Lezioni_ 2011_Fond_Mat_1, B. Di Paola

Aspetti e temi del mondo dei
numeri
Università degli Studi di Palermo
Scienze della Formazione Primaria
Fondamenti di Matematica I, 2011
Prof. B. Di Paola
Avvertenza
Tutto ciò che segue viene
presentato solo in maniera
schematica come traccia degli
argomenti trattati durante il corso.
Dai Naturali alle Proporzioni
NUMERI NATURALI
NUMERI RAZIONALI
TEORIA DEGLI INSIEMI
PROPORZIONI E RELAZIONI DI
PROPORZIONALITA’
Che cosa è un numero?
Dedekind (1831-1916), Che
cosa sono e cosa devono essere
i numeri (1888)
Le quattro operazioni nei numeri
naturali
Addizione
Sottrazione
Moltiplicazione
Divisione
MENU
GENERALE
Addizione
Per addizionare due numeri naturali a e b, si devono sommare ad a tante unità quante
sono quelle di b. Si otterrà un risultato c detto “somma” tra a e b. Quindi
a+b=c
dove a e b sono gli addendi, c è la somma e “+” il simbolo di addizione.
Sulla semiretta orientata tale operazione si schematizza così:
+b
a
c
Si può notare come, assegnati due numeri naturali qualsiasi a e b, è sempre possibile
ottenere c che è un numero naturale. Da ciò segue che la somma tra due numeri
naturali è sempre possibile in N, cioè che N è un insieme chiuso rispetto all’addizione.
MENU GENERALE
MENU
NATURALI
Le proprietà dell’addizione
Proprietà commutativa
Proprietà associativa
Proprietà dissociativa
Esistenza dell’elemento neutro
Proprietà commutativa
Scambiando l’ordine degli addendi, la somma non
cambia.
a+b=b+a
Esempio:
10+5=5+10=15
Proprietà associativa
Se si sommano tra loro tre o più addendi, il risultato non
cambia se a due o più di essi si sostituisce la loro somma.
a+b+c+d=(a+b)+c+d=(a+b)+(c+d)=…
Esempio:
15+25+19+11=(15+25)+(19+11)=40+30=70
Proprietà dissociativa
Se ad un addendo si sostituisce la somma di due o più numeri
la cui somma dia l’addendo stesso, il risultato non cambia.
a=m+n
a+b+c=(m+n)+b+c=m+n+b+c
Esempio:
11+19+22=(10+1)+(10+9)+22=10+1+10+9+22=52
Esistenza dell’elemento neutro
Lo zero è definito elemento neutro dell’addizione: se si
considera qualsiasi numero naturale e lo si addiziona a
zero, il risultato è il numero stesso.
a+0=0+a=a
Esempio:
20+0=0+20=20
TEST ADDIZIONE
MENU GENERALE
MENU
NATURALI
Sottrazione
La sottrazione è l’operazione inversa della somma. I suoi
termini si chiamano:
il primo: minuendo
il secondo: sottraendo
Il “-” è il simbolo, il risultato si chiama resto o differenza.
MENU GENERALE
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NATURALI
Sottrazione
(continua)
Perché la sottrazione tra due numeri naturali a e b sia possibile,
occorre che:
a≥b
Infatti:
se a>b
a-b=c
es. 10-7=3
se a=b
a-b=0
es. 15-15=0
se a<b
a-b è impossibile es. 5-8=?
Poiché scelti due numeri qualsiasi, non sempre è possibile determinare la
differenza come numero naturale, si dirà che l’insieme N è aperto rispetto
alla sottrazione.
Sottrazione
Utilizzando la semiretta orientata, la sottrazione può essere
così schematizzata:
-b
a>b a–b=c
c
a
-b
0
-a
a=b a–b=0
a
a
0
-b
b>a
a-b risulta
impossibile
Le proprietà della sottrazione
Non valgono né la proprietà commutativa
Es. 3-6=-3 6-3=3
né la proprietà associativa
(5-3)-1=1 5-(3-1)=3
Proprietà invariantiva
Proprietà invariantiva
La differenza tra due numeri non cambia se ad ogni
termine si aggiunge o si sottrae lo stesso numero, purché
tale numero sia minore o uguale al sottraendo.
Esempio:
120-84=36
(120+16)-(84+16)=136-100=36
(120-20)-(84-20)=100-64=36
TEST SOTTRAZIONE
MENU GENERALE
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NATURALI
La moltiplicazione
La moltiplicazione è un’operazione che rappresenta una forma
abbreviata per eseguire somme di numeri uguali.
Esempio:
3x4=3+3+3+3=12
Pertanto, la moltiplicazione risulta una operazione diretta i cui termini si
dicono fattori, “x” o “·” è il simbolo, il risultato è detto prodotto.
È sempre possibile effettuare la moltiplicazione in N essendo questa
un’operazione diretta e costituendo un ampliamento dell’addizione.
Quindi l’insieme N è chiuso rispetto alla moltiplicazione.
MENU GENERALE
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NATURALI
Le proprietà della moltiplicazione
Proprietà commutativa
Proprietà associativa
Proprietà dissociativa
Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto
alla somma e rispetto alla differenza
Esistenza dell’elemento neutro
Lo zero e la legge dell’annullamento del prodotto
Proprietà commutativa
Scambiando l’ordine dei fattori, il prodotto non cambia.
a·b=b·a
Esempio:
15·10=10·15=150
Proprietà associativa
Se si moltiplicano tra loro tre o più fattori, il prodotto non
cambia se a due di essi si sostituisce il loro prodotto
a·b·c·d=(a·b)·(c·d)
Esempio:
3·5·7=(3·5)·7=15·7=105
3·5·7=3·(5·7)=3·35=105
Proprietà dissociativa
Se ad un fattore si sostituisce il prodotto di due o più fattori il
cui prodotto sia il fattore stesso, il risultato non cambia.
Se
a=m·n
allora
a·b·c=(m·n)·b·c=m·n·b·c
Esempio:
15·7·3=3·5·7·3=315
Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto
alla somma e alla differenza
Se si deve moltiplicare una somma di più addendi (o una
differenza) per un fattore, si può moltiplicare ogni termine
per il fattore e quindi sommare (o sottrarre) i prodotti
ottenuti.
(a+b+c)·d=a·d+b·d+c·d
(a-b)·c=a·c-b·c
Esempio:
(10+12+14)·3=10·3+12·3+14·3=30+36+42=108
(56-35)·4=56·4-35·4=224-140
Elemento neutro della moltiplicazione
Se si moltiplica per uno, un qualsiasi numero, il risultato è il
numero stesso.
a·1=1·a=a
Esempio:
35·1=1·35=35
Quindi il numero 1 è l’elemento neutro della moltiplicazione.
Lo zero
e la legge di annullamento del prodotto
Se si moltiplica un qualsiasi numero per zero, il risultato è zero.
a·0=0
Esempio:
5·0=0
0·15=0
Da ciò ne consegue che il prodotto di due fattori è zero se almeno uno di
essi è zero (legge di annullamento del prodotto).
Esempio:
a·6=0
0·a=0
a·b=0
TEST MOLTIPLICAZIONE
soltanto se a=0
almeno uno dei due fattori
deve essere uguale a zero:
a=0 o b=0
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NATURALI
Divisione
La divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione. Infatti eseguire la
divisione fra due numeri a e b, significa trovare, se esiste, un terzo numero c tale
che b·c=a.
Il simbolo della divisione è “:”, a è il dividendo, b il divisore e c il quoto o
quoziente.
a:b=c
Come si può notare, scelti due numeri a caso a e b, non sempre è possibile
ottenerne un terzo che risponda alla definizione data. Pertanto, l’insieme N è
aperto rispetto alla divisione. In N, a deve essere multiplo di b.
Anche per la divisione, come per la sottrazione, non esiste elemento neutro.
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NATURALI
Proprietà della divisione
Proprietà invariantiva
Lo zero nella divisione
Proprietà invariantiva
Moltiplicando o dividendo per una quantità diversa da zero, entrambi i
termini di una divisione, il risultato non cambia.
a:b=c
Esempio:
(a·m):(b·m)=c
m≠ 0
(a:m):(b:m)=c
m≠ 0
135:15=9
(135:5):(15:5)=9
27:3=9
oppure: (135·2):(15·2)=9
270:30=9
Lo zero nella divisione
Particolare importanza investe nella divisione il numero zero.
Consideriamo il caso generico a:b. Ne consegue che:
se a,b≠0
allora a:b=c
se a=0 e b ≠ 0 allora 0:b=0
in quanto, per la prova della divisione, si ha b·0=0.
Se a=0 e b=0 allora 0:0=indeterminata
cioè qualsiasi risultato è possibile perché qualsiasi numero moltiplicato per
zero dà zero.
Se a≠0 e b=0 allora a:0=impossibile
perché qualsiasi numero moltiplicato per zero dà zero e non può dare a.
TEST DIVISIONE
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NATURALI
Test addizione
DOMANDA N°1:
L’insieme N è chiuso rispetto all’addizione?
1) Si
2) No
3) Non so
Test addizione
DOMANDA N°2:
In una addizione, se si cambia l’ordine degli addendi, la somma
cambia?
1) Si
2) No
3) Non so
Test addizione
DOMANDA N°3:
Lo zero è l’elemento neutro dell’addizione?
1) Si
2) No
3) Non so
Test addizione
DOMANDA N°4:
Per potere risolvere la seguente addizione in N
15 + 7 + 4
quali delle seguenti proprietà è necessario applicare?
1) Proprietà associativa
2) Proprietà dissociativa
3) Proprietà commutativa
4) Non so
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NATURALI
Test sottrazione
DOMANDA N°1:
L’insieme N è chiuso rispetto alla sottrazione?
