Università degli Studi di Milano Capacità, resistenza, legge di Ohm

Università degli Studi di Milano
Corso di Laurea in Informatica
Anno accademico 2013/14, Laurea Triennale
FISICA
Lezione n. 11 (4 ore)
Capacità, resistenza, legge di Ohm e circuiti RC
Flavia Maria Groppi (A-G) & Carlo Pagani (H-Z)
Dipartimento di Fisica – Laboratorio LASA
Via F.lli Cervi 201, 20090 Segrate (Milano)
web page: http://wwwsrf.mi.infn.it/Members/pagani
e-mail: [email protected] & [email protected]
La capacità elettrica
Una coppia di conduttori di forma arbitraria ed affacciati formano un
condensatore:
– La forma più usuale è però quella del condensatore piano: due piastre
conduttrici parallele di area A (dette armature) e separate da una distanza d.
(anche il simbolo del condensatore ricorda un condensatore piano)
– Il condensatore è detto “carico” di una carica q se i suoi piatti posseggono
una carica uguale ma di segno opposto, +q e –q. Attenzione: anche “carico”
un condensatore è complessivamente neutro!
– La carica q e la differenza di potenziale tra i piatti V (attenzione: non
useremo più  V ! ) sono tra loro proporzionali. Vale dunque la relazione:
coulomb
q
q  CV
C
capacità V
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C
C   F  farad
capacità V
volt
2
La costante di proporzionalità C
è detta Capacità Elettrica e si
misura in farad
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Il condensatore piano
Il valore di capacità di ogni condensatore è funzione della sola geometria
e del materiale racchiuso tra le armature. Nel caso del condensatore
piano:
– Scegliamo di trascurare l’effetto bordo: ipotizziamo
che il campo E sia costante e normale all’area per
tutta la superficie del condensatore.
– Grazie alla legge di Gauss possiamo calcolare il
campo elettrico E data la carica q secondo lo
schema indicato in figura:
  q
q




E
d
A
E

0
0 A
– La differenza di potenziale (che qui chiameremo
solo “potenziale”) è ottenuta integrando
dall’armatura negativa (“-”) a quella positiva (“+”).
Ottengo:
def .

V  V  V   E ds  E d
 q

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3
0 A
d
V
 C
0 A
d
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Altri condensatori: cilindrico, sferico
E’ possibile procedere allo stesso modo per condensatori di forma
arbitraria. Il risultato si semplifica nel caso di condensatori dalla
geometria definita.
Condensatore cilindrico:
– Cilindro di lunghezza L costituito da due
cilindri coassiali di raggio a e b:
C  2 0
L
ln b a 
Condensatore sferico:
– Due gusci sferici concentrici di raggio a e b, uno
dentro l’altro:
ab
C  4 0
ba
Sfera isolata:
– Di raggio R, si assume che il piatto mancante sia all’infinito:
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4
C  4 0 R
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Condensatori in serie ed in parallelo
E’ utile poter sostituire una data combinazione di condensatori con un
unico condensatore equivalente Ceq:
Condensatori in parallelo:
– Ciascun condensatore ha la stessa differenza di potenziale V
– La carica totale q è la somma delle cariche di ciascuno
q  q1  q2  q3  C1  C2  C3 V
n
 Ceq   C j
j 1
Condensatori in serie:
– Ciascun condensatore ha la stessa carica q
– La differenza di potenziale totale V è la somma
 1
1
1 
V  V1  V2  V3  q 
  
 C1 C2 C3 
n
1
1


Ceq j 1 C j
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Esempio: carica, scarica, energia
La carica di un condensatore richiede del lavoro:
Un condensatore C scarico una volta connesso ad
una batteria vede il suo potenziale crescere fino
al valore della batteria V. Allora il trasferimento
della carica q sulle armature sarà completo.
In queste condizioni il condensatore possiede
un’energia accumulata, ovvero un’energia potenziale, pari a:
q
dq
C
q
q2
L   dL   dq 
2C
C
dL  Vdq 
2
q
1
U
 CV 2
2C 2
Si assume che il condensatore mantenga invariata indefinitamente nel
tempo sia la sua energia che il suo potenziale fino a che non venga
connesso ad un circuito di scarica.
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La corrente elettrica
Passiamo dall’elettrostatica, in cui le cariche sono considerate in quiete,
allo studio delle cariche in moto, cioè della corrente elettrica.
Attenzione:
– In un conduttore equipotenziale le cariche sono libere (sono gli elettroni di
conduzione) e si spostano ad altissima velocità ed in modo casuale, in maniera che il
loro numero per unità di volume sia approssimativamente costante (1022-1023 cm-3)
– Un immaginario piano che divida il conduttore vedrebbe passare le cariche
ugualmente in entrambi i sensi: il trasporto netto di carica è nullo !
– Quando però applichiamo una differenza di potenziale (es. batteria) questo moto
casuale è leggermente influenzato e si genera un debole sbilanciamento della
corrente netta.
– Se in un lasso di tempo dt una carica dq netta varca il piano immaginario, si ha una
corrente elettrica pari a:
dq
i
dt
C
; i   A  ampere
s
La corrente è una quantità scalare anche se ad essa si assegna un verso di
scorrimento: si tratta della direzione nella quale si muoverebbero delle cariche
positive sottoposte alla stessa differenza di potenziale:
– Fisicamente nei conduttori le cariche mobili sono negative e dunque esse si muovono
in effetti in verso contrario alla corrente !
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Densità di corrente, velocità di deriva
Dato un conduttore
di sezione trasversale S, definiamo il modulo della densità

