Lavoro ed energia (cinetica e potenziale)

Università degli Studi di Milano
Corso di Laurea in Informatica
Anno accademico 2013/14, Laurea Triennale
FISICA
Lezione n. 6 (4 ore)
Lavoro ed energia (cinetica e potenziale)
Flavia Maria Groppi (A-G) & Carlo Pagani (H-Z)
Dipartimento di Fisica – Laboratorio LASA
Via F.lli Cervi 201, 20090 Segrate (Milano)
web page: http://wwwsrf.mi.infn.it/Members/pagani
e-mail: [email protected] & [email protected]
L’energia
La definizione di energia non è univoca ! Da un punto di vista
squisitamente tecnico l’energia è una grandezza fisica scalare
associata allo stato o condizione di uno o più corpi.
A patto di definire in modo corretto:
– Il valore da attribuire alla grandezza energia per un dato sistema
– Le regole con cui essa si trasferisce
In un sistema chiuso la quantità complessiva di energia
rimane sempre invariata, cioè si conserva
principio di conservazione dell’energia !
L’unità di misura SI dell’energia è il joule (J),
dal nome del fisico inglese James P. Joule (1818-1889).
Flavia Groppi & Carlo Pagani
2
Fisica x Informatica – Lez. 6 - 2013/14
Energia cinetica
L’energia associata allo stato di moto di un corpo è l’energia cinetica.
Un corpo di massa m e velocità v (finché v è molto inferiore alla velocità
della luce, ovvero v << c ) possiede un’energia cinetica pari a:
K = ½ m v2
Dunque:
2
m
[ J ]  [ kg
s
2
]
Alcuni esempi:
piccione in volo:
m  1,0 kg ; v  2.0 m / s ; K  2 kg m 2 s 2  2 J
locomotiva: m  100 t  105 kg ; v  100 km / h  27,8 m / s ; K  3.9 107 kg m 2 s 2  3.9 107 J
…
protone di LHC:
≃ 1 10-6 J
…
≃ 350 106 J !!
fascio di protoni di LHC:
Flavia Groppi & Carlo Pagani
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Lavoro
L’energia trasferita ad un corpo da una forza oppure da un altro corpo
tramite una forza è il lavoro L
Il lavoro è in effetti un trasferimento di energia, dunque è una
grandezza scalare e si misura anch’esso in joule (J)
Intuitivamente il lavoro incarna il familiare concetto di “fatica”, ma
attenzione:
– il lavoro è proporzionale sia allo spostamento effettuato sia alla forza
impiegata
– Una forza che accresca l’energia del corpo effettua un lavoro positivo, una
che lo riduca effettua un lavoro negativo
– la componente della forza che “lavora” è quella che induce direttamente lo
spostamento, cioè quella parallela alla spostamento
– senza variazione di energia non vi è lavoro: sostenere un peso fermo non
comporta lo svolgimento di lavoro !
Flavia Groppi & Carlo Pagani
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Definizione di lavoro
Possiamo mettere in relazione le formule viste finora per un caso
semplice: corpo in moto monodimensionale, senza attrito.


F  ma ; Fx  max
v 2  v 2  2a x d
0
(moto unif . acc.)
1 2 1 2
mv  mv 0  Fx d
2
2
L  Fx d
Quindi con un espressione di valore generale, nel caso di forza costante
applicata ad una massa puntiforme:
 
L  F  d  F d cos  
Ovvero il lavoro è il prodotto scalare dei vettori forza e spostamento
Dunque il lavoro è positivo se la forza ha una componente nella direzione dello
spostamento (lavoro motore), ed è negativo se la forza ha una componente
opposta allo spostamento (lavoro resistente)
2
v  v0
v 2  v02
1 2 v0 v  v0  1 v  v0 
* v  v0  at  t 
d  x  x0  v0t  at 


