Curiosando tra i numeri
Patrizia LONGOBARDI
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI SALERNO
Salerno
Progetto Lauree Scientifiche
6 marzo 2017
Patrizia Longobardi - Università di Salerno
Curiosando tra i numeri
Patrizia Longobardi - Università di Salerno
Curiosando tra i numeri
Siti interessanti
http://maddmaths.simai.eu/
"Maddmaths! vuole porsi come una vetrina della matematica italiana e
anche come un punto di ritrovo e discussione per tutti, dagli studenti agli
insegnanti delle secondarie, ai curiosi, fino a chi la matematica la conosce
solo per sentito dire.
Vuole essere un sito per incuriosire e raccontare alcune storie:
l’approfondimento può venire dopo e passare attraverso altri canali . . .
E tutto questo cerchiamo di proporlo con leggerezza, cercando di
divertirci e di divertire."
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Curiosando tra i numeri
Siti interessanti
http://maddmaths.simai.eu/
"Maddmaths! vuole porsi come una vetrina della matematica italiana e
anche come un punto di ritrovo e discussione per tutti, dagli studenti agli
insegnanti delle secondarie, ai curiosi, fino a chi la matematica la conosce
solo per sentito dire.
Vuole essere un sito per incuriosire e raccontare alcune storie:
l’approfondimento può venire dopo e passare attraverso altri canali . . .
E tutto questo cerchiamo di proporlo con leggerezza, cercando di
divertirci e di divertire."
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Curiosando tra i numeri
Maddmaths!
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Curiosando tra i numeri
Maddmaths!
McDonald e le combinazioni
"infinite" degli ingredienti nei
panini
La ricetta matematica per tagliare la pizza
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Curiosando tra i numeri
Maddmaths!
ARCHIMEDE è una rivista storicamente dedicata agli
insegnanti di matematica e ai cultori della materia, fondata nel
1902 da Alberto Conti
(allora si chiamava per Il bollettino di matematica).
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Maddmaths!
Nell’ultimo numero della rivista Archimede compare un articolo dedicato
a Maria Gaetana Agnesi (Milano, 16 maggio 1718 - Milano, 9 gennaio
1799). E’ stata una matematica, filosofa e benefattrice italiana.
Riconosciuta come una delle più grandi matematiche di tutti i tempi, fu
la prima donna autrice di un libro di matematica e la prima a ottenere
una cattedra universitaria di matematica, dopo aver insegnato
nell’Università di Bologna per tre anni in sostituzione del padre.
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Siti interessanti
Bocconi MATEpristem
"Progetto RIcerche SToriche E Metodologiche"
http://matematica.unibocconi.it/
"Costituito nel 1987, il P.RI.ST.EM è diretto da Angelo
Guerraggio (dell’Università Bocconi e dell’Università
dell’Insubria). Ha lo scopo di promuovere la cultura e
l’informazione matematica anche al di fuori della più ristretta
cerchia degli addetti ai lavori, con particolare riferimento alla
dimensione storica e metodologica."
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MATEpristem
Lettera Matematica Pristem
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Siti interessanti
MacTutor History of Mathematics archive
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/
Created by John J. O’Connor and Edmund F. Robertson, School of
Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland
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Curiosando tra i numeri
Aritmetica
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Curiosando tra i numeri
Aritmetica
N = {1, 2, 3, ...}
N0 = {0, 1, 2, 3, ...}
Z = {0, 1, 1, 2, 2, ...}
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Aritmetica
(N, +, · , 6)
(N0, +, · , 6)
(Z, +, · , 6)
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Curiosando tra i numeri
I numeri primi
p 2 N0
p primo :, p 6= 1 e (d |p ) d = 1 o d = p)
, p 6= 1 e (6 9a, b : p = ab con 1 < a, b < p)
P := { p 2 N0 | p primo }
P ◆ { 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}
p primo, p|ab ) p|a o p|b
Già nel IX libro degli Elementi di Euclide
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Curiosando tra i numeri
I numeri primi
p 2 N0
p primo :, p 6= 1 e (d |p ) d = 1 o d = p)
, p 6= 1 e (6 9a, b : p = ab con 1 < a, b < p)
P := { p 2 N0 | p primo }
P ◆ { 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}
p primo, p|ab ) p|a o p|b
Già nel IX libro degli Elementi di Euclide
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I numeri primi
p 2 N0
p primo :, p 6= 1 e (d |p ) d = 1 o d = p)
, p 6= 1 e (6 9a, b : p = ab con 1 < a, b < p)
P := { p 2 N0 | p primo }
P ◆ { 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}
p primo, p|ab ) p|a o p|b
Già nel IX libro degli Elementi di Euclide
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I numeri primi
p 2 N0
p primo :, p 6= 1 e (d |p ) d = 1 o d = p)
, p 6= 1 e (6 9a, b : p = ab con 1 < a, b < p)
P := { p 2 N0 | p primo }
P ◆ { 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}
p primo, p|ab ) p|a o p|b
Già nel IX libro degli Elementi di Euclide
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Euclide
Euclide è stato un matematico e scienziato greco antico,
che visse molto probabilmente durante il regno di Tolomeo
I (367 a.C. ca. - 283 a.C.). Probabilmente è nato intorno
al 325 a.C. e morto verso il 265 a.C. ad Alessandria,
Egitto.
È stato sicuramente il più importante matematico della
storia antica, e uno dei più importanti e riconosciuti di
ogni tempo e luogo.
Euclide è noto soprattutto come autore degli Elementi,
opera in 13 libri, la più importante opera di geometria
dell’antichità; tuttavia di lui si sa pochissimo.
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Curiosando tra i numeri
I numeri primi
Teorema fondamentale dell’aritmetica
Per ogni n > 2 esistono s > 1 e q1 ...., qs 2 P tali che
n = q1 · · · q s
e se n = q10 · · · qt0 con t > 1 e q10 , ..., qt0 2 P, allora s = t e (a meno
dell’ordine) q1 = q10 , ..., qs = qs0 .
Corollario
n 2 N0 , n > 2 ) esiste p 2 P tale che p|n
Corollario
n 2 N0 , n > 1 ) i divisori di n sono in numero finito
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I numeri primi
Teorema fondamentale dell’aritmetica
Per ogni n > 2 esistono s > 1 e q1 ...., qs 2 P tali che
n = q1 · · · q s
e se n = q10 · · · qt0 con t > 1 e q10 , ..., qt0 2 P, allora s = t e (a meno
dell’ordine) q1 = q10 , ..., qs = qs0 .
Corollario
n 2 N0 , n > 2 ) esiste p 2 P tale che p|n
Corollario
n 2 N0 , n > 1 ) i divisori di n sono in numero finito
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I numeri primi
Teorema fondamentale dell’aritmetica
Per ogni n > 2 esistono s > 1 e q1 ...., qs 2 P tali che
n = q1 · · · q s
e se n = q10 · · · qt0 con t > 1 e q10 , ..., qt0 2 P, allora s = t e (a meno
dell’ordine) q1 = q10 , ..., qs = qs0 .
Corollario
n 2 N0 , n > 2 ) esiste p 2 P tale che p|n
Corollario
n 2 N0 , n > 1 ) i divisori di n sono in numero finito
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I numeri primi
Teorema (Euclide, Elementi, IX libro, Proposizione 20)
L’insieme P è infinito.
