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EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO
PREMESSA
Finora siamo capaci di risolvere solo equazioni di primo e di secondo grado.
Abbiamo imparato che bisogna prima condurle a forma canonica e poi procede come riportato nel
seguente schema riassuntivo:
A) Equazioni di 1° grado:
Si isola il termine con l’incognita e si divide per il coefficiente “a”
ax  b  0
Equazione lineare
a0
b
x
a
equazione det er min ata
b  0 equazione impossibile
b  0 equazione in det er min ata
a0
B) Equazioni di 2° grado incomplete:
ax 2  bx  0
Equazione spuria
ax 2  c  0
Equazione pura
ax 2  0
Equazione monomia
x  ax  b   0 racc. a fattor comune e poi legge di annull. del prodotto
;
x1  0
x0
b
x2  
ax  b  0 ;
a
c
x2  
si isola il termine x2 e si estrae la radice quadrata
a
se a, c discordi  2 soluz. reali e opposte
c
x1   

2
a
 se a, c concordi  nessuna soluz. reale
x2  0
si divide per a ≠ 0
x  0 soluzione doppia
C) Equazioni di 2° grado complete:
Si applica una delle seguenti formule risolutive:
1) x 1 
2
ax 2  bx  c  0
 b  b 2  4ac
2a
Formula normale
( se b è dispari)
2
Equazione completa

2) x 1 
2
b
b
    ac
2
2
a
Formula ridotta
( se b è pari e a≠1)
2
3) x 1
2
b
b
     c
2
2
Formula ridottissima
( se b è pari e a=1)
Si presentano tre casi:
  0 2 soluzioni reali e distinte
  0 2 soluzioni reali e coincidenti ( il trinomio di secondo grado della forma canonica è un quadrato di un binomio )
  0 nessuna soluzione reale
Ora ci chiediamo: “Come fare per risolvere le equazioni di grado superiore al secondo? Esistono formule
risolutive anche per esse? Si sanno risolvere tutte le equazioni di grado superiore?”.
Anche se esistono formule risolutive per le equazioni di terzo e quarto grado, noi risolveremo solo
particolari equazioni di grado superiori al secondo, utilizzando gli strumenti che già possediamo o
ricorrendo ad artifizi che ci permetteranno di ricondurre la risoluzione ad equazioni note.
Nei prossimi paragrafi impareremo a risolvere:
a) le equazioni abbassabili di grado mediante fattorizzazione;
b) le equazioni binomie;
c) le equazioni biquadratiche,
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d) le equazioni trinomie.
EQUAZIONI ABBASSABILI DI GRADO
Sia P(x)=0 una qualsiasi equazione di grado superiore al secondo e supponiamo di poter scomporre in
fattori il polinomio P(x) con uno dei metodi studiati: F1(x)  F2(x)  ….  Fn(x) = 0. Applicando la legge
di annullamento del prodotto possiamo spezzare l’equazione di partenza P(x)=0 in tante equazioni di
grado più piccolo F1(x) = 0, F2(x)= 0, ….. , Fn(x) = 0. E’ evidente che se le equazioni Fi(x) = 0 sono da
noi risolvibili allora avremmo trovato anche le soluzioni dell’equazione di partenza P(x) = 0. E’
sufficiente che le equazioni Fi(x) = 0 siano di primo grado, di secondo grado o di grado superiore
risolvibili con altri metodi, per essere in grado di risolvere anche P(x)=0.
Diremo “equazioni abbassabili di grado” tutte quelle equazioni di grado superiore al secondo che si
possono ricondurre, mediante fattorizzazione, a equazioni note di grado più basso.
Esempi:
 4 x 4  3x 2  0
raccogliamo x 2 in evidenza
x 2 4 x 2  3  0 applicando la legge di annullamento del prodotto, possiamo spezzare l’equazione in
x2  0
che ha la soluzione doppia x 1  0 e


2
3
4
2
4
2
N.B.: Per risolvere 4 x  3x  0 non abbiamo avuto bisogno di alcuna formula risolutiva, ci è bastato
spezzarla in due equazioni note di secondo grado mediante la fattorizzazione e la legge di annullamento
del prodotto.
Procediamo analogamente con le equazioni seguenti.
4x 2  3  0
che è un’equazione pura di secondo grado con soluzioni x 3  

4x3  4 x2  x  1  0
raccogliamo parzialmente a due a due
2
4 x  x  1  1  x  1  0 ora mettiamo in evidenza totale il fattore che si ripete
x  14 x 2  1  0
applichiamo il metodo della differenza di due quadrati
x  12 x  12 x  1  0 ricorrendo alla legge di annullamento del prodotto possiamo spezzare
l’equazione di partenza in tre di primo grado, facilmente risolvibili
; x1  1
x 1  0
1
2 x  1  0 ; x2  
2
1
2 x  1  0 ; x2  
2

