Se avete in mano “la settimana enigmistica”, state risolvendo un cruciverba e vi
trovate la definizione “il numero perfetto”, penso che non avrete dubbio, e
scriverete TRE. Questo a meno che non siate amanti della numerologia; in
questo caso probabilmente scriverete lo stesso TRE ma vi chiederete perché mai
ci sia questa convenzione. In matematica, infatti, il concetto di numero perfetto è
rigidamente definito, e il numero tre non ne fa certo parte.
Come sapete, ogni numero intero ha un certo insieme di divisori, i
numeri per i quali può essere diviso esattamente. Cosa succede se
sommiamo tutti i divisori di un numero, tranne esso stesso che è sì
divisore ma improprio? Si danno tre casi.
Può darsi che la somma dei divisori sia inferiore al numero stesso,
come nel caso di 10; i suoi divisori sono 1, 2 e 5 e la loro somma è
8. Numeri di questo tipo si dicono difettivi.
Può darsi che la somma sia superiore, come nel caso di 42; i suoi
divisori sono 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 la cui somma è 54. Numeri di questo
tipo si dicono abbondanti.
Ma può anche darsi che la somma sia esattamente uguale al numero
stesso, come nel caso di 6 (divisori 1, 2, 3) oppure 28 (divisori 1, 2, 4,
7, 14). In questo caso il numero viene detto perfetto, e i pitagorici lo
tenevano in gran conto… anche perché ce ne sono davvero pochi.
Già Euclide aveva dimostrato che se k è un numero tale che 2 (elevato a k) - 1 è
primo, allora il numero 2 (elevato a k-1) per 2 (elevato a k) -1 è perfetto. I primi valori
di k per cui questo succede sono 2, 3, 5, 7 che danno rispettivamente i numeri
perfetti 6, 28, 496, 8128.
Eulero ha dimostrato che tutti i numeri perfetti pari sono di questa forma: diventa
pertanto importante scoprire per quali valori di k abbiamo Mk primo. Il primo a tirare
fuori una lista di tali valori è stato l’abate gesuita Marin Mersenne.
La lista di Mersenne non era del tutto corretta, e in seguito diversi matematici
corressero gli errori; fortunatamente, vista l’enormità dei numeri in gioco, esiste un
algoritmo relativamente (molto relativamente) rapido per testare la primalità di un
numero di quella forma, e il bello è che è un algoritmo adattissimo per i computer e
soprattutto può essere diviso tra più persone. Esiste infatti un progetto di calcolo
distribuito, GIMPS (Great Internet Mersenne Primes Search) che appunto sfrutta la
CPU inutilizzata dei computer per trovare nuovi primi di Mersenne e quindi numeri
perfetti.
Le ultime scoperte arrivano dal GIMPS. Attualmente conosciamo 47 numeri perfetti,
con il più grande pari a 243.112.608×(243.112.609−1) e composto da sole 25.956.377
cifre; non sappiamo nemmeno se ce ne sia un numero finito o infinito.
Qualche lettore più attento magari si sarà
chiesto «Bene, tutto questo va bene per i
numeri perfetti pari. Ma esistono anche
numeri perfetti dispari?». La risposta,
assolutamente precisa, è «Boh.» Non si sa
se ne esistano, ma nessuno è riuscito a
dimostrarne l’impossibilità, anche se si sa
che una bestia simile deve avere almeno
nove fattori primi distinti, 75 fattori primi
complessivi, più di trecento cifre, oltre a
possedere una serie di proprietà tali per cui
nel diciannovesimo secolo James Sylvester
affermò che se mai ne esistesse uno
sarebbe praticamente un miracolo.
E se ci accontentassimo di qualcosa di meno della perfezione?
Si può per esempio provare a vedere cosa succede con il numero 220. È un
numero abbondante: i suoi divisori propri sono 1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110 la cui
somma è 284. Calcoliamo ora i divisori di 284: sono 1,2,4,71,142 la cui somma è…
220. Abbiamo così due numeri in un certo senso speculari rispetto alla funzione
“somma dei divisori”; numeri di questi tipo si chiamano amicabili.
