9 Metodo della trasformata di Laplace per l`analisi delle linee di

9 Metodo della trasformata di Laplace per
l’analisi delle linee di trasmissione
Introduzione
Nei paragrafi precedenti sono state illustrate le tecniche di analisi per esaminare il comportamento di circuiti contenenti linee di trasmissione quando i segnali hanno una dipendenza temporale arbitraria. E’ stato evidenziato come la soluzione del problema può
presentare alcune difficoltà già per i casi in cui le impedenze del generatore e del carico sono semplici resistori e che ulteriori complicazioni insorgono nel momento in cui si
considerano carichi induttivi o capacitivi.
Un metodo molto efficiente per risolvere in modo sistematico problemi anche complessi è quello che fa uso della trasformata di Laplace. Si tratta di un procedimento che
presenta numerosi vantaggi in quanto trasforma equazioni integro-differenziali in equazioni algebriche ed equazioni differenziali alle derivate parziali in equazioni differenziali
alle derivate totali. La tecnica della trasformata di Laplace applicata alle equazioni
caratteristiche di una linea di trasmissione consente infatti di trasformare il problema
definito nel dominio spazio-temporale, spesso di difficile soluzione, in un problema, più
semplice da risolvere, definito in un nuovo dominio in cui compare la variabile spaziale
z e la variabile complessa s. Dalla soluzione del problema nel dominio trasformato è
possibile quindi ricavare la soluzione del problema iniziale, in cui compare la dipendenza
temporale, utilizzando l’operazione di antitrasformazione: infatti, si può dimostrare che
la trasformata di Laplace è un’operazione lineare e biunivoca.
9.1 Linea di trasmissione come sistema lineare
tempo-invariante
Si consideri il circuito costituito da un generatore e un carico collegati per mezzo di una
linea di trasmissione, come mostrato in Figura 8.3. Si supponga inoltre che il carico
e il generatore abbiano rispettivamente impedenze ZL e Zg . Il problema da risolvere
consiste nel ricavare la tensione vL e la corrente iL sul carico nota la tensione a vuoto
e(t) del generatore.
Nel linguaggio della teoria dei sistemi il sistema è lineare e tempo-invariante (LTI) in
quando i parametri della linea di trasmissione e l’impedenza ZL sono indipendenti dalle
tensioni e correnti del circuito e non dipendono dal tempo. In queste ipotesi, la relazione
che lega la tensione nella sezione z = l alla tensione del generatore e(t) è esprimibile nel
188
9.2. Trasformata di Laplace
189
dominio del tempo per mezzo dell’integrale di convoluzione:
∫ ∞
h(t − τ )e(τ )dτ
vL (t) =
(9.1)
−∞
e nel dominio trasformato come:
VL (s) = G(s)E(s)
(9.2)
dove h(t) è la risposta all’impulso, G(s) è la funzione di trasferimento, VL (s) e E(s) sono
rispettivamente la trasformata di Laplace di vL (t) e e(t). Già da un’analisi grossolana
delle (9.1) e (9.2) è chiaro come il problema nel dominio trasformato sia semplificato
rispetto a quello nel dominio del tempo: l’integrale di convoluzione è infatti trasformato
in una operazione di moltiplicazione. E’ quindi evidente, che per risolvere il problema nel
dominio trasformato è necessario conoscere sia come si applica la trasformata di Laplace
sia come si ricava la funzione di trasferimento. Inoltre è necessario anche capire come si
effettua l’operazione di antitrasformazione.
9.2 Trasformata di Laplace
Si consideri una funzione f (t) continua a tratti definita almeno per ogni istante di tempo
t ≥ 0 e un numero complesso s. Si dice integrale di Laplace l’integrale improprio
∫ ∞
f (t)e−st dt
0
Esso è un integrale generalizzato la cui convergenza dipende dalla funzione f e dal parametro complesso s. L’insieme D dei numeri complessi s per cui l’integrale improprio esiste finito costituisce il dominio di una nuova funzione F (s), detta trasformata di Laplace
della funzione f (t) e indicata anche con il simbolo L[f (t)], definita dalla relazione:
∫ ∞
△
L[f (t)](s) = F (s) =
f (t)e−st dt
s∈D
(9.3)
0
Il dominio D della F (s) dipende dalla funzione f (t) e quando D non è vuoto, la funzione
f (t) si dice trasformabile secondo Laplace.In definitiva diremo che una funzione f (t) è
trasformabile secondo Laplace se esiste almeno un valore di s tale che il corrispondente
integrale di Laplace converge. Si osservi che nella definizione di integrale di Laplace
è stato sottointeso che la funzione f (t) è uguale a zero per ogni t < 0.
Non sempre è agevole determinare con esattezza il dominio della trasformata di Laplace di una funzione f (t) visto che è necessario studiare la convergenza di opportuni
integrali generalizzati. Esiste comunque un criterio, basato sullo studio dell’ordine di
crescita, per stabilire se una determinata funzione è traformabile secondo Laplace. Una
funzione f (t) è a crescita esponenziale se esistono due costanti M e α per cui vale la
relazione:
|f (t)| ≤ M eαt
∀t ≥ 0
(9.4)
Ing. Luciano Mescia
9.2. Trasformata di Laplace
190
L’estremo inferiore, α0 , di α per cui vale la (9.4) è detto ordine di crescita della
funzione f (t). Pertanto se f (t) è di ordine esponenziale con ordine di crescita α0 è
possibile scrivere la relazione:
lim f (t)e−αt = 0
t→+∞
∀α > α0
(9.5)
In tale contesto è possibile dimostrare una condizione suffiente di trasformabilità in cui si
afferma che una funzione generalmente continua di ordine esponenziale α0 è trasformabile
secondo Laplace.
9.2.1 Proprietà della trasformata di Laplace
La trasformata di Laplace gode di alcune proprietà molto utili per la semplificazione dei
calcoli derivanti dall’applicazione della definizione (??). In particolare, per le funzioni
generalmente continue e di ordine esponenziale α0 è possibile dimostrare la validità delle
