravitazione universale:
Ogni corpo dotato di massa esercita una forza attrattiva gravitazionale su
ogni altro oggetto massivo, e a sua volta subisce la stessa attrazione
La legge di gravitazione può essere espressa così:
m1m2
F G 2
r
m1 ed m2 sono le masse dei corpi, r è la distanza tra loro e
G, la costante di gravitazione universale, ha valore pari a:
G  6,67 10 11
N  m 2 / kg 2
E’ proprio un classico esempio di azione e reazione
secondo la III legge della dinamica
Carlo Pagani & Flavia Groppi
10
Fisica x Informatica – Lez. 5 - 2011-12
Gravitazione - 2
La legge della gravitazione può essere espressa in forma vettoriale nel
seguente modo:


m1 m2 
m1 m2 r
G 2 r
F G 2
r
r
r
– L’elemento r̂ è detto versore, è un vettore di modulo unitario diretto lungo la
congiungente le due particelle
Una sfera di materiale uniforme da un punto di vista gravitazionale attira
una particella posta al suo esterno come se tutta la massa fosse
concentrata nel suo centro
Se un corpo interagisce per gravitazione con n altri corpi, vale
il principio di sovrapposizione: la forza risultante è data dalla somma
dei singoli effetti
n 

F1   F1i
i 2
– Questo si applica anche ad un corpo esteso, usando gli integrali
Carlo Pagani & Flavia Groppi
11
Fisica x Informatica – Lez. 5 - 2011-12
Le leggi di Keplero ed il moto dei pianeti
Johannes Kepler, astronomo tedesco (1571-1601), arrivò a formulare tre leggi
empiriche che governano i moti dei pianeti. In seguito Newton dimostrò come si
possano tutte derivare dalla legge della gravitazione
• 1° legge o legge delle orbite:
Tutti i pianeti si muovono su orbite ellittiche,
di cui il sole occupa uno dei due fuochi
•2° legge o legge delle aree:
Il segmento che collega un
pianeta al sole descrive
aree uguali in tempi uguali
•3° legge o legge dei periodi:
Il quadrato del periodo di un
pianeta è proporzionale al cubo
del semiasse maggiore della sua orbita
Carlo Pagani & Flavia Groppi
12
Fisica x Informatica – Lez. 5 - 2011-12
3° legge di Keplero per i pianeti
Orbita circolare ⇒
Moto Circolare Uniforme
T r
2
Orbita ellittica
T a
3
2
3
2

 3
4

2
 a
T  
 G M Sole 
E le cose si fanno molto più complicate
Attraverso il II principio della dinamica e
le leggi del moto circolare possiamo
esprimere la terza legge di Keplero come:
2

 3
4

2
 r
T  
 G M Sole 
Carlo Pagani & Flavia Groppi
13
Fisica x Informatica – Lez. 5 - 2011-12
Il centro di massa - 1
Il centro di massa di un corpo o di un sistema di corpi è il punto che
si muove come se vi fosse concentrata tutta la massa e vi agissero
tutte le forze esterne
Per un sistema costituito da n masse concentrate
mi e dalla massa totale peri a M in uno spazio a tre
dimensioni il centro di massa ha coordinate:
xcdm
1

M
n
m x
i 1
i i
;
ycdm
1

M
n
m y
i 1
i
i
; zcdm
1

M
n
m z
i 1
i i
n
M   mi
i 1
Le tre equazioni scalari possono essere sostituite
da un’unica equazione vettoriale
 1 n




rcdm  xcdm i  ycdm j  zcdm k 
 mi ri
M i 1

 n
 n
 1  n
1 n
mi ri 
mi xi i   mi yi j   mi zi k 



M i 1
M  i 1
i 1
i 1

Carlo Pagani & Flavia Groppi
14
Fisica x Informatica – Lez. 5 - 2011-12
Il centro di massa - 2
Le coordinate del centro di massa di un sistema di masse concentrate,
dipendono dal sistema di riferimento (ma questo non è vero per la sua
posizione rispetto alle masse stesse)
m1= 1 kg ;
m2= 3 kg
d=4m
x1= 0
; x2= d = 4 m
x1= 1.5
n
M   mi  1 kg  3 kg  4 kg
n
M   mi  1 kg  3 kg  4 kg
i 1
i 1
xcdm
1