Per i numeri amicabili In tutti i casi conosciuti, i numeri di una coppia sono o
entrambi pari o entrambi dispari, nonostante non siano note ragioni per cui
questo debba avvenire necessariamente. Inoltre, ogni coppia conosciuta
condivide almeno un fattore.
Un gruppo di numeri socievoli è un insieme di numeri in cui ogni numero è
amicabile del numero posto accanto ad esso, ed il primo è amicabile
dell'ultimo, cosicché i numeri formino una sorta di "catena ciclica". Nel 1918, il
matematico Paul Poulet scoprì il gruppo di numeri socievoli 12 496, 14 288, 15
472, 14 536, 14 264 Se sommiamo i divisori propri di 14 264, otteniamo 1 + 2
+ 4 + 8 + 1 783 + 3 566 + 7 132 = 12 496, ovvero il numero che nell'ordine del
gruppo viene subito dopo di lui, quindi 14 264 è amicabile di 12 496; il ciclo si
ripete nello stesso modo per tutti i numeri. La più lunga catena di numeri
socievoli conosciuta è stata scoperta da Ren Yuanhua, e conta 54 numeri.
Non si conosce nessun ciclo di ordine 3 di numeri socievoli; mentre se ne
hanno 165 di ordine 4, uno di ordine 5, 5 di ordine 6, 2 di ordine 8, 1 di ordine
9 e un incredibile gruppo di ordine 28, che inizia da 14316.
La maggior parte dei numeri però è piuttosto monotona in questo senso:
continuando a calcolare la somma dei divisori propri, si arriva a un certo punto
a un numero primo, che poi va a 1 e infine a 0.
Restano fuori da questa suddivisione i cosiddetti numeri ambiziosi (aspiring number),
come per esempio 95; iterando la somma dei suoi divisori si arriva prima a 25, poi a 6
e qui ci si ferma, o meglio si continua a riottenere 6. Insomma, i numeri ambiziosi
vorrebbero tanto essere perfetti, ma non ce la fanno subito! Una congettura di
Eugène Catalan afferma che non ci sono altre possibilità, ma esistono numeri – il più
piccolo è 276 – per cui l’operazione sembra poter andare avanti all’infinito ottenendo
valori (in genere) sempre crescenti. Ma per l’appunto anche questa congettura non è
affatto dimostrabile.
Numeri fidanzati
I numeri fidanzati sono numeri tali che la somma dei divisori di uno (escluso il numero
stesso e, a differenza dei numeri amicabili, anche l'1) dà come risultato l'altro, e
viceversa. Le coppie di numeri amicabili e le catene di numeri socievoli sono sempre
o tutti pari o tutti dispari. Si può osservare, invece, che due numeri fidanzati sono
sempre uno pari e l'altro dispari; infatti, Pitagora distinse i numeri pari come femminili
e i numeri dispari come maschili. La prima coppia di numeri fidanzati, detti anche
"promessi sposi", è 48 e 75.
I numeri primi gemelli, sono 2 numeri primi (ovvero divisibili soltanto per se stessi e per 1)
separati da un unico numero pari, vicini ma mai abbastanza per toccarsi davvero (Paolo
Giordano ha scritto un libro in proposito: La solitudine dei numeri primi)
Più si va avanti a contare, più questi numeri diventano rari, ma i matematici assicurano che
anche quando ti sarai stancato di contare, ci saranno sempre altri primi gemelli.
Ad esempio 11 e 13 sono numeri primi, e sono separati da un unico numero pari (12), quindi
si dicono primi gemelli.
Primi gemelli: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103),
(107, 109), etc...
Poi ci sono anche i numeri primi Cugini, che, mentre i gemelli si differiscono per un solo
numero, loro hanno 4 numeri di differenza: (3, 7), (7, 11), (13, 17), (19, 23), (37, 41), (43, 47),
etc...
Esistono anche i numeri primi Sexy, che invece differiscono di 6 numeri:
(5,11),(7,13),(11,17),(13,19),(17,23),(2… (47,53).
NUMERI FORTUNATI
• Si dicono fortunati i numeri che
rimangono dopo la seguente procedura di
eliminazione.
• Innanzitutto si parte dalla successione dei
numeri naturali escluso lo 0
• 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 ….
