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integrali
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S
s
ferenziali
s Equazioni dif torio
bina
s Calcolo com
SIMONE
EDIZIONI
Estratto della pubblicazione
Š
Gruppo Editoriale Esselibri - Simone
Estratto della pubblicazione
Copyright © 2008 Esselibri S.p.A.
Via F. Russo 33/D
80123 Napoli
Tutti i diritti riservati
È vietata la riproduzione anche parziale
e con qualsiasi mezzo senza l’autorizzazione
scritta dell’editore.
Per citazioni e illustrazioni di competenza altrui, riprodotte in questo libro,
l’editore è a disposizione degli aventi diritto. L’editore provvederà, altresì, alle
opportune correzioni nel caso di errori e/o omissioni a seguito della segnalazione degli interessati.
Prima edizione: Febbraio 2004
Seconda edizione: Aprile 2008
PK21
ISBN 978-88-244-6146-7
Ristampe
8 7 6 5 4 3 2 1
2008
2009
2010
2011
Questo volume è stato stampato presso
Officina Grafica Iride
Via Prov. Arzano-Casandrino, VII trav. 24 - Arzano (NA)
Per informazioni, suggerimenti, proposte: [email protected]
A cura di:
Carla Iodice
Grafica e copertina:
Gianfranco De Angelis
Impaginazione
Raffaella Molino
Estratto della pubblicazione
Presentazione
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Il volume è uno strumento indispensabile per gli studenti degli istituti
di istruzione secondaria, per chi si appresta a sostenere l’esame di
maturità e per chi, già impegnato negli studi universitari, deve sostenere l’esame di Matematica generale.
Ciascun capitolo è costituito da:
— una prima parte in cui è indicato il percorso di lettura ed è tracciata una mappa concettuale strutturata in modo da evidenziare
le interrelazioni tra gli argomenti trattati nel capitolo;
— una parte teorica esplicativa degli argomenti in cui sono richiamati, e spesso dimostrati, i concetti, le regole e i teoremi fondamentali;
— numerosi esempi utili per migliorare la comprensione e sviluppare la capacità di ragionamento;
— un test di verifica finale che è formato, talvolta, da esercizi guidati.
Il linguaggio e le formulazioni adoperate sono state semplificate il più
possibile, così che il volume possa essere utilizzato come complemento del testo istituzionale per verificare e perfezionare la propria preparazione.
Estratto della pubblicazione
ALFABETO GRECO
Α
Β
Γ
Δ
Ε
Ζ
Η
Θ
α
β
γ
δ
ε
ζ
η
θϑ
Ι
Κ
Λ
Μ
Ν
Ξ
Ο
Π
alfa
beta
gamma
delta
epsilon
zeta
eta
theta
ι
κ
λ
μ
ν
ξ
ο
π
iota
kappa
lambda
mi
ni
xi
òmicron
pi
Ρ
Σ
Τ
Υ
Φ
Χ
Ψ
Ω
ρ
σ
τ
υ
ϕφ
χ
ψ
ω
rho
sigma
tau
ipsilon
phi
chi
psi
òmega
INDICE DEI SIMBOLI
>
<
≥
≤
≠
≅
±
∞
→
∃
∀
∈
∉
∅
∪
∩
⊂
⊆
⊄
⇒
maggiore
minore
maggiore o uguale
minore o uguale
diverso da
circa uguale a
più o meno
infinito
tende a
esiste
per ogni
appartiene
non appartiene
insieme vuoto
unione tra insiemi
intersezione tra insiemi
sottoinsieme proprio
sottoinsieme
non è sottoinsieme
implicazione
⇔
N
Z
Q
R
n!
