Numeri ed operazioni sui numeri

1. NUMERI ED OPERAZIONI SUI NUMERI
m
m/n
n
1 3
2 4
5
4
x
x x
1
0
ab
1
ab
2
ab
ab
1
Operazioni sui numeri
2
Nota:
a
 a
0
1
operazione impossibile
0
non esiste!
3
n0
n0
a1  a, a2  a  a,
an  a  a  a a
n volte
0
a 1
n  0, j : n  0
an  a  j 
1
a
j

1
a a a a
103  1000
103 
1
10
3
 0,001
j volte
Proprietà delle potenze:
4
𝑛 è un numero primo se è divisibile solamente per l’unità e se stesso:
numeri primi: 2,3,5,7,11,13,17,⋯
Scomposizione di un numero secondo (le potenze di) numeri primi
5
Come riconoscere l’equivalenza (o non) tra frazioni?
Frazioni equivalenti (non equivalenti) hanno la stessa (diversa) forma irriducibile
Sì, è irreducibile
6
Prodotto di numeri razionali:
Somma di numeri razionali:
1) via minimo comune multiplo
2) via diretta
Risultati delle operazioni non necessariamente irreducibili!
7
Rappresentazione decimale dei numeri
Numero razionale: cifre decimali finite o periodiche
Numero irrazionale: numero infinito di cifre decimali
Troncamento con numero di cifre crescenti: restringimento dell’intervallo in cui si
colloca il numero esatto
8
Troncamento nella rappresentazione decimale di un parametro chimico-fisico:
stesso significato ma diversa origine!
Esempio: distanza 𝑑 misurata con un regolo avente suddivisioni (tacche) in
millimetri: 𝑑 = 12,1 cm
nel significato di:
12,05 cm< 𝑑 ≤ 12,15 cm
In questo caso il troncamento non è scelto a priori, ma è determinato
dall’incertezza (errore) della misura
Stima dell’errore (incertezza) 𝑒𝑑 della misura del parametro 𝑑: 𝑒𝑑 = 0,05 cm
Cifre significative di un parametro: cifre decimali riportate e non affette da errore
𝑑 = 12,1 cm: 3 cifre significative
Normalmente si suppone che tutte le cifre riportate siano significative
Esempio: come si dovrebbe riportare in metri una distanza 𝑑 = 3,5 km?
3,45km< 𝑑 ≤ 3,55km 𝑒𝑑 = 50m
𝑑 = 3500m ⇒ 3499,5m< 𝑑 ≤ 3500,5m, 𝑒𝑑 = 0,5m :
sbagliato!
𝑑 = 35 ∙ 102 m ⇒ 34,5 ∙ 102 m< 𝑑 ≤ 35,5 ∙ 102 m, 𝑒𝑑 = 50m :
corretto!
9
Stesso significato per i parametri chimico-fisici tabulati, ad esempio
costante dei gas: 𝑅 = 8,314 J/mol K
Implicito: 𝑅 di per sé è un numero con infinite cifre decimali (numero irrazionale) e
se ne riporta la forma troncata con 4 cifre significative, cioè:
8,3135 J/mol K < 𝑅 ≤ 8,3145 J/mol K
𝑝
10
Quali cifre riportare nella somma di parametri?
Esempio: dati due parametri 𝑝1 = 12,1 e 𝑝2 = 0,512 , quale valore riportare per la
loro somma 𝑝 = 𝑝1 + 𝑝2 ?
Riportando la soma algebrica, 𝑝 = 12,1 + 0,512 = 12,612 , si attribuirebbe a 𝑝
una incertezza 𝑒𝑝 = 0,0005. E’ corretto?
Estremo inferiore/superiore di 𝑝 = somma degli estremi inferiori/superiori degli