Dimostrazione
Per assurdo sia P finito, |P| = k, P = { p1 , ..., pk }.
Si consideri n := p1 · · · pk + 1.
Si ha n > 2 e quindi esiste q 2 P tale che q|n. Allora q = pj per qualche
j 2 { 1, ..., k}. Si ha dunque
q|p1 · · · pk
e
q|p1 · · · pk + 1.
Da ciò q|1, un assurdo.
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I numeri primi
Teorema (Euclide, Elementi, IX libro, Proposizione 20)
L’insieme P è infinito.
Dimostrazione
Per assurdo sia P finito, |P| = k, P = { p1 , ..., pk }.
Si consideri n := p1 · · · pk + 1.
Si ha n > 2 e quindi esiste q 2 P tale che q|n. Allora q = pj per qualche
j 2 { 1, ..., k}. Si ha dunque
q|p1 · · · pk
e
q|p1 · · · pk + 1.
Da ciò q|1, un assurdo.
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Curiosando tra i numeri
6 marzo 1742
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Leonhard Euler
Leonhard Euler, noto in Italia come Eulero
(Basilea, 15 aprile 1707 - San Pietroburgo, 18 settembre
1783),
è stato un matematico e fisico svizzero.
È considerato il più importante matematico dell’Illuminismo.
È noto per essere tra i più prolifici di tutti i tempi e ha fornito
contributi storicamente cruciali in svariate aree: analisi
infinitesimale, funzioni speciali, meccanica razionale,
meccanica celeste, teoria dei numeri, teoria dei grafi.
Sembra che Pierre Simon Laplace abbia affermato:
"Leggete Eulero; egli è il maestro di tutti noi".
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Curiosando tra i numeri
Leonhard Euler
Eulero è stato senz’altro il più grande fornitore di
"denominazioni matematiche", offrendo il suo nome a una
quantità impressionante di formule, teoremi, metodi, criteri,
relazioni, equazioni. In geometria: il cerchio, la retta e i punti
di Eulero relativi ai triangoli, più la relazione di Eulero, che
riguardava il cerchio circoscritto a un triangolo; nella teoria dei
numeri: il criterio di Eulero ed il Teorema di Fermat-Eulero,
l’indicatore di Eulero, l’identità di Eulero, la congettura di
Eulero; nella meccanica: gli angoli di Eulero, il carico critico di
Eulero (per instabilit); nell’analisi: la costante di
Eulero-Mascheroni, la funzione gamma di Eulero; in logica: il
diagramma di Eulero-Venn; nella teoria dei grafi: (di nuovo) la
relazione di Eulero; nell’algebra: il metodo di Eulero (relativo
alla soluzione delle equazioni di quarto grado), il Teorema di
Eulero; nel calcolo differenziale: il metodo di Eulero
(riguardante le equazioni differenziali).
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Curiosando tra i numeri
Leonhard Euler
Sempre a Eulero si legano altri oggetti matematici, attraverso
l’aggettivo "euleriano", quali: il ciclo euleriano, il grafo
euleriano, la funzione euleriana di prima specie o funzione
beta, e quella di seconda specie o funzione gamma, la catena
euleriana di un grafo senza anse, i numeri euleriani (differenti
dai Numeri di Eulero). Anche se fu prevalentemente un
matematico diede importanti contributi alla fisica e in
particolare alla meccanica classica e celeste. Per esempio
sviluppò l’equazione delle travi di Eulero-Bernoulli e le
equazioni di Eulero-Lagrange. Inoltre determinò le orbite di
molte comete.
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Curiosando tra i numeri
Leonhard Euler
Eulero tenne contatti con numerosi matematici del suo tempo;
in particolare tenne una lunga corrispondenza con Christian
Goldbach confrontando con lui alcuni dei propri risultati.
Egli inoltre seppe coordinare il lavoro di altri matematici che
gli furono vicini: i figli Johann Albrecht Euler e Christoph
Euler, i membri dell’Accademia di San Pietroburgo W. L.
Krafft e Anders Johan Lexell e il suo segretario Nicolaus Fuss
(che era anche il marito di sua nipote); a tutti i collaboratori
riconobbe i meriti.
Complessivamente esistono 886 pubblicazioni di Eulero.
Buona parte della simbologia matematica tuttora in uso venne
introdotta da Eulero, per esempio i per i numeri immaginari,
P
come simbolo per la sommatoria, f (x) per indicare una
funzione e la lettera ⇡ per indicare pi greco.
https://it.wikipedia.org/wiki/Eulero
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Leonhard Euler
http://www.ilpost.it/2013/04/15/eulero/
https://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/Interventi/Articoli/
EuleroAnniversario/EuleroAnniversario.htm
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Curiosando tra i numeri
Leonhard Euler
Patrizia Longobardi - Università di Salerno
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Leonhard Euler
Il problema dei sette ponti di Königsberg
Patrizia Longobardi - Università di Salerno
Curiosando tra i numeri
Il problema dei sette ponti di Königsberg
Il problema dei sette ponti di Königsberg è un problema ispirato da
una città reale e da una situazione concreta. Königsberg, un tempo in
Prussia Orientale e oggi exclave russa sul Baltico nota con il nome di
Kaliningrad, è percorsa dal fiume Pregel e da suoi affluenti e presenta due
estese isole che sono connesse tra di loro e con le due aree principali della
citt da sette ponti.
Nel corso dei secoli è stata più volte proposta la questione se sia possibile
con una passeggiata seguire un percorso che attraversi ogni ponte una e
una volta soltanto.
Nel 1736 Leonhard Euler affrontò tale problema, dimostrando che la
passeggiata ipotizzata non era possibile.
https://it.wikipedia.org/wiki/Problema dei ponti di Königsberg
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Curiosando tra i numeri
Il problema dei sette ponti di Königsberg
Il problema dei sette ponti di Königsberg è un problema ispirato da
una città reale e da una situazione concreta. Königsberg, un tempo in
Prussia Orientale e oggi exclave russa sul Baltico nota con il nome di
Kaliningrad, è percorsa dal fiume Pregel e da suoi affluenti e presenta due
estese isole che sono connesse tra di loro e con le due aree principali della
citt da sette ponti.
Nel corso dei secoli è stata più volte proposta la questione se sia possibile
con una passeggiata seguire un percorso che attraversi ogni ponte una e
una volta soltanto.
Nel 1736 Leonhard Euler affrontò tale problema, dimostrando che la
passeggiata ipotizzata non era possibile.
https://it.wikipedia.org/wiki/Problema dei ponti di Königsberg
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Curiosando tra i numeri
Il problema dei sette ponti di Königsberg
Il problema dei sette ponti di Königsberg è un problema ispirato da
una città reale e da una situazione concreta. Königsberg, un tempo in
Prussia Orientale e oggi exclave russa sul Baltico nota con il nome di
Kaliningrad, è percorsa dal fiume Pregel e da suoi affluenti e presenta due
estese isole che sono connesse tra di loro e con le due aree principali della
citt da sette ponti.
Nel corso dei secoli è stata più volte proposta la questione se sia possibile
con una passeggiata seguire un percorso che attraversi ogni ponte una e
una volta soltanto.