log ( )
ln ( )
e
lim
( )
f′ x
doppia implicazione
insieme dei numeri naturali
insieme dei numeri relativi
insieme dei numeri razionali
insieme dei numeri reali
n fattoriale
logaritmo decimale
logaritmo neperiano
numero di Nepero
limite
derivata
∫
integrale
∑
sommatoria
Π
senα
cosα
tanα
cotanα
produttoria
seno dell’angolo α
coseno dell’angolo α
tangente dell’angolo α
cotangente dell’angolo α
Estratto della pubblicazione
1. Equazioni esponenziali e logaritmi
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○
Di cosa parleremo
▼
Disequazioni
logaritmiche
Logaritmi
▼
▼
Disequazioni
esponenziali
Equazioni
logaritmiche
▼
Equazioni
esponenziali
▼
Prima di approfondire il vantaggio che si trae dall’uso dei logaritmi nell’abbreviare i calcoli, in questo capitolo ci occuperemo di potenze a esponente
reale ed equazioni esponenziali. Successivamente daremo le definizioni di logaritmi – neperiani e decimali – quindi, elencheremo proprietà, teoremi e operazioni con gli stessi. Paragrafi a parte saranno dedicati alle equazioni logaritmiche, disequazioni esponenziali, disequazioni e sistemi di equazioni logaritmiche.
▼
▼
Sistemi di equazioni
logaritmiche
▼
Proprietà
▼
Teoremi
▼
Operazioni
Applicazioni dei logaritmi
al calcolo di
espressioni numeriche
5
1. Equazioni esponenziali e logaritmi
Sistemi di equazioni
esponenziali
▼
▼
▼
Logaritmi:
— neperiani
— decimali
1) Potenze a esponente reale
1.1 Potenze a esponente razionale
Per le potenze di un numero reale positivo o nullo, a, a esponente
razionale valgono i seguenti teoremi:
✔ Primo teorema
Al crescere dell’esponente, il valore di una potenza:
— cresce, se la base è maggiore di 1
se l’esponente è intero, si ha:
am > a n
se m > n
se l’esponente è un numero razionale, si ha:
a
m
n
>a
p
q
se
m p
>
n q
— decresce, se la base è minore di 1
se l’esponente è intero si ha:
am < a n
se m > n
✔ Secondo teorema
La potenza con base positiva e esponente intero è:
— maggiore di 1, se la base è maggiore di 1
an > 1
se a > 1, n > 0
1. Equazioni esponenziali e logaritmi
— minore di 1, se la base è minore di 1
an < 1
se a < 1, n < 0
✔ Terzo teorema
Se una potenza ha la base maggiore di 1, esiste sempre un esponente intero positivo tale che la potenza risulta maggiore di un
numero reale k dato:
an > k
6
Estratto della pubblicazione
✔ Quarto teorema
Se una potenza ha base positiva ma minore di 1, esiste sempre
un esponente intero positivo tale che la potenza risulta minore di
un numero reale dato e:
an < ε
1.2 Potenze a esponente irrazionale
Sia a un numero reale positivo e α un numero reale definito dalle
classi contigue di numeri razionali:
A = {α1, α2 , α3 , …, αn } e A ' = {α '1, α '2 , α '3 , …, α 'n }
la potenza:
a α = (a A , a A ' )
è un numero reale positivo, definito dalle classi:
{
α
α
α
a A = a 1 , a 2 , a 3 , …, a
αn
}e
{
α'
a A ' = a α 1 , a α 2 , a 3 , …, a
'
'
α 'n
}
Per le potenze ad esponente irrazionale valgono tutti i teoremi esposti
per le potenze ad esponente razionale.
Si dice equazione esponenziale una equazione nella quale l’incognita figura come esponente.
Una equazione esponenziale è del tipo:
ax = b
con a e b numeri reali positivi e con il primo diverso da 1.
7
Estratto della pubblicazione
1. Equazioni esponenziali e logaritmi
2) Equazioni esponenziali
Per l’equazione esponenziale così definita, vale il seguente:
✔ Teorema
Se a è un numero reale positivo e diverso da 1 e b è un numero
reale positivo, l’equazione:
ax = b
ammette una sola soluzione, che è:
— positiva se sono entrambi maggiori di 1 o minori di 1;
— negativa se uno è maggiore di 1 e l’altro è minore di 1 indifferentemente;
— è uguale a 0 se è b = 1 e a > 0.
3) Logaritmi
Si dice logaritmo di un numero reale positivo b in una data
base reale positiva a diversa da 1, l’esponente a cui si deve elevare
a per ottenere b; in simboli:
x = logab
in sostanza il logaritmo è la soluzione dell’equazione esponenziale:
ax = b
1. Equazioni esponenziali e logaritmi
Inoltre:
— essendo a maggiore di zero e diversa da 1, non esiste il logaritmo
di base zero o di base 1;
— essendo b maggiore di zero, non esiste il logaritmo di un numero
negativo o di zero.
