Esercizi - equazioni di secondo grado

Esercizi - equazioni di secondo grado
1. Risolvi le seguenti equazioni di secondo grado.
√
√ √
[2 2; 3 2]
a) x2 − 5 2x + 12 = 0
c)
e)
√
x2 + 3 3x + 6 = 0
b)
√
√
[−2 3; − 3]
g)
x−5
80
1 x−8
+ 2
= +
x+3 x −9
2 3−x
i)
5(x − 1)
3
x − 13
=
−
x
x − 2 4x − 2x2
k)
1
5 − x2
2
+
= 2
x−3 x+2
x −x−6
√
2x2 − 3 2x − 4 = 0
d)
[ √5 √ ]
; 5
4
√
5(x 5 − 1)
x =
4
2
√
x2 − 3 2x + 4 = 0
f)
x2
[imp.]
x+3
x−2
4
=
+
− 2x + 1
x − 1 (x − 1)2
h)
[ 11 3 ]
;
5 2
[1; −4]
√ √
[ 2; 2 2]
[ √2 √ ]
−
;2 2
2
l)
x
4
8
−
= 2
x−2 x+2
x −4
(
)
1
1
j) 3 1 −
=1−
1+x
1 − x2
[3]
[0]
[
0;
√
[ 5 ± 1]
x
1
x2 + 5
√ + = √
5x + 5 5
5 5x + 5
3+x
x2
3x − 2(x + 3)
(x − 2) =
−
[−3; 2]
x+1
x−3
3−x
√
3
1 ( 2 5 ) (2x + 1)(x + 3) x2
n)
x+
x + x =
+
[−3 ± 3]
8
2
4
4
8
√
√
√
√
√
√
o) (x + 3)(x − 3) + 3 = ( 5x + 1)( 5x − 1) + 2 2x(1 − 2x) − x2
√
√ √
√
x+4 3
x2 − 6
3( 3 − 10)
√
√
p) √
− √
=
[0; 6 3]
3−x
( 3 − x)(3 3 − x)
3 3−x
m)
√
[ 2 ± 1]
2. Scomponi in fattori i seguenti trinomi, se possibile.
a) 3b2 − 5b − 2
b) 2a2 + 9a − 5
c) 2x2 − 4x + 5
d) 4x2 + 9
e) 4x2 − 9
3. Determina per quali valori di k l’equazione soddisfa le richieste sottostanti.
x2 − 4x + k = 0
a)
a. ammette radici reali;
g. la somma delle radici è 2;
b. ha radici coincidenti;
h. le radici sono opposte (sugg: la somma delle radici è...);
c. ha due radici negative;
i. il prodotto delle radici è 8;
d. ha due radici positive;
j. le radici sono reciproche (sugg: il prodotto delle radici è...);
e. ha una soluzione positiva e una negativa;
k. ha radici discordi (sugg: il prodotto delle radici è...);
f. una radice è 3;
l. ha radici concordi (sugg: il prodotto delle radici è...).
b)
x2 + (1 + k)x + k = 0
a. ammette radici reali;
g. le radici sono discordi;
b. ha radici negative;
h. una radice è nulla;
c. la somma delle radici è 8;
i. la somma dei reciproci delle radici è 1;
d. la somma delle radici è positiva;
j. la somma dei quadrati delle radici è 2;
e. le radici sono reciproche;
k. la somma dei cubi delle radici è 2;
f. le radici sono opposte;
l. la somma dei reciproci dei quadrati delle radici è 2.
(k − 3)x2 − 2(k + 1)x + k = 0
c)
a. ammette radici reali;
c. il prodotto delle radici è uguale al triplo della loro somma;
b. la somma delle radici è positiva;
d. le radici sono discordi.
d)
x2 + (3 − 2k)x + k = 0
a. ammette radici reali;
c. il prodotto dei reciproci delle radici è 31 ;
b. le radici sono negative;
d. una soluzione è -3.
3]
2
x2 − 2(k − 2) + k 2 − 3k = 0
e)
a. ammette radici reali;
d. la somma delle radici è positiva;
b. non ammette radici reali;
e. il prodotto delle radici è negativo;
c. una soluzione è nulla;
f. la somma dei quadrati delle radici è 16.
x2 + (2k + 1)x + k 2 − 1 = 0
f)
a. ammette radici reali;
d. la somma delle radici è maggiore o uguale a 1;
b. le radici sono coincidenti;
e. le radici sono opposte;
c. la somma dei reciproci delle radici è 1;
f. le radici sono reciproche.
x2 − 2(k − 1)x + k 2 − 1 = 0
g)
a. ammette radici reali;
b. la somma delle radici meno il loro doppio
prodotto è uguale a -40;
c. la somma dei quadrati delle radici è 16;
h)
d. una radice è antireciproca (opposta e reciproca)
dell’altra;
e. la somma delle radici è minore di − 47 ;
f. le soluzioni sono coincidenti.
x2 − (k + 1)x + k = 0
a. ammette radici reali;
f. una radice è nulla;
b. le radici sono coincidenti;
√
c. la somma delle radici è 2;
g. le radici sono opposte;
h. la somma dei cubi delle radici è 9;
d. la somma dei quadrati delle radici è 10;
i. la somma dei quadrati dei reciproci delle radici è 54 ;
e. la somma dei reciproci delle radici è 4;
i. le radici sono entrambe negative.
4. Vero o falso?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
La somma delle radici dell’equazione 2x2 − 4x − 1 = 0 è 2.
Il prodotto delle radici dell’equazione 3x2 − x − 2 = 0 è 2.
Nell’equazione x2 − 6x = 0 la somma e il prodotto delle radici valgono rispettivamente 6 e 0.
Se nell’equazione ax2 + bx + c = 0 la somma delle radici è uguale al loro prodotto, allora b = c.
In un’equazione pura la somma delle radici vale sempre 0.
In un’equazione spuria il prodotto delle soluzioni vale sempre 0.
Se la somma delle soluzioni è 0, un’equazione di secondo grado è pura o monomia.
Il trinomio ax2 + bx + c può essere scomposto in fattori solo se è completo.
Il trinomio ax2 + bx + c può essere scomposto in fattori solo se a > 0.
Il trinomio ax2 + bx + c non può essere scomposto in fattori se ∆ < 0.
Il trinomio ax2 + bx + c può essere scomposto in fattori solo se ∆ è un quadrato di un numero intero.
Il trinomio ax2 + bx + c è un quadrato se ∆ = 0.
Il trinomio ax2 + bx + c se l’equazione ax2 + bx + c = 0 non ha soluzioni reali.
5. E’ data l’equazione
3x2 − (5a − 1)x + a2 − 4 = 0
Per quali valori di a è pura? Per quali spuria? E monomia?
6. Scrivi un’equazione di secondo grado che abbia 2 e 3 come soluzioni.
7. Quali delle seguenti affermazioni sono vere solo per l’equazione A, solo per la B, per entrambe o per nessuna delle due?
A) ax2 + b = 0
B) ax2 + bx = 0
a. E’ pura.
con a e b diversi da zero
c. Una soluzione è 0.
b. Ammette soluzioni solo se a e b sono discordi.
d. Ammette sempre soluzioni.
√
√
√
8. Solo una delle seguenti affermazioni, relative all’equazione ( 7 + 3)x2 − 2 7x + 7 − 3 = 0, è falsa. Quale?
a.
∆
4
= 9.
b. Ha due radici concordi.
√
c. Il prodotto delle radici è 3 7 − 8.
√
d. La somma delle radici è 3 7 − 7.