a
Flavia Groppi & Carlo Pagani
2
a
5
2
a
2a
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*
Teorema dell’energia cinetica
L’equazione appena ricavata contiene un risultato dal valore ancor più
generale, e noto come il teorema dell’energia cinetica:
1
1
2
m v 2  m v0  K  K 0  Fx d  L
2
2
K  K  K 0  L
Ovvero:
Variazione di energia
cinetica di una particella
=
Lavoro totale svolto sulla
particella
1
dK  m d ( v 2 )  m v dv  m ( v dt )(dv / dt )  m a dx  F dx  dL
2
•
•
Il teorema è valido per un corpo puntiforme (appunto, particella), oppure
per un corpo esteso ma rigido.
Il lavoro totale è la somma algebrica dei lavori svolti singolarmente da
ciascuna forza.
Flavia Groppi & Carlo Pagani
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Lavoro nel caso generale
Nel caso più generale in cui ad una particella è applicata una
forza non costante, dunque variabile in modulo o direzione,
Il lavoro è espresso da un integrale di linea.
• Caso monodimensionale:
L j  F j x ; F j valore medio di F nel j  esimo x


xf
L  lim( x0)  F j x   F ( x) dx
xi
• Caso bidimensionale:
– I vettori forza e spostamento variano entrambi
lungo una traiettoria l
l
L 
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


F  ds
B
A
l ( A ,B )
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Lavoro delle forze gravitazionale ed elastica
Lavoro Lg della forza gravitazionale:
Fg  mg
Lg  mg (h2  h1 ) cos( )  mgd cos( )
Lg  mgd cos(180)  mgd
Lg  mgd cos(0)  mgd
- in salita
- in discesa
x
Lavoro Le della forza elastica:
– Conosciamo l’espressione della forza di richiamo
elastica, la legge di Hooke, quindi applichiamo
quanto appena visto:
xf
xf
 
 1 
Le   F dx   (kx) dx    k  x 2
 2 
xi
xi
Le 
1 2 1 2
k xi  k x f
2
2
Flavia Groppi & Carlo Pagani
xf
xi

 1 
   k  x 2f  xi2
 2 
K

m
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Potenza
La potenza è legata alla rapidità con cui viene sviluppata una certa
quantità di lavoro.
L
t
Potenza media:
P
Potenza istantanea:
dL  
P
 F v
dt
L’unità SI della potenza è il watt (W):
W    J 
s
Attenzione, in questo ambito sono citate spesso anche altre grandezze:
• cavallo-vapore (CV): 1 CV = 735.5 W
• wattora (Wh): 1 Wh = (1 W) (3600 s) = 3.6 103 J
Il wattora è una misura di energia!
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L’energia potenziale
Abbiamo già visto come associare un valore di energia, l’energia
cinetica, allo stato di moto di un corpo.
Il suo valore dipende dalla velocità.
Un corpo può però possedere anche altri stati, relativi ad altre forze in
gioco e dipendenti da altre grandezze fisiche:
– Pensiamo alla forza gravitazionale: l’energia associata allo
stato di separazione di due corpi legati da tale forza è
detta energia potenziale gravitazionale Ug.
• Il suo valore dipende dalla distanza tra i due corpi
– Consideriamo ora la forza elastica: l’energia associata allo
stato di separazione di due corpi legati da tale forza è
detta energia potenziale elastica Ue.
• Il suo valore dipende dalla estensione dell’elemento elastico
rispetto al suo punto neutro
Flavia Groppi & Carlo Pagani
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Energia potenziale e forze conservative
Dunque:
• per le forze elastica e gravitazionale è possibile associare ad ogni punto
dello spazio una funzione scalare detta energia potenziale.
• l’energia potenziale di un corpo in un punto P è definita come l’opposto
del lavoro necessario alla forza in esame per portare il corpo stesso
da un punto di riferimento a cui si associa energia potenziale nulla,
fino al punto P.
U   L
• Le forze elastica e gravitazionale
appartengono ad una categoria di forze
dette conservative.
hP
hrif
P
rif
Se il lavoro compiuto da una forza su un corpo da
un punto A ad un punto B è indipendente dalla
traiettoria percorsa e dipendente esclusivamente
dai punti A e B, la forza è conservativa.
Flavia Groppi & Carlo Pagani
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Forze conservative, e non
La prima conseguenza della stessa definizione di forza conservativa è
relativa al comportamento del lavoro svolto lungo un percorso chiuso:
– Il lavoro complessivo netto svolto da una forza conservativa su una
particella che si muove lungo un percorso chiuso è zero.
Lab ,1  Lab , 2
; Lab ,1   Lba ,1 ; Laba  0
La forza peso, la forza gravitazionale, la forza elastica e la forza
elettrostatica sono tutte forze conservative.
Se nel sistema agiscono solo forze conservative, i problemi relativi al
movimento dei corpi sono molto semplificati.
Forze come quelle d’attrito, di resistenza del mezzo e forza
magnetostatica sono non conservative.
Flavia Groppi & Carlo Pagani
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Espressioni dell’energia potenziale
Ora siamo in possesso della relazione necessaria a determinare
l’espressione dell’energia potenziale per le forze note:
xf
 L  U    F ( x)dx
xi
• Energia potenziale gravitazionale:
yf
 