seguenti realzioni:
L [af1 (t) + bf2 (t)] (s) = aF1 (s) + bF2 (s);
(9.6)
lim F (s) = 0;
(9.7)
lim f (t) = lim sF (s);
(9.8)
s→+∞
s→+∞
t→0+
1
F (s/a)
a
L [f (t − t0 )] (s) = e−t0 s F (s)
dF (s)
L [tf (t)] (s) = −
ds
[ at
]
L e f (t) (s) = F (s − a)
L [f (at)] (s) =
(9.9)
(9.10)
(9.11)
(9.12)
Altre due importanti proprietà molto utili per semplificare le equazioni integro-differenziali
riguardano la trasformata della derivata e dell’integrale.
Trasformata della derivata. Si consideri una funzione continua f (t) trasformabile secondo Laplace e si valuti la traformata della sua derivata, f ′ (t) = df (t)/dt, utilizzando
la definizione (9.3):
∫ ∞
[
]
L f ′ (t) (s) =
[f (t)]′ e−st dt
0
∫ ∞
−st ∞
= f (t)e
|0 + s
f (t)e−st dt
0
=
lim f (t)e−st − f (0) + sF (s)
t→+∞
= sF (s) − f (0)
(9.13)
La (9.13) è stata ottenuta usando la regola di integrazione per parti e la relazione (9.5).
Inoltre, estendendo il risultato alle derivate di ordine superiore, la (9.13) può essere
Ing. Luciano Mescia
9.2. Trasformata di Laplace
191
applicata ripetutamente per calcolare la trasformata di Laplace delle derivate di ordine
più alto. Per la derivata seconda si ha ad esempio:
[
]
[
]
L f ′′ (t) (s) = sL f ′ (t) (s) − f ′ (0)
= s2 F (s) − sf (0) − f ′ (0)
(9.14)
Si osserva quindi che l’operazione di derivazione nel dominio del tempo corrisponde ad
una moltiplicazione per la variabile complessa s nel dominio trasformato. Questa proprietà è molto importante perchè, come vedremo in seguito, semplificherà la risoluzione
delle equazioni dei telegrafisti.
Trasformata dell’integrale. Considerando una funzione continua f (t) trasformabile secondo Laplace, si valuti la traformata del suo integrale calcolato tra gli estremi 0 e t,
utilizzando la definizione (9.3). In particolare se g(t) è una funzione tale che
[
]
L g ′ (t) (s) = sL [g(t)] (s) − g(0) = sL [g(t)] (s) = F (s)
[∫
ovvero
L
]
t
f (t)dt (s) =
0
F (s)
s
(9.15)
Si osserva quindi che l’operazione di integrazione corrisponde ad una divisione per la
variabile complessa s nel dominio trasformato.
Teorema del valore iniziale e del valore finale. Considerando una funzione continua
f (t) nell’intervallo 0 ≤ t ≤ t0 , di ordine esponenziale per t > t0 e tale che la sua derivata
prima f ′ (t) sia generalmente continua in 0 ≤ t ≤ t0 , si può dimostrare la validità dei
seguenti teoremi:
lim f (t) = lim sF (s)
teorema del valore iniziale
(9.16a)
lim f (t) = lim sF (s)
teorema del valore finale
(9.16b)
t→0+
t→+∞
s→+∞
s→0
9.2.2 Trasformata di Laplace di funzioni elementari
In questa sezione saranno calcolate le trasformate di Laplace di funzioni elementari, che
consentiranno di calcolare le trasformate di Laplace di funzioni più complesse. Come
primo esempio si consideri la funzione a gradino U (t) definita come:
{
0 se t < 0
U (t) =
1 se t ≥ 0
e usiamo la (9.3) per calcolare la sua trasformata di Laplace. Si ha
∫ ∞
∫ ∞
−st
U (t)e dt =
e−st dt
0
Ing. Luciano Mescia
0
9.3. Applicazione della trasformata di Laplace alle linee di trasmissione 192
e l’integrale improprio al secondo membro esiste finito e vale 1/s solo se s > 0. Pertanto
si avrà:
1
L [U (t)] (s) =
s>0
(9.17)
s
Inoltre utilizzando la (8.10) si ha:
L [U (t − t0 )] (s) =
e−t0 s
s
s>0
(9.18)
Per la trasformata di Laplace della funzione esponenziale f (t) = eat , con a parametro
reale, si ha:
∫ ∞
∫ ∞
at −st
e e dt =
e(a−s)t dt
0
0
dove l’integrale improprio è converggente solo se s > a. Quindi si ha:
[ ]
1
L eat (s) =
s>a
s−a
(9.19)
Per la funzione f (t) = t è facile mostrare, usando la tecnica di integrazione per parti,
che vale la relazione:
1
L [t] (s) = 2
s>0
(9.20)
s
Infine se f (t) è una funzione periodica di periodo T > 0, cioé f (t + T ) = f (t) per ogni
t, e indicando con fT (t) la funzione troncata a t
{
f (t) se 0 ≤ t ≤ T
fT (t) =
0
altrimenti
è possibile dimostrare che la Trasformata di Laplace del segnale periodico è legata al
segnale troncato per mezzo della relazione:
L [f (t)] (s) =
L [fT (t)] (s)
1 − e−sT
(9.21)
9.3 Applicazione della trasformata di Laplace alle linee di
trasmissione
A questo punto si hanno a disposizione tutti gli strumenti matematici per applicare
la tecnica della trasformata di Laplace ai circuiti contenenti linee di trasmissione. La
tensione v(z, t) e la corrente i(z, t), una volta fissata la coordinata z, possono essere
modellate per mezzo di funzioni causali continue a tratti e limitate. Funzioni con tali
caratteristiche hanno crescita esponenziale con ordine di crescita minore o uguale a zero
e di conseguenza è possibile applicare senza alcuna limitazione la trasformata di Laplace
ed ottenere:
∫ ∞
V (z, s) =
v(z, t)e−st dt
(9.22)
∫0 ∞
I(z, s) =
i(z, t)e−st dt
(9.23)
0
Ing. Luciano Mescia
9.3. Applicazione della trasformata di Laplace alle linee di trasmissione 193
dove V (z, s) e I(z, s) sono rispettivamente le trasformate di Laplace della tensione e
corrente lungo la linea. Interpretando i segnali elettrici come funzioni temporali definite
per istanti positivi, si vede dalle (9.22) e (9.23) che la variabile s ha le dimensioni di
una frequenza, dato che per calcolare l’esponenziale è necessario che il prodotto st sia
adimensionale. Di conseguenza si può pensare alla trasformata di Lalace come a uno
strumento che consente la rappresentazione del segnale nello spazio della frequenza.
Per una linea di trasmissione senza perdite l’equazione dei telegrafisti per la tensione
è:
∂ 2 v(z, t)
∂ 2 v(z, t)
= LC
2
∂z
∂t2
da cui applicando ad ambo i membri l’operazione della trasformata di Laplace e utilizzando la proprietà (9.14) della trasformata della derivata si ottiene:
∂ 2 V (z, s)
= s2 LCV (z, s) − sLCv(z, 0) − LCv ′ (z, 0)
∂z 2
ovvero
∂ 2 V (z, s)
− Γ2 (s)V (z, s) = F (0)
(9.24)