addendi
𝑝1 − 𝑒𝑝1
𝑝1 + 𝑒𝑝1
𝑝1
𝑝2 − 𝑒𝑝2
𝑝 − 𝑒𝑝
𝑝 + 𝑒𝑝
𝑝2 + 𝑒𝑝2
𝑝2
𝑝
𝑝 + 𝑒𝑝 = 𝑝1 + 𝑒𝑝1 + 𝑝2 + 𝑒𝑝2 = 𝑝1 + 𝑝2 + 𝑒𝑝1 + 𝑒𝑝2
𝑒𝑝 = 𝑒𝑝1 +𝑒𝑝2 = 0,05 + 0,0005 ≅ 0,05
Somma degli errori assoluti nell’addizione!
Nella somma prevale la maggiore delle incertezze degli addendi!
Risultato corretto: 𝑝 = 12,6
12.55 < 𝑝 ≤ 12,65
11
E se i due parametri nella somma hanno la stessa incertezza?
Ad esempio: 𝑝1 = 12,1 𝑝2 = 0,5 𝑒𝑝1 = 𝑒𝑝2 = 0,05
𝑒𝑝 = 𝑒𝑝1 + 𝑒𝑝2 = 0,1 ?
Una analisi più accurata prederebbe un addensamento dei valori più probabili
verso il centro dell’intervallo ⇒ Sovrastima dell’incertezza con 𝑒𝑝 = 0,1
In pratica si tronca alla stessa cifra decimale:
𝑝 = 𝑝1 + 𝑝2 = 12,6
12,55 < 𝑝 ≤ 12,65
𝑒𝑝 = 0,05
E nell’operazione di sottrazione?
𝑝 = 𝑝1 − 𝑝2 = 𝑝1 + (−𝑝2 )
Equivalenza con la somma attraverso l’opposto ⇒ stesse regole della somma
per l’individuazione dell’incertezza
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Quali cifre riportare nel prodotto di parametri?
Un esempio: 𝑝1 = 12,1 𝑝2 = 0,15
𝑝 = 𝑝1 𝑝2 ?
Estremi inferiore/superiore di 𝑝 = prodotti degli estremi inferiori/superiori dei
fattori
12,05
12,15
𝑝1
12,1
12,05 ∙ 0,145
0,145
12,15 ∙ 0,155
12,1 ∙ 0,15
0,155
𝑝2
0,15
1,88325
1,74725
𝑝
𝑝
1,815
1,75
1,85
Ragionevole intervallo di incertezza:
Risultato: 𝑝 = 1,8
1,8
𝑝
13
C’è una strada più diretta: confronto tra gli errori (incertezze) relativi
Errori relativi sui fattori:
𝑒𝑝1 𝑝1 = 0,05 12,1 ≅ 0,004
𝑒𝑝2 𝑝2 = 0,005 0,15 ≅ 0,03
Incertezza sul prodotto dall’estremo superiore:
𝑝 1 + 𝑒𝑝 𝑝 = 𝑝 + 𝑒𝑝 = (𝑝1 + 𝑒𝑝1 ) 𝑝2 + 𝑒𝑝2 = 𝑝1 𝑝2 (1 + 𝑒𝑝1 𝑝1 )(1 + 𝑒𝑝2 𝑝2 )
1 + 𝑒𝑝 𝑝 = (1 + 𝑒𝑝1 𝑝1 )(1 + 𝑒𝑝2 𝑝2 )
𝑒𝑝 𝑝 = 𝑒𝑝1 𝑝1 + 𝑒𝑝2 𝑝2 +(𝑒𝑝1 𝑝1 ) (𝑒𝑝2 𝑝2 ) ≅ 𝑒𝑝1 𝑝1 + 𝑒𝑝2 𝑝2
Trascurabile!
Gli errori relativi si sommano nel prodotto
𝑒𝑝 𝑝 ≅ 0,004 + 0,03 ≅ 0,03 = 𝑒𝑝2 𝑝2
Nel prodotto prevale la maggiore delle incertezze relative
𝑒𝑝 ≅ 0,03 ∙ 𝑝 ≅ 0,06 ⇒ 𝑝 = 1,8
Regola pratica: numero cifre significative nel prodotto = minimo del numero di
cifre significative dei fattori ⇒ 12,1 ∙ 0,15 = 1,8
3
2
2
14
Nella precedente trattazione era implicito che tutti i parametri fossero positivi
Generalizzazione a parametri generici:
errore relativo (sempre positivo): 𝑒𝑝 |𝑝|
errore relativo nel prodotto 𝑝 = 𝑝1 ∙ 𝑝2 :
ep

ep1

ep2
| p| | p1 | | p2 |
E nella divisione 𝑝 = 𝑎 𝑏 = 𝑎 ∙ 1 𝑏 ?
E’ sufficiente valutare l’errore 𝑒1
parametro 𝑏
𝑏 − 𝑒𝑏
𝑏 + 𝑒𝑏
𝑏
𝑏
del reciproco 1 𝑏 , noto l’errore 𝑒𝑏 sul
1 𝑏 − 𝑒1
𝑏
1 𝑏 + 𝑒1
𝑏
1 𝑏
eb
1
1
1
1
 e1/b 
 e1/b 
 
b
b  eb
b  eb b b  b  eb 
e1/b
e
e
 b  b 
1 / b b  eb b
Errore relativo sul reciproco =
errore relativo sul parametro
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