Un gioco di PAM Dirac - Politecnico di Torino

Note di laboratorio
Riccardo Urigu
Liceo scientifico
“N. Copernico”,
Torino
Un gioco di P.A.M. Dirac
(Pervenuto il 21.11.2007, approvato il 30.5.2008)
ABSTRACT
An ingenious and amusing activity originally devised by Dirac illustrates a topological symmetry property
of the three-dimensional rotation of solids. Some mathematical aspects of this property and its relevance
to the quantum physics description of fermions are explained.
Una rotazione di 360° attorno ad un asse è fisicamente equivalente a nessuna rotazione? Questa innocente domanda mette in luce una proprietà niente affatto
banale della cinematica delle rotazioni. Si deve a P.A.M. Dirac un’ingegnosa costruzione – di cui la presente è una variante ludica – che dimostra come, per un
corpo solido, la risposta alla domanda è no: una rotazione di 360° non è equivalente all’identità (nessuna rotazione). Al contrario, una rotazione di 720° è fisicamente indistinguibile da nessuna rotazione. Per corpo solido dobbiamo intendere una
regione finita di spazio impenetrabile (il che è distinto dal concetto di corpo rigido).
Il giocattolo consiste in una ciambella (una camera d’aria di un’automobile
modello Citroën) ai cui lati sono applicate due strisce di gomma (25 cm × 5 m).
Figura 1.
Un volontario che chiameremo neutrone (n) indossa la ciambella; due ancelle (S e D) ai lati mantengono le strisce distese.
Figura 2.
n esegue 2 capriole in avanti, dopo di che in entrambe le strisce si viene a formare una torsione di 720°. Lo stesso risultato si ottiene se n rimane passivo e le ancelle fanno ruotare in verso opposto le estremità delle strisce; questo metodo però
è meno divertente del primo.
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Ora n deve provare a eliminare la torsione delle bande laterali senza ruotarle
e senza fare altre capriole. Passando le strisce attorno al corpo nel modo corretto
è possibile ricomporre la situazione iniziale. In caso di principio di soffocamento
proseguire con le istruzioni seguenti.
I
Figura 3.
L’ancella S, a sinistra di n, fa passare la sua striscia al di sopra della testa di n,
spingendola sul davanti.
II
Figura 4.
L’ancella D deve fare la stessa cosa dalla sua parte; ora n si trova avvolto dalle due strisce…
III
Figura 5.
… le lascia scivolare lungo il corpo fino ai piedi e se le sfila scavalcandole trionfalmente.
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IV
Figura 6.
S e D, allontanandosi da n, distendono le rispettive strisce che, a questo punto, non presentano più la torsione iniziale.
Se n esegue una sola rotazione (o un numero dispari di rotazioni complete)
non è possibile riportare il tutto alla configurazione iniziale senza ulteriori rotazioni da parte di n o delle ancelle.
Fisici e matematici si sono dilettati a lungo con questa costruzione almeno a
partire dal 1929 [1]. Il matematico Emil Artin riferisce che Dirac da allora - sebbene non l’abbia mai pubblicata in modo esplicito – l’abbia usata molte volte «per
illustrare come due rotazioni di un corpo attorno ad un asse possono esser deformate in modo continuo, mediante un insieme di movimenti ognuno dei quali
termina con la posizione originaria, in un moto nullo. È una conseguenza di quella proprietà delle rotazioni per cui un corpo rotante può avere un mezzo quanto
di momento angolare, ma non può avere nessun’altra frazione di quanto» [2].
Una realizzazione più maneggevole del gioco, da fare in classe (ma vedi anche
in Appendice), è quella mostrata in figura 7: l’oggetto centrale è fissato con tre
coppie di corde a due placche laterali.
Figura 7.
Eliminando il blocco centrale si ottiene un gioco topologico analogo chiamato Tangloids (vedi fig. 8) nel quale le rotazioni spaziali esibiscono altre interessanti proprietà descritte dalla teoria delle trecce, un’intrigante applicazione della teoria dei gruppi dovuta a E. Artin.
Tangloids si gioca in due: ognuno tiene il bastoncino fissato alle estremità delle
tre funicelle. Un giocatore deve formare una treccia eseguendo un certo numero
di rotazioni del bastoncino, facendolo passare tra una cordicella e l’altra; l’altro
giocatore deve sciogliere la treccia. Un teorema – valido per un qualsiasi numero
di corde superiore a due – stabilisce che, se il numero di rotazioni è pari, allora si
può sciogliere la treccia spostando lateralmente il bastoncino senza ruotarlo.