Dal teorema sulle equazioni esponenziali si deduce che:
— se a e b sono entrambi maggiori di 1 o entrambi minori di 1:
logab > 0
8
— se a e b sono il primo maggiore di 1 e il secondo minore di 1, o
viceversa:
logab < 0
✔ Proprietà dei logaritmi
Due logaritmi aventi per base la stessa base e per argomento due
numeri reciproci, sono opposti:
1
logab = – loga
b
Due logaritmi aventi basi reciproche e per argomento lo stesso
argomento, sono opposti:
logab = – log 1b
a
Due logaritmi aventi basi reciproche e per argomento due numeri reciproci, sono uguali:
1
logab = log 1
b
a
Se in un logaritmo si scambia la base con l’argomento, si ottiene
il logaritmo reciproco di quello dato:
1
logab =
logba
3.1 Teoremi sui logaritmi
Il logaritmo, rispetto ad una data base, del prodotto di due o più
numeri è uguale alla somma dei logaritmi, rispetto alla medesima base, dei singoli fattori:
loga (b ⋅ c ) = logab + logac
9
1. Equazioni esponenziali e logaritmi
✔ Teorema del prodotto
✔ Teorema del quoziente
Il logaritmo, rispetto ad una data base, del quoziente di due numeri è uguale alla differenza dei logaritmi, rispetto alla medesima base, del dividendo e del divisore:
loga (b : c ) = logab – logac
✔ Teorema della potenza
Il logaritmo, rispetto ad una data base, di una potenza è uguale al
prodotto dell’esponente della potenza per il logaritmo, nella
medesima base della base della potenza:
logab m = mlogab
✔ Teorema del radicale
Il logaritmo, rispetto ad una data base, di un radicale è uguale al
prodotto della frazione avente per numeratore l’esponente del
radicando e per denominatore l’indice del radicale, per il logaritmo,
nella medesima base, del radicando:
loga n b m =
m
loga b
n
3.2 Logaritmi neperiani e logaritmi decimali
1. Equazioni esponenziali e logaritmi
Rispetto alla base, i logaritmi si distinguono in:
— neperiani o naturali o iperbolici, se hanno per base il numero
irrazionale e = 2,71828182845…;
— decimali, se hanno per base 10.
In genere, il logaritmo neperiano di un numero x si indica con lnx,
mentre il logaritmo decimale di x con logx.
Rispetto a una stessa base, si dice sistema di logaritmi l’insieme dei
logaritmi di tutti i numeri reali positivi, rispetto a quella base.
10
Siano a e b le basi di due sistemi di logaritmi, per passare dal sistema
di logaritmi di base a al sistema di logaritmi di base b, si applica la
seguente formula:
logb x =
loga x
logab
✔ Proprietà dei logaritmi decimali
Il logaritmo decimale di una potenza di 10 ad esponente intero
relativo è uguale all’esponente della potenza:
log10 = 1;
log100 = log102 = 2;
log1000 = log103 = 3
Il logaritmo decimale di un numero razionale positivo, che non
sia potenza di 10, è un numero irrazionale.
Considerato un numero razionale positivo, maggiore o minore di 1, si
dicono:
— caratteristica del logaritmo decimale, il minore di due numeri
interi consecutivi, fra cui è compreso il logaritmo;
— mantissa del logaritmo il numero positivo minore di 1 che sommato alla caratteristica dà il logaritmo.
✔ Primo teorema della caratteristica
✔ Secondo teorema della caratteristica
La caratteristica del logaritmo decimale di un numero razionale
positivo minore di 1, è quel numero intero negativo, le cui unità
sono tante quanti sono gli zeri che precedono la prima cifra significativa, ossia, la prima cifra diversa da zero, non escludendo lo zero
della parte intera.
11
Estratto della pubblicazione
1. Equazioni esponenziali e logaritmi
La caratteristica del logaritmo decimale di un numero razionale maggiore di 1 è quel numero che si ottiene sottraendo 1
dal numero delle cifre della parte intera del numero considerato.