• Il primo numero 1 indica di eliminare un
numero sì e uno no. Rimangono i numeri
dispari
• 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21
23 ….
• Il secondo sopravvissuto è il numero 3
che indica di eliminare un numero ogni 3.
Rimangono i numeri
• 1 3
7 9
13 15
19 21 ….
• Il terzo numero 7 indica di eliminare un
numero ogni sette. Rimangono
• 1 3
7 9
13 15
21 ….
• Il quarto numero sopravvissuto è il 9 e
ripartiamo dai sopravvissuti eliminando
ogni nono numero
• Continuiamo il procedimento...ed
otteniamo la sequenza dei numeri
perfetti.
• Ecco la lista dei numeri fortunati
inferiori a 200:
1 3 7 9 13 15 21 25 31 33 37 43 49 51 63
67 69 73 75 79 87 93 99 105 111 115 127
129 133 135 141 151 159 163 169 171
189 193 195
I matematici, di solito, amano i giochi di prestigio: possono essere
divertenti e spesso nascondo teorie interessanti. Eccone uno che
dà modo di apprezzare le virtù dell’algebra.
Iniziate scegliendo un qualsiasi numero di 3 cifre in cui la prima e
l’ultima differiscono di almeno due, per esempio 753. Adesso
capovolgetelo e ottenete 357. Sottraete il numero più piccolo dal
più grande: 753-357=396.
Infine addizionate questo numero al suo inverso: 396+693= 1089
La somma che otterrete riprovandoci con qualsiasi altro numero
sarà sempre la stessa.
Il mistero del 1089 non è più tale se il problema è
scritto in simboli anziché numeri. Sebbene usare i
numeri per divertimento sia stata una costante
della matematica, questa realtà è nata come uno
strumento per risolvere i problemi pratici. Il papiro
di Rhind, che risale al 1660 a.C. è il documento
matematico dell’antico Egitto più completo che sia
giunto fino a noi. Contiene 84 problemi che
coprono campi diversi ma affrontati sempre in
modo teorico.
Ritorniamo al nostro problema. Prendiamo il numero 614. E’
uguale a 600+10+4. In effetti, qualsiasi numero di 3 cifre scritto
abc si può scrivere 100a + 10b + c. Quindi chiamiamo il nostro
numero iniziale abc, in cui a, b e c sono singole cifre. Per
comodità consideriamo a maggiore di c. L’inverso di abc è cba
che si può espandere come 100c + 10b + a.
Ci viene chiesto di sottrarre cba da abc per ottenere un risultato
intermedio. Quindi abc – cba è: (100a +10b+c) – (100c+10b+a)
I due termini b si cancellano a vicenda lasciando come risultato
99(a-c)
Poiché la prima e l’ultima cifra in abc differiscono almeno di 2, a-c
è 2,3,4,5,6,7 o 8. Perciò 99(a-c) è uno dei seguenti numeri 396,
495, 594, 693, o 792. Quale sia il numero di tre cifre da cui si
parte, una volta che l’abbiamo sottratto dal suo inverso abbiamo
un risultato intermedio che è uno degli 8 numeri qua sopra.
La fase finale è quella di addizionare il numero intermedio al
suo inverso. Ripetiamo ciò che abbiamo fatto in precedenza
sommando a def il numero fed. Osservando la lista dei
possibili numeri intermedi vediamo che il numero in mezzo e,
è sempre 9. E anche la somma del primo e del terzo è
sempre 9. In altre parole d+f= 9.
Per cui def+fed è 100(d+f) + 20e + d + f. Che è (100*9) +
(20*9) + 9 = 900+180+9= 1089
Et voilà! Il trucco è svelato.
La sorpresa del trucco del 1089 è che da un numero scelto a
caso si possa sempre ottenere un numero fisso. L’algebra ci
permette di vedere al di là del gioco di prestigio, fornendoci i
mezzi necessari per passare dal concreto all’astratto: dal
ricostruire il comportamento di un numero specifico al
ricostruire il comportamento di qualsivoglia numero.