1) Si
2) No
3) Non so
Test sottrazione
DOMANDA N°2:
Lo zero è l’elemento neutro della sottrazione?
1) Si
2) No
3) Non so
Test sottrazione
DOMANDA N°3:
La differenza tra due numeri cambia se ad ogni termine si
aggiunge o si sottrae lo stesso numero (purchè tale numero
sia minore o uguale al sottraendo)?
1) Si
2) No
3) Non so
Test sottrazione
DOMANDA N°4:
Quale è il valore della seguente espressione?
45 – 3 – 27 = …
1) 13
2) 14
3) 15
4) Non so
MENU GENERALE
MENU
NATURALI
Test moltiplicazione
DOMANDA N°1:
L’insieme N è aperto rispetto alla moltiplicazione?
1) Si
2) No
3) Non so
Test moltiplicazione
DOMANDA N°2:
Lo zero è l’elemento neutro della moltiplicazione?
1) Si
2) No
3) Non so
Test moltiplicazione
DOMANDA N°3:
Nella seguente espressione:
5·9·3=(5·9)·3=45·3=135
quale proprietà è stata utilizzata?
1) Proprietà commutativa
2) Proprietà associativa
3) Proprietà dissociativa
4) Non so
Test moltiplicazione
DOMANDA N°4:
Quale è il risultato della seguente espressione?
(7+15+12)·2=…
1) 70
2) 67
3) 68
4) Non so
MENU GENERALE
MENU
NATURALI
Test divisione
DOMANDA N°1:
Quale è il valore della seguente divisione?
7:0=…
1) 7
2) è impossibile
3) 0
4) Non so
Test divisione
DOMANDA N°2:
La divisione gode della proprietà associativa?
1) Si
2) No
3) Non so
Test divisione
DOMANDA N°3:
L’espressione
a:b=c
significa che:
1) c=b:a
2) a=b:c
3) a=b·c
4) Non so
Test divisione
DOMANDA N°4:
Quale è il valore della seguente espressione?
(225:15):3=…
1) 10
2) 5
3) 15
4) Non so
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NATURALI
Potenza
La moltiplicazione serve a definire l’operazione di potenza di numeri naturali.
Si dice potenza di un numero naturale a il prodotto di più fattori uguali al
numero stesso.
In simboli si scrive:
an
dove a è la base, cioè il numero che deve essere moltiplicato per se stesso tante
volte quanto indicato dall’esponente n.
Esempio:
32=3·3=9
54=5·5·5·5=625
MAPPA CONCETTUALE
Potenza
Proprietà:
a m · a n = a m+n
• a m : a n = a m – n con (m ≥ n)
(a m) n = a m·n
• (a · b) n = a n· b n
• (a : b) n = a n : b n
Avvertenza
• 1n = 1
• 0n = 0
• 00 non ha alcun significato
• a0 = 1 per ogni numero naturale a
MAPPA CONCETTUALE
Potenza
Per esempio, il numero 576,834
rappresenta:
5 centinaia + 7 decine + 6 unità + 8
decimi + 3 centesimi + 4 millesimi.
Esaminiamo che cosa succede con le
potenze dei numeri decimali.
0,23 = 0,2 · 0,2 · 0,2 = 0,008
1,24 = 1,2 · 1,2 · 1,2 · 1,2 = 2, 0736
0,043 = 0,04 · 0,04 · 0,04 =
0,000064
MAPPA CONCETTUALE
Potenza
Possiamo scrivere i risultati anche nel modo seguente:
0,23 = 0,008 = 8 · 0,001
1,24 = 2, 0736 = 20736 · 0,0001
0,043 = 0,000064 = 64 · 0,000001
D'altra parte
MAPPA CONCETTUALE
Esercizi
Esercizi
MAPPA CONCETTUALE
Notazione scientifica
Un numero si dice scritto in notazione scientifica quando è espresso tramite una
scrittura del tipo: x* 10n con
1 ≤ x ≤ 10
n∈Z
La regola pratica è la seguente:
a) si scrive la prima cifra del numero;
b) si inserisce la virgola;
c) si scrivono le altre cifre;
d) si moltiplica tutto per la potenza del 10 che ha come esponente il numero di posti di
cui occorre spostare la virgola per ottenere il numero x con le caratteristiche richieste.
12456,8 = 1,24568 *10 4
0,0048 = 4,8 *10 −3 3,246 = 3,246 *100
MAPPA CONCETTUALE
I NUMERI NATURALI
Struttura dell’insieme N
Cenni storici
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NATURALI
Struttura dell’insieme N
La successione dei numeri naturali 0, 1, 2, 3, 4, 5 … è un insieme infinito costituito cioè da infiniti
elementi che si ottengono ognuno dal precedente aggiungendo una unità. Nel sistema di numerazione da
noi usato, cioè il sistema di numerazione decimale, le cifre utilizzate sono dieci: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
e con esse si compongono tutti i numeri. Nella rappresentazione insiemistica per elencazione l’insieme N è
così rappresentato:
N={0,1,2,3,4,5,…}
E’ possibile rappresentare i numeri naturali su una semiretta orientata dopo aver fissato un’opportuna unità
di misura corrispondente a un’unità:
u
A
0
1 2 3 4
•
5 6 7 8 9 10 11
La semiretta orientata è illimitata a destra, come indica la freccia. E’ da notare che ad ogni numero
naturale corrisponde un punto, ma non viceversa. Ad esempio, al punto A non corrisponde un numero
naturale.
Struttura dell’insieme N
Due numeri naturali a e b si dicono uguali se ad entrambi corrisponde lo stesso punto sulla semiretta
orientata.
Valgono quindi le proprietà dell’uguaglianza:
1) Proprietà riflessiva
a=a
2) Proprietà simmetrica
se a = b allora b = a
3) Proprietà transitiva
se a = b e b = c allora a = c
Analogamente si possono definire due relazioni di disuguaglianza:
a)
Ogni numero naturale è maggiore di quelli che lo precedono nella successione e quindi sulla
semiretta orientata.
Esempio:
b)
5 > 1,
6>0
Ogni numero naturale è minore di quelli che lo seguono nella successione e quindi sulla
semiretta orientata, pertanto lo zero è il minore numero dell’insieme N.
Dati due numeri a e b si può verificare una sola di queste tre soluzioni:
a<b
a=b
a>b
Tale principio è detto di tricotomia.
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Cenni storici
La nozione di numero si può sicuramente far risalire alle epoche più antiche in cui visse l’uomo, come testimoniano le
pitture rinvenute sulle pareti delle caverne preistoriche ed altre testimonianze archeologiche. Ma come è nato il concetto
di numero?
Inizialmente a colpire l’uomo primitivo furono sicuramente più le differenze che le somiglianze: un lupo e molti lupi,
una pecora e un gregge, un albero e una foresta creavano contrasti più facili da cogliere che non la similarità, intesa come
uguale numerosità, fra un lupo e un sasso, fra una pecora e un albero. A poco a poco però attraverso l’osservazione le
differenze stesse sembrarono rinviare a delle somiglianze: il contrasto tra un solo lupo e molti lupi, tra una pecora e un
gregge, tra un albero e una foresta suggerirono che un lupo, una pecora e un albero hanno qualcosa in comune: la loro
unicità. Attraverso lo stesso tipo di approccio venne osservato che certi altri gruppi, come le coppie, possono essere
messi in corrispondenza biunivoca: le mani possono essere appaiate con i piedi, con gli occhi, con le orecchie o con le
narici. Questo riconoscimento, raggiunto al termine di un processo lungo e graduale, di una proprietà astratta che certi
insiemi hanno in comune, e che chiamiamo numero, rappresenta un grande passo verso la matematica moderna.
L’uomo primitivo non conosceva i numeri. Per “contare”, per esempio, le pecore del suo gregge, usava le dita, ossia
alzava un dito per ogni pecora. Annotava poi il totale tracciando, sulla sabbia, altrettante dita, oppure facendo altrettante
tacche su un pezzo di legno. Contava anche associando a ciascun oggetto un bastoncino: era quindi in grado di annotare
il totale conservando il mazzetto di bastoncini. Attraverso i secoli, l’uomo ha imparato a dare un nome ad ogni numero e
a rappresentare ogni numero con un simbolo.
I numeri naturali sono stati introdotti, fin dall’antichità, per contare gli oggetti di un dato insieme.
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NATURALI
Lo zero?
L'appartenenza dello zero ai numeri naturali è un tema decisamente controverso.
Tanto il decidere per l'inclusione, quanto per l'esclusione porta a problemi concettuali non banali.
Non esiste un accordo generalizzato per l'esclusione o l'inclusione dello zero nei naturali, ciascuna scelta porta a
problemi di incoerenza (nel caso dell'inclusione) o di incompletezza (nel caso dell'esclusione) praticamente
irrisolvibili.
La definizione originale dei numeri naturali, con lo zero escluso, è incompleta senza un simbolo che indichi
l'assenza di oggetti in un insieme. Non saremmo, infatti, in grado di scrivere su un foglio l'evento "non ci sono
più bottiglie in cantina".
Viceversa, l'inclusione dello zero nei numeri naturali rompe la coerenza dell'insieme basata sull'assunto che
ogni numero è corrispondente alla presenza di una quantità. Lo zero sarebbe l'unico numero legato
all’assenza di bottiglie.
Quindi, mentre i numeri 1,2,3... sono legati ad una presenza concreta di oggetti, lo zero è sicuramente particolare
perché corrisponde all'idea astratta dell'assenza di oggetti.