Nel 1736 Leonhard Euler affrontò tale problema, dimostrando che la
passeggiata ipotizzata non era possibile.
https://it.wikipedia.org/wiki/Problema dei ponti di Königsberg
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Il problema dei sette ponti di Königsberg
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Il problema dei sette ponti di Königsberg
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Curiosando tra i numeri
Il problema dei sette ponti di Königsberg
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Curiosando tra i numeri
Il problema dei sette ponti di Königsberg
Eulero ha enunciato il seguente teorema:
Un qualsiasi grafo è percorribile se e solo se ha tutti i nodi di grado pari,
o due di essi sono di grado dispari; per percorrere un grafo "possibile"
con due nodi di grado dispari, è necessario partire da uno di essi, e si
terminerà sull’altro nodo dispari.
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Curiosando tra i numeri
Il problema dei sette ponti di Königsberg
Come illustrato da Vinicio Villani alla voce "Topologia"
dell’"Enciclopedia Europea" (Milano, Garzanti, 1981, vol. XI, pp. 337,
339-340) l’osservazione cruciale è la seguente:
". . . ogniqualvolta un cammino passa attraverso un nodo, vengono
utilizzati esattamente due spigoli che confluiscono nel nodo (uno per
l’arrivo, uno per la partenza); quando invece un cammino inizia o termina
in un nodo, viene utilizzato un unico spigolo (rispettivamente di partenza
o di arrivo)."
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Curiosando tra i numeri
Il problema dei sette ponti di Königsberg
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Curiosando tra i numeri
Corrispondenza tra Eulero e Goldbach
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Curiosando tra i numeri
Corrispondenza di Eulero
Eulero ha scritto un migliaio di lettere e ne ha ricevuto circa duemila. Tra
i maggiori corrispondenti si annoverano Daniel Bernoulli, Johann I
Bernoulli, Johann III Bernoulli, Nicolaus I Bernoulli, Jean le Rond
d’Alembert, Christian Goldbach, Joseph Louis de Lagrange, Kirill
Grigorevich Razumovskij, Grigorij Nikolajevich Teplov, Johann Kaspar
Wettstein ed il re di Prussia Federico II.
La corrispondenza con Goldbach consiste di 196 lettere, 102 delle quali
scritte da Eulero.
L’Archivio di Eulero sta raccogliendo e pubblicando l’intera
corrispondenza conosciuta di Eulero.
http://eulerarchive.maa.org/correspondence/index.html
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Curiosando tra i numeri
6 marzo 1742
In questa lettera indirizzata a Goldbach, Eulero prova un risultato
enunciato da Fermat, secondo il quale:
"Un primo p della forma 4k + 3 non divide una somma del tipo a2 + b 2 a
meno che a e b non siano divisibili per p".
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Curiosando tra i numeri
Christian Goldbach
Christian Goldbach (Königsberg, 18 marzo 1690 - Mosca, 20 novembre
1764) è stato un matematico tedesco, molto noto per la sua
congettura sui numeri primi formulata nel 1742 e ancora aperta.
Nato nella città di Königsberg (ora chiamata Kaliningrad ed exclave della
Russia) figlio di un pastore, Goldbach studiò diritto e matematica.
Viaggiò molto attraverso l’Europa e incontrò molti matematici famosi,
come Leibniz, Leonhard Euler, Nicolaus I Bernoulli, Nicolaus II Bernoulli,
Daniel Bernoulli, Abraham de Moivre ed Hermann. Nel 1725 Goldbach
divenne professore di matematica e storico dell’Accademia delle Scienze
di San Pietroburgo, appena aperta.
Nel 1728 divenne tutore del futuro Zar Pietro II.
Nel 1742 divenne membro dello staff del Ministero degli esteri russo.
I maggiori contributi di Goldbach riguardano la teoria dei numeri. Altri
suoi lavori hanno come argomenti lo studio delle curve, le serie infinite e
l’integrazione delle equazioni differenziali.
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Curiosando tra i numeri
Corrispondenza tra Eulero e Goldbach
Prima lettera di Goldbach ad Eulero, 1 dicembre 1729
Patrizia Longobardi - Università di Salerno
Curiosando tra i numeri
Corrispondenza tra Eulero e Goldbach
Questa lettera termina col seguente Post Scriptum:
P.S. Notane Tibi est Fermatii observatio omnes numeros hujus formulae
x 1
22
+ 1, nempe 3, 5, 17, etc., esse primos, quam tamen ipse fatebatur
se demonstrare non posse, et post eum nemo, quod sciam, demonstravit.
P.S. Ti è nota l’osservazione di Fermat che tutti i numeri di forma
x 1
22
+ 1, chiaramente 3, 5, 17, etc., sono primi? Tuttavia egli stesso
affermava di non essere in grado di dimostrarla e, per quanto ne so, dopo
di lui nessuno l’ha dimostrata.
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Curiosando tra i numeri
Corrispondenza tra Eulero e Goldbach
Questa lettera termina col seguente Post Scriptum:
P.S. Notane Tibi est Fermatii observatio omnes numeros hujus formulae
x 1
22
+ 1, nempe 3, 5, 17, etc., esse primos, quam tamen ipse fatebatur
se demonstrare non posse, et post eum nemo, quod sciam, demonstravit.
P.S. Ti è nota l’osservazione di Fermat che tutti i numeri di forma
x 1
22
+ 1, chiaramente 3, 5, 17, etc., sono primi? Tuttavia egli stesso
affermava di non essere in grado di dimostrarla e, per quanto ne so, dopo
di lui nessuno l’ha dimostrata.
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Curiosando tra i numeri
I numeri di Fermat
Definizione
t
Ft := 22 + 1 , con t > 0 ,
è detto il t-esimo numero di Fermat.
F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537
sono tutti primi.
Ma (Eulero, 1732)
F5 = 232 + 1 = 4294967297 = 641 · 6700417
e non sono primi F6 (Clausen, Landry e Le Lasseur, 1880), F7 (Morrison
e Brillhart, 1970), F8 (Brent e Pollard, 1980), F9 (Western, 1903 /
Lenstra, Manasse e altri, 1990), F10 (Selfridge, 1953 / Brillhart, 1962 /
Brent, 1995), F11 (Cunningham, 1899 / Brent e Morain, 1988).
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Curiosando tra i numeri
I numeri di Fermat
Definizione
t
Ft := 22 + 1 , con t > 0 ,
è detto il t-esimo numero di Fermat.
F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537
sono tutti primi.
Ma (Eulero, 1732)
F5 = 232 + 1 = 4294967297 = 641 · 6700417
e non sono primi F6 (Clausen, Landry e Le Lasseur, 1880), F7 (Morrison
e Brillhart, 1970), F8 (Brent e Pollard, 1980), F9 (Western, 1903 /
Lenstra, Manasse e altri, 1990), F10 (Selfridge, 1953 / Brillhart, 1962 /
Brent, 1995), F11 (Cunningham, 1899 / Brent e Morain, 1988).
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Curiosando tra i numeri
I numeri di Fermat
Definizione
t
Ft := 22 + 1 , con t > 0 ,
è detto il t-esimo numero di Fermat.
F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537
sono tutti primi.
Ma (Eulero, 1732)
F5 = 232 + 1 = 4294967297 = 641 · 6700417
e non sono primi F6 (Clausen, Landry e Le Lasseur, 1880), F7 (Morrison
e Brillhart, 1970), F8 (Brent e Pollard, 1980), F9 (Western, 1903 /
Lenstra, Manasse e altri, 1990), F10 (Selfridge, 1953 / Brillhart, 1962 /
Brent, 1995), F11 (Cunningham, 1899 / Brent e Morain, 1988).