∂z 2
dove si è posto Γ2 (s) = s2 LC e F (0) = −sLCv(z, 0) − LCv ′ (z, 0). Nell’ipotesi che il
generatore applica la sua tensione per istanti di tempo successivi a quello iniziale di
osservazione t = 0 si ha che il sistema è eccitato dalla sola condizione al contorno in
z = 0 (linea scarica) e pertanto v(z, 0) = i(z, 0) = 0. In queste ipotesi l’equazione
differenziale (9.24) assume la forma semplificata:
∂ 2 V (z, s)
− Γ2 (s)V (z, s) = 0
∂z 2
(9.25)
la cui soluzione generale è:
V (z, s) = V + (s) e−s
√
LC z
√
+ V − (s) es
LC z
(9.26)
Per calcolare la relazione nel dominio del tempo è suffiente utilizzare la proprietà (9.10)
ed ottenere in definitiva:
√
√
v(z, t) = a1 (t − z LC) + a2 (t + z LC)
(
)
(
)
z
z
+
−
= v
t−
+v
t+
(9.27)
vf
vf
√
dove vf = 1/ LC. Applicando le stesse considerazioni all’equazione dei telegrafisti per
la corrente e considerando che la tensione e la corrente sulla linea di trasmissione sono
correlate tra loro si ha:
]
√
√
1 [ +
I(z, s) =
V (s) e−s LC z − V − (s) es LC z
(9.28)
Zc
da cui è immediato ottenere per mezzo dell’operazione di antitrasformazione l’equazione
(8.15). Si osservi come per mezzo della trasformata di Laplace è stata ottenuta una
soluzione in termini di onda incidente e riflessa che è formalmente identica a quella
ricavata risolvendo l’equazione differenziale (8.12) alle derivate parziali.
Ing. Luciano Mescia
9.3. Applicazione della trasformata di Laplace alle linee di trasmissione 194
9.3.1 Condizioni al contorno
Per ricavare nel dominio della variabile s la relazione generale che lega la tensione in
una generica sezione z = L alla tensione erogata dal generatore è necessario applicare le
opportune condizioni al contorno nel dominio trasformato. Per la condizione in z = 0 si
ha:
L
v(0, t) = e(t) − Rg i(0, t) → V (0, s) = E(s) − Rg I(0, s)
(9.29)
mentre per la condizione in z = l è indispensabile considerare che l’impedenza di carico comprende in generale elementi circuitali resistivi e reattivi. Di conseguenza, la
condizione al contorno cercata è in generale una equazione differenziale del tipo.
( )
( )
d
d
v(l, t) = Q
i(l, t)
(9.30)
P
dt
dt
dove P e Q sono due polinomi formali nell’operatore d/dt. Inoltre la (9.29) deve essere
completata con le opportune condizioni iniziali relative ai componenti reattivi presenti
nella rete d’uscita. Essendo la (9.29) un’equazione differenziale, quando si applica la
trasformata di Laplace si otterrà per l’impedenza equivalente, Zeq (s) vista alla sezione
z = l una relazione esprimibile come il rapporto tra due polinomi nella variabile s
Zeq (s) =
Q(s)
V (l, s)
=
I(l, s)
P (s)
(9.31)
In particolare, per ottenere la relazione generale vedremo che sarà sufficiente capire
come si trasformano le equazioni terminali ai capi di un condenzatore, un induttore e
un resistore.
Condensatore ideale. L’equazione differenziale che lega la tensione vc (t) e la corrente
ic (t) ai capi di un condensatore di capacità C è:
dvc (t)
1
= ic (t)
dt
C
(9.32)
da cui utilizzando la (9.13) si ha:
1
Ic (s)
C
Ic (s) vc (0)
Vc (s) =
+
sC
s
Ic (s) = sCVc (s) − Cvc (0)
sVc (s) − vc (0) =
(9.33)
(9.34)
Nel caso particolare in cui il condensatore è inizialmente scarico vc (0) = 0 le equazioni
(9.33) e (9.34) assumono la forma semplificata:
Vc (s) = Z(s)Ic (s)
(9.35)
Pertanto, si osserva che nel dominio trasformato l’equazione che lega la tensione Vc
e la corrente Ic ai capi di un condensatore è fondamentalmente identica alla legge di
Ing. Luciano Mescia
9.3. Applicazione della trasformata di Laplace alle linee di trasmissione 195
vc ( t )
Ic ( s)
Ic ( s)
ic ( t )
C
L
Vc ( s )
1
sC
Cvc ( 0 )
1
sC
Vc ( s )
vc ( 0 )
+
s
(a)
(b)
Figura 9.1: (a) Rappresentazione di Norton e (b) di Thevenin del condensatore ideale nel
dominio di Laplace
Ohm per un elemento circuitale avente una impedenza Z(s) = 1/sC. In Figura 9.1(a) è
rappresentato il circuito equivalente di Norton nel dominio trasformato del condensatore
con capacità C, mentre in 9.1(b) è rappresentato il circuito equivalente di Thevenin nel
dominio trasformato.
Induttore ideale. L’equazione differenziale che lega la tensione vL (t) e la corrente iL (t)
ai capi di un induttore avente induttanza L è:
vL (t) = L
diL (t)
dt
(9.36)
da cui utilizzando la (9.13) si ha:
VL (s) = sLIL (s) − LiL (0)
VL (s) iL (0)
IL (s) =
+
sL
s
(9.37)
(9.38)
Nel caso particolare in cui l’induttore è inizialmente scarico iL (0) = 0 l’equazione (9.37)
assume la forma semplificata:
VL (s) = Z(s)IL (s)
(9.39)
Si osserva perciò che anche in questo caso la legge che lega la corrente e la tensione ai
capi di un induttore, nel dominio trasformato, è formalmente uguale alla legge di Ohm
per l’elemento circuitale avente impedenza Z(s) = sL. In Figura 9.2(a) è rappresentato
il circuito equivalente di Thevenin nel dominio trasformato dell’induttore ideale con
induttanza L e in Figura 9.2(b) il circuito equivalente di Norton. Si osservi che nel caso
generale è necessario introdurre dei generatori indipendenti di tensione e di corrente
per tener conto delle condizioni iniziali dei carichi reattivi. Quando però si ipotizza
che tali elementi siano inizialmente scarichi, è possibile semplificare il relativo circuito
equivalente andando o a cortocircuitare il generatore di tensione o ad aprire il generatore
di corrente.
Ing. Luciano Mescia
9.3. Applicazione della trasformata di Laplace alle linee di trasmissione 196
Il ( s )
il ( t )
Il ( s )
sL
vl ( t )
L
L
Vl ( s )
Vl ( s )
sL
il ( 0 )
s
Lil ( 0 )
+
(a)
(b)
Figura 9.2: (a) Rappresentazione di Thevenin e (b) di Norton dell’ induttore ideale nel dominio
di Laplace.
In definitiva si osserva che nel dominio trasformato anche la condizione al contorno