La difficoltà di adottare il modello inclusivo o esclusivo è quindi evidente: se i numeri naturali sono l'astrazione
della misura di una quantità di oggetti, come si colloca lo zero, in quanto "misura del vuoto"?
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Postulati di Peano (1858-1932)
Postulati già precedentemente formulati da Dedekind, proposti come fondamento
dell’aritmetica e che descrivono la struttura dei numeri Naturali.
Si basano sui concetti primitivi di zero, numero e successivo.
I postulati affermano:
-Zero è un numero
-Ogni numero ammette un unico successore, che è un numero
-Due numeri con successori uguali sono identici
-Zero non è successore di alcun numero
-Se zero appartiene ad una certa classe F e se si dimostra che, una volta che un
numero qualsiasi appartiene a F allora vi appartiene anche il suo successivo, allora
tutti i numeri appartengono a F.
Principio di induzione: se una proprietà è vera per il primo elemento (0) e, supposta vera per l’n-esimo, si
dimostra vera anche per l’n+1-esimo, allora è vera per tutti gli elementi.
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Test finale
1) Indicare quali proprietà si sono applicate per ognuna delle seguenti uguaglianze:
217-132=220-135=85
(12-2)·3=12·3-2·3=30
721-361=(721-21)- (361-21)=700-340=360
72·5·10=10·5·72=3600
882:14=(882:2):(14:2)=
441:7=63
2) Calcola, nell’insieme N, le seguenti espressioni:
a) 2·(3+5-7)=
b) 0·(14+5-7)=
c) (17-5+1-12)·5=
d) (7-6)·[(8-7)·(12-11)]=
e) 100-50·(6-4)=
f) (100-50)·(6-4)=
g) 100-50:(6-4)=
h) (100-50):(6-4)=
i) 100-34·2-4·5+3·12:6-60:2:3-4·2=
l) (45-9·4-243:3)·39+6·8:16+20:4-64:2:4=
Mappa concettuale
Insieme N
dei numeri Naturali
in esso si
definisce
ORDINAMENTO
ADDIZIONE
a+b
MOLTIPLICAZIONE
a—b
attraverso
Se a≥b
SIMBOLI
≤ ≥
ammette
l’operazione
inversa
SOTTRAZIONE
a-b
TEST FINALE
Se a multiplo di b
e b≠ 0
ammette
l’operazione
inversa
DIVISIONE
a:b
Potenza
an
Il concetto di numero razionale
I numeri razionali
Le frazioni
Le frazioni
La frazione come operatore
Prodotto e potenza di frazioni
Frazioni equivalenti
Addizione e sottrazione di frazioni
Confronto tra frazioni
I numeri razionali
Il concetto di numero razionale
I numeri decimali
La frazione come operatore
m
L’operatore frazionario è il procedimento che consente
n
di dividere in n parti uguali la quantità di partenza e di considerarne
m.
Es. Considerare i 2/3 di 18 significa dividere 18 in 3 parti uguali e
poi considerare due parti di queste.
Esempio
4
× =
6{
Quantità iniziale
Operatore frazionario
Frazione
Se la quantità iniziale è rappresentata da un numero p non
divisibile per m (cioè non esiste un numero intero q che m
moltiplicato per m ci dia p) allora l’operatore frazionario
n× p
applicato a p ci dà:
m
5
5 × 8 40
3 di 8 equivale a 3 = 3
2
×
2
5
10
=
3 di 5 equivale a
3
3
3
3 13 × 3 39
di
13
equivale
a
13 × =
=
5
5
5
5
n
Se n=m allora l’operatore frazionario lascia invariata la quantità
4
5
su cui viene applicato. Ad esempio di 3 dà proprio 3, di 8
4
5
dà 8. Questo perché prima abbiamo diviso in parti uguali una certa
quantità e poi l’abbiamo ricomposta mettendo insieme le parti in cui
l’avevamo frazionata.
n
In una generica frazione , n viene detto numeratore e d
d
denominatore. Il denominatore deve essere sempre diverso da zero
perché la divisione per 0 non è definita.
Il denominatore indica in quante parti bisogna dividere l’unità.
Il numeratore n indica in quante volte bisogna considerare
1
l’unità frazionaria
d
Esempi
3
di 12
4
3
12 × = 12 ÷ 4 × 3 = 9
4
1
di 6
3
1
6 × = 6 ÷ 3 ×1 = 2
3
5
di 8
2
8×
5
= 8 ÷ 2 × 5 = 20
2
Esercizi
Calcola:
13
di 24
6
7
8
2
5
di
di 270
3
9
7
di 21
3
1
di 20
5
2
5
di 160
di
3 di 24
6
Prodotto e potenza di frazioni
Il prodotto di due frazioni è una frazione che ha per numeratore il
prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei
denominatori delle frazioni date.
Esempi
m p m× p
× =
n q n×q
2 5 2 × 5 10
× =
=
3 7 3 × 7 21
3 9 3 × 9 27
× =
=
8 2 8 × 2 16
Potenza di frazioni
a
a
Data la frazione
e il numero naturale n, si definisce potenza n-esima di
n
b
a
a b
e si scrive  , il prodotto di n fattori uguali ad
.
b
b
4
4
 2   2   2   2   2  2 × 2 × 2 × 2 16 2
=
= 4
  =  × × ×  =
 3   3   3   3   3  3 × 3 × 3 × 3 81 3
0
a
Se n=0,   = 1 ,cioè qualunque frazione, elevata a 0, dà come risultato 1.
 b   0 0
L’espressione   con b≠0 non è definita in quanto è uguale a 00, espressione priva
b
di significato matematico.
Se
n
a
c
=
b
d
n
allora
4 2
Esempio 25 = 5 infatti
a
c
  =
b
d 
2
22
4
2
  = 2 =
5
25
5
Divisione tra frazioni
m
p
Dividere una frazione
per una frazione
significa
n
q
p
m
moltiplicare
per l’inversa di
:
q
n
m p m q
: = ×
n q n p
Esempio:
5 4 5 3 5 × 3 15
: = × =
=
12 3 12 4 12 × 4 48
Due frazioni sono inverse fra loro quando il loro prodotto è
uguale a 1
2 5 2 × 5 10
2
5
× =
=
=1
Esempio:
è inversa di
infatti
5 2 5 × 2 10
5
2
Esercizi
Calcola:
3 7
×
2 5
2
3
  ;
7
;
2 4
×
;
9 3
3
5
  ;
6
8 3
:
7 5
5
2
  ;
3
3 1
:
;
;
4 9
 12 
 
 19 
0
12
:5
17
1
;  4 
3
Frazioni equivalenti
m
Data una qualsiasi frazione , se moltiplichiamo o dividiamo
n
numeratore e denominatore per uno stesso numero otteniamo
m
p
un’altra frazione
detta “frazione equivalente” ad .
n
q
Esempio
2 2 × 3 2 × 5 2 × 7 2 × 10
=
=
=
=
= ⋅⋅⋅⋅⋅
3 3 × 3 3 × 5 3 × 7 3 × 10
15 15 : 5 3 3 : 3 1
=
= =
=
30 30 : 5 6 6 : 3 2
36 (36 : 12 ) 3
=
= =3
12 (12 : 12 ) 1
Una frazione si dice ridotta ai minimi termini quando numeratore e
denominatore sono primi fra loro, cioè se non hanno fattori in
comune. Consideriamo ad esempio la frazione
16
.
24
La prima cosa che andiamo a fare è fattorizzarne i termini, cioè
scomporre numeratore e denominatore in fattori primi:
16 2 × 2 × 2 × 2 Dividendo per 2 si ottiene: 2 × 2 × 2
=
2× 2×3
24 2 × 2 × 2 × 3
Come si può vedere il numeratore e il denominatore hanno ancora un
fattore in comune, cioè il 2. Quindi dividiamo ancora e
2
otteniamo
. La frazione ottenuta si dice ridotta ai minimi termini.
3
Una frazione non ridotta ai minimi termini si dice riducibile.
Quando si calcola il prodotto tra frazioni è quindi utile ridurre
prima le frazioni ai minimi termini. Dopo aver effettuato tale
operazione occorre vedere se la frazione prodotto ottenuta è a sua
volta riducibile e procedere alla semplificazione di questa.
2 15 2 × 15 2 × 3 × 5 5
× =
=
=
3 4
3× 4 3× 2 × 2 2
Potevamo operare anche in questo modo:
2 15 5 5
× =
13
42 2
1
che comunemente viene detto procedimento di semplificazione
in croce.
Tutte le frazioni equivalenti fra loro costituiscono un insieme
infinito di frazioni di cui una sola è ridotta ai minimi termini; le
altre possono ottenersi da essa moltiplicandone numeratore e
denominatore per uno stesso numero.
A tale insieme viene dato il nome di “classe di frazioni
equivalenti”.
1
2
1000
2000
2
4
19
38
6
12
18
36
50
100
3
5
300
500
6
10
12
20
15
75
30
50
24
40
3
2
e
Consideriamo adesso due frazioni qualsiasi:
7
3
Determiniamo alcune frazioni equivalenti:
2 4 6 8 10 12 14 16
= = =
=
=
=
=
= ⋅⋅⋅⋅⋅
3 6 9 12 15 18 21 24
3 6
9 12
=
=
=
= ⋅⋅⋅⋅⋅
7 14 21 28
2
3
Come si può osservare, tra le frazioni equivalenti a e a
sono
3
7
presenti due frazioni aventi a denominatore
lo stesso numero: 14 e 9
21
21
Naturalmente ve ne saranno infinite con uguale denominatore e
precisamente tutte quelle che hanno al denominatore un
multiplo del numero 21, detto comunemente minimo comune
multiplo dei denominatori.