M
n
1
mi xi 
(1  0  3  4)[kg m]  3 m

4 kg
i 1
m1= 1 kg ;


1 n
rcdm 
m
r
 ii
M i 1


rcdm  xcdm i  ycdm
Carlo Pagani & Flavia Groppi
; x2= x1 + d = 5.5 m
xcdm 
1
M
n
m x
i 1
i i

1
(11.5  3  5.5)[kg m]  4.5 m
4 kg
m2= 1.5 kg ; m3= 2 kg ; M = 4.5 kg ; a = 150 cm



r1  0 i  0 j
 a
3 
r1  i 
aj
2
2
 150 m2  75 m3  130 m3 


j  83.3 i  57.7 j cm
j
i
M
M
15



r2  a i  0 j
Fisica x Informatica – Lez. 5 - 2011-12
La quantità di moto
Definiamo la quantità di moto o momento lineare di un corpo puntiforme
il vettore:


p  mv
m = massa del corpo
v = velocità del corpo
La formulazione originale del II principio della dinamica è data proprio in funzione
della quantità di moto! Vale infatti l’equazione:

 dp
F
dt
Che non è altro che un’enunciazione perfettamente equivalente della già vista:

 dp d


dv
F
 (m v )  m
 ma
dt
dt dt
“La rapidità di variazione del momento di una particella
è proporzionale alla forza netta che agisce sulla
particella e ha la stessa direzione di quella forza”
Carlo Pagani & Flavia Groppi
16
Fisica x Informatica – Lez. 5 - 2011-12
Conservazione della quantità di moto
Nel caso di un sistema di più corpi dalla massa totale M definiamo la
quantità di moto totale del sistema come:


P  M vcdm
vcdm è le velocità del centro di massa del sistema
Dalla definizione stessa di quantità di moto segue che, per un sistema di
più particelle che:
• sia isolato: la risultante di tutte le forze esterne è nulla
• sia chiuso: nessuna particella entra o esce dal sistema
vale che:
Frisult .  0 

dP
0 
dt
P = costante => Piniziale = Pfinale
E’ il principio di conservazione della quantità di moto.
Carlo Pagani & Flavia Groppi
17
Fisica x Informatica – Lez. 5 - 2011-12
Conservazione quantità di moto - 2
Esempio: Un’astronave che procede alla velocità di 2100 km/h espelle uno stadio esaurito
di massa pari al 20% della massa totale e alla velocità relativa vr = 500 km/h. Determinare
la velocità finale dell’astronave dopo l’espulsione.
Il sistema è chiuso e vale la conservazione
della quantità di moto => Pf = Pi
Pi = M vi = Pf = M [0.8 vf + 0.2 (vf – vr)] =>
=> vf = vi + 0.2 vr = (2100 + 100) = 2200 km/h
Esempio: Un disco esplode al centro in tre pezzi che si muovono senza attrito su un
piano. Determinare la velocità di un pezzo note le direzioni delle velocità, la suddivisione
della massa e una delle velocità delle parti
Dati: MA=0.5M MB=0.2M
MC=0.3M
vC = 5 m/s
vB ? vA ?
Il sistema è chiuso e vale la conservazione della quantità di
moto => Pf = Pi = 0.
Px = - MA vA + MC vC cos(80°) + MB vB cos(50°) = 0
Py = 0 + MC vC sin(80°) - MB vB sin(50°) = 0 =>
MB vB = MC vC sin(80°)/sin(50°) => vB = 1.5 vC sin(80°)/sin(50°) =
vB = 9.94 m/s
vA = MC vC cos(80°) + MB vB cos(50°) = 3 m/s
Carlo Pagani & Flavia Groppi
18
Fisica x Informatica – Lez. 5 - 2011-12
Impulso
La quantità di moto rappresenta un potente mezzo per la risoluzione
di problemi legati alla collisione tra due o più corpi.
Durante l’urto una forza rapidamente variabile F(t) agisce per un tempo breve, da
t1 a t2, inducendo una variazione della quantità di moto p di un corpo. Possiamo
scrivere:
variazione di quantità di moto
 
dp  F t  dt


p2
t
 2 
 dp   F t  dt

p1
t1
 t2 
J   F t  dt
definizione di impulso

 