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Curiosando tra i numeri
Pierre de Fermat
Pierre de Fermat (1601-1665) è stato un matematico e
magistrato francese.
Fu tra i principali matematici della prima metà del XVII
secolo e dette importanti contributi allo sviluppo della
matematica moderna.
Con il suo metodo per la individuazione dei massimi e dei
minimi delle funzioni precorse gli sviluppi del calcolo
differenziale.
Fece ricerche di grande importanza sulla futura teoria dei
numeri, iniziate durante la preparazione di un’edizione
della Arithmetica di Diofanto, su cui scrisse note ed
osservazioni contenenti numerosi teoremi.
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Curiosando tra i numeri
Poligoni regolari costruibili con riga e compasso
Già gli antichi Greci sapevano costruire con riga (non centimetrata) e
compasso i poligoni regolari di 3, 4, 5, 6, 15 lati.
Una tale costruzione è equivalente alla suddivisione di una circonferenza
in un fissato numero di archi uguali.
Per secoli si è cercato un numero primo dispari p > 5 tale che il poligono
regolare di p lati risultasse costruibile con riga e compasso.
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Curiosando tra i numeri
Poligoni regolari costruibili con riga e compasso
Già gli antichi Greci sapevano costruire con riga (non centimetrata) e
compasso i poligoni regolari di 3, 4, 5, 6, 15 lati.
Una tale costruzione è equivalente alla suddivisione di una circonferenza
in un fissato numero di archi uguali.
Per secoli si è cercato un numero primo dispari p > 5 tale che il poligono
regolare di p lati risultasse costruibile con riga e compasso.
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Curiosando tra i numeri
Poligoni regolari costruibili con riga e compasso
Già gli antichi Greci sapevano costruire con riga (non centimetrata) e
compasso i poligoni regolari di 3, 4, 5, 6, 15 lati.
Una tale costruzione è equivalente alla suddivisione di una circonferenza
in un fissato numero di archi uguali.
Per secoli si è cercato un numero primo dispari p > 5 tale che il poligono
regolare di p lati risultasse costruibile con riga e compasso.
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Curiosando tra i numeri
I numeri di Fermat
Nel 1796 Carl Friedrich Gauss, a soli 19 anni, dimostrò che si può
costruire con riga e compasso il poligono regolare con 17 lati,
l’eptadecagono.
Si noti che
F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17.
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Curiosando tra i numeri
I numeri di Fermat
Più in generale Gauss dimostrò che si può costruire con
riga e compasso un poligono regolare con un numero
primo p di lati se p è un primo di Fermat.
Teorema
E’ possibile costruire con riga e compasso un poligono
regolare con n lati se n è il prodotto di una potenza di 2
per un prodotto finito di numeri di Fermat primi e distinti.
Sussiste anche il viceversa, intuito da Gauss e provato da
Pierre Wantzel nel 1836.
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Curiosando tra i numeri
I numeri di Fermat
Più in generale Gauss dimostrò che si può costruire con
riga e compasso un poligono regolare con un numero
primo p di lati se p è un primo di Fermat.
Teorema
E’ possibile costruire con riga e compasso un poligono
regolare con n lati se n è il prodotto di una potenza di 2
per un prodotto finito di numeri di Fermat primi e distinti.
Sussiste anche il viceversa, intuito da Gauss e provato da
Pierre Wantzel nel 1836.
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Curiosando tra i numeri
I numeri di Fermat
Più in generale Gauss dimostrò che si può costruire con
riga e compasso un poligono regolare con un numero
primo p di lati se p è un primo di Fermat.
Teorema
E’ possibile costruire con riga e compasso un poligono
regolare con n lati se n è il prodotto di una potenza di 2
per un prodotto finito di numeri di Fermat primi e distinti.
Sussiste anche il viceversa, intuito da Gauss e provato da
Pierre Wantzel nel 1836.
Patrizia Longobardi - Università di Salerno
Curiosando tra i numeri
Johann Friedrich Carl Gauss
Johann Friedrich Carl Gauss (Braunschweig, 30 aprile 1777
- Gottinga, 23 febbraio 1855) è stato un matematico,
astronomo e fisico tedesco, che ha dato contributi
determinanti in analisi matematica, teoria dei numeri,
statistica, calcolo numerico, geometria differenziale, geodesia,
geofisica, magnetismo, elettrostatica, astronomia e ottica.
Talvolta definito "il Principe dei matematici" (Princeps
mathematicorum) come Eulero o "il più grande matematico
della modernità" (in opposizione ad Archimede, considerato
dallo stesso Gauss come il maggiore fra i matematici
dell’"antichit"), è annoverato fra i più importanti matematici
della storia avendo contribuito in modo decisivo all’evoluzione
delle scienze matematiche, fisiche e naturali.
Definì la matematica come "la regina delle scienze".
https://it.wikipedia.org/wiki/Carl-Friedrich-Gauss
Patrizia Longobardi - Università di Salerno
Curiosando tra i numeri
I numeri poligonali
Gli antichi matematici scoprirono che alcuni numeri potevano essere
raffigurati in determinati modi quando rappresentati da semi o sassolini.
Il numero 10, per esempio, può formare un triangolo:
ed è quindi un numero triangolare, ma non può formare un quadrato, al
contrario del numero 9, che è per l’appunto un numero quadrato (o
quadrato perfetto).
Patrizia Longobardi - Università di Salerno
Curiosando tra i numeri
I numeri poligonali
Gli antichi matematici scoprirono che alcuni numeri potevano essere
raffigurati in determinati modi quando rappresentati da semi o sassolini.
Il numero 10, per esempio, può formare un triangolo:
ed è quindi un numero triangolare, ma non può formare un quadrato, al
contrario del numero 9, che è per l’appunto un numero quadrato (o
quadrato perfetto).
Patrizia Longobardi - Università di Salerno
Curiosando tra i numeri
I numeri poligonali
Gli antichi matematici scoprirono che alcuni numeri potevano essere
raffigurati in determinati modi quando rappresentati da semi o sassolini.
Il numero 10, per esempio, può formare un triangolo:
ed è quindi un numero triangolare, ma non può formare un quadrato, al
contrario del numero 9, che è per l’appunto un numero quadrato (o
quadrato perfetto).
Patrizia Longobardi - Università di Salerno
Curiosando tra i numeri
I numeri poligonali
Un numero si dice poligonale se è il numero di palline che possono
essere disposte a formare i lati di poligoni regolari via via più grandi,
ciascuno con due lati in comune col precedente.
Fanno parte dei cosiddetti numeri figurati, numeri naturali che
rappresentano figure, cioè i numeri di palline che possono essere utilizzate
per costruire rappresentazioni di figure geometriche, come i cubi, i
numeri poligonali, tetraedrici, ottaedrici, piramidali, ecc..
Questi furono studiati già dagli antichi Greci: quadrati e cubi erano ben
noti, Pitagora conosceva i numeri triangolari e Speusippo (nipote di
Platone) menzionò numeri poligonali e piramidali.