In generale comunque è sempre possibile trasformare due frazioni qualsiasi in
frazioni ad esse equivalenti e aventi lo stesso denominatore.
Per poter fare questo occorre:
• cercare un multiplo comune ai denominatori
• dividere tale nuovo denominatore per ciascun vecchio denominatore
• moltiplicare ciascun quoto per il corrispondente numeratore.
Esempio
Vogliamo trasformare
2
3
e
in frazioni ad esse equivalenti aventi lo
5
4
stesso denominatore. Tra i multipli comuni a 5 e a 4 prendiamo il numero 20
(potremmo prenderne qualsiasi). Dividendo 20 per 5 otteniamo 4 e dividendo 20
per 4 otteniamo 5. moltiplicando questi quoti per 2 e per 3
otteniamo le frazioni
8
15
e
.
20 20
Esercizi
1) Scrivi almeno 5 frazioni equivalenti a ciascuna delle
2
3
1
seguenti:
4
3
7
5
2) Dove è possibile, riduci ai minimi termini:
9
36
64
48
2
19
24
6
17
32
3) Riconduci allo stesso denominatore le seguenti frazioni:
a)
b)
c)
2
3
1
3
5
6
4
9
2
5
12
15
3
4
Somma e differenza di frazioni con uguale denominatore
La somma (o differenza) di due o più frazioni aventi uguale
denominatore è una frazione che ha per denominatore il
denominatore dato e per numeratore la somma (o differenza) dei
numeratori.
a c (a + c )
+ =
b b
b
Esempi
3 7 10
+ =
4 4 4
a c (a − c) )
− =
b b
b
6 2 4
− =
7 7 7
Somma e differenza di frazioni con diverso denominatore
Quando si devono sommare (o sottrarre) frazioni con diverso denominatore occorre prima di
tutto trasformare le frazioni date in frazioni equivalenti che abbiano per denominatore un
multiplo comune dei denominatori dati. Di solito, per brevità di calcolo, si sceglie il m.c.m. tra i
denominatori.
Il procedimento da seguire per addizionare o sottrarre le frazioni è il seguente:
• tracciare una linea di frazione abbastanza lunga da contenere tutti i numeratori;
• sotto la linea di frazione scrivere il denominatore-multiplo scelto (è conveniente scrivere il
minimo comune multiplo dei denominatori);
• dividere tale denominatore per ciascuno dei denominatori delle frazioni che si stanno
sommando (o sottraendo);
• moltiplicare il quoto ottenuto per il corrispondente numeratore;
• scrivere il risultato al posto del vecchio numeratore;
• sommare (o sottrarre) i nuovi numeratori;
• scrivere la nuova frazione ottenuta.
Criteri di divisibilità:
- Un numero è divisibile per 2 se è pari e quindi termina con una delle cifre pari (0,2,4,6…);
-Un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è divisibile per 3;
- Un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 0 o 5;
-Un numero è divisibile per 7 quando lo è il numero ottenuto dopo aver eseguito le indicazioni a), b) e c)
-a) riscrivere il numero senza l’ultima cifra (quella relativa all’unità);
-b) raddoppiare la cifra che è stata esclusa;
-c) eseguire la sottrazione fra i numeri individuati ai punti a e b.
- Un numero è divisibile per 11 quando lo è il numero ottenuto dopo aver eseguito le indicazioni a, b e c:
-a) determinare la somma delle cifre di posto dispari;
-b) determinare la somma delle cifre di posto pari;
-c) eseguire la sottrazione fra il maggiore e il minore dei numeri individuati nei punti a) e b).
Criteri di divisibilità:
Dai criteri dati se ne possono ricavare altri:
- Un numero è divisibile per 10, 100, 1000 quando termina rispettivamente per 0, 00, 000;
- Un numero è divisibile per 4 se termina con 00 o se le ultime due cifre sono divisibili per 4;
- Un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre risulta divisibile per 9;
- Un numero risulta divisibile per 25 se le sue ultime cifre sino 00, 25, 50, 75.
Numeri primi
M.C.D. e m.c.m.
La fattorizzazione ci permette di determinare il massimo comun divisore (cioè, il più grande fra i
divisori comuni tra due o più numeri) e il minimo comune multiplo (cioè, il più piccolo fra i multipli
comuni a due o più numeri) di due o più numeri.
Per determinare il Massimo Comune Divisore tra due numeri si può anche usare il metodo delle
divisioni successive o algoritmo euclideo delle divisioni successive.
Se il resto della divisione fra due numeri è 0 allora il M.C.D. tra essi è il numero più piccolo. Se il resto
non è 0, allora si divide il quoziente q per il resto r ottenendo un nuovo quoziente q' e un nuovo
resto r'. Questo processo si itera a partire da r nel ruolo di dividendo ed r' in quello di divisore,
finché non si ottiene un resto nullo.
Si può dimostrare allora che l'ultimo divisore non nullo è il M.C.D. cercato.
Esercizi
Spiegazione dell'algoritmo basato sulle divisioni con resto successive
Prendiamo a,b interi con a,b>0 e supponiamo 0<a<b.
Dividiamo b per a, avremo che: b = q1a+r1, con 0 <= r1<a.
Osserviamo che:
i) se r1=0, allora b = q1a e abbiamo già che MCD(a,b)=a;
ii) altrimenti, preso un intero positivo d
1) se d divide sia a che b, allora dividerà anche r1 in quanto combinazione lineare di a e b;
2) viceversa, se d divide a e r1, dividerà anche b per la stessa proprietà sopra.
Quindi possiamo concludere che MCD(a,b) = MCD(a,r1), con il vantaggio che r1<a<b.
Ora ripetiamo lo stesso procedimento sostituendo al posto di a e b i nuovi valori a e r1 con r1<a:
a = q2r1+r2 , con 0<=r2<r1
dove
i) se r2=0, si ha che r2|a, quindi MCD(a,b) = MCD(a,r1) = r2;
ii) altrimenti, si ripetono le stesse conclusioni giungendo a definire che MCD(a,b)=MCD(a,r1)=MCD(r1,r2).
Continuiamo a costruire queste successioni di resto sino ad arrivare all'i-esima iterazione dove
ri-1=qi+1ri+ri+1, con 0<=ri+1<ri
e avremo che
i) se ri=0, allora MCD(a,b) = ri-1;
ii) altrimenti, continuiamo il procedimento.
Poiché gli ri sono interi non negativi e la successione di resti è decrescente, ad un certo punto ci dovremo fermare, cioè esisterà un rn
diverso da zero tale che rn+1=0, allora il nostro MCD(a,b) sarà uguale all'ultimo resto diverso da zero della catena di divisioni.
Questo procedimento è vantaggioso perché non dobbiamo scomporre in fattori primi e si utilizzano divisioni sempre più facili.
Proviamo ora a ricostruire s,t procedendo a ritroso nell'algoritmo euclideo:
presi MCD(a,b) = rn e sa+tb = rn, possiamo scrivere
rn = rn-2 - qn×rn-1,
e andiamo a sostituire il valore di rn-1 che si ricava dall'uguaglianza rn-3 = qn-1×rn-2 + rn-1:
rn = rn-2 - qn(rn-3-qn-1rn-2) = (1+qnqn-1) rn-2 - qnrn-3.
Ora sostituiamo in questa equazione il valore di rn-2 che si ottiene da rn-4 = qn-2rn-3 + rn-2 e avremo rn come espressione in rn-3 e rn-4,
quindi andremo a sostituire rn-3 e continueremo questo procedimento fino ad ottenere rn come combinazione lineare dei soli a e b.
Tratto da: http://www.dm.unibo.it/matematica/Congruenze/html/pag2/pag2.htm
Teorema (Esistenza di un massimo comun divisore).
Se a e b sono numeri interi non entrambi nulli, esiste un massimo comun divisore di a e b. Inoltre esistono due interi s
e t tali che: d = sa + tb.
La relazione è detta identità di Bézout.
Es: Determinare il massimo comun divisore d tra 376 e 164 ed una identità di Bézout d = s 376 + t 164
Applicando l'algoritmo, si ottiene la seguente successione di divisioni:
376 = 2 * 164 +
164 = 3 * 48 +
48 = 2 * 20 +
20 = 2 * 8 +
8=2*4 +
48
20
8
4
0
Si ha quindi d = 4 , ossia l’ultimo resto non nullo. Ricavando ora i resti si trae:
4 = 20 - 2 * 8 = 20 - 2 (48 - 2 * 20 ) = 5 * 20 - 2 * 48 =
= 5 (164 – 3 * 48 ) - 2 * 48 = 5 *164 – 17 * 48 =
= 5 164 – 17 *( 376 -2 *164) = 5 164 - 17 *376 +34 *164 =
= 39 *164 +( - 17 ) * 376
In definitiva è :
4 = ( - 17 ) * 376 + 39 *164
che è l'identità richiesta per s = -17 e t = 39.
per s, t Z.
Esempio
Trovare l’intero d=M.C.D. (a,b) delle seguenti coppie di interi:
1) a=12765, b=4768;
2) a=11368, b=3430;
e gli interi s,t tali che d si possa scrivere come combinazione lineare di a e b, cioè tali che d=sa+tb.
Svolgimento:
Applichiamo direttamente l’algoritmo di Euclide, che consiste nell’applicazione ripetuta del lemma
di divisione:
1) a=12765, b=4768.
Prendiamo gli interi a e b e calcoliamo 12765 : 4768 = 2 con resto 3229,
quindi possiamo scrivere 12765 = 4768·2 + 3229.