p  p 2  p1  J
teorema dell’impulso
J  p  F t
forza media che agisce
nell’intervallo di tempo t
t1
Carlo Pagani & Flavia Groppi
19
Fisica x Informatica – Lez. 5 - 2011-12
Esercizi Lezione 5
Esercizi da: John R. Gordon, Ralph V. McGrew, Raymond A. Serway, John W. Jewett Jr.
Esercizi di Fisica. Guida ragionata alla soluzione (EdiSES).
3-3 : In un bar, un avventore lancia lungo il banco un boccale di birra vuoto perché sia
riempito. IL barista non lo intercetta e il boccale cade alla distanza di 1.40 m dal banco.
Sapendo che l’altezza del banco è h=0.860 calcolare: a) la velocità vettoriale del boccale
al momento del distacco, b) la velocità vettoriale del bicchiere appena prima dell’impatto.
[ vo=(3.34 i + 0 j) m/s ; vf =(3.34 i – 4.11 j) m/s ]
3-4 : Un calciatore calcia il pallone ad una distanza di 36.0 m dalla porta, la cui traversa è
alta 3.05 m. Il pallone lascia il suolo con un angolo di 53.0° rispetto all’orizzontale e
velocità di 20 m/s. Sulla base dei dati si determini: a) a che distanza il pallone passa
sopra o sotto la traversa [ + 0.89 m, sopra ]; b) se il passaggio in prossimità della traversa
avviene in fase ascendente o discendente [in fase discendente] .
3-12 : Uno sciatore lascia la rampa di salto con una velocità di 10.0 m/s a 15° al di sopra
dell’orizzontale. Sapendo che dopo il salto la pista procede con inclinazione pari a -50°
rispetto all’orizzontale e trascurando l’attrito dell’aria calcolare: a) la distanza alla quale
atterra il saltatore sulla discesa [ vo=(9.66 i + 2.59 j) m/s ; df =43.2 m] , b) la velocità vettoriale
al momento dell’impatto [ tf = 2.88 s ; vf =(9.66 i – 25.6 j) m/s ],
8-2 : Una palla d’acciaio di 3.00 kg colpisce un muro verticale d’acciaio con una velocità
di 10.0 m/s che forma un angolo di 60° rispetto al piano del muro. Supponendo l’urto sia
perfettamente elastico e che il tempo in cui la palla resta in contatto con la superficie sia
di 0.200 s, determinare, in forma vettoriale, la forza media che la parete esercita sulla
palla nel periodo in cui le fornisce l’impulso. [ F = -260 i N ]
Carlo Pagani & Flavia Groppi
20
Fisica x Informatica – Lez. 5 - 2011-12
Esercizi Lezione 5 - continua
8-3 : Una lunga tavola di massa pari a 300 kg è ferma su una superficie ghiacciata sulla quale può
muoversi senza attrito. Sopra la tavola una ragazza di 45 kg inizia a camminare con velocità costante
pari a 1.5 m/s. Determinare la velocità relativa alla superficie del ghiaccio: a) della ragazza, b) della
tavola. [ vr = 1.15 i m/s, vt = - 0.346 i m/s ]
Un corpo di massa M = 1 kg viene lanciato all’inizio di un piano
L= 6 m
inclinato di lunghezza L = 6 m che forma un angolo  = 30° con
M = 1 kg
il piano orizzontale. Sapendo che l’attrito dinamico d = 0.2 e
 = 30°
che l’energia cinetica iniziale del corpo è Ek = 50 J, determinare:
a) la velocità del corpo al momento in cui abbandona il piano
inclinato [ 4.56 m/s ], b) il tempo trascorso da quando il corpo abbandona il piano inclinato al suo
impatto col suolo [1.048 s ], c) la distanza dal piano inclinato a cui cade il corpo [ 4.14 m] .
Un satellite artificiale terrestre percorre, a una quota di 105 m rispetto alla superficie terrestre, un’orbita
circolare di periodo uguale a 94 minuti e 32 secondi. Sapendo che il raggio medio terrestre è 6.38·106
m, si determinino: il raggio dell’orbita del satellite [R=6.48·106 m], la sua velocità tangenziale
[v=7.18·103 m/s], la sua velocità angolare [=1.11·10-3 rad/s], e l’accelerazione centripeta [ac=8.0 ms-2].