Patrizia Longobardi - Università di Salerno
Curiosando tra i numeri
I numeri poligonali
Un numero si dice poligonale se è il numero di palline che possono
essere disposte a formare i lati di poligoni regolari via via più grandi,
ciascuno con due lati in comune col precedente.
Fanno parte dei cosiddetti numeri figurati, numeri naturali che
rappresentano figure, cioè i numeri di palline che possono essere utilizzate
per costruire rappresentazioni di figure geometriche, come i cubi, i
numeri poligonali, tetraedrici, ottaedrici, piramidali, ecc..
Questi furono studiati già dagli antichi Greci: quadrati e cubi erano ben
noti, Pitagora conosceva i numeri triangolari e Speusippo (nipote di
Platone) menzionò numeri poligonali e piramidali.
Patrizia Longobardi - Università di Salerno
Curiosando tra i numeri
I numeri poligonali
Un numero si dice poligonale se è il numero di palline che possono
essere disposte a formare i lati di poligoni regolari via via più grandi,
ciascuno con due lati in comune col precedente.
Fanno parte dei cosiddetti numeri figurati, numeri naturali che
rappresentano figure, cioè i numeri di palline che possono essere utilizzate
per costruire rappresentazioni di figure geometriche, come i cubi, i
numeri poligonali, tetraedrici, ottaedrici, piramidali, ecc..
Questi furono studiati già dagli antichi Greci: quadrati e cubi erano ben
noti, Pitagora conosceva i numeri triangolari e Speusippo (nipote di
Platone) menzionò numeri poligonali e piramidali.
Patrizia Longobardi - Università di Salerno
Curiosando tra i numeri
I numeri poligonali
http://www.bitman.name/math/indiceanalitico/6
Patrizia Longobardi - Università di Salerno
Curiosando tra i numeri
I numeri poligonali
L’n-esimo numero triangolare Tn è la somma dei primi n numeri naturali
positivi ed è quindi uguale a
Pn
Tn = k=1 k = n(n+1)
.
2
Si racconta che, da bambino, Gauss fu invitato dal maestro con i suoi
compagni a calcolare la somma dei numeri da 1 a 100. Rapidamente
Gauss rispose: 5050. Aveva osservato che il doppio della somma cercata
si otteneva sommando opportunamente a coppie i numeri:
1
2
3
100
99
98
. . .
. . .
98
99
100
3
2
1
Era quindi necessario moltiplicare per 100 (numero delle coppie) la
somma dei numeri incolonnati, che era sempre 101. Pertanto:
1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 =
Patrizia Longobardi - Università di Salerno
100·101
2
=
10100
2
Curiosando tra i numeri
= 5050.
I numeri poligonali
L’n-esimo numero triangolare Tn è la somma dei primi n numeri naturali
positivi ed è quindi uguale a
Pn
Tn = k=1 k = n(n+1)
.
2
Si racconta che, da bambino, Gauss fu invitato dal maestro con i suoi
compagni a calcolare la somma dei numeri da 1 a 100. Rapidamente
Gauss rispose: 5050. Aveva osservato che il doppio della somma cercata
si otteneva sommando opportunamente a coppie i numeri:
1
2
3
100
99
98
. . .
. . .
98
99
100
3
2
1
Era quindi necessario moltiplicare per 100 (numero delle coppie) la
somma dei numeri incolonnati, che era sempre 101. Pertanto:
1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 =
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100·101
2
=
10100
2
Curiosando tra i numeri
= 5050.
I numeri poligonali
L’n-esimo numero triangolare Tn è la somma dei primi n numeri naturali
positivi ed è quindi uguale a
Pn
Tn = k=1 k = n(n+1)
.
2
Si racconta che, da bambino, Gauss fu invitato dal maestro con i suoi
compagni a calcolare la somma dei numeri da 1 a 100. Rapidamente
Gauss rispose: 5050. Aveva osservato che il doppio della somma cercata
si otteneva sommando opportunamente a coppie i numeri:
1
2
3
100
99
98
. . .
. . .
98
99
100
3
2
1
Era quindi necessario moltiplicare per 100 (numero delle coppie) la
somma dei numeri incolonnati, che era sempre 101. Pertanto:
1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 =
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100·101
2
=
10100
2
Curiosando tra i numeri
= 5050.
I numeri poligonali
L’n-esimo numero quadrato Qn è n2 . E infatti
Pn
Qn = 1 + 3 + 5 + ... + (2n 1) = k=1 (2k
L’n-esimo numero pentagonale Pn è
Pn = 1 + 4 + 7 + .. + (3(n
n(3n 1)
.
2
1) + 1) =
Patrizia Longobardi - Università di Salerno
1) = n2 .
E infatti
Pn
k=1 (3(k
Curiosando tra i numeri
1) + 1) =
n(3n 1)
.
2
I numeri poligonali
L’n-esimo numero quadrato Qn è n2 . E infatti
Pn
Qn = 1 + 3 + 5 + ... + (2n 1) = k=1 (2k
L’n-esimo numero pentagonale Pn è
Pn = 1 + 4 + 7 + .. + (3(n
n(3n 1)
.
2
1) + 1) =
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1) = n2 .
E infatti
Pn
k=1 (3(k
Curiosando tra i numeri
1) + 1) =
n(3n 1)
.
2
I numeri poligonali
Il teorema di Fermat sui numeri poligonali afferma che:
Teorema
Qualunque numero intero può essere scritto come somma di al più n
numeri n-gonali.
Per esempio ogni intero può essere espresso come somma di 3 numeri
triangolari, 4 quadrati, 5 pentagonali e così via.
Il teorema fu congetturato da Pierre de Fermat, il quale disse di averlo
dimostrato, sebbene la sua prova non sia mai stata trovata. Il primo caso
ad essere risolto è stato il caso dei quadrati, con il teorema dei quattro
quadrati, dimostrato nel 1772 da Joseph-Louis Lagrange; Gauss provò
il caso dei triangolari, mentre Cauchy dimostrò il teorema nella sua
interezza nel 1813.
Patrizia Longobardi - Università di Salerno
Curiosando tra i numeri
I numeri poligonali
Il teorema di Fermat sui numeri poligonali afferma che:
Teorema
Qualunque numero intero può essere scritto come somma di al più n
numeri n-gonali.
Per esempio ogni intero può essere espresso come somma di 3 numeri
triangolari, 4 quadrati, 5 pentagonali e così via.
Il teorema fu congetturato da Pierre de Fermat, il quale disse di averlo
dimostrato, sebbene la sua prova non sia mai stata trovata. Il primo caso
ad essere risolto è stato il caso dei quadrati, con il teorema dei quattro
quadrati, dimostrato nel 1772 da Joseph-Louis Lagrange; Gauss provò
il caso dei triangolari, mentre Cauchy dimostrò il teorema nella sua
interezza nel 1813.
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Curiosando tra i numeri
I numeri poligonali
Il teorema di Fermat sui numeri poligonali afferma che:
Teorema
Qualunque numero intero può essere scritto come somma di al più n
numeri n-gonali.
Per esempio ogni intero può essere espresso come somma di 3 numeri
triangolari, 4 quadrati, 5 pentagonali e così via.