Pare che l’idea del gioco, proposto dal poeta, scrittore, matematico danese Piet
Hein, sia nata negli anni ’30 durante un seminario di meccanica quantistica presso l’Istituto Niels Bohr di fisica teorica [2].
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Il teorema citato dà il permesso di realizzare l’oggetto di fig. 10 a partire da
una striscia connessa di gomma con due buchi a forma di tagli paralleli (alla Lucio Fontana [3], fig. 9). La treccia si ottiene, senza praticare tagli, mediante due
rotazioni.
Figura 8.
Figura 9.
Figura 10.
Verso la fine dell’800 un ciarlatano americano di nome Henry Slade, popolare medium del tempo, pretendeva di dimostrare l’esistenza di una quarta dimensione spaziale “intrecciando nell’iperspazio” una striscia di cuoio dello stesso
tipo; Slade riuscì anche a buggerare J.K.F. Zöllner, stimato professore di astrofisica a Lipsia e autore di un libro dal titolo “Fisica trascendentale”. In esso Zöllner
proponeva esperimenti mediante i quali i fantasmi amici di Slade avrebbero potuto manifestarsi in tutta la loro extra-dimensionalità: concatenazione di anelli
chiusi, annodamenti in nastri chiusi, inversioni nell’avvitamento di gusci di
chiocciole e di cavatappi, il tutto passando per la quarta dimensione spaziale. Gli
esperimenti ebbero un successo immediato… [4][5].
La storia di fisici e scienziati vittime del “paranormale” si sarebbe ripetuta
spesso e volentieri (errare humanum est…): basti ricordare il caso del sensitivo
israeliano Uri Geller e gli esperimenti condotti su di lui da due fisici dello Stanford Research Institute negli anni ‘70 che diedero origine a un controverso articolo pubblicato su Nature [6].
Il metodo usato da Slade per intrecciare la striscia si trova spiegato in [2] ma
pare per altro che questa tecnica di intreccio sia ben nota anche ai boy-scout [7].
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In classe si può fare pratica con le lunghe chiome di qualche benevola/o compagna/o di anti-banco.
Quanto detto finora mostra che la geometria delle rotazioni di un corpo solido deve tenere conto, oltre che della sua orientazione spaziale, anche di una qualche specie di relazione di entanglement dell’oggetto con l’ambiente circostante,
come se esso vi fosse connesso con degli elastici (una relazione indicata in [8] con
il termine version, dal latino versor, “girarsi”). L’oggetto matematico appropriato
per descrivere tutto ciò si chiama “spinore”. Lo stato di particelle quantistiche
con spin semi-intero (come per esempio neutroni ed elettroni) è descritto da uno
spinore, una funzione a più componenti che cambia di segno sotto una rotazione di 360°: la funzione d’onda viene sfasata di π, come espresso dalla relazione
–1 = eiπ (la quale, detto tra parentesi, è proprio una bella identità che mette in relazione quattro personaggi importanti della matematica [9]).
Esperimenti di interferometria con i neutroni permettono di verificare questa
proprietà di cambiamento della fase sotto rotazioni di 360° [10]; dal punto di vista fisico, sono rilevabili delle differenze tra due configurazioni entangled non
equivalenti di un sistema, per esempio nel potenziale di contatto tra un oggetto
metallico e il suo ambiente circostante? [11]
Con il modello di figura 7 si possono anche ispezionare le proprietà fondamentali del gruppo delle rotazioni spaziali e le relazioni dell’algebra dei quaternioni scolpite da Hamilton, in un momento di esaltazione mistica, sul ponte del
Royal Canal di Dublino nel 1843:
i² = j² = k² = ijk = –1
ij = –ji
jk = –kj
ki = –ik
a tal fine i, j e k devono essere interpretati come rotazioni destrorse di 180° attorno ai rispettivi assi cartesiani ortogonali; l’ordine è da intendersi nel senso operatoriale, leggendo da destra a sinistra: per esempio, ij significa una rotazione j
destrorsa di 180° attorno all’asse y seguita da una rotazione i destrorsa di 180° attorno all’asse x [12]. Un allestimento impromptu, per colleghe troppo indaffarate,
più adatto per esercitazioni in classe e di immediata realizzazione, è mostrato in
Appendice.