Un corpo di massa m =1000 g si trova alla base di un piano inclinato di 30° rispetto al piano orizzontale
e lungo 30 m. Il corpo parte con velocità iniziale v0 = 20 m/s, diretta lungo il piano e verso l’alto. Se il
piano è senza attrito, che velocità ha il corpo alla fine della sua corsa [vf =10.3 m/s] ? Se a tale
estremità si trova una molla di costante elastica k=15000 N/m, di quanto si comprime tale molla
[xm=8.4 cm] ? Ripetere l’esercizio supponendo che tra il piano e il corpo si eserciti una forza di attrito
dinamico caratterizzata da un coefficiente d = 0.1 [v’f =7.4 m/s , x’m=6.1 cm] .
Carlo Pagani & Flavia Groppi
21
Fisica x Informatica – Lez. 5 - 2011-12
Università degli Studi di Milano
Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali
Corsi di Laurea in: Informatica ed Informatica per le Telecomunicazioni
Anno accademico 2011/12, Laurea Triennale, Edizione diurna
FISICA
Lezione n. 6 (4 ore)
Lavoro ed energia (cinetica e potenziale)
Carlo Pagani (A-G) & Flavia Maria Groppi (H-Z)
Dipartimento di Fisica – Laboratorio LASA
Via F.lli Cervi 201, 20090 Segrate (Milano)
web page: http://wwwsrf.mi.infn.it/Members/pagani
e-mail: [email protected] & [email protected]
L’energia
La definizione di energia non è univoca ! Da un punto di vista
squisitamente tecnico l’energia è una grandezza fisica scalare
associata allo stato o condizione di uno o più corpi.
A patto di definire in modo corretto:
– Il valore da attribuire alla grandezza energia per un dato sistema
– Le regole con cui essa si trasferisce
la quantità di energia complessiva del sistema rimane sempre
invariata: principio di conservazione dell’energia !
L’unità di misura SI dell’energia è il joule (J),
dal nome del fisico inglese James P. Joule (1818-1889).
Carlo Pagani & Flavia Groppi
2
Fisica x Informatica – Lez. 6 - 2011-12
Energia cinetica
L’energia associata allo stato di moto di un corpo è l’energia cinetica.
Un corpo di massa m e velocità v (finché v è molto inferiore alla velocità
della luce, ovvero v << c ) possiede un’energia cinetica pari a:
K = ½ m v2
Dunque:
2
m
[ J ]  [ kg
s
2
]
Alcuni esempi:
piccione in volo:
m  1,0 kg ; v  2.0 m / s ; K  2 kg m 2 s 2  2 J
locomotiva: m  100 t  105 kg ; v  100 km / h  27,8 m / s ; K  3.9 107 kg m 2 s 2  3.9 107 J
…
protone di LHC:
≃ 1 10-6 J
…
≃ 350 106 J !!
fascio di protoni di LHC:
Carlo Pagani & Flavia Groppi
3
Fisica x Informatica – Lez. 6 - 2011-12
Lavoro
L’energia trasferita ad un corpo da una forza oppure da un altro corpo
tramite una forza è il lavoro L
Il lavoro è in effetti un trasferimento di energia, dunque è una
grandezza scalare e si misura anch’esso in joule (J)
Intuitivamente il lavoro incarna il familiare concetto di “fatica”, ma
attenzione:
– il lavoro è proporzionale sia allo spostamento effettuato sia alla forza
impiegata
– Una forza che accresca l’energia del corpo effettua un lavoro positivo, una
che lo riduca effettua un lavoro negativo
– la componente della forza che “lavora” è quella che induce direttamente lo
spostamento, cioè quella parallela alla spostamento
– senza variazione di energia non vi è lavoro: sostenere un peso fermo non
comporta lo svolgimento di lavoro !
Carlo Pagani & Flavia Groppi
4
Fisica x Informatica – Lez. 6 - 2011-12
Definizione di lavoro
Possiamo mettere in relazione le formule viste finora per un caso
semplice: corpo in moto monodimensionale, senza attrito.


