Istituzioni di Matematica e Laboratorio
Corso di Laurea in Scienze Biologiche (Gruppo 4)
A.A. 2016/17
Prof. A. Popoli
I numeri e le funzioni reali
Richiami di teoria degli insiemi: appartenenza e inclusione, unione, intersezione, complemento. Sottoinsiemi, insieme
vuoto e insieme delle parti. Prodotto Cartesiano di insiemi.
Numeri naturali, interi, razionali e loro rappresentazione sulla retta dei numeri. Irrazionalità della soluzione di x2=2.
Il campo ordinato dei numeri reali: assiomi relativi alle operazioni, assiomi relativi all’ordinamento. Assioma di
Completezza. Cenni sulle conseguenze degli assiomi dei numeri reali. Densità di Q in R.
Intervalli di R. Intervalli aperti, chiusi, limitati, illimitati. Estremo inferiore, estremo superiore, massimo e minimo.
Elementi di geometria analitica.
Funzioni e rappresentazione cartesiana in R2. Distanza tra due punti di R2. Coefficiente angolare di una retta. Equazione
della retta in forma esplicita e in forma cartesiana. Distanza tra due punti del piano. Equazione della circonferenza.
Cenni di logica matematica.
Postulati, Teoremi, Congetture. Proposizioni. Predicati. Quantificatori. Tavole di verità. Condizioni necessarie e
sufficienti. Principio di induzione (*). Disuguaglianza di Bernoulli (*).
Funzioni reali.
Definizione di funzione. Dominio e Codominio. Grafico di una funzione in R2. Funzioni pari, dispari, periodiche.
Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche, invertibili. Funzione inversa: grafico e interpretazione geometrica. Funzioni
monotone. Funzioni composte.
Funzioni elementari: La funzione valore assoluto e sue proprietà. Le funzioni trigonometriche e loro inverse. Funzione
potenza e funzione esponenziale e loro estensione in R. Funzione logaritmo.
Successioni e serie numeriche
Successioni di numeri reali. Definizione e proprietà dei limiti di successioni. Teorema di unicità del limite (*), Teorema
della permanenza del segno (*), Limitatezza delle successioni convergenti (*), teorema del confronto, teorema dei
Carabinieri (*). Successioni monotone.
Le serie. Definizione di serie convergente e carattere di una serie. Condizione necessaria per la convergenza di una serie
(*). La serie geometrica e sue proprietà. Cenni sulla serie armonica e serie armonica generalizzata. Regolarità delle serie
a termini non negativi. Cenni sui criteri di convergenza per le serie: il criterio del rapporto.
Limiti di funzioni e funzioni continue
Punti di accumulazione. Definizione di intorno. Definizione di limite di una funzione. Proprietà dei limiti di funzioni.
Operazioni con i limiti di funzioni. Limiti di funzioni composte.
Funzioni continue. Discontinuità e classificazione. Limiti notevoli. Forme indeterminate.
Teorema della permanenza del segno (*). Teorema dell’esistenza degli zeri. Teoremi di esistenza dei valori intermedi.
Teorema di Weierstrass . Criterio di continuità per le funzioni monotone. Teorema di continuità delle funzioni inverse.
Derivate.
Definizione di derivata. Continuità delle funzioni derivabili (*). Significato geometrico della derivata: retta secante e
retta tangente ad una curva. Operazioni con le derivate. Derivazione delle funzioni composte. Derivazione delle
funzioni inverse;
Derivate delle funzioni elementari.
Applicazioni delle derivate. Studio di funzioni
Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat (*). Teorema di Rolle (*). Teorema di Lagrange (*). Conseguenze del
teorema di Lagrange. Approssimazione Lineare. Il differenziale.
Criterio di monotonia (*). Caratterizzazione delle funzioni costanti in un intervallo (*). Funzioni convesse e concave.
Punti di curvatura e punti di flesso. Criterio di convessità. Asintoti orizzontali, verticali e obliqui.
Studio del grafico di una funzione.
Teoremi di L’Hospital e applicazione al calcolo dei limiti.
Integrali indefiniti.
Funzioni primitive. Caratterizzazione delle funzioni primitive (*). Definizione di integrale indefinito. Proprietà di
linearità. Primitive delle funzioni elementari. Integrazione per decomposizione in somma. Integrazione per sostituzione.
Integrazione per parti.
Integrali definiti
Funzioni integrabili secondo Riemann e area del trapezoide. Proprietà degli integrali definiti: linearità, additività,
monotonia. Integrabilità delle funzioni continue e delle funzioni monotone. I teoremi della media integrale (*). Il
teorema fondamentale del calcolo integrale (*). Formula fondamentale del calcolo integrale (*).
Elementi di algebra lineare.
Matrici: somma di matrici, prodotto di una matrice per uno scalare, prodotto righe per colonne. Matrice opposta e
matrice inversa. Determinante di una matrice quadrata. Calcolo di una matrice inversa 2x2.
Minori di una matrice, complemento algebrico e calcolo del determinante per matrici 3x3.
Sistemi lineari. Formula risolutiva per sistemi di 2 equazioni in due incognite. Significato geometrico. Equazione
matriciale AX=C di un sistema lineare. Metodo di Cramer per sistemi di equazioni lineari 3x3.
Laboratorio
Uso della teoria degli insiemi per la rappresentazione dei gruppi sanguigni.
Serie convergenti e soluzione del paradosso di Zenone (*).
La serie di Fibonacci e il rapporto aureo (F).
Il significato fisico della derivata: velocità e accelerazione del moto di un corpo puntiforme.
Uso dell’approssimazione lineare nel calcolo approssimato dei valori delle funzioni e applicazione alla fisica: coerenza
delle definizioni di energia cinetica tra meccanica classica e meccanica relativistica (F).
Il metodo di esaustione nel calcolo dell’area del cerchio (*).
Il moto uniformemente accelerato (F).
Cenni sul modello logistico di crescita delle popolazioni (F)
Introduzione ai frattali (F)
Cenni sui modelli matematici: legge di riduzione del metabolismo e modello matematico del sistema circolatorio (F).
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Testi consigliati:
(1) C. SBORDONE – F- SBORDONE – Matematica per le scienze della Vita – Ed. Edises
(2) P. MARCELLINI – C. SBORDONE - Esercizi di Matematica. Vol I – Ed. Liguori
Note:
(1) Sono richieste le dimostrazioni dei soli teoremi identificati con (*)
(2) Gli argomenti identificati con (F) sono facoltativi ai fini dell’esame.
