TEOREMA SUI NUMERI PERFETTI
I numeri perfetti, i quali sono dati dalla somma dei loro divisori
primi e non primi, compreso l’uno (fattore primo improprio), per
es. 6 = 1 + 2 + 3 con 1 , 2 e 3 fattori di 6, sono infiniti.
DIMOSTRAZIONE
E’ noto che:
se 2p – 1 è un numero primo,
allora (2p-1) (2p – 1)
è un numero perfetto;
per p = 2 si ha 2² - 1 = 3, primo;
quindi 22 – 1 = 2
(2 p – 1) (22 – 1) = 3 • 2 = 6
che è numero perfetto in quanto la somma dei suoi divisori 1, 2 e 3
dà 6:
1+2+3=6
Per p = 3, si ha 23 – 1 = 7, primo;
e 23 – 1 • 23 – 1 = 4 • 7 = 28 = numero perfetto, poiché :
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = somma dei suoi divisori primi
Per p = 4
24 – 1 = 16 – 1 = 15 non primo
Per p = 5
25 – 1 = 32 – 1 = 31 primo, per cui
25 – 1 • 25 – 1 = 16 • 31 = 496
496 = 2 • 2 • 2 • 2 • 31 = 2 + 2
fattori di 496 = 1, 2, 4, 8, 16, 31, 31 • 2 = 62 , 31 • 4 = 124,
31 • 8 = 248
per cui 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496
496 = numero perfetto
Per p = 6
26 – 1 = 64 – 1 = 63 composto
I numeri di tipo 2p – 1, quando sono numeri primi, sono sempre
riconducibili alla forma 6n ± 1 (vedi teorema n° 1), e p ed n sono
entrambi infiniti;
Tabella 1
Per p = 2
22 – 1 =
3
=
primo
p=3
23 – 1 =
7
=
6 • 1 + 1 = primo
p=4
24 – 1 =
15
=
composto
p=5
25 – 1 =
31
=
6 • 5 + 1 = primo
p=6
26 – 1 =
63
=
composto
p=7
27 – 1 =
127
=
6 • 21 + 1 = primo
p=8
28 – 1 =
255
=
composto
p=9
29 – 1 =
511
=
6 • 85 + 1=composto
p = 10
210 – 1 =
1023 =
composto
n=341 p = 11
211 – 1 =
2047 =
6 • 341 + 1 = composto = 23 • 89
p = 12
212 – 1 =
4095 =
composto =3 • 5 • 7 • 13
n=1
n=5
n=21
2
La forma 2p – 1 dà infiniti numeri primi, sebbene molto più rari dei
numeri primi normali; e quindi, di conseguenza, infiniti numeri
perfetti P della forma generale
P = (2p – 1) • (2p – 1)
uno per ognuno degli infiniti numeri primi della forma 2p – 1.
Disegnando la curva normale dei numeri primi, fino a 10ⁿ, e sotto
di questa la curva data dai primi di forma 2p – 1, si dovrebbe notare
che anche questa è aperta e crescente lentamente verso l’alto, il che
dimostrerebbe la loro infinità (come lo sono anche i numeri primi,
cosa già dimostrata da Euclide), e quindi l’infinità dei rispettivi e
biunivoci numeri perfetti P.
Poiché, ancora, la forma 2p – 1 dà risultati ciclici, sotto l’aspetto
dei fattori, giacchè per p pari 2p – 1 è sempre multiplo di 3, e
quindi non è primo, per molti valori p dispari, 2p è anche multiplo
di 6, e 2p – 1 è sempre della forma 6n +1; che (insieme alla forma
6n – 1), contiene infiniti numeri primi (tra cui 7; 31 e 127 di forma
2p – 1) e quindi anche quelli, sebbene sempre più rari, della forma
2p – 1, che danno origine, con la 2p-1 • (2p – 1), ai numeri perfetti P,
rari ma infiniti anch’essi.
Per cui, l’infinità dei numeri perfetti P, legati ai numeri primi della
forma 2p – 1 con p sempre dispari, tranne che per p = 2 per 2² - 1=3
(ma non tutti i numeri della forma 2p – 1 con p dispari sono primi,
per es. 29 – 1 = 255 = 7 • 73) è dimostrata
(Nel “Dizionario Enciclopedico Matematico”, Gruppo Editoriale
Jackson, alla voce “Perfetto, numero”, si dice che attualmente non
si sa se l’insieme dei numeri perfetti sia finito o meno).
Noi abbiamo dimostrato, con questo teorema, che il loro numero è
infinito, come pure, con un altro teorema, l’infinità dei numeri
gemelli.
ΣratostenΣ
Francesco Di Noto
Annarita Tulumello