27 x 4  27 x 3  9 x 2  x  0 raccogliamo x in evidenza
x27 x 3  27 x 2  9 x  1  0 il polinomio tra parentesi è lo sviluppo del cubo di un binomio
3
x3 x  1  0
x0
3x  13  0

applichiamo la legge di annullamento del prodotto
; 3x  1  0 ; x 
2 x 4  3x 3  12 x 2  7 x  6  0
Div 6    1,  2,  3,  6 
Div 2    1 ,  2 
1
1
contata tre volte  le soluzioni sono: x1  0 , x 2  x 3  x 4 
3
3
tutti i metodi di scomposizione falliscono, non resta che
provare con il metodo di Ruffini per vedere se possiede
divisori di primo grado
 divisori del termine noto
 divisori del coefficiente di grado massimo
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1
3


possibili zeri razionali    1,  ,  2 ,  3 ,  ,  6 
2
2


ci basterà trovare due zeri del polinomio che compone l’equazione per abbassarlo dal quarto grado al
secondo con la regola di Ruffini. Utilizzando il teorema del resto, possiamo dire che:
4
3
2
R x 1  A 1  2 1  3 1  12 1  7 1  6  2  3  12  7  6  0
il polinomio A(x) è divisibile per x-1
4
3
2
R x 1  A 1  2 1  3 1  12 1  7 1  6  2  3  12  7  6  0
il polinomio A(x) non è divisibile per x+1
4
3
2
4
3
2
1 3
7
1 7
 1
 1
 1
 1
 1
R 1  A    2    3    12    7    6    3   6     3  0
x
8 8
2
4 2
 2
 2
 2
 2
 2
2
il polinomio A(x) non è divisibile per x-1/2
1 3
7
1 7
 1
 1
 1
 1
 1
R 1  A    2    3    12    7    6    3   6    3  0
x
8 8
2
2 2
 2
 2
 2
 2
 2
2
il polinomio A(x) è divisibile per x+1/2.
Abbiamo trovato due zeri del polinomio che compone l’equazione: +1 e -1/2, vuol dire che esso è
divisibile per x+1 e per x+1/2 e pertanto abbassabile di due gradi, dal quarto al secondo.
2
-3
-12
7
6
Eseguiamo la divisione per x+1 e per x+1/2 con la
regola di Ruffini.
1
2
-1
-13
-6
Possiamo scrivere:
2
-1
-13
-6
0
2 x 4  3x 3  12 x 2  7 x  6  0
x  1 x  1  2 x 2  2 x  12  0 raccogliamo un 2
1
2


-1
+1
+6
2
x  1 x  1   2  x 2  x  6  0 moltiplicando si ha
2
-2
-12
0
2

x  12 x  1 x 2  x  6  0
Utilizzando la legge di annullamento del prodotto possiamo spezzare l’equazione di quarto grado in due
di primo e una di secondo che sappiamo risolvere facilmente:
; x1  1
x 1  0
1
; x2  
2x  1  0
2
1 5
4

   2
2
2
 1  1  24 1  5
x2  x  6  0 , x3 


4
2
2
1 5
6

   3
2
2





ESERCIZI PROPOSTI:
 9x 4  2x 2  0


9x3  9x 2  x  1  0

8 x 4  12 x 3  6 x 2  x  0

2 x 4  3x 3  x 2  3 x  1  0

x2
10
20 x 3  13
 3


x 1 x  x x
1 x2

x 2 2 3 x 2  5 x  11


0
3
3x  3
x2  x


EQUAZIONI BINOMIE
Un’equazione la diremo binomia se il polinomio che la compone è formato di soli due termine: quello di
grado massimo seguito subito dal termine noto. La forma canonica di una generica equazione binomia è
la seguente: ax n  b  0 . Per risolvere un’equazione binomia distingueremo due casi, se è di grado
dispari e se è di grado pari:
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1) se n è dispari
si isola il termine xn e si estrae la radice n-esima; si ottiene un’unica soluzione reale, visto che la
radice di indice dispari si può sempre estrarre, sia se il radicando è positivo sia se è negativo
ax n  b  0
xn  

b
a

xn 
b
a
2) se n è pari
si isola il termine xn e si estrae la radice n-esima scrivendo i segni  davanti al simbolo di radice; si
possono presentare due casi: a) se a, b sono discordi allora –b/a > 0 e la radice n-esima di indice pari
si può estrarre conducendo a due soluzioni reali e opposte; b) se a, b sono concordi allora –b/a < 0 e la
radice n-esima di indice pari non si può estrarre conducendo così a nessuna soluzione reale:
n
ax  b  0
Esempi:
 8x3  1  0
x3 
1
8

b
x 
a
n

x
n
se a, b discordi  2 soluzioni reali e opposte
b

a
se a, b concordi  nessuna soluzione reale
equazione binomia di grado dispari ( ammette un’unica soluzione reale )