F  ma ; Fx  max
v 2  v 2  2a x d
0
(moto unif . acc.)
1 2 1 2
mv  mv 0  Fx d
2
2
L  Fx d
Quindi con un espressione di valore generale, nel caso di forza costante
applicata ad una massa puntiforme:
 
L  F  d  F d cos  
Ovvero il lavoro è il prodotto scalare dei vettori forza e spostamento
Dunque il lavoro è positivo se la forza ha una componente nella direzione dello
spostamento (lavoro motore), ed è negativo se la forza ha una componente
opposta allo spostamento (lavoro resistente)
2
v  v0
v 2  v02
1 2 v0 v  v0  1 v  v0 
* v  v0  at  t 
d  x  x0  v0t  at 


a
Carlo Pagani & Flavia Groppi
2
a
5
2
a
2a
Fisica x Informatica – Lez. 6 - 2011-12
*
Teorema dell’energia cinetica
L’equazione appena ricavata contiene un risultato dal valore ancor più
generale, e noto come il teorema dell’energia cinetica:
1
1
2
m v 2  m v0  K  K 0  Fx d  L
2
2
K  K  K 0  L
Ovvero:
Variazione di energia
cinetica di una particella
=
Lavoro totale svolto sulla
particella
1
dK  m d ( v 2 )  m v dv  m ( v dt )(dv / dt )  m a dx  F dx  dL
2
•
•
Il teorema è valido per un corpo puntiforme (appunto, particella), oppure
per un corpo esteso ma rigido.
Il lavoro totale è la somma algebrica dei lavori svolti singolarmente da
ciascuna forza.
Carlo Pagani & Flavia Groppi
6
Fisica x Informatica – Lez. 6 - 2011-12
Lavoro nel caso generale
Nel caso più generale in cui ad una particella è applicata una
forza non costante, dunque variabile in modulo o direzione,
Il lavoro è espresso da un integrale di linea.
• Caso monodimensionale:
L j  F j x ; F j valore medio di F nel j  esimo x


xf
L  lim( x0)  F j x   F ( x) dx
xi
• Caso bidimensionale:
– I vettori forza e spostamento variano entrambi
lungo una traiettoria l
l
L 
Carlo Pagani & Flavia Groppi



F  ds
B
A
l ( A ,B )
7
Fisica x Informatica – Lez. 6 - 2011-12
Lavoro delle forze gravitazionale ed elastica
Lavoro Lg della forza gravitazionale:
Fg  mg
Lg  mg (h2  h1 ) cos( )  mgd cos( )
Lg  mgd cos(180)  mgd
Lg  mgd cos(0)  mgd
- in salita
- in discesa
x
Lavoro Le della forza elastica:
– Conosciamo l’espressione della forza di richiamo
elastica, la legge di Hooke, quindi applichiamo
quanto appena visto:
xf
xf
 