in z = l è notevolmente semplificata. Infatti, visto che nel dominio trasformato vale la
legge di Ohm per la tensione V (l, s) e la corrente I(l, s) nella sezione terminale in cui è
applicato il carico, si avrà che la generica rete di carico può essere sostituita, in base al
teorema di Thevenin, da un circuito equivalente costituito da una impedenza equivalente
collegata in serie a un generatore di tensione equivalente. In particolare, nel caso in cui
gli elementi reattivi sono inizialmente scarichi e sono assenti generatori indipendenti di
tensione e corrente, la rete di carico sarà equivalente all’impedenza vista ai morsetti
terminali, ottenuta usando le usuali regole di combinazione per le impedenze.
Volendo fare un esempio pratico si consideri la rete di carico mostrata in Figura
9.3(a), ipotizzando che sia l’induttore sia il condensatore sono inizialmente scarichi. In
tale condizione l’equazione differenziale che lega la tensione e la corrente ai suoi terminali
è:
1 dv(t)
d2 v(t) v(t)
di(t)
=
+C
(9.40)
+
dt
R dt
dt2
L
che nel dominio trasformato diventa
(
)
s
1
sI(s) =
+ s2 C +
V (s)
R
L
sRL
V (s)
= Zeq (s) =
(9.41)
2
I(s)
RLCs + sL + R
Lo stesso risultato può essere ricavato anche andando a considerare il circuito trasformato
mostrato in Figura 9.3(b) e calcolando l’impedenza equivalente Zeq (s) vista ai terminali
A–A’
(
)−1
1
1
Zeq (s) =
+
+ sC
R sL
sRL
=
(9.42)
2
RLCs + sL + R
Si osservi che seguendo quest’ultima procedura di calcolo è possibile ottenere la condizione al contorno cercata in maniera più immediata ed intuitiva visto che anzicché ricavare
Ing. Luciano Mescia
9.4. Funzione di trasferimento di una linea di trasmissione
I ( s)
i (t )
v(t)
C
L
L
R
197
A
V (s)
1
sC
sL
R
A’
(a)
(b)
Figura 9.3: (a) circuito nel dominio del tempo e (b) circuito equivalente nel dominio trasformato
di una rete di carico del tipo RLC parallelo.
l’equazione differenziale del tipo (9.30) è sufficiente utilizzare la ben nota legge di Ohm.
9.4 Funzione di trasferimento di una linea di trasmissione
La funzione di trasferimento G(z, s) di una linea di trasmissione si ricava dai risultati ottenuti nei paragrafi precedenti. Infatti, considerando le condizioni al contorno ai
terminali del generatore e del carico si ottiene:
V (0, s) = E(s) − Rg I(0, s)
(9.43a)
V (l, s) = Zeq (l, s)I(l, s)
(9.43b)
le quali diventano per mezzo delle (9.26) e (9.28):
V++V− =E−
V + e−Γl + V − eΓl =
Zeq
Zc
)
Rg ( +
V −V−
Zc
(
)
V + e−Γl − V − eΓl
Dividendo ambo i membri della (9.44b) per V + si ha:
e−Γl +
V − Γl Zeq −Γl Zeq V − Γl
e =
e
−
e
V+
Zc
Zc V +
e per mezzo di semplici operazioni algebriche si ottiene:
)
(
)
(
Zeq V − Γl
Zeq
e =
− 1 e−Γl
1+
Zc V +
Zc
(
)
(
)
Zeq V −
Zeq
1+
=
−
1
e−2Γl
Zc V +
Zc
Ing. Luciano Mescia
(9.44a)
(9.44b)
9.4. Funzione di trasferimento di una linea di trasmissione
198
da cui è possibile ricavare l’espressione che lega l’ampiezza dell’onda riflessa V − a quella
dell’onda incidente V +
Zeq − Zc −2Γl
V−
=
e
+
V
Zeq + Zc
= ΓL e−2Γl
Dalla (9.45) si ottiene
(9.45)
V − = V + ΓL e−2Γl
e sostituendo quanto ottenuto nella (9.43a) si ha
(
)
)
Rg + (
V + 1 + ΓL e−2Γl = E −
V
1 − ΓL e−2Γl
Z
( c
)
Rg
Rg
+
−2Γl
−2Γl
E=V
1 + ΓL e
+
−
ΓL e
Zc
Zc
(
)
Zc + R g
Zc − Rg
E =V+
+
ΓL e−2Γl
Zc
Zc
(
)
Rg − Zc
−2Γl
+ Zc + Rg
1−
ΓL e
E=V
Zc
Rg + Zc
)
Zc + Rg (
E =V+
1 − Γg ΓL e−2Γl
Zc
da cui si ottiene in definitiva
Zc
1
E
Zc + Rg 1 − Γg ΓL e−2Γl
1 − Γg
1
E
=
2
1 − Γg ΓL e−2Γl
V+ =
(9.46)
Sostituendo la (9.45) nella (9.26) e utilizzando la (9.46) si ricava
V (z, s) = V + e−Γz + V + ΓL eΓz e−2Γl
(
)
= V + e−Γz + ΓL eΓz e−2Γl
=
1 − Γg
e−Γz + ΓL e−2Γl eΓz
E(s)
2
1 − Γg ΓL e−2Γl
(9.47)
Riferendosi all’equazione della corrente sulla linea (9.28) e seguendo un procedimento
analogo si può ricavare:
V + −Γz V +
e
−
ΓL eΓz e−2Γl
Zc
Zc
)
V + ( −Γz
=
e
− ΓL eΓz e−2Γl
Zc
1 − Γg
e−Γz − ΓL e−2Γl eΓz
=
E(s)
2Zc
1 − Γg ΓL e−2Γl
I(z, s) =
Ing. Luciano Mescia
(9.48)
9.4. Funzione di trasferimento di una linea di trasmissione
199
Le equazioni (9.47) e (9.48) rappresentano le soluzioni generali della tensione e corrente
presenti su una linea di trasmissione. Di conseguenza, la funzione di trasferimento della
linea di trasmissione è:
G(z, s) =
1 − Γg e−Γz + ΓL e−2Γl eΓz
V (z, s)
=
E(s)
2
1 − Γg ΓL e−2Γl
(9.49)
Nota la funzione di trasferimento della linea di trasmissione G(z, s) è possibile ricavare
la tensione sulla linea v(z, t) e la corrente i(z, t) per mezzo dell’operazione detta antitrasformata di Laplace che consente di passare dal dominio della variabile complessa s al
dominio del tempo t. In particolare dalla (??) si ottiene V (z, s) = G(z, s)E(s) da cui si
ricava
v(z, t) = L−1 [V (z, s)](t) = L−1 [G(z, s)E(s)](t) t ≥ 0
(9.50)
Nell’ipotesi che esista l’antitrasformata di Laplace di G(z, s) e E(s) è utilizzando la
proprietà che lega l’antitrasformata con il prodotto di convoluzione è possibile calcolare
v(z, t) per mezzo della relazione
∫ t
−1
v(z, t) = L [G(z, s)E(s)](t) =
G(z, u)E(t − u)du = G ∗ E
(9.51)
0
Esiste inoltre un metodo diretto per calcolare l’antitrasformata di Laplace che utilizza il
calcolo complesso. In particolare, se esiste un numero reale γ tale che tutte le singolarità
di V (z, s) sono contenute nel semispazio a sinistara (o a destra) della retta s = γ, e
l’integrale complesso
∫
γ+j∞
V (z, s)est ds
γ−j∞
è finito per ogni t ≥ 0 allora V(z,s) è antitrasformabile e vale la relazione
∫ γ+j∞
1
−1
V (z, s)est ds
L [V (z, s)](t) =
2πj γ−j∞
∫ γ+j∞
1 − Γg (s) e−sz/vf − ΓL (s)e−s(2τ −z/vf ) st
1
=
E(s)
e ds (9.52)
2πj γ−j∞
2
1 − Γg (s)ΓL (s)e−2sτ
Il calcolo dell’integrale di antitrasformazione può essere effettuato sul circuito C ottenuto
intersecando la retta verticale s = γ con la circonferenza centrata nell’origine e di raggio
