Il potenziale elettromagnetico in Meccanica Quantistica.

Il potenziale elettromagnetico in Meccanica Quantistica.
1


Quando si considera la forza di Lorentz F = q E + v × B  si ha a che fare con il problema che
c


questa non può essere derivata come gradiente di un potenziale scalare. E’ anzi noto come proprio il
campo elettromagnetico richieda la “invenzione” del potenziale vettore per descrivere quelle forze
che agiscono sulle particelle cariche in movimento, tanto maggiormente quanto più alta è la loro
velocità.
Questo potenziale vettore presenta un problema: non si sa quale contributo dia all’energia totale
E = Ecin + E pot , ossia in quale dei due termini ed in quale forma debba entrare.
Questo si traduce “semplicemente” nel fatto che la corrispondenza
p2
∂ψ
h 2 ∂ 2ψ
E=
+ V ⇒ ih
=−
+ Vψ
2m
∂t
2m ∂x 2
non la sappiamo fare…
La soluzione del problema, che è anche la via storica per lo sviluppo della intera Meccanica
Quantistica, risiede in una generalizzazione dei concetti di forza e potenziale della meccanica
classica che, basata su metodi variazionali, porta i nomi di Eulero, Lagrange e Hamilton.
Qui si cercherà di fare un’incursione in questo mondo vastissimo, cercando di puntare dritti
all’unica meta di trovare la “forma dell’energia” per una particella in presenza di un campo
elettromagnetico. Poi, la applicazione della corrispondenza grandezze fisiche – operatori quantistici
porterà alla formulazione corretta della corrispondente equazione di Schroedinger.
Per una versione più rigorosa e soprattutto estesa di quanto si va a raccontare, si rimanda a testi
quali “Meccanica Classica” di Herbert Goldstein.
La funzione Lagrangiana nella definizione delle forze.
Noi conosciamo due modi di definire una forza tramite relazioni differenziali:
d
F= p
e
F = −∇V
dt
A livello di “suggestione” si potrebbe dire che la prima fa riferimento alle variazioni di energia
cinetica (ci sono le velocità in campo) e l’altro a quelle dell’energia potenziale.
Anzi, se vogliamo ancora di più esplicitare questa intuizione, osserviamo come l’energia cinetica
mv 2 m 2
T=
= (v x + v 2y + v z2 ) ci induca a scrivere:
2
2
Fx =
d
d ∂
px =
T , mentre per la analoga componente scriviamo: Fx = − ∂ V .
dt
dt ∂ v x
∂x
Appare qui la possibilità di introdurre una funzione unica
L = T −V
che, poiché T non dipende dalla posizione e V non dipende dalla velocità, consente di verificare
simultaneamente le due relazioni:
d ∂
Fx =
L
dt ∂v x
∂
Fx =
L
∂x
Possiamo chiederci che significato avrebbe il considerare queste due definizioni come descrizioni
equivalenti della medesima forza.
Questo equivale a costruire la equazione differenziale:
d ∂
∂
L− L=0
dt ∂v x
∂x
La funzione L ha il nome di funzione di Lagrange, o Lagrangiana, e la equazione sopra riportata
assume il nome conseguente di equazione di Lagrange.
Se ora esplicitiamo di nuovo L=T-V, possiamo scrivere:
d ∂
d ∂
∂
∂
T=
V+ T− V
dt ∂v x
dt ∂v x
∂x
∂x
A primo membro si riconosce una delle espressioni della forza. A secondo membro, la energia
cinetica derivata rispetto alla posizione dà zero, perché appunto le coordinate di posizione NON
entrano nella definizione di T.
Abbiamo dunque:
∂
d ∂
Fx = − V +
V
∂x
dt ∂v x
Questo non fa altro che dire che :
1) le due relazioni “duali” per la definizione della forza tramite relazioni differenziali sono in realtà
due aspetti della stessa relazione che valgono nel caso in cui le velocità NON entrino nella
definizione dei potenziali.
2) la nuova relazione estende la definizione di forza al caso di potenziali che includano una
dipendenza dalle velocità. Possiamo indicare tali potenziali come potenziali generalizzati.
Il potenziale generalizzato per il campo elettromagnetico
Se riprendiamo la forza di Lorentz, limitandoci alla componente x:
1


Fx = q E x + (v × B )x  e ricordiamo le equazioni di Maxwell che legano i campi ai potenziali:
c


1 ∂

1 ∂
1
E = −∇φ −
A
 ∂

abbiamo:
Fx = q − φ −
A + (v × ∇ × A )x  .

c ∂t
∂
x
c
∂
t
c


B = ∇ × A
Non è difficile vedere come:
(v × ∇ × A )x = v y 
Questo, aggiungendo e sottraendo v x
∂Ax
, diventa:
∂x
∂Ay
 ∂x
−
∂Ax 
 ∂A ∂A 
 − v z  x − z 
∂y 
∂x 
 ∂z
(v × ∇ × A )x =  v y