 1 
Le   F dx   (kx) dx    k  x 2
 2 
xi
xi
Le 
1 2 1 2
k xi  k x f
2
2
Carlo Pagani & Flavia Groppi
xf
xi

 1 
   k  x 2f  xi2
 2 
K

m
8
Fisica x Informatica – Lez. 6 - 2011-12
Potenza
La potenza è legata alla rapidità con cui viene sviluppata una certa
quantità di lavoro.
L
t
Potenza media:
P
Potenza istantanea:
dL  
P
 F v
dt
L’unità SI della potenza è il watt (W):
W    J 
s
Attenzione, in questo ambito sono citate spesso anche altre grandezze:
• cavallo-vapore (CV): 1 CV = 735.5 W
• wattora (Wh): 1 Wh = (1 W) (3600 s) = 3.6 103 J
Il wattora è una misura di energia!
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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L’energia potenziale
Abbiamo già visto come associare un valore di energia, l’energia
cinetica, allo stato di moto di un corpo.
Il suo valore dipende dalla velocità.
Un corpo può però possedere anche altri stati, relativi ad altre forze in
gioco e dipendenti da altre grandezze fisiche:
– Pensiamo alla forza gravitazionale: l’energia associata allo
stato di separazione di due corpi legati da tale forza è
detta energia potenziale gravitazionale Ug.
• Il suo valore dipende dalla distanza tra i due corpi
– Consideriamo ora la forza elastica: l’energia associata allo
stato di separazione di due corpi legati da tale forza è
detta energia potenziale elastica Ue.
• Il suo valore dipende dalla estensione dell’elemento elastico
rispetto al suo punto neutro
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Energia potenziale e forze conservative
Dunque:
• per le forze elastica e gravitazionale è possibile associare ad ogni punto
dello spazio una funzione scalare detta energia potenziale.
• l’energia potenziale di un corpo in un punto P è definita come l’opposto
del lavoro necessario alla forza in esame per portare il corpo stesso
da un punto di riferimento a cui si associa energia potenziale nulla,
fino al punto P.
U   L
• Le forze elastica e gravitazionale
appartengono ad una categoria di forze
dette conservative.
hP
hrif
P
rif
Se il lavoro compiuto da una forza su un corpo da
un punto A ad un punto B è indipendente dalla
traiettoria percorsa e dipendente esclusivamente
dai punti A e B, la forza è conservativa.
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica – Lez. 6 - 2011-12
Forze conservative, e non
La prima conseguenza della stessa definizione di forza conservativa è
relativa al comportamento del lavoro svolto lungo un percorso chiuso:
– Il lavoro complessivo netto svolto da una forza conservativa su una
particella che si muove lungo un percorso chiuso è zero.
Lab ,1  Lab , 2
; Lab ,1   Lba ,1 ; Laba  0
La forza peso, la forza gravitazionale, la forza elastica e la forza
elettrostatica sono tutte forze conservative.
Se nel sistema agiscono solo forze conservative, i problemi relativi al
movimento dei corpi sono molto semplificati.
Forze come quelle d’attrito, di resistenza del mezzo e forza
magnetostatica sono non conservative.
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica – Lez. 6 - 2011-12
Espressioni dell’energia potenziale
Ora siamo in possesso della relazione necessaria a determinare
l’espressione dell’energia potenziale per le forze note:
xf
 L  U    F ( x)dx
xi
• Energia potenziale gravitazionale:
yf
 
U     mg  dy  mg y 2
yf
yi
 mg y
E’ sempre possibile (e necessario)
fissare una configurazione di
riferimento per il calcolo del potenziale:
ad essa poniamo Ui = 0
ed yi = 0 o xi = 0
yi
U  y   mgy
• Energia potenziale elastica:
xf
  
U    (  kx ) dx  1 k x 2
2
xi
xf
xi
(asse y diretto verso l’alto)
 1 k x 2f  1 k xi2
2
2
U  x   1 kx 2
2
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Conservazione dell’energia
L’energia meccanica di un sistema è data dalla somma dell’energia
potenziale U e dell’energia cinetica K di tutti i corpi che lo compongono:
Emecc  K  U
Ora, se è verificato che:
– Il sistema si può assumere come isolato, cioè non viene considerata alcuna
forza esterna al sistema
– Nel sistema agiscono solo forza conservative
vale il principio di conservazione dell’energia meccanica:
Mentre l’energia cinetica e potenziale, singolarmente,
possono variare la loro somma rimane invariata!
dK  F dx  dL  dU  dK  dU  dE  0
Dati due istanti qualsiasi del moto nel sistema in esame, 1 e 2, vale che:
Emecc,1  K1  U1  Emecc, 2  K 2  U 2
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Conservazione dell’energia - 2
Esempio 1: il moto di un pendolo
• “travaso” ciclico dell’energia potenziale
U in energia cinetica K!
Esempio 2: la caduta libera
• Trasformazione dell’iniziale energia
potenziale in energia cinetica!
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica – Lez. 6 - 2011-12
Conservazione dell’energia - 3
Abbiamo anticipato che in sistemi conservativi lo studio del moto dei corpi
risulta notevolmente semplificato … valutiamo questo esempio:
Conoscendo v0, y0 e y, come
determinare la velocità v ?
Agisce solo la forza di gravità e
non vi è attrito.
Applicando “ciecamente” il 2° principio della dinamica dovremmo
conoscere l’espressione esatta della curvatura della pista !!
La conservazione dell’energia ci offre una semplice via d’uscita:
Emecc  1 mv 2  mgy  Emecc, 0  1 mv02  mgy0
2
2
v  v ( y )  v02  2 g  y0  y 
Carlo Pagani & Flavia Groppi
16
Neppure la massa
del corpo è
necessaria alla
soluzione!
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Esercizio: conservazione dell’energia
I dati del problema sono:
PTarzan  688 N
; L  18m ; h  3.2m ; Tmax  950 N
Se la liana ha una tensione di rottura Tmax = 950 N,
arriverà Tarzan da Jane o la liana si romperà ?
Valutiamo Il bilancio delle forze ponendoci nel sistema di
riferimento non inerziale solidale con Tarzan:
L
T
L’equilibrio sulla liana:
PT sin
Fc
PT
mT v 2
T  PT cos  
L
Tarzan
v è sempre tangente all’arco percorso
h
(= perpendicolare alla liana).