Il teorema fu congetturato da Pierre de Fermat, il quale disse di averlo
dimostrato, sebbene la sua prova non sia mai stata trovata. Il primo caso
ad essere risolto è stato il caso dei quadrati, con il teorema dei quattro
quadrati, dimostrato nel 1772 da Joseph-Louis Lagrange; Gauss provò
il caso dei triangolari, mentre Cauchy dimostrò il teorema nella sua
interezza nel 1813.
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Curiosando tra i numeri
Numeri somma di quadrati
In questa lettera a Goldbach del 25 giugno 1730 Eulero afferma tra l’altro:
"Theorema, quod quicunque numerus sit summa quatuor quadratorum,
demonstrare non possum, neque ipse Fermatius demonstrare se posse
affirmat."
"Non riesco a dimostrare il teorema secondo cui un qualunque numero è
somma di quattro quadrati, neppure Fermat lo ha dimostrato."
Patrizia Longobardi - Università di Salerno
Curiosando tra i numeri
Numeri somma di quadrati
Dal 1730 Eulero affronta il problema di esprimere numeri come somma di
quadrati.
Nella lettera del 6 marzo 1742 è in particolare provato che i numeri primi
della forma 4k + 3 non sono somma di due quadrati.
In una lettera datata 16 febbraio 1745 Eulero dimostra che un numero
primo somma di due quadrati ha un’unica espressione di questo tipo.
In quella del 6 maggio 1747 (con dettagli nella lettera del 12 aprile 1949)
prova che ogni numero primo della forma 4k + 1 è somma di due
quadrati.
Si perviene poi al
Teorema
Sia n un intero positivo e si scriva n = s 2 m con m un intero positivo
privo di fattori quadratici 6= 1. Allora n può essere rappresentato come
somma di due quadrati di interi se, e soltanto se, ogni primo dispari p
divisore di m è della forma 4k + 1.
Patrizia Longobardi - Università di Salerno
Curiosando tra i numeri
Numeri somma di quadrati
Dal 1730 Eulero affronta il problema di esprimere numeri come somma di
quadrati.
Nella lettera del 6 marzo 1742 è in particolare provato che i numeri primi
della forma 4k + 3 non sono somma di due quadrati.
In una lettera datata 16 febbraio 1745 Eulero dimostra che un numero
primo somma di due quadrati ha un’unica espressione di questo tipo.
In quella del 6 maggio 1747 (con dettagli nella lettera del 12 aprile 1949)
prova che ogni numero primo della forma 4k + 1 è somma di due
quadrati.
Si perviene poi al
Teorema
Sia n un intero positivo e si scriva n = s 2 m con m un intero positivo
privo di fattori quadratici 6= 1. Allora n può essere rappresentato come
somma di due quadrati di interi se, e soltanto se, ogni primo dispari p
divisore di m è della forma 4k + 1.
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Curiosando tra i numeri
Numeri somma di quadrati
Dal 1730 Eulero affronta il problema di esprimere numeri come somma di
quadrati.
Nella lettera del 6 marzo 1742 è in particolare provato che i numeri primi
della forma 4k + 3 non sono somma di due quadrati.
In una lettera datata 16 febbraio 1745 Eulero dimostra che un numero
primo somma di due quadrati ha un’unica espressione di questo tipo.
In quella del 6 maggio 1747 (con dettagli nella lettera del 12 aprile 1949)
prova che ogni numero primo della forma 4k + 1 è somma di due
quadrati.
Si perviene poi al
Teorema
Sia n un intero positivo e si scriva n = s 2 m con m un intero positivo
privo di fattori quadratici 6= 1. Allora n può essere rappresentato come
somma di due quadrati di interi se, e soltanto se, ogni primo dispari p
divisore di m è della forma 4k + 1.
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Curiosando tra i numeri
Numeri somma di quadrati
Dal 1730 Eulero affronta il problema di esprimere numeri come somma di
quadrati.
Nella lettera del 6 marzo 1742 è in particolare provato che i numeri primi
della forma 4k + 3 non sono somma di due quadrati.
In una lettera datata 16 febbraio 1745 Eulero dimostra che un numero
primo somma di due quadrati ha un’unica espressione di questo tipo.
In quella del 6 maggio 1747 (con dettagli nella lettera del 12 aprile 1949)
prova che ogni numero primo della forma 4k + 1 è somma di due
quadrati.
Si perviene poi al
Teorema
Sia n un intero positivo e si scriva n = s 2 m con m un intero positivo
privo di fattori quadratici 6= 1. Allora n può essere rappresentato come
somma di due quadrati di interi se, e soltanto se, ogni primo dispari p
divisore di m è della forma 4k + 1.
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Curiosando tra i numeri
Numeri somma di quadrati
Dal 1730 Eulero affronta il problema di esprimere numeri come somma di
quadrati.
Nella lettera del 6 marzo 1742 è in particolare provato che i numeri primi
della forma 4k + 3 non sono somma di due quadrati.
In una lettera datata 16 febbraio 1745 Eulero dimostra che un numero
primo somma di due quadrati ha un’unica espressione di questo tipo.
In quella del 6 maggio 1747 (con dettagli nella lettera del 12 aprile 1949)
prova che ogni numero primo della forma 4k + 1 è somma di due
quadrati.
Si perviene poi al
Teorema
Sia n un intero positivo e si scriva n = s 2 m con m un intero positivo
privo di fattori quadratici 6= 1. Allora n può essere rappresentato come
somma di due quadrati di interi se, e soltanto se, ogni primo dispari p
divisore di m è della forma 4k + 1.
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Curiosando tra i numeri
Numeri somma di quadrati
Nel corso degli anni Eulero continua nel tentativo di provare che ogni
numero positivo è somma di quattro quadrati di interi. Riesce a ridurre il
problema ai numeri primi dispari (lettera del 7 maggio 1748).
Ma la prima dimostrazione del teorema è del 1770, dovuta a Lagrange,
che comunque utilizza idee di Eulero.
Solo nel 1773, a 66 anni, dopo 43 anni di tentativi, Eulero riesce a fornire
una dimostrazione completa, più semplice, del risultato cercato.
Teorema
Ogni numero intero positivo può essere scritto come somma di quattro
quadrati di interi.
Teorema (Gauss, 1801)
Un intero positivo n può essere scritto come somma di tre quadrati di
interi se, e soltanto se, n 6= 4e (8k + 7) , con e, k interi positivi.
Patrizia Longobardi - Università di Salerno
Curiosando tra i numeri
Numeri somma di quadrati
Nel corso degli anni Eulero continua nel tentativo di provare che ogni
numero positivo è somma di quattro quadrati di interi. Riesce a ridurre il
problema ai numeri primi dispari (lettera del 7 maggio 1748).
Ma la prima dimostrazione del teorema è del 1770, dovuta a Lagrange,
che comunque utilizza idee di Eulero.
Solo nel 1773, a 66 anni, dopo 43 anni di tentativi, Eulero riesce a fornire
una dimostrazione completa, più semplice, del risultato cercato.
Teorema
Ogni numero intero positivo può essere scritto come somma di quattro
quadrati di interi.
Teorema (Gauss, 1801)
Un intero positivo n può essere scritto come somma di tre quadrati di
interi se, e soltanto se, n 6= 4e (8k + 7) , con e, k interi positivi.
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Curiosando tra i numeri
La congettura di Goldbach
Lettera di Goldbach ad Eulero, 7 giugno 1742
Congettura
Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due
numeri primi (che possono essere anche uguali).
