Corso di Laurea in Scienze Naturali e Ambientali Prova scritta di

Corso di Laurea in Scienze Naturali e Ambientali
Prova scritta di Fisica Generale
18 Luglio 2016
Problema 1
All’interno di un ascensore di massa M ed altezza H si trovano una
persona, di massa mp , ferma sopra ad una bilancia (di massa trascurabile) ed una massa m appesa ad un estremo di una molla (di costante
elastica k e massa trascurabile) il cui altro estremo è fissato al soffitto.
~ diretta verso
L’ascensore sta scendendo con un’accelerazione costante A
il basso, con A < g dove ~g è l’accelerazione di gravità. All’interno
dell’ascensore la persona e la massa m appesa alla molla sono ferme. Si
determini:
1) l’allungamento della molla,
2) il peso indicato dalla bilancia,
3) la tensione del cavo che sostiene l’ascensore.
Adesso si supponga che la persona lanci verso l’alto, da un’altezza h rispetto al pavimento dell’ascensore,
una pallina di massa mb con velocità iniziale ~v0b . Ricordando che l’altezza dell’ascensore è H
4) si trovi il valore massimo che il modulo della velocità ~v0b può avere con la condizione che la pallina
non tocchi il soffitto dell’ascensore.
5) Si determini, infine, quanto tempo impiega la pallina a raggiungere il pavimento dell’ascensore
supponendo che la velocità iniziale sia quella calcolata nella risposta precedente.
Problema 2
Si consideri una distribuzione di carica cilindrica che abbia il raggio di base R = 4cm ed un’altezza
che, per i nostri scopi, possa essere considerata ”infinita”, in pratica un lungo (”infinito”) filo rettilineo
di raggio R. La densità di carica sia ρ = 2, 5mC/m3 .
6) Si trovi la carica racchiusa da questa distribuzione in un tratto (parallelo all’asse del cilindro) di
lunghezza pari a L = 70cm.
7) Utilizzando il Teorema di Gauss si trovi il modulo del campo elettrico a distanza r1 = 2cm dall’asse
del cilindro ”infinito” e
8) a distanza r2 = 5cm dall’asse del cilindro ”infinito”.
Adesso si consideri un guscio cilindrico, anch’esso di lunghezza ”infinita”, di raggio interno rint e raggio
esterno rext , con una densià di carica costante ρ1 > 0. Utilizzando il Teorema di Gauss si determini il
modulo del campo elettrico
9) per r < rint e
10) per r > rext .
Soluzioni
Problema 1
1) All’interno dell’ascensore - che risulta essere un sistema non inerziale data la sua accelerazione ~ e
tutto è fermo. Sulla massa collegata alla molla agiscono tre forze: il peso (m~g ), la forza elastica (−k ∆l)
la forza apparente (siamo in un sistema non inerziale) dovuta all’accelerazione verso il basso dell’ascensore,
~ Quindi in definitiva sulla massa m agiscono
questa forza apparente agente sulla massa m sarà F~a = −mA.
due forze verso l’alto (forza elastica e forza apparente) e una forza verso il basso (la forza peso) e siccome,
come già detto, tutto è fermo, si avrà equilibrio fra queste tre forze:
k∆l + mA = mg
da cui l’allungamento della molla richiesto:
∆l =
m(g − A)
k
Si noti che se fosse A > g la molla risulterebbe compressa.
2) Il peso indicato dalla bilancia è pari al (/uguaglia il) modulo della forza agente su di essa dovuta
alla persona, tale forza non è altro che una delle due forze di azione-reazione fra bilancia e persona. Sulla
~ del piano della bilancia
persona agiscono tre forze: la forza peso, la forza apparente e la reazione R
~ ad essere una forza della coppia azione-reazione fra bilancia e persona,
ed è proprio questa reazione R
~ ed è appunto questa ad essere ”segnata” dalla bilancia stessa.
infatti la forza agente sulla bilancia è −R
~ agente sulla persona equivale a trovare il peso indicato dalla
Cosı̀ determinare il modulo della reazione R
bilancia. Allora, tenuto conto di tutto quello che abbiamo detto scriviamo la seconda legge di Newton
per la persona ferma rispetto all’ascensore:
mp g − mp A − R = 0
da cui si ricava
R = mp (g − A)
cioè il peso indicato dalla bilancia.