Per la conservazione dell’energia meccanica,
assumendo U=0 nel punto più basso:
E0  U 0  PT h  E1 
Carlo Pagani & Flavia Groppi
1
mT v 2 Quindi:
2
Tmax  PT 
17
2h
PT  932 N  950 N
L
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Curve di potenziale
Lo studio del grafico della funzione energia potenziale è particolarmente
significativo. Assumiamo un caso unidimensionale, vale che:
U ( x)   L   F ( x)x
dU ( x)
F ( x)  
(in forma differenziale)
dx
La forza associata ad una funzione di energia
potenziale è data graficamente dall’inverso della
pendenza della funzione stessa !
In particolare:
• la condizione di energia cinetica nulla
identifica il punto di inversione del moto
• un minimo nella curva di potenziale
(derivata prima nulla) identifica un
possibile punto di equilibrio del moto
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica – Lez. 6 - 2011-12
Curve di potenziale - 2
Potenziale gravitazionale: nessun possibile punto di equilibrio
6 0
5 0
Forza Peso
m = 1 kg
g = 9.8 m/s2
Energia Potenziale
4 0
3 0
2 0
U ( h )  mgh
1 0
0
-1 0
-2 0
-3 0
-4
-2
0
2
4
6
A lt e z z a
Potenziale elastico: esiste una condizione di equilibrio
50
Forza Elastica
K = 3.5 N/m
45
Energia Potenziale
40
35
U (x) 
30
1
k x2
2
25
20
15
10
5
0
-5
-4
-2
0
2
4
6
A llu n g a m e n t o
Carlo Pagani & Flavia Groppi
19
Fisica x Informatica – Lez. 6 - 2011-12
Energia potenziale gravitazionale
La forza gravitazionale è conservativa, dunque ammette un potenziale.
Per il calcolo dell’energia potenziale gravitazionale:
– Diversamente dal caso della forza peso, scelgo che la configurazione di riferimento
caratterizzata da potenziale nullo U=0 sia quella in cui i due corpi siano separati da
una distanza infinita.
– Calcolo il potenziale di un corpo di massa m a distanza R dalla terra (massa M)
assumendo che il corpo raggiunga tale punto (punto P) muovendosi dall’infinito
sempre in direzione radiale (posso scegliere qualsiasi traiettoria!)
– Faccio uso della definizione stessa di energia potenziale:
U  U finale  U iniziale
R 
R


 U P  U    L     F r   dr      F r  dr cos  





R
GM m
1
 G M m
U P  U   G M m  2 dr  


0

r
R
r



R
U P  U ( R)  
 = 180°)

U
GM m
R
– E quindi per la funzione
potenziale:
Carlo Pagani & Flavia Groppi
GM m
U r   
r
20
Fisica x Informatica – Lez. 6 - 2011-12
Indipendenza del cammino
Essendo il Lavoro dato dal prodotto scalare,



L   F (r )  dr
0
Il risultato è indipendente dal cammino di integrazione
Nei tratti del tipo B-C , D-E e F-G la forza è perpendicolare
allo spostamento e il prodotto scalare è nullo.
Nota: siccome il campo gravitazionale è conservativo, esso
è descritto da un campo scalare, Potenziale. U = U(r).
La forza gravitazionale si ottiene dal Potenziale attraverso
la relazione:

dU (r ) 
d  GM m 
GM m 
F (r )  
r   
r
 r 
dr
dr 
r 
r2
Carlo Pagani & Flavia Groppi
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Fisica x Informatica – Lez. 6 - 2011-12
Velocità di Fuga
La velocità di fuga è la velocità minima che deve avere un corpo per
sfuggire al campo gravitazionale di un oggetto di massa molto più
grande: è il caso tipico di un missile che deve sfuggire al campo
gravitazionale terrestre per poter esplorare altri pianeti.
Poiché l’energia potenziale del campo gravitazionale è data da:
GM m
R
Per poter sfuggire il missile deve avere un’energia cinetica minima uguale
all’energia potenziale che lo trattiene quando è sulla superficie del
pianeta. Quindi, detta M la massa del pianeta e R il suo raggio, si ha:
U (r )  
Etotale  K  U 
v fuga
Carlo Pagani & Flavia Groppi
GM m
1 2
mv fuga 
0
R
2
2G M