di corrente j come:
i
A
j
S
 j 
m2
Microscopicamente possiamo immaginare che all’interno di un tratto di
conduttore, di lunghezza L ed area S, n cariche (convenzionalmente positive)
per unità di volume scorrano con una velocità vd .
– vd è molto minore della reale velocità con cui si spostano le cariche nel loro moto
casuale (10-4 contro 106 m/s!).
– vd è detta velocità di deriva o di migrazione.
Possiamo quindi ricavare:
q  n S L  e
tL
– Tempo di transito:
vd
– Corrente:
i  q  n S e vd
t
– Carica totale:
S
– Quindi il vettore densità di carica ha la
direzione della velocità vd ed è dato da:
 i vd

j
 n e  vd
S vd
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Resistenza e resistività
Applicando la medesima differenza di potenziale V a campioni geometricamente
simili di materiale differente, otteniamo correnti i diverse
Un semplice modello di questo comportamento è dato in funzione della resistenza
def .
elettrica. Essa è definita come:
V
V
R
i
; [ R] 
A
   ohm
Un elemento conduttore la cui funzione sia quella di fornire un dato valore di
resistenza elettrica è detto resistore ed è rappresentato con un simbolo circuitale:
Le dimensioni del conduttore, sezione S e lunghezza L come in figura, sono
spesso scorporate dal calcolo della resistenza. Vale infatti che:
R
L
S
la costante di proporzionalità  è detta resistività: non dipende dalle
dimensioni del resistore ma solo dal materiale di cui è composto.
– La resistività di ogni materiale varie al variare della temperatura. Per quasi tutti i metalli si
assume una dipendenza lineare del tipo:
    T  T 
0
0
  coeff . termico di resistività
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Legge di Ohm
Un resistore ideale è realizzato in un materiale che appartiene alla categoria dei
conduttori ohmici. Tale categoria, che include tutti i metalli più comuni, è
costituita dai materiali che soddisfano una legge, detta legge di Ohm:
– La legge di Ohm asserisce che: “la corrente che scorre attraverso un dispositivo è
sempre direttamente proporzionale alla differenza di potenziale applicata”.
– Essa implica anche che “la sua resistenza è indipendente dal valore e dalla polarità
della differenza di potenziale applicata”
Attenzione: non tutti i dispositivi elettronici ed i materiali soddisfano tale legge:
– Si confrontino a titolo di esempio le relazioni V- i per un tipico conduttore ohmico
(sinistra) ed per una generica giunzione p-n realizzata attraverso due tipi di materiale
semiconduttore (destra).
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Potenza
Finora abbiamo sempre fatto riferimento ad una ipotetica batteria
capace di mantenere costante una differenza di potenziale V nel tempo
e simultaneamente sostenere una corrente i (ad esempio per lo studio
dei resistori …) : questo avviene al costo di una potenza elettrica!
Il modo più generale di dedurne l’espressione è:
– Dalla definizione stessa di energia potenziale:
dU
 P  iV
dt
[ P ]  V  A  volt  ampere  W  watt  J / s
U  qV
 dU  dq V  i dt V