Patrizia Longobardi - Università di Salerno
Curiosando tra i numeri
La congettura di Goldbach
La congettura di Goldbach è uno dei più vecchi problemi irrisolti nella
teoria dei numeri.
Nella lettera del 7 giugno 1742 a Eulero, Goldbach propose la seguente
congettura:
Ogni numero intero maggiore di 5 può essere scritto come somma di tre
numeri primi.
Eulero, interessandosi al problema, rispose il 30 giugno 1742 riformulando
il problema nella seguente versione equivalente:
Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due
numeri primi.
Per esempio,
4=2+2
10 = 3 + 7 = 5 + 5
6=3+3
8=3+5
Patrizia Longobardi - Università di Salerno
6=3+3
14 = 3 + 11 = 7 + 7
Curiosando tra i numeri
La congettura di Goldbach
La congettura di Goldbach è uno dei più vecchi problemi irrisolti nella
teoria dei numeri.
Nella lettera del 7 giugno 1742 a Eulero, Goldbach propose la seguente
congettura:
Ogni numero intero maggiore di 5 può essere scritto come somma di tre
numeri primi.
Eulero, interessandosi al problema, rispose il 30 giugno 1742 riformulando
il problema nella seguente versione equivalente:
Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due
numeri primi.
Per esempio,
4=2+2
10 = 3 + 7 = 5 + 5
6=3+3
8=3+5
Patrizia Longobardi - Università di Salerno
6=3+3
14 = 3 + 11 = 7 + 7
Curiosando tra i numeri
La congettura di Goldbach
La congettura di Goldbach è uno dei più vecchi problemi irrisolti nella
teoria dei numeri.
Nella lettera del 7 giugno 1742 a Eulero, Goldbach propose la seguente
congettura:
Ogni numero intero maggiore di 5 può essere scritto come somma di tre
numeri primi.
Eulero, interessandosi al problema, rispose il 30 giugno 1742 riformulando
il problema nella seguente versione equivalente:
Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due
numeri primi.
Per esempio,
4=2+2
10 = 3 + 7 = 5 + 5
6=3+3
8=3+5
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6=3+3
14 = 3 + 11 = 7 + 7
Curiosando tra i numeri
La congettura di Goldbach
La versione di Eulero è la forma nella quale la congettura è formulata
attualmente e viene talvolta chiamata anche col nome di congettura
forte di Goldbach.
La congettura debole di Goldbach, che è implicata dalla congettura
forte, asserisce che
Congettura
Tutti i numeri dispari maggiori di 7 possono essere scritti come somma
di tre primi.
15
Nel 1937 Ivan Vinogradov mostrò che ogni numero dispari n > 33
somma di tre primi.
Patrizia Longobardi - Università di Salerno
Curiosando tra i numeri
è
La congettura di Goldbach
La versione di Eulero è la forma nella quale la congettura è formulata
attualmente e viene talvolta chiamata anche col nome di congettura
forte di Goldbach.
La congettura debole di Goldbach, che è implicata dalla congettura
forte, asserisce che
Congettura
Tutti i numeri dispari maggiori di 7 possono essere scritti come somma
di tre primi.
15
Nel 1937 Ivan Vinogradov mostrò che ogni numero dispari n > 33
somma di tre primi.
Patrizia Longobardi - Università di Salerno
Curiosando tra i numeri
è
La congettura di Goldbach
La versione di Eulero è la forma nella quale la congettura è formulata
attualmente e viene talvolta chiamata anche col nome di congettura
forte di Goldbach.
La congettura debole di Goldbach, che è implicata dalla congettura
forte, asserisce che
Congettura
Tutti i numeri dispari maggiori di 7 possono essere scritti come somma
di tre primi.
15
Nel 1937 Ivan Vinogradov mostrò che ogni numero dispari n > 33
somma di tre primi.
Patrizia Longobardi - Università di Salerno
Curiosando tra i numeri
è
La congettura di Goldbach
Olivier Ramaré nel 1995 ha dimostrato che ogni numero pari n > 4 si
può scrivere come somma di al più 6 numeri primi.
Un altro risultato importante è quello ottenuto da Chen Jingrun che nel
1966 ha dimostrato che ogni numero pari sufficientemente grande può
essere scritto come somma o di due primi, o di un primo e un semiprimo
(il prodotto di due primi - per esempio, 100 = 23 + 7 · 11).
Nel 2013 Harald Helfgott ha annunciato di
aver dimostrato la congettura debole di
Goldbach.
https://it.wikipedia.org/wiki/Congettura di Goldbach
Patrizia Longobardi - Università di Salerno
Curiosando tra i numeri
La congettura di Goldbach
Olivier Ramaré nel 1995 ha dimostrato che ogni numero pari n > 4 si
può scrivere come somma di al più 6 numeri primi.
Un altro risultato importante è quello ottenuto da Chen Jingrun che nel
1966 ha dimostrato che ogni numero pari sufficientemente grande può
essere scritto come somma o di due primi, o di un primo e un semiprimo
(il prodotto di due primi - per esempio, 100 = 23 + 7 · 11).
Nel 2013 Harald Helfgott ha annunciato di
aver dimostrato la congettura debole di
Goldbach.
https://it.wikipedia.org/wiki/Congettura di Goldbach
Patrizia Longobardi - Università di Salerno
Curiosando tra i numeri
"Se la teoria dei numeri si potesse impiegare a fini pratici e
ovviamente onorevoli, se potesse contribuire ad accrescere
la felicità degli uomini o ad alleviare le loro sofferenze,
come la fisiologia e anche la chimica, allora sono certo che
che né Gauss né qualsiasi altro matematico sarebbe stato
così pazzo da denigrare o deplorare tali applicazioni. Ma la
scienza lavora sia per il bene, sia per il male
(particolarmente in tempo di guerra); e allora è giusto che
Gauss e anche gli altri matematici minori si rallegrino per
l’esistenza di almeno una scienza, e proprio la loro, che il
distacco stesso dalle contingenze umane, conserva benigna
e pulita."
Godfrey Harold Hardy, Apologia di un matematico, Garzanti, 1989
(1940 - 2002),
Patrizia Longobardi - Università di Salerno
Curiosando tra i numeri
La funzione di Eulero
Definizione
La funzione ' di Eulero ' : N ! Z è definita ponendo, per ogni n 2 N :
'(1) := 1,
'(n) := |{ d 2 N | d < n, (d , n) = 1 }|, per n > 1.
'(p) = p
Se p 2 P e ↵ > 1 si ha:
1, '(p ↵ ) = p ↵
Patrizia Longobardi - Università di Salerno
p↵
1
= p↵
1
Curiosando tra i numeri
(p
1).
La funzione di Eulero
Definizione
La funzione ' di Eulero ' : N ! Z è definita ponendo, per ogni n 2 N :
'(1) := 1,
'(n) := |{ d 2 N | d < n, (d , n) = 1 }|, per n > 1.
'(p) = p
Se p 2 P e ↵ > 1 si ha:
1, '(p ↵ ) = p ↵
Patrizia Longobardi - Università di Salerno
p↵
1
= p↵
1
Curiosando tra i numeri
(p
1).
Il teorema di Eulero
Se p, q 2 P con p 6= q si ha:
'(pq) = pq
p
q + 1 = (p
1)(q
Teorema (Eulero, 1760)
Siano m, a 2 N, con (a, m) = 1. Allora
m divide a'(m)
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1.