Iterando questo procedimento più volte fino ad ottenere un resto nullo, otteniamo la seguente serie di
divisioni:
4768 = 3229·1 + 1539,
3229 = 1539·2 + 151,
1539 = 151·10 + 29,
151 = 29·5 + 6,
L’ultimo resto non nullo è 1, quindi MCD (12765,4768)=1,
29 = 6·4 + 5,
cioè i due numeri sono primi fra loro.
6 = 5·1 + 1,
5 = 1·5 + 0.
Per la seconda parte dell’esercizio, riprendiamo i passaggi ottenuti applicando l’algoritmo euclideo
isolando il resto di ogni divisione e, partendo dall’ultimo e procedendo a ritroso, sostituiamo in ogni
uguaglianza il valore del resto evidenziato nella precedente sino a risalire al passo iniziale.
Avremo:
3229 = 12765 - 4768·2,
1539 = 4768 - 3229·1,
151 = 3229 - 1539·2,
29 = 1539 - 151·10,
6 = 151 - 29·5,
5 = 29 - 6·4,
1 = 6 - 5·1.
Sostituiamo la penultima nella precedente, si ha:
1 = 6 – (29 - 6·4) ·1 = 6·5 -29
e iteriamo questo procedimento:
1 = (151 - 29·5) ·5 - 29 = 151·5 - 29·26,
1 = 151·5 – (1539 - 151·10) ·26 = 151·265 - 1539·26,
1 = (3229 - 1539·2) ·265 – 1539·26 = 3229·265 - 1539·556,
1 = 3229·265 – (4768 - 3229·1) ·556 = 3229·821 - 4768·556,
1 = (12765 – 4768·2) ·821 – 4768·556 = 12765·821 - 4768·2198.
Quindi i valori cercati sono s=821 e t=-2198, infatti 1 = 12765·s+4768·t.
2) a=12804, b=3432.
Procedendo in modo analogo all’esempio precedente, abbiamo:
12804 = 3432·3 + 2508,
3432 = 2508·1 + 924,
2508 = 924·2 + 660,
924 = 660·1 + 264,
660 = 264·2 + 132,
264 = 132·2 + 0.
L’ultimo resto diverso da zero è 132, quindi si ha che MCD(12804, 3432)=132.
Ora calcoliamo i valori di s,t tali che 132 = 12804·s+3432·t procedendo come nel caso precedente.
Avremo:
2508 = 12804 - 3432·3,
924 = 3432 - 2508·1,
660 = 2508 - 924·2,
264 = 924 - 660·1,
132 = 660 - 264·2
e sostituiamo i resti calcolati nelle uguaglianze precedenti:
132 = 660 – (924 - 660·1) ·2 = 660·3 - 924·2,
132 = (2508 - 924·2) ·3 - 924·2 = 2508·3 - 924·8,
132 = 2508·3 – (3432 - 2508·1) ·8 = 2508·11 - 3432·8,
132 = (12804 - 3432·3) ·11 - 3432·8 = 12804·11 - 34732·41
da cui avremo che s=11 e t=-41.
OSSERVAZIONE
Siano a e b due numeri interi. Allora, la relazione che intercorre tra il MCD(a,b) e il m.c.m.(a,b) è data da:
m.c.m.(a,b) =
| a ⋅b |
MCD(a, b)
Quindi:
Per calcolare il m.c.m.(a,b) conviene calcolare prima il M.C.D.(a,b) tramite l'algoritmo di Euclide e poi
utilizzare la formula precedente.
- Calcolare il M.C.D. con il metodo delle divisioni successive e
con il metodo della fattorizzazione;
- Esprimere il M.C.D. come combinazione lineare dei numeri
MCD (4158,1260)
dati;
- Determinare il m.c.m. dei numeri dati.
MCD (234,32)
MCD (124,32)
MCD (145,45)
MCD (215,55)
MCD (128,56)
MCD (320,25)
Esercizi:
Mediante la scomposizione in fattori primi calcolare il M.C.D. e il m.c.m. fra le seguenti coppie o terne di
numeri:
MCD (75,60);
MCD (90, 120);
MCD (110, 28);
MCD (225, 210);
MCD (280, 168);
MCD (204, 510);
MCD (112, 80, 192);
MCD (360, 432, 264);
MCD (60, 108, 120).
Esempi di somma tra frazioni
3 1 5 ⋅ 3 + 4 ⋅ 1 15 + 4 19
+ =
=
=
4 5
20
20
20
2 3 10 − 9 1
− =
=
3 5
15
15
7 1 3 42 − 4 + 9 47
− + =
=
2 3 4
12
12
Esercizi
Calcola:
3 2
− =
7 9
6 11
+
=
17 17
5−
13 7
− =
12 12
3 1
− =
2 5
5 7
+ =
2 8
12
7 1
+3− − =
5
4 2
2 13 1
+ + =
5 3 4
19 12 7
− −
=
3 5 30
I numeri decimali
Uno stesso numero razionale può essere
rappresentato da tante frazioni diverse, purché tutte
2 4 12
equivalenti fra loro. Ad esempio le frazioni ,
,
3 6 18
rappresentano lo stesso numero razionale perché
sono equivalenti.
Ma vi è un altro modo di rappresentare i numeri
razionali: la scrittura decimale.
m
La scrittura
esprime il risultato della divisione m : n.
n
Quindi:
3
= 3 : 5 = 0,6
5
17
= 17 : 8 = 2,125
8
14
= 14 : 3 = 4,666666...
3
13
= 13 : 6 = 2,166666...
6
15
= 15 : 7 = 2,14285714285714...
7
8
= 8 : 11 = 0,72727272...
11
Come si può notare, mentre le
prime due frazioni hanno dato
luogo ad un numero decimale
finito, le altre sono espresse da un
numero decimale illimitato, in cui
però ci sono dei gruppi di cifre che
si ripetono costantemente, cioè un
numero decimale periodico.
La domanda che ci si pone è la
seguente: dato un numero
razionale espresso sotto forma di
frazione, come sarà la sua
rappresentazione decimale?
Definizione
Si chiama frazione decimale una frazione che ha per
denominatore una potenza del 10 con esponente maggiore di
zero.
25
7
3
16
Sono ad esempio frazioni decimali
,
,
,
10 100 1000 10
Ogni frazione decimale si può rappresentare con un numero
decimale finito. Infatti la divisione per una potenza del 10
comporta un semplice spostamento a sinistra della virgola:
7
= 0,7
10
254
= 2,54
100
3456
= 345,6
10
Le potenze del numero 10 danno luogo ad una scomposizione che
contiene come fattori primi solo potenze del 2 e del 5. Se una
frazione, ridotta ai minimi termini, ha per denominatore un numero
che ha come fattori della scomposizione solo potenze del 2 e/o del 5, è
facile trasformarla in una frazione equivalente che sia una frazione
decimale, che dà origine cioè ad un numero decimale finito.
3 3
3 ⋅ 53 375
= 3 = 3 3 = 3 = 0,375
8 2
2 ⋅5
10
37
37
37 ⋅ 5 185
= 2 = 2 2 = 2 = 1,85
20 2 ⋅ 5 2 ⋅ 5
10
39
39
39 ⋅ 22 156
=
= 3 3 = 3 = 0,156
3
250 2 ⋅ 5
2 ⋅5
10
15 15 15 ⋅ 53 1875
= 3= 3 3=
= 1,875
3
8 2
2 ⋅5
10
Un numero decimale finito può essere sempre scritto per mezzo di
una frazione decimale moltiplicando e dividendo per le opportune
potenze del 10. Ad esempio:
8,36 ⋅ 102 836
8,36 =
=
2
10
100
0,03 ⋅ 102
3
=
0,03 =
2
10
100
7,5 ⋅ 10 75
7,5 =
=
10
10
Se una frazione ridotta ai minimi termini, ha per denominatore un
numero la cui scomposizione contiene altri fattori oltre al 2 e al 5,
essa non potrà essere trasformata in una frazione decimale, e quindi
il numero decimale ad essa associato non potrà essere finito.
Ad esempio la frazione
illimitato.
14
= 4,6666...
3
origina un numero decimale
Ma questo vale per tutte le frazioni con al denominatore un numero la cui
scomposizione contiene altri fattori oltre al 2 e al 5?
Quando eseguiamo una divisione a:b otteniamo un quoziente intero con un resto che è
minore del divisore b (ad esempio 17:6=2 con resto 5, e 5 è minore di 6). Si può
proseguire la divisione moltiplicando per 10 il resto e dividendo di nuovo. Otteniamo
come quoziente la prima cifra decimale ed un nuovo resto con le stesse caratteristiche
del precedente (50 : 6 = 8 con resto 2, e 2 è minore di 6). Se ripetiamo il procedimento
altre volte, non troveremo comunque mai resto zero, altrimenti il numero decimale
sarebbe finito e la frazione sarebbe una frazione decimale, cosa che abbiamo esclusa.
Il resto sarà dunque una cifra compresa tra 1 e b (nell’esempio il resto potrà solo
assumere i valori 1, 2, 3, 4, 5). Perciò dopo al massimo b divisioni (6 divisioni
nell’esempio), la cifra del resto dovrà ripetere un valore precedente. Da quel punto in
poi i quozienti ed i rispettivi resti si dovranno ripetere in successione costante.
7 : 9 = 0,777....
15 : 7 = 2,142857142857.......
17 : 6 = 2,833
37 : 22 = 1,681818181
si scrive
0,7
si scrive
2,142857
2,8 3
1,681
si scrive
si scrive
Un numero come 0, 7 o 2,142857 si dice periodico semplice perché il
periodo, cioè il gruppo di cifre che si ripetono, inizia subito dopo la virgola.