R (vedi figura 9.4). Applicando il teorema dei residui si ha
∫ b(R)
∫
∑
[
]
1
1
st
s0 t
V (z, s)e ds =
Res V (z, s0 )e
−
V (z, s)est ds
2πj a(R)
2πj
Γ(R)
s
0
dove s0 è il polo racchiuso nel circuito. Facendo infine tendere R → +∞ il segmento
[a(R), b(R)] approssima tutta la retta s = γ e quindi si ottiene
∫
∑
[
]
1
−1
s0 t
V (z, s)est ds
(9.53)
L [V (z, s)](t) =
Res V (z, s0 )e
− lim
R→+∞ 2πj Γ(R)
s
0
Ing. Luciano Mescia
9.5. Collegamenti reali
200
Γ(R)
b(R)
γ
-γ
a(R)
Figura 9.4: Circuito di integrazione per il calcolo dell’integrale di antitrasformazione
Nel caso generale in cui sia Γg che ΓL sono funzioni non nulle della variabile complessa
s il calcolo della (9.53) può risutare complicato in quanto il limite che appare al secondo
membro può essere diverso da zero. In queste situazioni la soluzione non è in forma
chiusa e può essere ricavata solo tramite l’uso di opportuni metodi numerici. Notevoli
semplificazioni di calcolo si hanno quando il generatore è adattato alla linea di trasmissione. Infatti, essendo Γg (s) = 0 la funzione di trasferimento della linea di trasmissione
diventa:
]
1 [ −sz/vf
e
+ ΓL e−s(2τ −z/vf )
(9.54)
G(s, z) =
2
e l’integrale di antitrasformazione (9.52) assume la forma semplificata:
v(z, t) =
1
2πj
∫
γ+j∞
γ−j∞
]
E(s) [ −sz/vf
e
+ ΓL e−s(2τ −z/vf ) est ds
2
(9.55)
9.5 Collegamenti reali
Nei reali problemi di interconnessione molto spesso la linea è chiusa su carichi la cui
impedenza dipende dalla frequenza. In questi casi si ha una distorsione dei segnali in
quanto gli echi multipli hanno forma diversa tra loro e dal segnale incidente. Ulteriori
distorsioni durante la propagazione sia sul segnale incidente sul carico sia sugli echi
multipli sono introdotte dalla non idealità della linea di trasmissione. Inoltre, molto
spesso accade che dispersioni molto più violente possono essere generate da carichi non
lineari connessi alla linea di trasmissisone. Tali fenomeni possono essere studiati solo
tramite l’ausilio di sofisticate tecniche numeriche. Infine, nel caso dei circuiti stampati o
nelle linee di trasmissione multiconduttore, la presenza di molte linee di trasissione sulla
stessa piastra costituisce una ulteriore causa di distorsione del segnale che si manifesta
con fenomeni di diafonia.
Ing. Luciano Mescia
9.5. Collegamenti reali
201
Z c ,τ
e(t)
+
-
RL
CL
(a)
Rg
e(t)
+
-
Z c ,τ
RL
CL
(b)
Figura 9.5: Rappresentazione schematica di un circuito logico
9.5.1 Applicazioni digitali
Generalmente nei circuiti digitali i fili di interconnessione possono essere modellizzati
con piccole capacità in parallelo quando la loro lunghezza, l, soddisfa la relazione
l < tr vf
(9.56)
dove tr è il tempo di salita dell’impulso e vf è la velocità di fase.
Recentemente, il continuo incremento della velocità di trasmissione e di elaborazione
dell’informazione ha indotto la necessità di modellizzare l’interconnessione con una linea
di trasmissione. Infatti, la forte riduzione del tempo di salita è tale che la (9.56) non
può essere più verificata. In questi casi, se τ = l/vf è il ritardo per unita di lunghezza
e Zc è l’impedenza caratteristica, la capacità equivalente dell’interconnessione è fornita
dalla relazione C = τ /Zc , mentre l’induttanza serie è L = τ Zc . Questo significa che le
linee a bassa e alta impedenza sono caratterizzate rispettivante da una elevata capacità
e una elevata indutttanza.
Un tipico esempio di circuito per applicazioni digitali 1 è quello di una linea di trasmissione che alimenta una porta logica, come mostrato in figura 9.5. In particolare, nella
rappresentazione circuitale si è fatta l’ipotesi, molto spesso verificata, che la porta NOR
collegata all’uscita della linea di trasmissione non carica il carico e quindi la maggior
parte della corrente della linea attraversa il carico RL . Di conseguenza, l’impedenza di
carico del generatore Rg assume valori molto bassi (5 ÷ 7 Ω). L’analisi al transitorio può
essere effettuata considerando il circuito della figura 9.5(b). In particolare, per evitare
1
Tale applicazione introduce problemi di distorsione causati da carichi con impedenza dipendente dalla
frequenza
Ing. Luciano Mescia
9.5. Collegamenti reali
202
l’insorgere di riflessioni multiple causate dal disadattamento tra la resistenza del generatore e l’impedenza carattteristica della linea di trasmissione si collega in serie a Rg un
altro resistore R in modo tale che Rg + R = Zc . In queste ipotesi si ha Γg = 0 e perciò
è possibile utilizzare la (9.54).
Usando la tecnica della trasformata di Laplace si ha:
ZL = RL ∥
da cui
1
RL
=
sC
1 + sRL C
)
RL − Zc
− s Z c τc
RL − Zc (1 + sRL C)
a1 − s
ZL − Zc
Z c τc
)
=
=
ΓL =
=(
RL + Zc
ZL + Zc
RL + Zc (1 + sRL C)
a2 + s
+ s Z c τc
Z c τc
(
dove
τc = RL C
RL − Zc
a1 =
Zc τc
RL + Zc
a2 =
Zc τc
Di conseguenza dalla (??) si ottiene:
V (z, s) = G(z, s)E(s) =
E(s) −sz/vf E(s) a1 − s −s(2τ −z/vf )
e
e
+
2
2 a2 + s
Segnale d’ingresso a gradino. Nel caso in cui il segnale d’ingresso ha la forma di un
gradino e(t) = E0 U (t) si ha E(s) = E0 /s e quindi
V (z, s) = G(z, s)E(s) =
E0 −sz/vf E0 a1 − s −s(2τ −z/vf )
e
e
+
2s
2s a2 + s
Usando la tecnica dello sviluppo in fratti semplici si può scrivere:
F (s) =
1 a1 − s
A1
A2
=
+
s a2 + s
s
s + a2
dove
A1 = lim sF (s) =
s→0
a1
a2
A2 = lim (a2 + s)F (s) = −
s→−a2
Ing. Luciano Mescia
a1 + a2
a2
(9.57)
9.5. Collegamenti reali
203
Pertanto, sostituendo quanto ottenuto nell’equazione (4.40) si ottiene in definitiva
V (z, s) = F1 (z, s) + F2 (z, s)
dove
E0 −sz/vf
e
2s [
]
E0 a1 a1 + a2 −s(2τ −z/vf )
e
F2 (z, s) =
−
2a2 s
s + a2
F1 (z, s) =
(9.58a)
(9.58b)
Considerando la (9.19) e la (9.20), dall’operazione di antitraformazione delle (9.58a)–
(9.58b) si ottiene:
f1 (z, t) =
f2 (z, t) =
E0
U (t − z/vf )
2