3) La seconda legge di Newton per il sistema ”ascensore” è:
M g + mp g + mg − T = (M + mp + m)A
da cui la tensione del cavo richiesta:
T = (M + mp + m)(g − A)
4) La pallina di massa mb una volta che lascia la mano della persona è sottoposta a due forze: la forza
peso mb g rivolta verso il basso e la forza apparente mb A rivolta verso l’alto; in pratica è come se fosse
sottoposta ad un’accelerazione di gravità ridotta, pari a g−A, diretta verso il basso e costante, quindi il suo
moto sarà uniformemente accelerato. Detto questo per trovare la velocità massima richiesta, v0bmax , cioè
la massima velocità che permette comunque alla pallina di non colpire il soffitto dell’ascensore, possiamo
utilizzare la relazione del moto uniformemente accelerato che lega velocità, accelerazione e spostamento
(imponendo che sia 0 la velocià all’altezza del soffitto dell’ascensore):
2
0 − v0bmax
=H −h
−2(g − A)
da cui
v0bmax =
q
2(H − h)(g − A)
5) Considerando come riferimento un asse verticale diretto verso l’alto e con origine sul pavimento
dell’ascensore, il tempo ∆tb che serve alla pallina per raggiungere il pavimento si ottiene utilizzando la
legge oraria del moto uniformemente accelerato:
−
g−A 2
∆t + v0bmax ∆t + h = 0
2
le cui soluzioni sono:
∆t1,2 =
−v0bmax ±
q
2
v0bmax
+ 2(g − A)h
−(g − A)
e quella che ci interessa è quella con il segno +, cioè quella che risulta positiva (dovendo essere ∆t un
intervallo di tempo), quindi
∆tb =
v0bmax +
q
2
v0bmax
+ 2(g − A)h
(g − A)
Problema 2
6) Per calcolare la carica racchiusa qL in un tratto L è sufficiente moltiplicare la densità (costante)
per il volume di questo tratto (cilindro di raggio di base R e altezza L), quindi:
qL = ρV = ρπR2 L = 8, 80µC
7) Consideriamo come superficie gaussiana un cilindro, coassiale alla distribuzione di carica, di raggio
r1 e altezza h. Il campo elettrico per la simmetria cilindrica della distribuzione di carica sarà diretto
radialmente e sarà uscente (poiché la carica è positiva), cioè giacerà su piani perpendicolari all’asse della
distribuzione cilindrica e sarà radiale rispetto a questo asse. Il flusso del campo quindi sarà diverso da
zero solo sulla superficie laterale del nostro cilindro gaussiano e tale flusso uguaglierà, per il Teorema di
Gauss, la carica racchiusa dal cilindro stesso (che si calcolerà come nella domanda precedente). Quindi
dal Teorema di Gauss:
E2πr1 h =
ρπr12 h
0
si ottiene il modulo del campo elettrico a distanza r1 dall’asse della distribuzione di carica:
E(r1 ) =
ρr1
= 2.82 × 106 N/C
20
8) Con il medesimo ragionamento si può ottenere il modulo del campo a distanza r2 (> R):
E2πr2 h =
ρπR2 h
0
da cui
E(r2 ) =
ρR2 1
= 4.52 × 106 N/C
20 r2
9) Con gli stessi ragionamenti fatti precedentemente si può scrivere per r < rint
E2πrh = 0
da cui risulta che il campo elettrico a distanza r < rint è nullo
10) Mentre per r > rext risulta
E2πrh =
2 h − πr 2 h)
ρ1 (πrext
int
0
e quindi il modulo del campo elettrico è
E=
2 − r2 ) 1
ρ1 (rext
int
20
r