x3
1
8
3

1
1
x3   
2
2

x
1
2
N.B. Il teorema fondamentale dell’algebra (dimostrato da Gauss) afferma che “Un’equazione di grado “n”
può ammettere al massimo tante soluzioni quante il grado”. Nel nostro caso l’equazione 8 x 3  1  0 è di
terzo grado e di soluzioni ne abbiamo trovate una sola, vuol dire che le rimanenti altre due, se ci sono,
sono di tipo non reali. Infatti, se scomponiamo in fattori il polinomio che compone l’equazione
8 x 3  1  0 è facile rendersi conto che si può spezzare in un’equazione di primo grado e in un’altra di
secondo grado con   0 (priva di soluzioni reali):
8 x 3  1  0  2 x  1 4 x 2  2 x  1  0  per la legge di annullamento del prodotto si spezza in

2 x  1  0 ( che ha soluzione x 

1  1  4
1
) e 4 x 2  2 x  1  0 ( che non ha soluzioni reali x 1 
2
2
4
avendo il   0 ).

16 x 4  81  0
equazione binomia di grado pari con a, b discordi ( ammette due soluzioni reali )
si isola il termine x4 e si estrae la radice quarta scrivendo i segni  davanti al simbolo di radice:
4
81
81
3
3
3
 x4
 x  4   

x1  
2
16
16
2
2
2
Proviamo a cambiare il segno nella forma canonica dell’equazione precedente.
x4 
16 x 4  81  0
equazione binomia di grado pari con a, b concordi ( non ammette soluzioni reali )
4
si isola il termine x e si estrae la radice quarta scrivendo i segni  davanti al simbolo di radice:
81
81
x4  
 x4 
non è possibile estrarre la radice di indice pari di un numero negativo.
16
16
Si deduce che l’equazione non ammette radici reali.
ESERCIZI PROPOSTI:
 27 x 3  1  0
 81x 4  1  0


32 x 5  1  0

64 x 6  1  0

x
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4
4x3  3


8
x3  1 x6 1
4
19
 2
x2 x 4
EQUAZIONI BIQUADRATICHE
Un’equazione si dice biquadratica se è di quarto grado e manca di tutti i termini di grado dispari; la sua
forma generale è ax 4  bx 2  c  0 .
(N.B. Il polinomio che compone una biquadratica è un trinomio particolare di quarto grado)
Per risolvere un’equazione biquadratica si ricorre ad un artifizio: si esegue un cambio di variabile
ponendo x 2  y ( y la diremo “variabile ausiliaria” ); in questo modo, sostituendo nell’equazione di
quarto grado di partenza al posto di x2 il valore di y e al posto di x4 quello di y2, essa si trasforma in
un’altra di secondo grado: ay 2  by  c  0 che diremo “equazione ausiliaria” o “equazione risolvente”.
A questo punto si risolve l’equazione di secondo grado ottenuta con la formula risolutiva che conosciamo:
 b  b 2  4ac
. Una volta trovate le soluzioni y1 e y 2 dell’ausiliaria, ammesso che esistano, per
2
2a
trovare quelle dell’equazione biquadratica di partenza bisogna sostituire i valori trovati nella posizione
iniziale x 2  y . Si ottengono così due equazioni binomie di secondo grado: x 2  y1 e x 2  y 2 , che
y1 
risolte conducono alle soluzioni: x 1   y1 e x 3   y 2 , sempre che le radici siano reali.
2
4
E’ facile intuire che le soluzioni x1, x2, x3, x4 trovate dalle estrazioni di radici saranno reali se y1 e y 2
sono reali e con segno positivo (altrimenti le estrazioni di radici non si possono eseguire!)
N.B.: Abbiamo ricondotto la risoluzione dell’equazione di quarto grado ax 4  bx 2  c  0 a quella di due
equazioni di secondo grado ( quadratiche ! ) x 2  y1 e x 2  y 2 , ecco il motivo per cui l’equazione
ax 4  bx 2  c  0 viene detta biquadratica ( cioè spezzabile in due quadratiche! ).
Esempio:
 4 x 4  3x 2  1  0
Pongo x 2  y
4y 2  3y 1  0
y1 
2
eq. biquadratica
sostituendo si ha
che risolta conduce alle soluzioni

35
2
1
 
8
8
4

35
8
   1
8
8
 b  b 2  4ac  3  9  16 3  5



2a
8
8
1
e y 2  1 nella posizione iniziale x 2  y si ottengono due equazioni
4
binomie che risolte conducono alle soluzioni:
1
x 2   nessuna soluzione reale
4
2
x  1  x   1  1  x 1  1
sostituendo i valori di y1  
2
ESERCIZI PROPOSTI:
 9x 4  8x 2  1  0