Si consideri, ora, il teorema seguente:
✔ Teorema della mantissa
Moltiplicando un numero razionale per una potenza ad esponente
intero relativo di 10, la mantissa del suo logaritmo non cambia.
La mantissa di un logaritmo si determina da apposite tavole.
Cologaritmo
Si dice cologaritmo di un numero razionale positivo b, l’opposto del
suo logaritmo:
colog b = – log b
La caratteristica del cologaritmo di un numero razionale si ottiene aumentando quella del logaritmo di una unità positiva e cambiando di
segno; la mantissa presenta delle cifre che sono i complementi a nove
di quelle della mantissa del logaritmo, eccetto quella dell’ultima cifra
significativa per la quale si fa il complemento a 10.
Se la caratteristica è negativa, si pone su di essa un trattino.
3.3 Proprietà delle operazioni con i logaritmi
I logaritmi
1
b
logab = – log 1b
1
b
logab =
logab = – loga
1. Equazioni esponenziali e logaritmi
logab = log 1
a
a
loga (b ⋅ c ) = logab + logac
logab m = mlogab
1
logba
loga (b : c ) = logab – logac
loga n b m =
12
Estratto della pubblicazione
m
logab
n
Grazie alle proprietà dei logaritmi è possibile eseguire, in modo più
semplice, operazioni aritmetiche impegnative.
Con i logaritmi:
—
—
—
—
la moltiplicazione si riconduce ad addizione;
la divisione si riconduce a sottrazione;
l’elevamento a potenza si riconduce a moltiplicazione;
l’estrazione di radice si riconduce a divisione.
Esempio 1
Si calcoli la seguente potenza:
x = (7,13)4
ricorrendo ai logaritmi si ha:
log x = 4 log 7,13 = 4 · 0,8531 = 3,4124
da cui, passando dal logaritmo al numero:
x = 103,4124 = 2.584,39
Esempio 2
Si calcoli l’espressione:
x= 5
(43,8)
( 3,7)
2
3
log x =
1
1
1
, – 3 ⋅ 0, 5688 ) = ⋅ 1, 578 = 0, 3156
(2log43,8 – 3log3,7) = 5 (2 ⋅1641
5
5
da cui, passando dal logaritmo al numero, si ha:
x = 100,3156 = 2,068
4) Equazioni logaritmiche
Una equazione si dice logaritmica quando l’incognita figura nell’argomento di un logaritmo.
13
Estratto della pubblicazione
1. Equazioni esponenziali e logaritmi
ricorrendo ai logaritmi si ha:
Esempio
Si consideri la seguente equazione logaritmica:
log ( 3x – 2) = log ( x + 2) + 3
3
3
Dai teoremi sui logaritmi, si ha:
3log ( 3x – 2) = 3log ( x + 2) + 3
da cui, dividendo ambo i membri per 3, si ha:
3x – 2
= 10
x+2
eliminando il denominatore e riducendo i termini simili si ha:
x=–
22
7
Diamo, ora, un esempio di equazione esponenziale risolta ricorrendo
ai logaritmi.
Esempio
Si risolva la seguente equazione esponenziale:
32x – 4 3x = 4 3x+2 – 32x+1
Trasportando a primo membro il quarto termine e al secondo membro il secondo termine, e raccogliendo a fattor comune nel primo membro 32x e nel secondo membro 4 3x, si ha:
(1 + 3)32x = (42 + 1) 43x
1. Equazioni esponenziali e logaritmi
ossia:
4 · 3 2x = 17 · 43x
ricorrendo ai logaritmi, si ha:
log 4 + 2x log 3 = log 17 + 3 x log 4
da cui:
x=
log17 –log4
2log3 – 3log4
Attraverso le tavole logaritmiche si ottiene un valore approssimato di x.
14
Estratto della pubblicazione
5) Disequazioni esponenziali
Si dice disequazione esponenziale ogni disequazione in cui l’incognita, o qualche espressione che contiene l’incognita, compare
come esponente di una o più potenze; in generale essa assume una
delle seguenti forme:
ax > b
ax < b
con a numero reale positivo e diverso da 1 e b numero reale qualsiasi.