Un numero come 2,8 3 o 1,681 si dice periodico misto perché il periodo non
inizia subito dopo la virgola. In questo ultimo caso, la parte compresa tra la
virgola ed il periodo si chiama antiperiodo.
Ad esempio:
4, 53
2,6 3
non c’é antiperiodo
53 periodo
6 antiperiodo
3 periodo
64,57 8
0,124
57 antiperiodo
8 periodo
1 antiperiodo
24 periodo
La frazione che genera un numero decimale periodico è determinabile mediante
una semplice regola.
La frazione generatrice di un numero decimale periodico è una
frazione che ha per numeratore la differenza tra il numero intero che
si ottiene togliendo la virgola ed il numero intero che si ottiene
eliminando le cifre del periodo, e per denominatore tanti 9 quante
sono le cifre del periodo e tanti 0 quante sono le cifre
dell’antiperiodo.
Esempi
2, 24 =
224 − 2 222 74
=
=
99
99 33
8524 − 852 7672 1918
8,524 =
=
=
900
900
225
1,7 3 =
173 − 17 156 26
=
=
90
90 15
2−0
2
1
0,0002 =
=
=
9900 9900 4950
Riassumendo, possiamo dire che:
Una frazione che, ridotta ai minimi termini, ha per denominatore un
numero la cui scomposizione contiene solo potenze del 2 e/o del 5, dà
origine ad un numero decimale finito.
Una frazione che, ridotta ai minimi termini, ha per denominatore un
numero la cui scomposizione contiene altri fattori oltre al 2 e al 5, dà
origine ad un numero decimale periodico misto . Se non contiene né il
2 né il 5 come fattori primi, la frazione equivale ad un numero
decimale periodico semplice.
Un numero razionale quindi può essere espresso o da una qualsiasi delle frazioni
equivalenti tra loro secondo la relazione di equivalenza introdotta o dalla sua
espressione decimale:
3
4
12
16
9
12
sono espressioni diverse dello stesso numero razionale.
0,75
Esercizi
1) Scrivi sotto forma di numero decimale le frazioni che seguono:
7
10
3
100
11
10
21
102
32
103
1422
105
2) Trasforma le seguenti frazioni in numeri decimali:
7
5
8
3
24
12
21
23
7
8
14
15
18
50
3) Trasforma i seguenti numeri decimali in frazioni:
3,5
2, 32
7,04
1,04
0, 02
4) Senza eseguire le divisioni, stabilisci quali frazioni danno origine a numeri
decimali finiti, quali a numeri decimali periodici semplici, quali a numeri decimali
periodici misti.
3
14
7
5
28
21
72
15
14
35
8
30
6
22
9
5
38
19
7
20
95
38
13
6
Confronto tra frazioni
Confrontare due frazioni se queste hanno lo stesso denominatore è semplice: la frazione
maggiore è quella che ha il numeratore maggiore.
D’altra parte, se due frazioni non hanno lo stesso denominatore, se ne possono scegliere
altre ad esse rispettivamente equivalenti che abbiano lo stesso denominatore.
Per fare ciò possiamo considerare le due frazioni che hanno per denominatore il m.c.m.
fra i denominatori delle due frazioni, o anche
il prodotto stesso dei due denominatori. Date due frazioni
m
n
e
p
q
prenderemo dunque le frazioni ad esse equivalenti
m⋅q
n⋅q
e potremo dire che
m p
>
n q
n⋅ p
n⋅q
se e solo se
m⋅q > n⋅ p
Per confrontare due numeri razionali positivi possiamo allora confrontare due
qualsiasi frazioni che li rappresentino.
3 7
<
4 8
5 4
>
2 7
3 10
<
5 3
19
3,5 <
5
2,8 < 2, 8
infatti
infatti
infatti
infatti
infatti
3⋅8 < 7 ⋅ 4
Esempi
5⋅7 > 4⋅2
3 ⋅ 3 < 10 ⋅ 5
35 7
3,5 =
=
10 2
ed è
2 ,8 < 2 ,8888 ...
7 19
<
2 5
perché
7 ⋅ 5 < 2 ⋅ 19
Esercizi
1) Ordina in senso crescente i seguenti numeri razionali:
3
4
9
2
3,85
45
12
21
28
1, 6
0,5
2) Confronta le seguenti coppie di frazioni e individua la
minore
3 5
,
2 6
13 11
,
11 13
26
,5
5
15 28
,
7 4
Il concetto di numero razionale
Supponiamo di avere a disposizione una
serie di nove bicchieri graduati tutti uguali
e due siringhe da 10ml: una per l’acqua e
una per l’inchiostro. Immettiamo nei primi
tre bicchieri rispettivamente 1ml, 5ml e
10ml di inchiostro e tanta acqua quanto
basta per portare il livello del liquido a
10ml.
1/10
5/10
10/10
Nella seconda serie da tre bicchieri
immettiamo rispettivamente 2ml, 10ml e
20 ml di inchiostro e tanta acqua quanto
basta per portare il livello del liquido a
20ml.
2/20
10/20
20/20
3/30
15/30
30/30
Infine nella terza serie da tre bicchieri
immettiamo rispettivamente 3ml, 15ml e
30ml di inchiostro e tanta acqua quanto
basta per avere un livello del liquido
risultante pari a 30ml.
Il rapporto inchiostro/liquido-totale naturalmente varia tra i bicchieri e può essere
espresso attraverso una frazione numerica. La cosa interessante è che i bicchieri aventi
del liquido con la stessa gradazione di colore sono rappresentati da frazioni tra loro
equivalenti. Questo ci permette di affermare che operando una partizione dell’insieme
dei bicchieri in base al criterio del colore, tali bicchieri formano una classe di
equivalenza.
Se non abbiamo limitazioni sulla quantità d’acqua e di inchiostro, possiamo ottenere un
dato colore in numero infinito di modi, poiché esistono infinite frazioni equivalenti ad
una data.
Ciò significa che ogni classe di equivalenza individuata dal colore è costituita da infinite
frazioni.
Chiameremo ciascuna classe di equivalenza col nome di numero razionale.
Nel nostro gioco mentre a ogni bicchiere corrisponde una frazione, a ogni colore
corrisponde un numero razionale.
Il numero razionale rappresenta il rapporto fra il numeratore e il
denominatore delle frazioni equivalenti che esso rappresenta
Esercizi
1) Scrivi almeno 5 frazioni di una classe di equivalenza
2
individuata dal numero razionale
3
2) Scrivi il rappresentante della classe di equivalenza cui
appartengono le seguenti frazioni:
24
30
35
42
17
32
90
100
3) Indica fra le seguenti frazioni quelle corrispondenti allo
stesso numero razionale:
15
20
70
14
3
5
25
5
9
12
21
28
50
10
1) 7 signore dividono una pezza di seta in parti uguali, ma 3 di esse decidono di mettersi in comune e di
usare 2/5 della loro seta per fare abiti di Carnevale. Se la seta era 70 metri, quanti metri serviranno per
gli abiti di carnevale?
2) Lorenzo si versa nel bicchiere ¼ della bottiglia di aranciata. Se Ilaria, con una spinta, gliene fa cadere
2/3, quale frazione dell’aranciata della bottiglia è caduta? Sapresti dire, allora, quale frazione di tale
aranciata rimane a Lorenzo?
3) Ognuno di noi ha ricevuto metà del corredo cromosomico dal padre e metà dalla madre. Quale
frazione abbiamo del corredo cromosomico del nonno? E del padre di questi?
4) L’acqua di un grosso condotto viene suddivisa in 5 condotti uguali e ognuno di questi riversa la sua acqua
in 5 tubi, ognuno dei quali porta acqua a 5 ville. Se nel condotto iniziale fluiscono 5000 litri di acqua al
secondo, quanta acqua al secondo arriverà a ogni villa? Essa equivale a quale frazione dell’acqua iniziale?
5) Il capitale di Marco aumenta ogni anno diventando i 5/4 dell’anno precedente. Di quanto sarà
aumentato dopo 3 anni? E dopo 5 anni? E dopo n anni?
6) Devo dividere 9 litri di olio in ampolle da 3/8 di litro. Quante ampolle occorreranno?
7) Divido 3 focacce fra 4 amici. Se gli amici diventano 20, quante focacce dovrò
avere per dar loro sempre la stessa quantità?
8) Se le donne che ricoprono le alte cariche pubbliche da 7/30 diventassero 2/9, per i movimenti
paritari questo sarebbe un traguardo augurabile oppure no?
9) Luigi guadagna 5/4 dello stipendio di Alessio, mentre Andrea guadagna i 7/3 dello
stipendio di Alessio. Chi guadagna di più?
10) Percorro in macchina 5/8 della strada e in bicicletta 3/10. Il resto della strada è ancora di 6
chilometri. Quanto è lungo tutto il percorso?
Calcola il valore delle seguenti espressioni:
1 13   5  31
 7 5   1
 +  −  + 3 − −  − 1 −  −
3 6   9  36
 2 3   4
1  2  10 1 
1 1 
+
+
6
−

 
⋅ − + 
2  11  9 4 
9 4 
 5 5  2  2 1 3  2  5 3  
1  1
+
⋅
2
:
−
2
+
+
⋅
⋅
−
⋅
2
−


 
⋅ 

 
2 5  3  3 4  
2  4
 3 4  3 
1 1
0,1 6 : 0,8 3 +  + 
4 2
3
2
5
 1
: 1 −  + (1 + 0,4) − (1,8 : 1, 3 ) ⋅
3
 4

1 
2 
4
(
)
1
,
6
−
+
0
,
6
−
:
1
−
0
,
1
6
+
0
,
63
:
0
,
45
+
 


9 
3 
15

TEORIA DEGLI INSIEMI
La teoria degli insiemi può essere introdotta assiomaticamente: l’applicazione del metodo
assiomatico alla teoria degli insiemi ebbe in Ernest Zermelo (1871-1953) il principale
protagonista.