2RL
E0  RL − Zc
−

2 RL + Zc RL + Zc
RL + Zc
e RL Zc C
(
−
t−
)
2l − z
(
)
2l − z

vf
U t −
vf
da cui ponendo
RL − Zc
a1
=
a2
RL + Zc
Zc RL
Zeq =
RL + Zc
1
Zc RL C
τeq = Zeq C =
=
a2
RL + Zc
E0
Ei =
2
Γ=
la tensione sulla linea di trasmissione è data dalla relazione:
)
(

2l − z
1
(
)
−
t−
2l − z


τ
v
eq
f
v(z, t) = Ei U (t − z/vf ) + Ei Γ − (1 + Γ)e
U t −
vf
(9.59)
= vi (z, t) + vr (z, t)
mentre la corrente è fornita dalla relazione:
i(z, t) =
vi (z, t) − vr (z, t)
Zc

1
Ei
Ei 
τ
=
U (t − z/vf ) −
Γ − (1 + Γ)e eq
Zc
Zc
−
Ing. Luciano Mescia
(
t−
)
2l − z
(
)
2l − z

vf
U t −
vf
(9.60)
9.5. Collegamenti reali
204
Dalle (9.59)–(9.60) si osserva che la tensione e la corrente sulla linea di trasmissione
dipendono sia dal tipo di linea utilizzata sia dal carico. In particolare, osservando che
Zeq è la resistenza in parallelo alla capacità C e τeq è la costante di tempo del gruppo
Zeq − C, si può concludere che il fronte di salita del segnale elettrico sulla linea è più
arrotondato di quello del segnale incidente 2 .
I segnali di tensione e di corrente nelle sezioni terminali z = 0 e z = l assumono gli
andamenti:
(
)