4x 2  8  
5
x 1
2

x 4  10 x 2  9  0

4x 
2  x 8x  x 4

4
2 x
2

3
2x
10
 2
 4
x  1 x  3 x  2x 2  3
2
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1
x2
1


 4
0
2
2
x  4 x  1 x  3x 2  4
EQUAZIONI TRINOMIE
Un’equazione si dice trinomia se è composta di soli tre termini con quello centrale avente grado metà del
termine iniziale; la forma generale di un’equazione trinomia è ax 2n  bx n  c  0 .
Più precisamente:
ax 2  bx  c  0
equazione trinomia di 2° grado , che corrisponde all’equazione completa di 2° grado
4
2
ax  bx  c  0 equazione trinomia di 4° grado , detta anche equazione biquadratica
ax 6  bx 3  c  0 equazione trinomia di 6° grado
ecc.
Dalla definizione si deduce subito che le equazioni biquadratiche studiate in precedenza sono casi
particolari di equazioni trinomie. Storicamente sono state scoperte prima le biquadratiche e poi sono state
inventate le trinomie, per questo motivo si continua ancora a trattarle separatamente. Volendo, basterebbe
studiare solo le equazioni trinomie.
Da quanto detto si intuisce che per risolvere le trinomie procederemo in modo analogo alle biquadratiche:
ax 2n  bx n  c  0 si pone x n  y e sostituendo si perviene all’equazione ausiliaria ay 2  by  c  0 , che
 b  b 2  4ac
conduce alle soluzioni y1 e y 2 , ammesso che esistano, infine si
2
2a
sostituiscono i valori ottenuti nella posizione iniziale x n  y e si ottengono due equazioni binomie di
grado “n” x n  y1 e x n  y 2 , che opportunamente risolte conducono alle soluzioni della trinomia di
partenza.
risolta y 1 
Esempi:

8x6  7 x3  1  0
Pongo x 3  y
8y2  7 y 1  0
eq. trinomia di 6° grado
sostituendo si ottiene
risolta conduce alle soluzioni

y1 
2
 b  b 2  4ac  7  49  32 7  9



2a
16
16
79
2
1
 
16
16
8
79
16
   1
16
16
Sostituendo i valori y1 e y 2 nella posizione iniziale si ottengono le equazioni binomie

1
1
1
 x3  
8
8
2
3
3
x  1  x   1  1
x3  


1
2
x 2  1
x1  
N.B. Dal teorema fondamentale dell’algebra sappiamo che un’equazione di 6° grado può ammettere al
massimo 6 soluzioni quante il grado; nell’esempio precedente abbiamo trovato solo 2 soluzioni reali, vuol
dire che le rimanenti 4 saranno non reali.
Ora facciamo vedere che possono essere trattate come equazioni trinomie tutte quelle equazioni che
posseggono solo tre termini con quello centrale avente la stessa base con grado metà di quello iniziale:
4

2
 2x  1 
 2x  1 

  5
 4
 x 1 
 x 1 
può essere considerata un’equazione trinomia
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4
2
 2x  1 
 2x  1 

  5
  4  0 si ordina e si pone il termine centrale uguale alla variabile ausiliaria
 x 1 
 x 1 
2
 2x  1 
Pongo 
 y
 x 1 
y2  5y  4  0
sostituendo si ha
equazione ausiliaria

y1 
2
 b  b 2  4ac  5  25  16 5  3



2a
2
2
53 2
 1
2
2
53
8
   4
2
2
sostituendo nella posizione iniziale si ottengono le equazioni:

2
 2x  1 

 1
 x 1 
analogamente

2x  1
 1
x 1
( abbiamo estratto la radice quadrata )
2
2x  1
 2x  1 

 2

 4
x 1
 x 1 
si ottengono in tutto 4 equazioni di primo grado che risolte conducono alle soluzioni:
2x  1
2x  1 x  1
1)
1


 2x  1  x  1
 2x  x  1  1 
x 1
x 1 x 1
2x  1
2x 1  x  1
2)
 1 

 2x  1  x  1
 3x  0

x 1
x 1
x 1
2x  1
2x 1 2x  2
3)
2


 2x  1  2x  2  0  x  3

x 1
x 1
x 1
2x  1
2x  1  2x  2
4)
 2 

 2 x  1  2 x  2  4 x  1

x 1
x 1
x 1
ESERCIZI PROPOSTI:
 x6  9x3  8  0




x
x 3x 2  1  2

x 1
x2 1

x2 x2 1 

 x 2
 x  2

  13
  36  0
 x4
 x  4
4
x1  2
x2  0
eq. impossibile
x3  

x8  5x 4  4  0

x2
x2
10


0
2
2
x  1 x  1 9

 x2 1
 x2 1
  17  2
  1  0
16  2
 x  1
 x 1
8
2
4
1
4