Definizione: L’insieme è un concetto primitivo, dal punto di vista intuitivo possiamo
affermare che esso è una collezione di oggetti (detti elementi) soddisfacenti una stessa
proprietà (P(x)= proprietà caratteristica dell’insieme)
Affinché una collezione di elementi possa essere
classificata come un insieme vero e proprio, deve sempre
essere possibile stabilire se un qualsiasi elemento
appartiene (o non appartiene) all’insieme così introdotto.
La tavola di Lettres à une princesse d’Allemagne (Lettere ad una
principessa d’Alemagna sopra diversi soggetti di fisica e di
filosofia: Napoli 1787) in cui Leonhard Euler ha introdotto la
rappresentazione, oggi diffusissima, per indicare gli insiemi
Esempio. Ha senso, nella teoria degli insiemi, parlare dell’insieme costituito dai numeri
reali maggiori di 4. Infatti è possibile stabilire oggettivamente se un qualsiasi elemento
appartiene o no a tale insieme.
Per appartenere all’insieme, un elemento deve (contemporaneamente):
- essere un numero reale;
- essere maggiore di 4.
Dunque all’insieme introdotto apparterranno certamente elementi come 59, 19 , 33/8;
mentre non vi apparterranno elementi come -1, 31/8, 4 (che sono numeri reali, ma non sono
maggiori di 4), o come Firenze, Benedetto, un triangolo... (che non sono numeri reali).
Controesempio. Non ha senso, nella teoria degli insiemi, parlare dell’insieme costituito
dai libri interessanti: non è infatti possibile affermare oggettivamente se un libro è
interessante oppure se non lo è.
Per convenzione si indicano gli insiemi con lettere maiuscole (A, B, C, ...) e gli elementi
con lettere minuscole (a, b, c, ...).
L’appartenenza dell’elemento a all’insieme A si indica con la scrittura: a ∈A nella quale il
simbolo “ ∈” si legge: “appartiene a”. La non appartenenza di b a B si indica con: b B.∉
Quindi la condizione richiesta per poter parlare di insieme, espressa precedentemente, è:
affinché I sia un insieme, è richiesto che, per ogni elemento a, sia possibile stabilire che
l’affermazione a ∈I sia vera o falsa.
Per indicare dettagliatamente gli insiemi, con i loro elementi, si possono scegliere diversi
procedimenti. Un primo metodo, detto rappresentazione tabulare, consiste nell’elencare
tutti gli elementi che costituiscono l’insieme in questione tra parentesi graffe; ad esempio, la
scrittura I = {1; 2; 5} significa che all’insieme I appartengono (solamente) gli elementi 1, 2
e 5.
N.B.
L’ordine con cui si elencano gli elementi è privo di importanza. Un insieme non
presuppone alcun particolare ordinamento dei suoi elementi (a meno che ciò venga
esplicitamente indicato)
Talvolta la rappresentazione tabulare può essere scomoda e addirittura impraticabile
quando l’insieme in questione è costituito da infiniti elementi. La rappresentazione
caratteristica si ottiene evidenziando (ove ciò sia possibile) una condizione necessaria e
sufficiente per l’appartenenza di un elemento all’insieme considerato.
La scrittura dell’insieme avrà forma: {x: x rispetta un’assegnata condizione} nella quale il
simbolo “:” (talvolta sostituito da “ |”) si legge “tale che”.
Esempio. Indichiamo l’insieme I di interi il cui quadrato è minore di 15:
- rappresentazione tabulare: I = {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3};
- rappresentazione caratteristica: I = {x: x è un numero intero e − 3 ≤ x ≤ 3 }.
{
}
I = x: x∈Z e −3≤ x ≤ 3
Una terza rappresentazione può essere quella grafica o mediante diagramma di EuleroVenn:
Una quarta rappresentazione può essere quella cartesiana
Sottoinsiemi e inclusione
Considerato un insieme A, diremo sottoinsieme B di A un insieme al quale non
appartengono elementi non appartenenti ad A: dunque B può essere costituito da alcuni
elementi di A, o da tutti gli elementi di A, o da nessun elemento.
Definizione. L’insieme B si dice sottoinsieme dell’insieme A se ogni elemento di B è
elemento di A; si dice anche che B è incluso in A e si scrive: B ⊆ A.
Tra tutti i sottoinsiemi di un insieme dato A troviamo sempre l’insieme
A stesso e l’insieme vuoto : essi sono detti sottoinsiemi impropri di A;
un sottoinsieme di A diverso da A stesso e dall’insieme vuoto si dice
sottoinsieme proprio di A.
L’insieme vuoto ammette uno ed un solo sottoinsieme (improprio):
l’insieme vuoto stesso. Un insieme costituito da un solo elemento,
A = {a}, ammette due sottoinsiemi Impropri: l’insieme vuoto e A stesso, non ammette
alcun sottoinsieme proprio.
Si può verificare che se l’insieme I è costituito da n elementi (si dice anche che la
cardinalità di I è n.
L’insieme delle parti di I è costituito da 2n elementi (ovvero la sua cardinalità è 2n)
Diremo poi che i due insiemi A e B sono uguali, e scriveremo A = B, quando A è sottoinsieme
di B e contemporaneamente B è sottoinsieme di A.
Operazioni tra insiemi
A⊆ B
Leggi di De Morgan:
A∩ B = A∪ B
A∪ B = A∩ B
Esempi:
Esempi:
RAPPORTI E PROPORZIONI
PROPORZIONALITA’ DIRETTA, INVERSA E
LINEARE
Dal rapporto alla proporzione
Proprietà delle proporzioni
Dal rapporto alla proporzione
Dati due numeri a e b, con b≠0, si chiama rapporto fra i due numeri il quoziente
ottenuto dividendo il primo per il secondo, cioè a : b.
Si chiama invece rapporto inverso il quoziente ottenuto dividendo il secondo per il
primo, cioè b : a.
Come visto in precedenza tale numero sarà un numero razionale esprimibile sotto
forma di frazione.
Esempi di rapporti
Rapporto fra numeri: è il numero che si ottiene dividendo il primo
numero per il secondo.
Rapporto tra grandezze omogenee: è il numero che si ottiene
dividendo la prima grandezza per la seconda (o la misura della prima
grandezza rispetto alla seconda).
Rapporto fra grandezze eterogenee: è la grandezza che si ottiene
dividendo la prima grandezza per la seconda
(2 : 5 = 0,4)
(15kg : 3kg = 5kg)
(40m : 5s = 8m/s)
In un rapporto, il dividendo viene detto antecedente e il divisore conseguente.
L’uguaglianza di due rapporti è una proporzione:
a:b=c:d
Tale uguaglianza si legge in questo modo: “Il rapporto fra a e b è uguale al rapporto fra c
e d” oppure: “a sta a b come c sta a d”.
I numeri che compaiono nella proporzione vengono detti termini della proporzione. In
particolare il primo e il quarto vengono detti estremi, il secondo e il terzo medi.
Una proporzione si dice continua se i medi sono uguali
Esempio:
36 : 12 = 12 : 4
In generale la forma di una proporzione continua è la seguente:
a:b=b:c
In una proporzione continua b viene detto medio proporzionale.
La proprietà fondamentale
In ogni proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli
estremi.
SE a : b = c : d ALLORA b x c = a x d
7 : 2 = 21 : 6
3 2 3 2
: =
:
4 5 20 25
→
→
2 x 21 = 7 x 6 = 42
2 3
6
3 2
×
=
= ×
5 20 100 4 25
Grazie alla proprietà fondamentale possiamo quindi verificare se quattro
numeri, in un dato ordine, formano una proporzione.
Adesso andremo a vedere come, sfruttando la proprietà fondamentale, è
possibile calcolare un termine incognito conoscendo gli altri termini della
proporzione.
Poniamoci una domanda su un problema abbastanza semplice: se un
operaio percepisce 900€ in un mese quanti euro percepirà in due mesi e
mezzo?
In questo caso, basterà moltiplicare 900 per 2,5 e otterremo il risultato.
Se pensiamo il problema in termini di rapporti tra i termini numerici che vi
compaiono, potremmo andare a scrivere la seguente proporzione:
900 : 1 = x : 2,5
Se applichiamo la proprietà fondamentale otteniamo:
1 · x = 900 · 2,5
Il termine incognito a questo punto sarà dato proprio dal prodotto tra i
termini numerici dati.
Quindi attraverso la proprietà fondamentale possiamo calcolare il valore
dell’incognita tenendo conto ogni volta della posizione che essa occupa
all’interno della proporzione. In particolare:
Se il termine incognito è un estremo, esso si calcola dividendo il prodotto
dei medi per l’estremo noto.
x : 3 = 4 : 9 Per la proprietà fondamentale 3 · 4 = x · 9 e quindi
3⋅ 4 12 4
x= = =
9 9 3
Se il termine incognito è un medio, esso si calcola dividendo il prodotto
degli estremi per il medio noto.
5 : x = 15 : 7
x=
→
5 ⋅ 7 35 7
=
=
15 15 3
Se la proporzione è continua e il termine incognito è un medio allora esso sarà
dato dalla radice quadrata del prodotto degli estremi; se il termine incognito
invece sarà un estremo lo si otterrà dividendo il quadrato del medio per
l’altro estremo.
SE a : b = b : c ALLORA b · b = a · c.