1
2l
(
)
−
t−
2l


τ
v
eq
f
v(0, t) = Ei U (t) + Ei Γ − (1 + Γ)e
U t −
vf

1
Ei
Ei 
τ
i(0, t) =
U (t) −
Γ − (1 + Γ)e eq
Zc
Zc
−

(
t−
)
2l
(
)
vf  U t − 2l

vf
1
−

v(l, t) = Ei U (t − l/vf ) + Ei Γ − (1 + Γ)e τeq

)
l
(
)
t−
vf  U t − l

vf
(
1
−
Ei 
Ei
τ
U (t − l/vf ) −
i(l, t) =
Γ − (1 + Γ)e eq
Zc
Zc
)
l
(
)
t−
vf  U t − l

vf
(
da cui si osserva che una volta trascorso il transitorio t → ∞ le tensioni e correnti e le
correnti ai terminali assumono i valori stazionari:
2E1 RL
RL
= E0
RL + Zc
RL + Zc
Ei 2Zc
E0
Ei
(1 − Γ) =
=
= i(0, ∞) =
Zc
Zc RL + Zc
RL + Zc
∞
= v(l, ∞) = v0
v0∞ = v(0, ∞) = Ei (1 + Γ) =
i∞
0
vl∞
∞
i∞
l = i(l, ∞) = i0
Dalle relazioni ottenute si osserva che in regime stazionario la corrente e la tensione alle
due estremità della linea coincidono e sono uguali a quelle che si ottengono applicando
la legge di Ohm al circuito di figura 9.5(b), nelle ipotesi che il passaggio di segnale dal
generatore al carico sia istantaneo e che il condensatore sia assimilabile ad un circuito
aperto 3 . In figura 9.6(a) e 9.6(b) è rappresentata rispettivamente l’evoluzione temporale
della tensione e della corrente nella sezione z = 0 per differenti valori dell’impedenza di
carico: RL = 30 Ω (curva punteggiata), RL = 50 Ω (curva continua) e RL = 70 Ω
2
3
Infatti il carico si comporta come un filtro passa basso.
Questa ipotesi ha un immediato riscontro fisico visto che in condizione di regime stazionario il
condensatore ha avuto tutto il tempo per caricarsi
Ing. Luciano Mescia
9.5. Collegamenti reali
205
0.6
20
Tensione d’ingresso v(0,t) [V]
ZL=50 Ω
0.4
ZL=30 Ω
0.3
0.2
0.1
Corrente d’ingresso i(0,t) [mA]
ZL=70 Ω
0.5
18
16
14
ZL=30 Ω
12
ZL=50 Ω
10
ZL=70 Ω
0
8
0
1
2
3
4
Tempo t [ns]
(a)
5
6
0
7
1
2
3
4
Tempo t [ns]
(b)
5
6
7
Figura 9.6: Evoluzione temporale della tensione e corrente all’ingresso della linea di trasmissione per tre differenti valori dell’impedenza di carico: RL = 30 Ω (curva punteggiata),
RL = 50 Ω (curva continua) e RL = 70 Ω (curva tratteggiata)
20
0.6
ZL=70 Ω
16
ZL=50 Ω
Corrente d’uscita i(l,t) [V]
Tensione d’uscita v(l,t) [V]
0.5
0.4
ZL=30 Ω
0.3
0.2
0.1
ZL=30 Ω
12
ZL=50 Ω
8
ZL=70 Ω
4
0
0
0
1
2
3
4
Tempo t [ns]
(a)
5
6
7
0
1
2
3
4
Tempo t [ns]
(b)
5
6
7
Figura 9.7: Evoluzione temporale della tensione e corrente all’uscita della linea di trasmissione
per tre differenti valori dell’impedenza di carico: RL = 30 Ω (curva punteggiata),
RL = 50 Ω (curva continua) e RL = 70 Ω (curva tratteggiata)
Ing. Luciano Mescia
9.5. Collegamenti reali
206
(curva tratteggiata). In figura 9.7(a) e 9.7(b) è invece rappresentata rispettivamente
l’evoluzione temporale della tensione e della corrente nella sezione z = l per gli stessi
valori dell’impedenza di carico. E’ stato ipotizzato che il ritardo introdotto dalla linea di
trasmissione, l’impedenza caratteristica, la capacità di carico e la tensione del generatore
sono rispettivamente uguali a τ = 2.5 ns, Zc = 50 Ω, C = 15 pF, E0 = 1 V.
Da quanto ottenuto si osserva che nell’istante di tempo t = τ la tensione in z = l è
nulla. Infatti, essendo la capacità inizialmente scarica in tale istante il condensatore può
essere assimilato ad un corto circuito e pertanto la tensione ai suoi capi è nulla (vedi
9.7(a)). Di conseguenza, essendo in tale istante ΓL = −1, l’onda riflessa generata ha
ampiezza uguale a quella dell’onda incidente ma con segno opposto. Pertanto, quando
tale onda arriva in ingresso all’istante t = 2τ , si combina con il segnale d’ingresso
alla linea in modo tale che la tensione risultante è nulla (vedi 9.6(a)). Per t > τ , in
z = l e t > 2τ , in z = 0 gli andamentoi della tensione e corrente sono quelli tipipci
del processo di carica del condensatore. In condizione di regime stazionario, t ≫ τ ,
il condensatore è assimilabile a un circuito aperto, in quanto completamente carico, la
linea di trasmissione a un semplice “filo di collegamento”, e di conseguenza le tensioni
all’ingresso e all’uscita della linea coincidono. Esse si ricavano utilizzando la regola
del partitore di tensione applicata al circuito a paramentri concentrati costituito dal
generatore e dalle due resistenze Rg e RL collegate in serie.
Segnale d’ingresso a rampa Nel caso in cui il segnale d’ingresso ha la forma di una
rampa e(t) = E0 tU (t) si ha E(s) = E0 /s2 e quindi
E0 a1 − s −s(2τ −z/vf )
E0 −sz/vf
e
+ 2
e
2
2s
2s a2 + s
Usando la tecnica dello sviluppo in fratti semplici si può scrivere:
V (z, s) = G(z, s)E(s) =
F (s) =
(9.61)
1 a1 − s
A1 A2
A3
=
+ 2 +
2
s a2 + s
s
s
s + a2
dove
]
d [ 2
a1 + a2
s F (s) = −
s→0 ds
a22
a1
A2 = lim s2 F (s) =
s→0
a2
a1 + a2
A3 = lim (a2 + s) F (s) =
s→−a2
a22
A1 = lim
Sostituendo nella (9.61) si ottiene
V (z, s) = F1 (z, s) + F2 (z, s)
dove
E0 −sz/vf
e
2s2 [
]
E0
1+Γ
Γ 1
1 + Γ −s(2τ −z/vf )
F2 (z, s) =
−
+
+
e
2a2
s
τeq s2 s + a2
F1 (z, s) =
Ing. Luciano Mescia
(9.62a)
(9.62b)
9.5. Collegamenti reali
207
Antitrasformando si ricava
) (
)
(
z
z
U t−
f1 (z, t) = Ei t −
vf
vf