U     mg  dy  mg y 2
yf
yi
 mg y
E’ sempre possibile (e necessario)
fissare una configurazione di
riferimento per il calcolo del potenziale:
ad essa poniamo Ui = 0
ed yi = 0 o xi = 0
yi
U  y   mgy
• Energia potenziale elastica:
xf
  
U    (  kx ) dx  1 k x 2
2
xi
xf
xi
(asse y diretto verso l’alto)
 1 k x 2f  1 k xi2
2
2
U  x   1 kx 2
2
Flavia Groppi & Carlo Pagani
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Conservazione dell’energia
L’energia meccanica di un sistema è data dalla somma dell’energia
potenziale U e dell’energia cinetica K di tutti i corpi che lo compongono:
Emecc  K  U
Ora, se è verificato che:
– Il sistema si può assumere come isolato, cioè non viene considerata alcuna
forza esterna al sistema
– Nel sistema agiscono solo forza conservative
vale il principio di conservazione dell’energia meccanica:
Mentre l’energia cinetica e potenziale, singolarmente,
possono variare la loro somma rimane invariata!
dK  F dx  dL  dU  dK  dU  dE  0
Dati due istanti qualsiasi del moto nel sistema in esame, 1 e 2, vale che:
Emecc,1  K1  U1  Emecc, 2  K 2  U 2  costante
Flavia Groppi & Carlo Pagani
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Conservazione dell’energia - 2
Esempio 1: il moto di un pendolo
• “travaso” ciclico dell’energia potenziale
U in energia cinetica K!
Esempio 2: la caduta libera
• Trasformazione dell’iniziale energia
potenziale in energia cinetica!
Flavia Groppi & Carlo Pagani
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Conservazione dell’energia - 3
Abbiamo anticipato che in sistemi conservativi lo studio del moto dei corpi
risulta notevolmente semplificato … valutiamo questo esempio:
Conoscendo v0, y0 e y, come
determinare la velocità v ?
Agisce solo la forza di gravità e
non vi è attrito.
Applicando “ciecamente” il 2° principio della dinamica dovremmo
conoscere l’espressione esatta della curvatura della pista !!
La conservazione dell’energia ci offre una semplice via d’uscita:
Emecc  1 mv 2  mgy  Emecc, 0  1 mv02  mgy0
2
2
v  v ( y )  v02  2 g  y0  y 
Flavia Groppi & Carlo Pagani
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Neppure la massa
del corpo è
necessaria alla
soluzione!
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Esercizio: conservazione dell’energia
I dati del problema sono:
PTarzan  688 N
; L  18m ; h  3.2m ; Tmax  950 N
Se la liana ha una tensione di rottura Tmax = 950 N,
arriverà Tarzan da Jane o la liana si romperà ?
Valutiamo Il bilancio delle forze ponendoci nel sistema di
riferimento non inerziale solidale con Tarzan:
L
T
L’equilibrio sulla liana:
PT sin
Fc
PT
mT v 2
T  PT cos  
L
Tarzan
v è sempre tangente all’arco percorso
h
(= perpendicolare alla liana).