Cioè b2 = a · c. Dunque
3 : x = x : 12 →
b= a⋅c
b2
e a=
c
x = 3 ⋅ 12 = 36 = 6
b2
mentre c =
a
Proprietà delle proporzioni
Le proporzioni godono di interessanti e utilissime proprietà che ne fanno uno
strumento molto potente nella risoluzione di problemi riguardanti i più diversi
ambiti. Riuscire ad applicare nella maniera corretta tali proprietà è fondamentale
nella risoluzione di tali problemi.
PROPRIETA’ DELL’INVERTIRE
Data la proporzione a : b = c : d, poiché, se due rapporti sono uguali, lo
sono anche i loro inversi, si può scambiare di ogni posto ogni
antecedente col proprio conseguente, e la proporzione resta valida.
SE a : b = c : d ALLORA b : a = d : c
6 : 3 = 24 : 12
diventa
3 : 6 = 12 : 24
9 : 2 = 45 : 10
diventa
2 : 9 = 10 : 45
PROPRIETA’ DEL PERMUTARE
In ogni proporzione, poiché il prodotto dei medi è eguale al prodotto degli estremi e il
prodotto è commutativo, è possibile scambiare di posto i medi fra loro e/o gli estremi
fra loro, e la proporzione resta valida.
=
=
dddd aaaa
:::: ::::
bbbb cccc
SE a : b = c : d ALLORA
cccc bbbb
:::: ::::
aaaa dddd



permutando i medi
4 : 20 = 6 : 30
permutando gli estremi
30 : 6 = 20 : 4
4 : 6 = 20 : 30
Se in una proporzione i medi e gli estremi vengono permutati
simultaneamente si ottiene un risultato “banale” cioè la proporzione scritta a
rovescio.
7 : 5 = 21 : 15
diventa
15 : 21 = 5 : 7
PROPRIETA’ DEL COMPORRE
In una proporzione, la somma del primo e del secondo termine sta al primo (o al
secondo) come la somma del terzo e del quarto termine sta al terzo (o al quarto).
a : b = c : d → (a + b) : a = (c + d) : c oppure (a + b) : b = (c + d) : d
4 : 7 = 12 : 21
Applicando la proprietà del comporre otteniamo:
(4 + 7) : 4 = (12 + 21) : 12 cioè 11 : 4 = 33 : 12
Quella che abbiamo ottenuto è una nuova proporzione. Infatti:
4 · 33 = 11 · 12 = 132.
PROPRIETA’ DELLO SCOMPORRE
La differenza fra il primo e il secondo termine sta al primo (o al secondo) come la
differenza fra il terzo e il quarto sta al terzo (o al quarto).
Data la proporzione : a : b = c : d,
se a > b e c > d si ha che (a – b) : a = (c – d) : c oppure
(a – b) : b = (c – d) : d;
se, invece, a < b e c < d, prima di eseguire le sottrazioni si dovrà applicare ai termini
della proporzione la proprietà dell’invertire.
Esempio
7 : 2 = 28 : 8
Applichiamo la proprietà dello scomporre:
(7 – 2) : 2 = (28 – 8) : 8 cioè 5 : 2 = 20 : 8
Si è ottenuta una nuova proporzione. Infatti 2 · 20 = 5 · 8 = 40
Le proprietà del comporre e dello scomporre si rivelano utilissime quando si
tratta di risolvere problemi del tipo “somma-rapporto” e del tipo “differenzarapporto”.
Esempio
Il rapporto fra due numeri è 2/5 e la loro somma è uguale a 40. Determinare i due
numeri.
x + y =40 e x :y = 2 : 5
Applicando la proprietà del comporre otteniamo:
(x + y) : x = (2 + 5) : 2
40 : x = 7 : 2
y
x
40 ⋅ 2 80
=
=
7
7
80 280 − 80 200
= 40 −
=
=
7
7
7
Esercizio:
Determina due numeri la cui differenza è pari a 22 e il cui rapporto è uguale a 3/2
1) Trova quali dei seguenti rapporti sono equivalenti a 21/9:
7/3;
25/13;
4
8
16
=
:
=
x
:
2
=7
:
x
x
:
4=9
x
:
:
x
:
:
x
3) Calcola il termine incognito
3=4 5
9
=
2
=5
x
3
49/21
x
2) Calcola il valore di x:
210/90;
x
3/7;
2 4
25 25
4) Trova due numeri sapendo che la loro somma è 45 e il loro rapporto 4/5
5) Nell’anidride solforica il rapporto fra le masse di zolfo e di ossigeno è 2/3.
Quanti grammi di zolfo sono contenuti in 250g di anidride solforica?
6) Se Mario e Carlo hanno in tutto 240 figurine e Carlo ne possiede i 3/5 di quelle
di Mario, quante ne ha ciascuno?
7) Risolvi la seguente proporzione:
2 5
4
7
 
−
x
:
(
9
−
)
:
=
x
:

 
2
7 12 
3

 
Grandezze direttamente ed inversamente
proporzionali
Prima di analizzare nei dettagli l’argomento riguardante la proporzionalità diretta e
inversa fra grandezze, è opportuno ritornare brevemente su un concetto tipicamente
matematico che trova largo uso nelle scienze sperimentali: quello di funzione.
Si considerino due grandezze qualsiasi che per comodità indichiamo con x e y.
Spesso si verifica (soprattutto in fisica) che scelte le due grandezze in modo
opportuno, al variare della prima (la x) anche la seconda (la y) subisca variazioni. Se
poi la legge è tale che ad ogni valore assunto dalla x, è possibili associare uno ed un
solo valore della y diremo allora che y è funzione di x.
Denoteremo questa condizione con la scrittura:
y = f(x)
nella quale la grandezza x viene detta variabile indipendente mentre la grandezza y
variabile dipendente nel senso che i valori assunti da questa dipendono da quelli
assegnati alla x.
Due variabili x ed y sono in relazione quando ogni
conseguenza una variazione dell’altra.
variazioni dell’una ha come
Come detto tradizionalmente la variabile controllata dall’operatore o che varia come il
tempo viene chiamata x e posta sull’asse delle ascisse, l’altra, che varia in funzione della x
secondo relazioni matematiche più o meno complesse, viene chiamata y ed è posta
sull’asse delle ordinate.
Se a variazioni costanti dell’una corrispondono variazioni costanti dell’altra, le due
grandezze sono legate da una proporzionalità lineare. Se poi al valore “0” dell’una
corrisponde lo stesso valore per l’altra, le due grandezze si dicono direttamente
proporzionali.
Consideriamo ora un’esperienza nella quale vengono pesati blocchetti di ferro di volume
assegnato e rispettivamente uguale a 1, 2, 3, 4, 5, 6 cm3.
La tabella che segue mostra i valori del peso al variare del volume.
Volume (cm3)
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
Peso (g)
7.8
15.6 23.4
31.2
39.0
46.8
7 8 15 6 23 4
=
=
=
10
20
30
...
..
..
..
Osservando attentamente la tabella ci si rende conto che esiste una regolarità
tra i valori assunti dalle due grandezze fisiche, e cioè quando il volume
raddoppia, triplica, ecc., anche il peso raddoppia, triplica, ecc… Possiamo
esprimere questa regolarità anche notando che il rapporto tra il peso P ed il
volume V si mantiene costante. Infatti:
Le due grandezze sono quindi direttamente proporzionali.
k
yx
In formule scriveremo :
=
o
y = kx
(dove k rappresenta una qualsiasi costante)
e chiameremo questa legge della proporzionalità diretta.
Si considerino ora l’insieme dei rettangoli aventi per area un valore dato A. Se si indicano
con b e h rispettivamente la base e l’altezza dei rettangoli in questione, l’espressione che
determina l’area sarà
b· h =A
Anche in questo caso tra le due grandezze esiste una dipendenza ma di tipo
completamente diverso da quella vista sopra. Ora infatti è immediato riconoscere che
se il valore di b raddoppia, triplica ecc., affinché l’area si mantenga sempre uguale ad
A, occorre necessariamente che il valore di h diventi rispettivamente la metà, un terzo,
ecc.
Le due grandezze sono inversamente proporzionali.
In formule scriveremo:
x=
k
y
o x · y = k (k costante qualsiasi)
e chiameremo questa legge della proporzionalità inversa.
La rappresentazione attraverso una tabella può aiutare a comprendere meglio quanto è stato
detto.
Posto A = 24 cm2 assegniamo valori arbitrari alla base b e determiniamo i
corrispondenti valori dell’altezza h.
base b
(cm)
1
2
3
4
6
8
12
24
Altezza
h (cm)
24
12
8
6
4
3
2
1
Graficamente,
due
grandezze
direttamente
proporzionali
si
rappresentano con una semiretta
uscente dall'origine di un sistema di
assi cartesiani:
Graficamente, due grandezze inversamente
proporzionali si rappresentano con un ramo
di iperbole equilatera:
La funzione lineare
Due grandezze variabili x e y possono essere legate, oltre che da una legge di
proporzionalità diretta o inversa anche da una relazione del tipo y = k x + q, con
k e q costanti.
In tal caso si dice che y è una funzione lineare di x.
Esempi:
y = 3x + 2 ; y = 5x -3
Una funzione lineare sarà rappresentata da una
retta che interseca l'asse y in un punto la cui ordinata
è uguale al termine q.
Quando tra le due grandezze x e y vi è una relazione di tipo lineare allora il
rapporto tra le differenze di due valori di y e i corrispondenti valori di x è
costante ed è uguale al coefficiente k della x. Il valore k viene detto
coefficiente angolare della retta e determina l'angolo formato dalla retta con
l'asse x.