(
)

1
2l − z

(
)
)

 (
−
t−
Γ
2l
−
z
2l
−
z


τ
v
f
f2 (z, t) = −Ei τeq (1 + Γ) 1 − e eq
t−
U t−
−


τeq
vf
vf


da cui la tensione è data dalla relazione:
(
) (
)
z
z
v(z, t) = Ei t −
U t−
+
vf
vf

(
) 

1
2l − z  (

(
)
)


−
t−
2l − z
2l − z


τ
v
eq
f
+ Ei Γ t −
− τeq (1 + Γ) 1 − e
 U t−


vf
vf


(9.63)
= vi (z, t) + vr (z, t)
mentre la corrente da:
(
) (
)
Ei
z
z
i(z, t) =
t−
U t−
+
Zc
vf
vf

) 
(

1
2l − z  (

(
)
)

−
t−
2l − z
2l − z
Ei 


τ
v
eq
f
Γ t−
−
− τeq (1 + Γ) 1 − e
 U t−

Zc 
vf
vf


(9.64)
vi (z, t) vr (z, t)
−
Zc
Zc
Alle sezioni terminali z = 0 e z = l si ha invece:


=

t − 2τ



v(0, t) = Ei tU (t) + Ei Γ (t − 2τ ) − τeq (1 + Γ) 1 − e τeq  U (t − 2τ )
−
(9.65a)

t − 2τ
Ei
Ei 


i(0, t) =
tU (t) −
Γ (t − 2τ ) − τeq (1 + Γ) 1 − e τeq  U (t − 2τ ) (9.65b)
Zc
Zc


−



t−τ



v(l, t) = Ei (1 + Γ) t − τ − τeq 1 − e τeq  U (t − τ )
−

(9.66a)


t−τ
Ei 


i(l, t) =
(t − τ ) (1 − Γ) + τeq (1 + Γ) 1 − e τeq  U (t − τ )
Zc
−
Ing. Luciano Mescia
(9.66b)
9.5. Collegamenti reali
208
80
ZL=30 Ω
ZL=50 Ω
ZL=70 Ω
3
Corrente d’ingresso i(0,t) [mA]
Tensione d’ingresso v(0,t) [V]
4
2
1
0
ZL=30 Ω
ZL=50 Ω
ZL=70 Ω
60
40
20
0
0
1
2
3
4
Tempo t [ns]
(a)
5
6
7
0
1
2
3
4
Tempo t [ns]
(b)
5
6
7
Figura 9.8: Evoluzione temporale della (a) tensione e (b) corrente all’ingresso della linea di
trasmissione per tre differenti valori dell’impedenza di carico: RL = 30 Ω (curva
punteggiata), RL = 50 Ω (curva continua) e RL = 70 Ω (curva tratteggiata)
In figura 9.8(a) e 9.8(b) è rappresentato l’andamento in funzione del tempo della tensione
e della corrente nella sezione z = 0 per differenti valori dell’impedenza di carico: RL =
30 Ω (curva punteggiata), RL = 50 Ω (curva continua) e RL = 70 Ω (curva tratteggiata).
E’ stato ipotizzato che il ritardo introdotto dalla linea di trasmissione, l’impedenza
caratteristica, la capacità di carico sono rispettivamente uguali a τ = 2.5 ns, Zc =
50 Ω, C = 15 pF. La tensione del generatore segue l’andamento e(t) = 109 tU (t). Si
osserva che all’istante t = 5 ns l’onda riflessa proveniente dal carico si combina con il
segnale d’ingresso e distorce l’andamento della rampa. L’entità della distorsione dipende
sia da quanto è disadattato il carico rispetto alla linea di trasmissione sia dal valore
della capacità C. La distorsione continua a sussistere anche quando RL = Zc perché il
condensatore non può seguire istantaneamente le variazioni della tensione ai suoi capi.
In condizione di regime stazionario, t ≫ τ , dalle (9.65a)–(9.65b) si ha che la tensione e
la corrente in z = 0 sono fornite dalle relazioni:
v(0, t) = Ei (1 + Γ)(t − τeq )
Ei
(1 + Γ)(t − τeq )
i(0, t) =
Zc
cioé tendono alla rampa ritardata di τ e con pendenza RL /(RL + Zc ).
In figura 9.9(a) e 9.9(b) è rappresentato l’andamento in funzione del tempo della tensione e della corrente nella sezione z = 0 per differenti valori dell’impedenza di carico:
RL = 30 Ω (curva punteggiata), RL = 50 Ω (curva continua) e RL = 70 Ω (curva tratteggiata). In uscita la distorsione compare all’istante t = 2.5 ns e dipende sempre dal
disadattamento in uscita e dal valore di C. In condizione di regime, dalle (9.66a)–(9.66b),
Ing. Luciano Mescia
9.5. Collegamenti reali
209
3
70
60
ZL=30 Ω
ZL=50 Ω
ZL=70 Ω
2
Corrente d’uscita i(l,t) [mA]
Tensione d’uscita v(l,t) [V]
2.5
1.5
1
0.5
ZL=30 Ω
ZL=50 Ω
ZL=70 Ω
50
40
30
20
10
0
0
0
1
2
3
4
Tempo t [ns]
(a)
5
6
7
0
1
2
3
4
Tempo t [ns]
(b)
5
6
7
Figura 9.9: Evoluzione temporale della (a) tensione e (b) corrente all’uscita della linea di trasmissione per tre differenti valori dell’impedenza di carico: RL = 30 Ω (curva
punteggiata), RL = 50 Ω (curva continua) e RL = 70 Ω (curva tratteggiata)
la tensione e la corrente in z = l sono:
v(l, t) = Ei (1 + Γ)(t − τeq )
Ei
i(l, t) =
(1 + Γ)(t − τeq )
Zc
e cioé uguali a quelle d’ingresso. Tale risultato può essere interpretato osservando che a
regime la linea di trasmissione è come se non esistesse e quindi l’ingresso è come se fosse
collegato direttamente con l’uscita.
Ing. Luciano Mescia