∂Ay
∂x
+ vz
∂Az
∂A   ∂A
∂A
∂A 
+ v x x  −  v z x + v y x + v x x 
∂x
∂x   ∂z
∂y
∂x 
Il primo addendo a secondo membro è:
 ∂Ay
∂A
∂A  ∂
 v y
+ v z z + v x x  = (v ⋅ A )
∂x
∂x  ∂x
 ∂x
Il secondo addendo invece è
 ∂Ax
∂A
∂A  d
∂
+ v y x + v x x  = Ax − Ax
 v z
∂y
∂x  dt
∂t
 ∂z
 ∂A ∂x ∂Ax ∂y ∂Ax ∂z  ∂
 ∂A
d
∂
∂A
∂A 
Ax = Ax +  x
+
+
 = Ax +  x v x + x v y + x v z 
dt
∂t
∂y
∂z 
 ∂x ∂t ∂y ∂t ∂z ∂t  ∂t
 ∂x
In conclusione, per la componente x della forza di Lorentz:
Infatti:
 ∂
 ∂
1 ∂
1 ∂
∂  
1 ∂
d 
d
Fx = q − φ −
A +  (v ⋅ A ) −  Ax − A   = q − φ +  (v ⋅ A ) − Ax  
c ∂t
c  ∂x
∂t  
c  ∂x
dt  
 dt
 ∂x
 ∂x
Se ora riscriviamo il tutto, raggruppando tutto ciò che risulta derivato rispetto a x, nella forma:
 ∂ 
q
 d  qA  
Fx = −  qφ − v ⋅ A  +  − x  
c
 dt  c  
 ∂x 
possiamo osservare come le due parentesi tonde a secondo membro possano essere ricondotte ad
un’unica origine quando si osservi che:
qA
∂ 
q

− x =
 qφ − v ⋅ A 
c
∂v x 
c

 ∂ 
q
q
 d  ∂ 
 
per cui:
Fx =  −  qφ − v ⋅ A  + 
 qφ − v ⋅ A   
c
c
 dt  ∂v x 
 
 ∂x 
Se confrontiamo questa espressione con quella ottenuta precedentemente per la generalizzazione
della forza:
∂
d ∂
Fx = − V +
V
∂x
dt ∂v x
possiamo identificare nella espressione
q
V = qφ − v ⋅ A
c
il potenziale generalizzato da cui derivare la forza di Lorentz.
Questo significa che
1 2
q
mv − qφ + v ⋅ A
2
c
è la Lagrangiana di una particella carica immersa in un campo elettromagnetico.
L=
Energia di una particella carica in un campo elettromagnetico
Torniamo ora alla definizione stessa di Lagrangiana, L=T-V , e consideriamone la derivata rispetto
a vx:
∂L
∂T
∂V
=
−
∂v x
∂v x
∂v x
Se il potenziale non dipendesse dalle velocità, potremmo definire al primo membro la quantità di
∂L
∂T
moto (o momento, in stile anglosassone) p x =
ed uguagliarla a mv x =
a secondo membro
∂v x
∂v x
come risultato della derivazione della energia cinetica.
La presenza di potenziali generalizzati, invece, ci porta a rompere questa identità, e a riconoscere
che
∂V
mv x = p x +
∂v x
che significa riconoscere che il momento p è fatto di un termine dipendente dalla pura quantità di
moto della particella (ossia la pura componente cinetica), e di un termine aggiuntivo legato alla
presenza del potenziale generalizzato.
Nel caso del campo elettromagnetico:
∂V
∂ 
q
q

mv x = p x +
= px +
 qφ − v ⋅ A  = p x − Ax
∂v x
∂v x 
c
c

Poiché la stessa cosa vale per le componenti y e z, si può scrivere ora l’energia cinetica come:
2
2
2


1
(mv x )2 + (mv y )2 + (mv z )2 = 1   p x − q Ax  +  p y − q Ay  +  pz − q Az  
2m
2m  
c  
c  
c  
ossia, in forma compatta:
T=
(
)
2
1 
q 
T=
p − A
2m 
c 
dove il quadrato indica il prodotto scalare di due parentesi identiche.
L’energia totale, infine, sarà data dalla somma di questa nuova formulazione della energia cinetica
più la vera e propria energia potenziale, data dal potenziale scalare φ:
2
1 
q 
E=
 p − A  + qφ
2m 
c 
Da questa espressione, finalmente, si può derivare la equazione di Schroedniger (e quindi la
formulazione non relativistica) del problema di una particella carica immersa in un campo
elettromagnetico.