Carl Pomerance è uno dei matematici più noti ed apprezzati nel suo campo: la teoria dei
numeri. Come molti americani Pomerance ama il baseball, e l'8 aprile 1974 non fu per
lui un giorno come gli altri. In quel giorno "Hank" Aaron superò il limite di 714
homeruns (traguardo conseguito dal grande "Babe" Ruth, e restato imbattuto dalla sua
morte, avvenuta nel 1935). Aaron arrivò dunque a quota 715.
Pomerance, con alcuni suoi colleghi e studenti, osservò che S(714) = S(715), dove S(n)
è la somma dei fattori primi di n contati con la loro molteplicità. Per esempio 175 = 25 x
7, e quindi S(175) = 2 x 5 + 7 = 17. Gli interi 714 e 715 sono entrambi prodotto di primi
distinti:
714 = 2 3 7 17
715 = 5 11 13
Si constata immediatamente che S(714) = S(715) = 29.
Un intero n tale che S(n) = S(n+1) viene detto "numero di Ruth-Aaron".
Non si è fermato qui :
ordinando i numeri in base al crescere della
persistenza si ha la seguente lista:
10,25,39,77,679,6788,68889,2677889,2688
8999,3778888999,2777777788888899.
I numeri ciclici, o circolari, sono particolari in quanto
moltiplicandoli per qualsiasi numero, sommando o
facendo altre curiose operazioni, danno come risultato
sempre le stesse cifre del numero di partenza, che girano
come se l'ultima fosse attaccata alla prima.
Il più piccolo numero ciclico, escludendo il caso banale
dell'1, è 142857. Proviamo a divertirci un po' con
questo numero, dapprima provando a moltiplicarlo
per i primi sette numeri naturali:
Si nota subito che questo numero ha qualcosa di magico:
le cifre sono sempre le stesse, e se immaginiamo di
attaccare l'ultima alla prima, creando una ruota
numerica, esse compaiono anche nello stesso ordine.
L'ultima moltiplicazione, quella per 7, ci da tutti 9
(Ogni numero ciclico di n cifre, moltiplicato per n+1,
da tutti 9).
142857
142857
142857
142857
142857
142857
142857
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
142857
285714
428571
571428
714285
857142
999999
Scomponendo il numero 142857 in gruppi di 3, 2, 1 cifre e sommandoli, vengono
sempre fuori solo 9.
142 + 857 = 999
14 + 28 + 57 = 99
1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27 --- 2 + 7 = 9
Dalla prima addizione possiamo anche notare una delle più importanti caratteristiche
dei numeri ciclici, che permette di trovare l'intero numero conoscendone solo
metà. (In generale un numero ciclico di n cifre può essere scomposto in gruppi di
d cifre [dove d è un fattore di p] che sommati danno una serie di 9).
Altri strani modi di far venire fuori il numero circolare 142857 sono questi:
14+
28+
56+
112+
224+
448+
….
1428571428….
In questo caso si parte scrivendo 14 in alto a sinistra e poi moltiplicando sempre per 2 e scrivendo il numero successivo spostato
di due posti verso destra. La somma da una serie infinita di 142857...
7+
35 +
175 +
875
+
4375
+
21875
+
………__________
…. 142857
In questo modo, invece, si ottiene il numero partendo da 7 e poi scrivendo sotto a sinistra di una posizione il numero di sopra
moltiplicato per 5.
I numeri ciclici sono strettamente legati ai reciproci di alcuni numeri primi. Quando
dividendo 1 per un numero primo p si ottiene un periodo di lunghezza p-1 allora il
periodo è un numero ciclico.
1 / numero primo
risultato
Numero ciclico
1/7
0,142857142857142857
14285714285
14285714285714285714
285714285
1 / 17
0,058823529411764705
88235294117
05882352941176470588
235294117
1 / 23
0,043478260869565213
91304347826
04347826086956521391
304347826
Specializzato nei puzzle numerici, Maki
Kaji si diverte a fotografare le targhe
automobilistiche gratificanti dal punto di
vista aritmetico.
35-15
3x5=15
GIAPPONE
• In Giappone le targhe sono costituite da
due coppie di numeri. Kaji immortala ogni
targa in cui i primi due numeri moltiplicati
tra loro danno gli altri due. Vi sono 81
combinazioni possibile e Kaji è a buon
punto, ne ha già collezionate una
cinquantina.