La soluzione di una delle suddette disequazioni si ottiene risolvendo
dapprima l’equazione ax = b; una volta trovato il valore x0 per cui tale
equazione è soddisfatta, e supponendo b > 0, si ha:
ax > b
a > 1 la disequazione è soddisfatta per ogni x > x0 ;
0 < a < 1, essa è soddisfatta per ogni x < x 0;
ax < b
a > 1 la disequazione è soddisfatta per ogni x < x0 ;
per 0 < a < 1, essa è soddisfatta per ogni x > x0.
Se è b < 0, la disequazione ax > b è sempre soddisfatta, in quanto è
sempre ax > 0, ed è proprio questo il motivo per cui la disequazione
ax < b è, invece, impossibile.
Si dice disequazione logaritmica ogni disequazione in cui compare il logaritmo dell’incognita o di qualche espressione che contiene l’incognita; essa assume una delle seguenti forme:
loga x > b
loga x < b
con a numero reale positivo e diverso da 1 e b numero reale qualsiasi.
15
Estratto della pubblicazione
1. Equazioni esponenziali e logaritmi
6) Disequazioni logaritmiche
La soluzione di una delle suddette disequazioni si ottiene risolvendo
dapprima l’equazione loga x = b, una volta trovato il valore x0 per cui
tale equazione è soddisfatta, si ha:
loga x > b
per a > 1, la disequazione è soddisfatta per ogni x>x0;
per 0 < a < 1, essa è soddisfatta per ogni 0 < x < x 0;
loga x < b
per a > 1, la disequazione è soddisfatta per ogni 0 < x < x0;
per 0 < a < 1, essa è soddisfatta per ogni x > x0.
7) Sistemi di equazioni esponenziali
Risolvere un sistema significa trovare quel valore delle incognite delle
equazioni date, per cui esse sono soddisfatte contemporaneamente.
Esempio
Si risolva il seguente sistema di equazioni esponenziali:
⎧3x ⋅ 27y = 27
⎨ 3x y
⎩⎪2 ⋅ 4 = 32
per esso si ha:
⎧3x ⋅ 33y = 33
⎨ 3x 2y 5
⎪⎩2 ⋅ 2 = 2
1. Equazioni esponenziali e logaritmi
applicando le proprietà delle potenze, si ha:
⎧3x+3y = 33
⎨ 3x+2y 5
⎪⎩2
=2
da cui il sistema:
⎧x + 3y = 3
⎨
⎪⎩3x + 2y = 5
le cui soluzioni sono:
9
x= ;
7
y=
4
7
16
Estratto della pubblicazione
8) Sistemi di equazioni logaritmiche
La risoluzione di un sistema di equazioni logaritmiche segue lo
stesso procedimento utilizzato per la risoluzione di un qualsiasi sistema di equazioni; ovviamente, si rende necessario applicare proprietà e
teoremi sui logaritmi.
Esempio
Si risolva il seguente sistema di equazioni logaritmiche:
⎧logx + logy = 2
⎨
⎩⎪x + y = 25
dai teoremi sui logaritmi, la prima equazione diventa:
log (x · y) = 2
ossia:
(xy) = 100
Il sistema, pertanto, diventa:
⎧xy = 100
⎨
⎪⎩x + y = 25
È un sistema simmetrico, la cui equazione risolvente è t 2 – 25 t + 100 = 0, e le cui radici sono:
t 1 = 5;
t2 = 20
Le soluzioni simmetriche del sistema sono:
e
(20, 5)
1. Equazioni esponenziali e logaritmi
(5, 20)
17
Test di verifica
1) Indicare la soluzione, tra quelle riportate, dell’equazione esponenziale:
16
x–2
=
1
64
17
;
4
❏ d) impossibile;
❏ a) 11;
❏ b)
❏ c) 2;
❏ e) 4.
2) Indicare la soluzione, tra quelle riportate, dell’equazione esponenziale:
x –4
3 x +2
⎛2⎞
⎛5⎞
⎜ ⎟ =⎜ ⎟
⎝5⎠
⎝2⎠
❏ a)
1
;
2
❏ b) 3;
1. Equazioni esponenziali e logaritmi
❏ c) impossibile;
❏ e) 3.
❏ d) 4;
3) Indicare la soluzione, tra quelle riportate, della disequazione esponenziale:
x
⎛ 1⎞
⎜ ⎟ <8
⎝2⎠
1
❏ a) x < ;
❏ b) x > – 3;
2
❏ c) – 3 < x < 3;
❏ d) x < 3;
❏ e) x >
18
1
.