Curiosando tra i numeri
1).
Il teorema di Eulero
Se p, q 2 P con p 6= q si ha:
'(pq) = pq
p
q + 1 = (p
1)(q
Teorema (Eulero, 1760)
Siano m, a 2 N, con (a, m) = 1. Allora
m divide a'(m)
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1.
Curiosando tra i numeri
1).
La Crittografia
La crittografia (dall’unione di due parole greche: kryptós che significa
"nascosto", e grapha che significa "scrittura") è la branca della
crittologia che tratta delle "scritture nascoste", ossia dei metodi per
rendere un messaggio "offuscato" in modo da non essere
comprensibile/intelligibile a persone non autorizzate a leggerlo.
Un tale messaggio si chiama comunemente crittogramma e i metodi usati
sono detti tecniche di cifratura.
La necessità di nascondere messaggi strategici da occhi nemici è antica
quanto l’uomo: ci sono tracce di cifrari antichi quanto gli Ebrei con il loro
codice di Atbash; gli Spartani avevano un loro particolare sistema di
comunicazione dei messaggi segreti, la scitala.
Patrizia Longobardi - Università di Salerno
Curiosando tra i numeri
La Crittografia
A Gaio Giulio Cesare si attribuisce l’uso del cosiddetto cifrario di
Cesare, un sistema crittografico oggi ritenuto elementare, ma emblema
della nascita di un concetto totalmente nuovo e ottimo per comprendere
le idee basilari della crittografia e i primi attacchi della sua "avversaria":
la crittoanalisi.
Un rudimentale sistema di cifratura basato sul cifrario di Cesare stato
usato anche da Bernardo Provenzano per proteggere informazioni
rilevanti scritte nei suoi famosi pizzini, i piccoli foglietti di carta con i
quali il boss della mafia, durante la sua latitanza, riceveva informazioni e
impartiva ordini.
Patrizia Longobardi - Università di Salerno
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La Crittografia
La storia della crittografia moderna inizia con la stesura del "De cifris" di
Leon Battista Alberti (1404 - 1472), che per primo insegnò a cifrare per
mezzo di un disco cifrante con un alfabeto segreto da spostare ad
libitum ogni due o tre parole.
Enigma (1918) fu una macchina per cifrare e decifrare messaggi
elettro-meccanica. Nata da un tentativo di commercializzazione poi
fallito, fu ampiamente utilizzata dal servizio delle forze armate tedesche
durante il periodo nazista e della seconda guerra mondiale. La facilità
d’uso e la presunta indecifrabilità furono le maggiori ragioni del suo
ampio utilizzo.
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La Crittografia a chiave pubblica
La crittografia asimmetrica, conosciuta anche come crittografia a
coppia di chiavi, crittografia a chiave pubblica/privata o anche solo
crittografia a chiave pubblica è un tipo di crittografia dove, come si
evince dal nome, ad ogni attore coinvolto nella comunicazione è associata
una coppia di chiavi:
- la chiave pubblica, che deve essere distribuita;
- la chiave privata, appunto personale e segreta;
evitando così qualunque problema connesso alla necessità di uno scambio
in modo sicuro dell’unica chiave utile alla cifratura/decifratura presente
invece nella crittografia simmetrica.
Il meccanismo si basa sul fatto che, se con una delle due chiavi si cifra (o
codifica) un messaggio, allora quest’ultimo sarà decifrato solo con l’altra.
L’idea base della crittografia con coppia di chiavi diviene più chiara se si
usa un’analogia postale, in cui il mittente è Alice ed il destinatario Bob, i
lucchetti fanno le veci delle chiavi pubbliche e le chiavi recitano la parte
delle chiavi private:
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La Crittografia a chiave pubblica
- Alice chiede a Bob di spedirle il suo lucchetto, già aperto. La chiave
dello stesso verrà però gelosamente conservata da Bob.
- Alice riceve il lucchetto e, con esso, chiude il pacco e lo spedisce a Bob.
- Bob riceve il pacco e può aprirlo con la chiave di cui è l’unico
proprietario.
Se adesso Bob volesse mandare un altro pacco ad Alice, dovrebbe farlo
chiudendolo con il lucchetto di Alice (che lei dovrebbe aver
preventivamente dato a Bob) che solo lei potrebbe aprire.
Si può notare come per mettere in sicurezza il contenuto dei pacchi ci sia
bisogno del lucchetto del destinatario, mentre per aprirli viene usata
esclusivamente la propria chiave segreta, rendendo l’intero processo di
cifratura/decifratura asimmetrico (una chiave per cifrare ed una
differente per decifrare). Chiunque intercettasse il lucchetto (aperto) o il
messaggio chiuso con il lucchetto non potrebbe leggerne il contenuto
poiché non ha la chiave. Uno dei vantaggi della crittografia asimmetrica
sta nel fatto che le chiavi pubbliche possono essere scambiate anche
utilizzando un mezzo insicuro, come Internet.
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Il Codice R.S.A. 1977-78
Ronald Rivest, Adi Shamir, Leonard Adleman
R.S.A. è basato sulla possibilità di considerare numeri primi "grandi",
sull’elevata complessità computazionale della fattorizzazione in numeri
primi e sul teorema di Eulero.
Patrizia Longobardi - Università di Salerno
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Riferimenti bibliografici
Amir D. Aczel, L’ enigma di Fermat. La soluzione di un giallo
matematico durato più di tre secoli, Il Saggiatore, 2008
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Eric T. Bell, I grandi matematici, Rizzoli, BUR, 1937, 1997, 2010
Carl Boyer, Storia della Matematica, Mondadori, 1990.
Harold Davenport, Aritmetica superiore, Zanichelli, 1994
Marcus du Sautoy, L’enigma dei numeri primi, Rizzoli, 2004 (The
Music of the Primes, 2003)
Marcus du Sautoy, Il disordine perfetto, Rizzoli, 2007 (Finding
Moonshine, 2007)
Marcus du Sautoy, L’ ipotesi dei numeri primi, Rizzoli, 2009
Patrizia Longobardi - Università di Salerno
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Riferimenti bibliografici
Marcus du Sautoy, L’equazione da un milione di dollari, collana Saggi,
Rizzoli, 2010 (The Number Mysteries. A Mathematical Odyssey Through
Every Day Life, 2010)
Godfrey Harold Hardy, Apologia di un matematico, Garzanti, 1989
(1940 - 2002),
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Springer-Verlag, 1998
Franz Lemmermeyer, Euler, Goldbach,and"Fermat’s Theorem", Elem.
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Riferimenti bibliografici
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Paulo Ribenboim, The Little Book of Big Primes, Springer-Verlag, 1999
Paulo Ribenboim, My Numbers, My Friends: Popular Lectures on
Number Theory, Springer-Verlag, 2000
Paulo Ribenboim, Fermat’s Last Theorem for Amateurs,
Springer-Verlag, 2000
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Patrizia Longobardi - Università di Salerno
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https://plus.maths.org/content/comment/reply/2306
http://maddmaths.simai.eu/divulgazione/la-congettura-digoldbach/
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Grazie per l 0attenzione !
Patrizia Longobardi - Università di Salerno
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P. Longobardi
Dipartimento di Matematica
Università di Salerno
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