Un’altra dimostrazione del trucco di Dirac (quasi) sempre a portata di mano
per ogni evenienza si realizza con una cintura (va bene anche qualche collega disponibile a farsi prendere per la cravatta: non è necessario sfilarla dal collo). Tenendo distesa la cintura per le estremità si fanno compiere alla fibbia due rotazioni complete in modo da realizzare una doppia torsione lungo la cintura; come
prima, si può riportare il tutto nella configurazione iniziale mediante un movimento che non comporta nessuna rotazione delle estremità su se stesse (cfr. fig.
14 e 15 in Appendice).
Se invece, partendo dalla posizione iniziale, senza ruotarle su se stesse, si
scambiano di mano le estremità della cintura, si osserva che nella cintura si produce una torsione completa; lo stesso risultato si ottiene ruotando soltanto la fibbia di 360°. Quindi l’operazione di permutazione di due oggetti è equivalente alla
rotazione di uno dei due rispetto all’altro di un angolo di 360°. In base a questa
equivalenza R. Feynman, the Great Explainer, ha proposto un argomento elementare che spiega per quale motivo “particelle con spin semi-intero sono fermioni
le cui ampiezze si sommano con il segno meno”, ovvero che spiega la proprietà
di antisimmetria della funzione d’onda del sistema composto da due particelle di
spin semi-intero e il legame spin-statistica per i fermioni, una spiegazione che altrimenti richiederebbe, come dimostrato da W. Pauli, “complicati ragionamenti
di teoria quantistica dei campi e relatività”[13].
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Se, per esempio, A(1)B(2) descrive “il neutrone 1 nello stato A e il neutrone 2
nello stato B“ allora lo stato con le due particelle scambiate sarà –A(2)B(1) e la
loro sovrapposizione lo stato antisimmetrico
A(1)B(2) – A(2)B(1) .
Un sistema composto da particelle identiche deve risultare fisicamente indistinguibile dallo stesso sistema con le particelle scambiate tra di loro: questo si
traduce matematicamente nel fatto che lo stato del sistema – la funzione d’onda – deve rimanere invariato (essere simmetrico) o cambiare di segno (essere antisimmetrico). Per questo motivo, partendo da due stati di particella singola come
A e B si possono fabbricare solo due tipi di stati con due particelle identiche:
A(1)B(2) ± A(2)B(1) .
Le proprietà delle particelle a spin semi-intero rispetto alle rotazioni spaziali
mostrano allora che in questo caso la funzione deve essere antisimmetrica rispetto allo scambio delle particelle.
Lo stato A(1)B(2) – A(2)B(1) essendo antisimmetrico risulta identicamente
nullo quando gli stati A e B sono uguali, ossia uno stesso stato non può essere occupato da più di un fermione come prescritto dal Principio di esclusione di Pauli. Ciò significa che, per esempio, due atomi di idrogeno debbono starsene distanti uno dall’altro, dato che i loro elettroni non possono trovarsi nello stesso posto
e nello stesso stato di spin: da ciò discende il carattere di stabilità su larga scala
della materia [14].
Perciò la solida consistenza del nostro vacuo mondo materiale, di noi stessi, è
intimamente legata alle strane proprietà topologiche dello spazio tridimensionale rispetto alle rotazioni!
Per gli amanti del ballo infine la costruzione di Dirac si può riconoscere anche in una danza (“danza del vino”) praticata dalla popolazione filippina Binasuan [10].
11
12
Figura 11. Versori degli assi di rotazione: i, indice (asse x), j, medio (asse y), k, pollice (asse z). Il verso positivo di rotazione è quello destrorso usuale.
Figura 12. Effetto della trasformazione i², rotazione di +360° attorno all’asse i: equivale a un cambiamento di segno dello spinore. Lo stesso risultato si ottiene applicando ijk (prima k, poi j, poi i), cioè:
ijk = i² = –1.
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All’indirizzo http://www.evl.uic.edu/hypercomplex/html/dirac.html è presente un video della danza insieme ad una bella animazione al computer dal titolo Air on the Dirac Strings.
Appendice
Compito in classe: verificare le relazioni dell’algebra dei quaternioni.
Materiali a disposizione: banco, sedia, cintura (eseguire l’esercizio stando seduti al
banco …), libro [15].
Svolgimento. Gli stati finali dell’oggetto spinoriale (libro + cintura) si ottengono
tutti a partire dalla configurazione iniziale di fig. 11, ma si può assumere come
stato iniziale una qualsiasi altra configurazione più intricata.