2
4) Indicare la soluzione, tra quelle riportate, della disequazione esponenziale:
32x – 10 · 3x + 9 > 0
❏ a) x > 3;
❏ c) x > 0;
❏ e) x < 0 e x > 2.
❏ b) x < 2 e x > 4;
❏ d) x > –2;
5) Applicando la definizione di logaritmo, indicare per quale valore dell’argomento la seguente uguaglianza è vera:
log4 x = – 3
❏ a) 64
❏ b) 81;
❏ c) 1 ;
64
❏ d) 1 ;
81
❏ e) 1 .
9
6) Applicando la definizione di logaritmo, indicare per quale valore della base la seguente uguaglianza è vera:
logx 216 = 3
❏ a) non esiste;
❏ c) 6;
❏ e) 16.
❏ b) e (numero di Nepero);
❏ d) 5;
❏ a) 3,386;
❏ b) 10,772;
❏ c) 2, 693 ;
❏ e) 5.
❏ d) 3, 693 ;
1. Equazioni esponenziali e logaritmi
7) Determinare il quoziente della seguente divisione:
5,386:2
19
8) Indicare il valore della seguente equazione logaritmica:
(
)
1
log x + 3 = log 2x – x + 2 – log ( x + 3)
2
❏ a) 7 – 21 e 7 + 21 ;
2
2
❏ b) – 21 e + 21 ;
7
7
e + ;
2
2
❏ d) 2 e 5;
❏ c) –
❏ e)
21 .
9) Indicare il valore della seguente disequazione logaritmica:
log 2 x 2 – x – 8 > 2
❏
❏
❏
❏
❏
(
)
a)
b)
c)
d)
e)
x < 3 e x > 5;
x < 0 e x > 2;
x < – 3 e x > 4;
x > 2;
x < –2 e x > 2.
10) Risolvere il seguente sistema di equazioni esponenziali:
1. Equazioni esponenziali e logaritmi
⎪⎧ a x ⋅ 3 a y = a 6
⎨
⎩⎪ b x : 6 b y =1
5
❏ a) x = 13 , y = ;
9
3
❏ c) x = 0, y = 6;
❏ e) x = 2, y = 6.
❏ b) x = 4, y = 12;
❏ d) x = 1, y = 6;
Risposte esatte
1) d); 2) a); 3) b); 4) e); 5) c); 6) c); 7) d); 8) a); 9) c); 10) b).
20
Estratto della pubblicazione
2. Geometria analitica
○
○
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○
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○
○
○
○
Di cosa parleremo
In questo capitolo affronteremo l’interessante argomento della geometria analitica
che si propone di portare i metodi matematici al servizio della geometria.
A partire da Cartesio, gli enti della geometria sono tradotti in espressioni
matematiche.
Ad ogni punto, ad ogni retta, ad ogni curva, ossia a tutto ciò che è suscettibile di
rappresentazione grafica in un sistema di assi cartesiani, corrisponde sempre
una rappresentazione algebrica – un numero reale, una coppia di numeri
reali, un’equazione – che cambia secondo ciò che si rappresenta.
▼
La retta
L’ellisse
▼
▼
Le coniche
Tangente
a un’ellisse
Eccentricità
▼
▼
Coordinate del punto
medio di un segmento
L’iperbole
▼
▼
Tangenti a
una parabola
▼
Equazione della parabola simmetrica:
– rispetto all’asse y
– rispetto all’asse x
Mutua posizione
di una retta e
di una parabola
▼
▼
Rette rispetto
all’origine
degli assi
La parabola
▼
▼
▼
▼
Rette parallele e
perpendicolari
▼
▼
Equazione
della retta
Equazione della retta passante
– per un punto
– per due punti
Tangenti a
un’iperbole
Iperbole
equilatera
21
2. Geometria analitica
▼
Concetto
di funzione
▼
▼
▼
Distanza di
un punto
da una retta
▼
▼
Mutua posizione:
– di una retta e di una
circonferenza
– di due circonferenze
▼
Coordinate cartesiane
ortogonali nel piano
Distanza di
due punti
Tangenti ad una
circonferenza
La circonferenza
▼
Ascisse dei punti
di una retta
1) Ascisse dei punti di una retta
Retta
Si dice retta di un piano una linea descritta da un punto O (detto
origine) che si muove su di essa.