L’ idea che i numeri possono intrattenere è più antica
della matematica stessa.
È un campo vasto e vivace, una cui caratteristica
essenziale è che gli argomenti trattati sono accessibili ai
non addetti ai lavori anche se possono far riferimento a
teorie complicatissime. Oppure potrebbero non
comportare alcuna teoria, ma semplicemente suscitare
apprezzamento per la meraviglia dei numeri.
Questa sequenza compare quasi identica in
una filastrocca di Mamma Oca nei primi
dell’800.
È il più famoso indovinello a trabocchetto della letteratura inglese. A
prescindere dalla direzione del viaggio, tuttavia il totale di mici, gatti, sacchi
e mogli è: 7+7²+7³+7^4= 2800
La filastrocca è un modo poetico per dimostrare
che numeri piccoli possono portare a numeri
molto grandi. A sentirla la prima volta si pensa
ad una discreta quantità di mogli, sacchi, gatti e
mici, ma non quasi
Filastrocche, giochi e indovinelli matematici, che
sfruttano tutte le stravaganze e particolarità dei
numeri, sono noti come:
Una pietra miliare nella storia della matematica ricreativa è
rappresentata da un evento verificatosi circa nel 2000
a.C. sulle rive del fiume Giallo, in Cina, che apri la strada
alla scoperta del quadrato magico.
Un quadrato che contiene tutti i
numeri consecutivi a partire da 1
disposti in modo tale che le file, le colonne
e le diagonali, da angolo a angolo danno
tutte la stessa somma.
Un quadrato magico è uno schieramento di numeri
interi distinti in una tabella quadrata tale che la somma
dei numeri presenti in ogni riga, in ogni colonna e in
entrambe le diagonali dia sempre lo stesso numero; tale
intero è denominato la costante di magia o costante
magica o somma magica del quadrato.
Un quadrato magico di ordine contenente tutti gli interi
da 1 a è detto perfetto o normale. La costante magica di
questi quadrati è data dalla formula:
I quadrati magici erano noti già in Cina forse
addirittura nel IV secolo a.C. Il quadrato 3 × 3 era
chiamato Lo Shu; nel X secolo i cinesi
conoscevano quadrati fino all'ordine 10, oltre a
catene di cerchi e cubi magici non perfetti. Queste
strutture giunsero in Europa relativamente tardi: il
bizantino Manuel Moschopulos ( XIII secolo) fu tra
i primi a scrivere su di essi. Uno dei primi
matematici ad approfondire l'argomento fu
Cornelio Agrippa che nel ‘500 li definì "tavole
sacre dei pianeti e dotate di grandi virtù, poiché
rappresentano la ragione divina, o forma dei
numeri celesti". Molti quadrati magici si
supponevano dotati di particolari virtù magiche e
venivano utilizzati per costruire dei talismani: ad
es. le loro incisioni su placche d'oro o d'argento
venivano impiegate come rimedi, dalla peste al
mal d'amore.
• Il tipo più comune di quadrato magico è quello che usa i numeri
da 1 a n2, con il quadrato 3×3 che è forse il più famoso:
La costante di magia di questo quadrato è 15.
La costante di magia di un simile quadrato
può essere computata con questa formula:
I quadrati magici del tipo 1 a n2 possono essere costruiti per tutti i
valori possibili di n tranne 2. Non tutti i quadrati magici del tipo 1
a n2 sono costruiti nello stesso senso. Cadono in tre
subclassificazioni differenti:
• n dispari
• n divisibile per 2 ma non per 4, o numero semplicemente pari
• n divisibile per 4, o numero doppiamente pari
1) Si inizia mettendo 1 nella colonna centrale della fila superiore
2) Si compila la colonna seguente del numero uno (a destra) e ad una fila
superiore. Se siete già alla fila superiore, si compila una colonna alla destra
nella fila inferiore. E se siete nella colonna di estrema destra, si compila il
numero seguente nella colonna di estrema sinistra, una fila in su.
3) Se il quadrato già è occupato da un numero più piccolo, si posiziona il
numero seguente nel quadrato immediatamente sotto all'ultimo immesso, si
procede in tal maniera fino a comporre tutto il quadrato.