13
14
15
Figura 13. (i²)² = i4 : due rotazioni di +360°. Si ottiene una configurazione equivalente a quella iniziale
di fig. 11, alla quale si può tornare, senza rotazioni, con la manipolazione mostrata nelle figure 14 e 15.
16
17
Figura 16. Trasformazione ij (prima j, poi i)
Figura 17. Trasformazione ji. Applicando un’ulteriore rotazione di +360° attorno all’asse i (o, in alternativa, attorno a j oppure k) si ottiene la configurazione di fig. 16. Ruotando invece in verso opposto, eseguendo (-i)², si ottiene una configurazione equivalente alla 16, ma con una torsione nella
cintura, eliminabile con la solita procedura. Quindi ij = i²ji = -ji.
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Ringraziamenti
Ringrazio per la collaborazione gli allievi della classe 4HS, Mario Mollo (nella
parte del neutrone), Stefano Barbaro (ancella destra), Stefano Greco (ancella sinistra), Davide Calandra (assistente alla regia e riprese con videofonino) e l’assistente di laboratorio Nicola Calamita, che mi ha dato una mano per realizzare la foto
di fig. 11.
Note e
bibliografia
[1] Il più antico riferimento bibliografico sull’argomento sembra essere: M.H.A. NEWMAN, “On a
string problem of Dirac”, J. London Math. Soc., 17, 173-177 (1942).
[2] M. GARDNER, Enigmi e giochi matematici, Sansoni, 1969, vol. 6, Cap. 2 (Teoria dei gruppi e trecce).
[3] LUCIO FONTANA, Concetto spaziale - Attese, idropittura su tela di
colore giallo, cm 55×46 (1967); il titolo sembrerebbe appropriato anche per una variazione sul tema “spazialista” di Fontana, consistente nell’intreccio dei tre lembi della tela, come
nella striscia di gomma.
[4] M. GARDNER, Enigmi e giochi matematici, Sansoni, 1975, vol. 4,
Cap. 6 (La chiesa della quarta dimensione).
[5] R. RUCKER, La quarta dimensione, Adelphi (1994), Cap. 5 (Fantasmi dall’iperspazio?).
[6] Scienza & paranormale, Anno VI, n. 18, (marzo/aprile 1998).
Numero speciale della rivista ufficiale del Comitato Italiano
per il Controllo delle Affermazioni sul Paranormale (CICAP)
dedicato ai “Segreti di Uri Geller”.
[7] GIUSEPPE FIORONI, comunicazione personale (2006).
Fontana di Dirac (foglio da di[8] C.W. MISNER, K.S. THORNE, J.A. WHEELER, Gravitation, W. H. Freesegno liscio 24x30 cm2, sfonman and Company, San Francisco (1973), ch. 41.
do nero).
[9] Nel 1998 la relazione di Euler vinse un concorso di bellezza indetto dalla redazione della rivista Mathematical Intelligencer per
la più bella equazione della matematica, scelta tra altre 24 concorrenti; un bellissimo articolo
sull’argomento è quello di Bruno de Finetti ,“Tre personaggi della matematica”, Le Scienze, n. 39
(1971), p. 99.
[10] H.J. BERNSTEIN, A.V. PHILLIPS, “Spazi di fibre e teoria dei quanti”, Le Scienze, 157, 82-101 (settembre 1981).
[11] Y. AHARONOV, L. SUSSKIND, “Observability of the sign change of spinor under 2π rotations”, Phys.
Rev., 158, 1237-1238 (1967).
[12] R. PENROSE, La strada che porta alla realtà, Rizzoli (2005), cap. 11 (Numeri ipercomplessi).
[13] R.P. FEYNMAN, La Fisica di Feynman, Addison-Wesley, Reading, MA, (1963), Vol. 3, Cap. 4-1; R.P.
FEYNMAN, “The Reason for Antiparticles,” in Elementary Particles and the Laws of Physics. The 1986
Dirac Memorial Lectures, edited by R.P. Feynman and S. Weinberg (Cambridge University Press,
New York, 1987), pp. 56-59; http://www.nonlocal.com/hbar/spinstats.html; ROY R. GOULD, Am.
J. Phys., 63, n. 2 (Febb. 1995).
[14] R.P. FEYNMAN, La Fisica di Feynman, Addison-Wesley, Reading, MA, (1963), Vol. 3, Cap. 4-7.
[15] E. SPAGNOL, Cucina Istantanea. Per donne che hanno altro da fare, Longanesi & C. (1993). Le dimensioni del libro sono 10×15×3 cm³.
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