Fissato su una retta orientata r il punto O, ed un’unità di misura per le
lunghezze (generalmente si fa riferimento ad un segmento u) si può
stabilire una corrispondenza fra i numeri reali ed i punti della retta.
2. Geometria analitica
In base a tale corrispondenza si ha che:
— al numero 0 si fa corrispondere il punto O;
— al numero + a (dove a è un intero positivo qualunque) si fa corrispondere un punto A della retta r, situato a destra di O e distante
da esso di un segmento uguale ad a volte l’unità di misura fissata;
— al numero – a si fa corrispondere un punto B della retta r, situato
a sinistra di O e distante da esso di un segmento uguale ad a volte
l’unità di misura.
B
0 A
-a
O +a
I punti così individuati, O, A e B si dicono immagini, rispettivamente
dei numeri: 0, + a e – a.
Tutti i numeri reali possono essere rappresentati su una retta in questo
modo.
Se si vuole rappresentare un numero razionale, basta dividere l’unità
di misura fissata in tante parti uguali al numero che è al denominatore
della frazione e segnare su r, a destra o a sinistra dell’origine O (a
seconda che il numero sia positivo o negativo) un punto P che dista da
O di un segmento OP uguale al numero che è al numeratore della
frazione.
22
Pertanto, esiste una corrispondenza biunivoca tra i punti della retta
e l’insieme dei numeri reali, ossia:
— ad ogni punto di una retta data corrisponde un numero, detto ascissa, che misura la distanza del punto considerato da un altro
punto O, assunto come origine. Tale ascissa è positiva o negativa
secondo che il punto è situato, rispettivamente, sulla semiretta OX ,
detta semiasse positivo delle ascisse, o sulla semiretta OX ' , detta
semiasse negativo delle ascisse;
— ad ogni numero corrisponde un punto ed uno solo che è l’immagine di quel numero.
Siano date:
— una retta x orizzontale, sulla
y
quale sia stata fissata l’origine
O e con una freccia il verso
II
I
positivo;
P
B
— una retta y, perpendicolare
alla retta x e passante per l’origine O, sulla quale sia stato
O
A x
fissato il verso positivo sempre con una freccia.
Le due rette così individuate forIII
IV
mano un sistema di assi cartesiani che dividono il piano in quattro
parti dette quadranti. Gli assi coordinati si chiamano, rispettivamente, asse delle ascisse, che si indica
con x, asse delle ordinate, che si indica con y. Il punto O è l’origine
degli assi.
Fissata un’unità di misura per l’asse delle ascisse e una per l’asse delle
ordinate (l’unità di misura può essere la stessa) e individuato un qualsiasi
punto P del piano, si considerano le sue proiezioni A su Ox e B su Oy.
23
Estratto della pubblicazione
2. Geometria analitica
2) Coordinate cartesiane ortogonali nel piano
Le misure dei due segmenti OA e OB si dicono rispettivamente ascissa
e ordinata del punto P; entrambe prendono il nome di coordinate di
tale punto.
In generale, a ogni punto del piano corrisponde una coppia di numeri
che sono l’ascissa e l’ordinata del punto e viceversa, a ogni coppia di
numeri corrisponde un punto del piano.
Segno delle coordinate
I
II
III
IV
quadrante:
quadrante:
quadrante:
quadrante:
x
x
x
x
>0 e y
<0 e y
<0 e y
>0 e y
>0
>0
<0
<0
Inoltre, i punti situati sull’asse delle ascisse (x) hanno ordinata
nulla, mentre i punti situati sull’asse delle ordinate (y) hanno ascissa nulla.
Siano dati i due punti:
A (x 1 , y 1 )
e
B (x 2 , y 2 )
calcoliamo, ora, la loro distanza e le coordinate del loro punto medio.
Misura della distanza di due punti
2. Geometria analitica
La misura della distanza di due punti è data dalla radice quadrata
della somma dei quadrati delle differenze delle ascisse dei due punti
e delle ordinate dei due punti.
24
Estratto della pubblicazione