– Il prodotto i V è detto potenza trasferita.
Nel caso specifico di un resistore caratterizzato da una resistenza R,
Legge di Ohm
vale che:
2
V  Ri 
V
Pi R
R
2
– Quest’ultima relazione definisce invece la potenza resistiva
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I circuiti elettrici
Combinazioni arbitrarie degli elementi visti finora (batterie, resistori, capacitori)
danno luogo a circuiti elettrici:
– Considereremo solo i circuiti detti DC (“Direct Current”) o in continua. Essi sono quelli in
cui la corrente elettrica è costante in intensità e verso.
La più generale “pompa di cariche” di un circuito è il generatore di forza elettromotrice o f.e.m.. La f.e.m. corrisponde ad una differenza di potenziale e si
misura in V (volt).
Rientrano in questa categoria molti familiari dispositivi:
–
–
–
–
Batterie
Generatore di corrente
Cella fotovoltaica
Cella a combustibile
f .e.m. E  V V 
La risoluzione di un circuito implica la determinazione della corrente i che vi
circola, una volta assegnata la f.e.m. ed i dispositivi connessi (R,C etc.).
– La corrente scorre da un potenziale più alto ad uno pù basso; i portatori di carica
negativi fanno il contrario.
– Spesso si impone il potenziale pari a zero in un dato punto di un circuito tramite la
“messa a terra” e l’utilizzo del simbolo:
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Composizione di resistori
Come per i condensatori, è utile poter sostituire una data combinazione di
resistori con un resistore equivalente dalla resistenza pari a Req:
Resistori in serie:
– Ciascun resistore vede la medesima corrente i
– La differenza di potenziale totale è la somma delle differenze di potenziale
V  V1  V2  V3  R1  R2  R3  i
n
 Req   R j
j 1
Resistori in parallelo:
– Ciascun resistore vede la medesima differenza di potenziale E
– La corrente è data dalla somma delle correnti
1
1
1 
i  i1  i2  i3  E  
 
 R1 R2 R3 
n
1
1


Req j 1 R j
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Circuiti a più maglie
Due semplici leggi, dette leggi di Kirchhoff, semplificano la risoluzione
di ogni circuito elettrico sia esso composto da una o più maglie:
I - Legge dei nodi: la somma delle correnti che entrano in un nodo deve
essere pari alla somma delle correnti che escono dal nodo stesso.
– è fondamentale mantenere sempre la stessa convenzione di segno
tra correnti entranti ed uscenti dal nodo
– Ad esempio, il circuito in figura:
• è costituito da 3 maglie (badb,bcdb,badcb), 3 rami (bad,bcd,bd)
e 2 nodi (b,d)
• Vale che:

nodo
ij  0
;
i1  i 3  i 2
b(d )
II - Legge delle maglie: la somma algebrica delle differenze di potenziale
rilevate su di un circuito chiuso in un giro completo è nulla.
– I fili rappresentano elementi equipotenziali:  Vfili = 0
– In tutti gli elementi “passivi” (R,C) la differenza di
potenziale è si segno opposto al verso della corrente.
– Già conosciamo i valori di differenza di potenziale per
gli elementi principali:
Vbatteria  E
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; Vresistore   i R ; Vcapacitore  
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Q
C
;
 V  0
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Appendice
Valori di resistività e del relativo coefficiente di temperatura per alcuni
materiali comuni:
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Esercizi Lezione 11
Due lampadine, che consumano 10 W ciascuna quando sono collegate in seria ad una
pila da 20 V, vengono collegate in parallelo ad una pila da 5 V. Quanto vale la resistenza
di ciascuna lampadina? Quanto consuma ciascuna lampadina nel secondo caso?
[R = 10 , P = 2.5 W].
Un filo conduttore ha un diametro di 2.0 mm , una lunghezza di 3.0 m e una resistenza di
50 m. Qual’è la resistività del materiale? [ = 5.2·10-8 ]
Dato il circuito in figura con: R1 = 4 , R2 = 2 
R3 = 4 I = 3 A, determinare le correnti I2 e I3 e
la differenza di potenziale VAB . [I2 = 2 A, I3 = 1 A, VAB = 16 V ]
Dato il circuito in figura con: R1 = R2 = R6 = 4 
R3 = 8 , R4 = R5 = 2 V = 24 V, determinare
la resistenza equivalente dell’intero circuito e la
corrente che la percorre [ Req = 12 I = 2 A ]
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Esercizi Lezione 11 - continua
Dato il circuito in figura determinare la
corrente I fornita dalla batteria [ 4.5 A ]
Due resistenze R1 e R2, rispettivamente di 6  e 12 , vengono collegate in parallelo ad
una batteria da 18 V, avente una resistenza interna di 2 . Calcolare il valore della
corrente che fluisce in ciascuna delle due resistenze e la potenza in esse dissipata
[ I1 = 2 A, I2 = 1 A, P1 = 24 W, P2 = 12 W]
Un filo con resistenza pari a 5  viene stirato uniformemente fino a raggiungere una
lungezza doppia di quella iniziale. Determinare la nuova resistenza del filo ipotizzando
che la resistività e la densità del materiale restino inalterate [ R = 20 ]
Dato il circuito in figura con: C1 = 1 F, C2 = 2 F
C3 = 3 F e V = 12 V, determinare:
a) il valore delle capacità equivalenti C12 e C123
b) il valore della tensione ai capi di C3
[ C12 = 3 FC123 = 1.5 F, VAB = 6 V ]
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