Per la conservazione dell’energia meccanica,
assumendo U=0 nel punto più basso:
E0  U 0  PT h  E1 
Flavia Groppi & Carlo Pagani
1
mT v 2 Quindi:
2
Tmax  PT 
17
2h
PT  932 N  950 N
L
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Curve di potenziale
Lo studio del grafico della funzione energia potenziale è particolarmente
significativo. Assumiamo un caso unidimensionale, vale che:
U ( x)   L   F ( x)x
dU ( x)
F ( x)  
(in forma differenziale)
dx
La forza associata ad una funzione di energia
potenziale è data graficamente dall’inverso della
pendenza della funzione stessa !
In particolare:
• la condizione di energia cinetica nulla
identifica il punto di inversione del moto
• un minimo nella curva di potenziale
(derivata prima nulla) identifica un
possibile punto di equilibrio del moto
Flavia Groppi & Carlo Pagani
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Curve di potenziale - 2
Potenziale gravitazionale: nessun possibile punto di equilibrio
6 0
5 0
Forza Peso
m = 1 kg
g = 9.8 m/s2
Energia Potenziale
4 0
3 0
2 0
U ( h )  mgh
1 0
0
-1 0
-2 0
-3 0
-4
-2
0
2
4
6
A lt e z z a
Potenziale elastico: esiste una condizione di equilibrio
50
Forza Elastica
K = 3.5 N/m
45
Energia Potenziale
40
35
U (x) 
30
1
k x2
2
25
20
15
10
5
0
-5
-4
-2
0
2
4
6
A llu n g a m e n t o
Flavia Groppi & Carlo Pagani
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Energia potenziale gravitazionale
La forza gravitazionale è conservativa, dunque ammette un potenziale.
Per il calcolo dell’energia potenziale gravitazionale:
– Diversamente dal caso della forza peso, scelgo che la configurazione di riferimento
caratterizzata da potenziale nullo U=0 sia quella in cui i due corpi siano separati da
una distanza infinita.
– Calcolo il potenziale di un corpo di massa m a distanza R dalla terra (massa M)
assumendo che il corpo raggiunga tale punto (punto P) muovendosi dall’infinito
sempre in direzione radiale (posso scegliere qualsiasi traiettoria!)
– Faccio uso della definizione stessa di energia potenziale:
U  U finale  U iniziale
R 
R


 U P  U    L     F r   dr      F r  dr cos  





R
GM m
1
 G M m
U P  U   G M m  2 dr  


0

r
R
r



R
U P  U ( R)  
 = 180°)

U
GM m
R
– E quindi per la funzione
potenziale:
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GM m
U r   
r
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Indipendenza del cammino
Essendo il Lavoro dato dal prodotto scalare,



L   F (r )  dr
0
Il risultato è indipendente dal cammino di integrazione
Nei tratti del tipo B-C , D-E e F-G la forza è perpendicolare
allo spostamento e il prodotto scalare è nullo.
Nota: siccome il campo gravitazionale è conservativo, esso
è descritto da un campo scalare, Potenziale. U = U(r).
La forza gravitazionale si ottiene dal Potenziale attraverso
la relazione:

dU (r ) 
d  GM m 
GM m 
F (r )  
r   
r
 r 
dr
dr 
r 
r2
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Velocità di Fuga
La velocità di fuga è la velocità minima che deve avere un corpo per
sfuggire al campo gravitazionale di un oggetto di massa molto più
grande: è il caso tipico di un missile che deve sfuggire al campo
gravitazionale terrestre per poter esplorare altri pianeti.
Poiché l’energia potenziale del campo gravitazionale è data da:
GM m
R
Per poter sfuggire il missile deve avere un’energia cinetica minima uguale
all’energia potenziale che lo trattiene quando è sulla superficie del
pianeta. Quindi, detta M la massa del pianeta e R il suo raggio, si ha:
U (r )  
Etotale  K  U 
v fuga
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GM m
1 2
mv fuga 
0
R
2
2G M

R
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Energia del moto armonico
Applicando le espressioni dell’energia cinetica e dell’energia potenziale
elastica all’oscillatore armonico si ottiene:
– L’ energia potenziale:
U t  
1 2 1 2
k x  k xm cos 2 t   
2
2
– L’energia cinetica:
1
1
2