Ognuno di noi è in parte determinato dal suo patrimonio genetico e dall'ambiente in cui è vissuto.
Keith Devlin, autore del libro Il Gene della Matematica(oltre che di una ventina di altri testi...), ha affermato che
non vi è sostanzialmente alcuna differenza tra il cervello di chi ricorre alla calcolatrice tascabile per calcolare 16
per 7 e quello del famoso matematico Andrew Wiles!
Devlin sostiene che la capacità matematica si basa su alcune abilità mentali acquisite nel corso dei millenni dalla
razza umana, utili per la sopravvivenza.
Alcune di queste abilità, come vedere a colpo d'occhio se ci sono molti più individui nel mio gruppo o in quello
degli avversari (senso del numero), la percezione dello spazio tridimensionale, lo scoprire relazioni esistenti tra
fatti o oggetti, sono nel nostro DNA e non vengono apprese.
Altre invece, come il contare, ci vengono passate attraverso uno specifico insegnamento, ed hanno avuto
probabilmente una origine parallela alla nascita del linguaggio.
Secondo Devlin la complessità della logica e delle relazioni in un qualunque telefilm che vediamo in TV , è molto
più grande di quella di una pagina di un libro di matematica. Noi comprendiamo quello che accade senza alcuno
sforzo, semplicemente perché si tratta di cose che avvengono nel mondo in cui viviamo. Il "trucco" del matematico
consiste nel considerare reali gli oggetti matematici, nel farli partecipare alla nostra vita.
Per questo è molto importante il tipo di educazione che si riceve nei primi anni: è allora che i numeri possono
diventare amici utili e divertenti. Piano piano, conoscendoli meglio, si verrà catturati dal loro fascino misterioso,
dalla profondità delle loro relazioni.
L’universo dei numeri è complesso e intricato, ma non per questo ostile e
incomprensibile. Basta con i soliti pregiudizi e luoghi comuni! Per molti la
matematica non è altro che una semplice convenzione, un modo di
decodificare la realtà, un linguaggio universale plasmato esclusivamente
dalla ragione e dalla logica umana. Per altri invece è molto di più: la
natura che si manifesta, l’arte fine a sé stessa che permette all’uomo di
vedere e palpare l’infinito, il sogno dell’astratto che non presenta vincoli o
confini. A volte i numeri nascondo proprietà divertenti e affascinanti e sono
capaci di svelarci un mondo completamente nuovo e inesplorato. La
conoscenza matematica aggiunge vigore alla mente e stimola la sua
curiosità.
“Non solo la matematica è reale, ma è l’unica realtà” ( Martin Gardner)
Una delle grandi attrazioni della teoria dei numeri è l’avere a che fare
con problemi irrisolti da generazioni e generazioni: alcuni li ereditiamo
dal Novecento, altri ci sono stati lasciati in eredità da secoli e millenni. A
volte accade pure che certi problemi dell’antichità vengono scartati, ma
nel complesso la grande attrattiva della teoria dei numeri è questa sorta
di permanenza: hai la sensazione di far parte di un settore di indagine
che va avanti dall’antichità, e senti che se dovessi ritrovarti in qualche
altro angolo dell’universo, ci sarebbero gli stessi problemi.
La matematica non è esclusiva della nostra civiltà: non è come un’opera d’arte o una
sinfonia, qualcosa che un’altra cultura giudicherebbe strano. Una cultura aliena, molto
semplicemente, potrebbe non capire che ascoltare la musica è un’esperienza davvero
appagante per noi, potrebbero anche non avere l’udito. Ma la Matematica, e in
particolare la teoria dei numeri, che è la sua forma più pura, è qualcosa che sarebbe
comune a ogni angolo del sistema solare. O dell’universo. O di altri universi.
La matematica fa parte della ragione stessa. Ha per questo un’intrinseca bellezza,
diversa da quella fugace delle opere d’arte, che è tanto più preziosa per la sua caducità.
E’ quel genere di bellezza permanente, quasi fredda, che è eterna, perché fa parte della
struttura stessa della ragione e della natura.
Hanno presentato:
Federica Ciambrelli
Domenico Cusano
Matteo Di Donato
Rina Ferrucci