R
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Fisica x Informatica – Lez. 6 - 2011-12
Energia del moto armonico
Applicando le espressioni dell’energia cinetica e dell’energia potenziale
elastica all’oscillatore armonico si ottiene:
– L’ energia potenziale:
U t  
1 2 1 2
k x  k xm cos 2 t   
2
2
– L’energia cinetica:
1
1
2


K t  m v  m  2 xm2 sin 2 t    
2
2
1 2
k xm sin 2 t   
2
poiché
m 2  k
– L’energia meccanica è dunque costante:
E t   U t   K t  
basta ricordare che :
Carlo Pagani & Flavia Groppi
1 2 1
1
k xm  m vm2  m  2 xm2
2
2
2
cos 2 (t   )  sin 2 (t   )  1
23
Fisica x Informatica – Lez. 6 - 2011-12
Esescizi Lezione 6
Esercizi da: John R. Gordon, Ralph V. McGrew, Raymond A. Serway, John W. Jewett Jr.
Esercizi di Fisica. Guida ragionata alla soluzione (EdiSES).
6-3: Una forza F = (6 i - 2 j) N agisce su una particella che compie uno spostamento r =
(3 i + j) m. Trovare: a) il lavoro svolto dalla forza sulla particella, b) l’angolo tra F e r. [ a)
16 J, b)  = 36.9° = 0.644 rad ]
6-6: Una cassa di 40.0 kg inizialmente ferma viene spinta per 5.00 m lungo un pavimento
orizzontale scabro con una forza costante orizzontale di 130 N. Se il coefficiente di attrito
dinamico tra cassa e pavimento è d=0.300, determinare: a) il lavoro compiuto dalla forza
applicata, b) l’energia dissipata per attrito. c) il lavoro compiuto dalla forza normale, d) il
lavoro compiuto dalla gravità, e) la variazione dell’energia cinetica della cassa e f) la
velocità finale della cassa. [ a) 650 J, b) 588 J, c) 0, d) 0, e) 62 J, f) 1.76 m/s ]
7-1 (modificato): Una sferetta di massa M = 10.0 g scivola senza
attrito lungo la guida mostrata in figura. Se la sferetta viene
lasciata andare da un’altezza h = 50 cm, si determini la sua
velocità nella posizione A. [ vA = 3.13 m/s ]
h
7-6: Un blocco di 5.00 kg viene fatto salire lungo un piano inclinato
(vedi figura) con una velocità iniziale vi = 8.00 m/s. Il blocco si ferma
dopo aver percorso 3.00 m lungo il piano. Determinare: a) la variazione di K, b) la variazione di U, c) la forza di attrito, considerata
costante, d) il coefficiente di attrito dinamico d. [ a) K = - 160 J,
b) U = 73.5 J, c) Fd = 28.8 N, d) d = 0.679 ]
Carlo Pagani & Flavia Groppi
24
A
3m
vi
30.0 °
Fisica x Informatica – Lez. 6 - 2011-12
Esescizi Lezione 6 - continua
7-10: Un blocco di 10 kg è lasciato libero nel punto A della pista mostrata in figura. La
pista è priva di attrito, fatta eccezione per il tratto orizzontale BC lungo 6 m. Il blocco
scende lungo la guida e colpisce una molla di costante elastica k = 2250 N/m,
determinandone una compressione di 0.300 m rispetto alla lunghezza iniziale di riposo.
Sulla base dei dadi determinale il coefficiente di attrito dinamico d presente nel tratto BC.
[ d = 0.328 ]
h= 3m
A
x=0.300 m
B
Carlo Pagani & Flavia Groppi
BC = 3 m
25
C
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