K t  m v  m  2 xm2 sin 2 t    
2
2
1 2
k xm sin 2 t   
2
poiché
m 2  k
– L’energia meccanica è dunque costante:
E t   U t   K t  
basta ricordare che :
Flavia Groppi & Carlo Pagani
1 2 1
1
k xm  m vm2  m  2 xm2
2
2
2
cos 2 (t   )  sin 2 (t   )  1
23
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Conservazione con Forze Esterne
Il principio di Conservazione dell’Energia è di grande aiuto nella
soluzione di molti problemi anche in presenza di forze esterne, come:
– quelle di attrito, che tendono a dissipare parte dell’energia del sistema
– quelle da impulsi eserni che cambiano la quantità di moto del sistema
Basta pensare che nel sistema chiuso l’energia si conserva e che
quindi la variazione dell’energia totale del sistema da uno stato iniziale
ad uno finale deve essere uguale all’energia fornita al sistema
dall’esterno, cioè, in meccanica, al lavoro compiuto dalle forze esterne.
Emecc finale= Emecc iniziale+Lforze esterne
Notiamo che:
– nel casso di forze dissipative di attrito il lavoro compiuto dalle forze esterne
(di attrito) è negativo (Efinale < Einiziale )
– nel caso di forze impulsive esterne (quelle interne hanno effetto nullo per il 3°
principio) la variazione della quantità di moto produce una variazione
congruente dell’energia cinetica (e quindi di quella totale) del sistema
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Esescizi Lezione 6
Esercizi da: John R. Gordon, Ralph V. McGrew, Raymond A. Serway, John W. Jewett Jr.
Esercizi di Fisica. Guida ragionata alla soluzione (EdiSES).
6-3: Una forza F = (6 i - 2 j) N agisce su una particella che compie uno spostamento r =
(3 i + j) m. Trovare: a) il lavoro svolto dalla forza sulla particella, b) l’angolo tra F e r. [ a)
16 J, b)  = 36.9° = 0.644 rad ]
6-6: Una cassa di 40.0 kg inizialmente ferma viene spinta per 5.00 m lungo un pavimento
orizzontale scabro con una forza costante orizzontale di 130 N. Se il coefficiente di attrito
dinamico tra cassa e pavimento è d=0.300, determinare: a) il lavoro compiuto dalla forza
applicata, b) l’energia dissipata per attrito. c) il lavoro compiuto dalla forza normale, d) il
lavoro compiuto dalla gravità, e) la variazione dell’energia cinetica della cassa e f) la
velocità finale della cassa. [ a) 650 J, b) 588 J, c) 0, d) 0, e) 62 J, f) 1.76 m/s ]
7-1 (modificato): Una sferetta di massa M = 10.0 g scivola senza
attrito lungo la guida mostrata in figura. Se la sferetta viene
lasciata andare da un’altezza h = 50 cm, si determini la sua
velocità nella posizione A. [ vA = 3.13 m/s ]
h
7-6: Un blocco di 5.00 kg viene fatto salire lungo un piano inclinato
(vedi figura) con una velocità iniziale vi = 8.00 m/s. Il blocco si ferma
dopo aver percorso 3.00 m lungo il piano. Determinare: a) la variazione di K, b) la variazione di U, c) la forza di attrito, considerata
costante, d) il coefficiente di attrito dinamico d. [ a) K = - 160 J,
b) U = 73.5 J, c) Fd = 28.8 N, d) d = 0.679 ]
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25
A
3m
vi
30.0 °
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Esescizi Lezione 6 - continua
7-10: Un blocco di 10 kg è lasciato libero nel punto A della pista mostrata in figura. La
pista è priva di attrito, fatta eccezione per il tratto orizzontale BC lungo 6 m. Il blocco
scende lungo la guida e colpisce una molla di costante elastica k = 2250 N/m,
determinandone una compressione di 0.300 m rispetto alla lunghezza iniziale di riposo.
Sulla base dei dadi determinale il coefficiente di attrito dinamico d presente nel tratto BC.
[ d = 0.328 ]
h= 3m
A
x=0.300 m
B
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BC = 3 m
26
C
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