Pappo di Alessandria (sec. III d.C.)
È uno dei principali commentatori della matematica greca ed
alessandrina. La sua Collezione Matematica, in otto libri, è, insieme
al Commentario di Proclo (sec. V d.C.), una delle più ricche e
dettagliate fonti per quanto riguarda la storia di questa disciplina
da Euclide a Tolomeo. I temi trattati sono la geometria piana e
solida, la meccanica, l’astronomia e l’ottica; a teoremi di autori
precedenti si affiancano risultati originali, tra cui il noto Teorema che
da Pappo ha preso il nome. Viene citata l’opera di Zenodoro, vissuto
in un periodo compreso fra il sec. II a.C. ed il sec. I d.C., che aveva
trovato alcuni interessanti risultati sull’area massima di figure piane
a parità di perimetro, e sul volume massimo di solidi a parità di
superficie: il cerchio ha area maggiore di tutti i poligoni aventi lo
stesso perimetro, la sfera ha volume massimo fra tutti i solidi aventi
la stessa superficie.
Pappo ci propone anche una generalizzazione del Teorema di
Pitagora, che forse era già nota ad Erone: al triangolo rettangolo si
sostituisce un triangolo qualunque, ai quadrati costruiti sui lati si
sostituiscono parallelogrammi qualsiansi. L’enunciato è: dato un
triangolo ABC qualunque, e dati due parallelogrammi qualsiansi
ABDE e BCFG, costruiti sui lati AB e BC rispettivamente, è possibile
costruire sul lato AC un terzo parallelogramma, ACKL, la cui area sia
la somma delle aree dei primi due. La costruzione, semplicissima, è
quella evidenziata dal disegno:
H
D
G
B
L
K
E
F
A
J
C
La Collezione Matematica contiene anche il noto Teorema di
Guldino, che dà una formula per il calcolo del volume V del solido
ottenuto ruotando una figura piana, di area A, intorno ad un asse che
non la interseca:
V = Ac,
dove c è il perimetro del cerchio descritto dal baricentro della figura.
Il risultato ha preso il nome dal matematico Paolo Guldino (15771643), che lo ripropose.
Il problema di Pappo
Questo problema venne affrontato già da Euclide ed Archimede, e fu
poi ripreso e generalizzato da Descartes. Eccone la formulazione nel
caso più semplice:
t
C
γ
A
α
r
β
P
B
s
Date tre rette r,s,t del piano, fissato un numero reale positivo , e
fissati tre angoli α,β,γ, si cerca il luogo dei punti P del piano tali che,
condotte da P tre rette che:
1. formino con r,s,t gli angoli α,β,γ, e
2. intersechino r,s,t nei punti A,B,C,
si abbia l’identità:
|PA|2 = |PB| |PC|
Questo problema può essere riformulato, in maniera analoga, per un
numero qualunque di rette. Apollonio risolse per primo il problema
per 3 e 4 rette, provando che in entrambi i casi il luogo cercato è una
conica: la dimostrazione utilizza ben cinquanta proposizioni
contenute nel Libro III del suo trattato Sulle sezioni coniche. Pappo
ripropose il risultato e suggerì una generalizzazione per i casi con più
di quattro rette. Occorrerà aspettare il secolo XVII per vedere, con i
metodi introdotti da Descartes, la prima dimostrazione concisa del
risultato. Newton ne darà, successivamente, la prima elegante prova
geometrica.
