vettore campo magnetico

Magnetismo
Interazione magnete-magnete
Oltre ai fenomeni elettrici, sono noti, fin dall’antichità,
anche dei fenomeni che coinvolgono prevalentemente il
ferro ed i suoi minerali. Infatti molti materiali a base ferro
mostrano delle forze che si sviluppano spontaneamente
a distanza.
Nella regione circostante il materiale ferromagnetico
si dice che è presente un
campo magnetico.
Studiando queste forze si osserva che ogni
materiale ferromagnetico ha due zone.
Le due regioni di un materiale ferromagnetico vengono
identificate con i termini:Polo Nord e polo Sud.
Si osserva, con una metodologia analoga a quella
impiegata da Coulomb per le cariche elettriche, che le
forze magnetiche sono simili a quelle elettriche,anche se
i poli magnetici non possono essere mai separati.
Si può effettuare il seguente semplice
esperimento.
Nel primo caso si trova una forza repulsiva (poli uguali)fra
i due oggetti e nel secondo caso attrattiva (poli opposti).
Forza Magnetica
Per quantificare la legge di forza è necessario
quantificare i poli magnetici.
In questo caso si usa una sorta di bilancia di torsione.
Si misura l’angolo di rotazione dell’ago magnetico,
che è proporzionale alla forza fra i due poli.
Cenni storici
Tutto il Settecento visse sotto l'autorevole influsso di
Newton e quindi alla ricerca di azioni del tipo di quelle
descritte dalla forza gravitazionale:
questa legge sottintende che:
1) l'azione tra le due masse è rettilinea, avviene cioè
lungo la retta che unisce i centri delle stesse;
2) l'azione è a distanza, non ha cioè bisogno di
intermediari per agire tra le due masse;
3) l'azione è istantanea, non richiede cioè tempo per
propagarsi (essa si propaga quindi con velocità infinita).
Così John Michell nel 1750 provò a dare una
stessa legge per le forze che si esercitano tra
poli magnetici :
(proporzionalità tra 'poli' che interagiscono e dipendenza
dall'inverso del quadrato della loro 'distanza'), legge che non
funziona (i poli magnetici non possono essere mai separati)
e Coulomb ricavò (1785) la legge di forza tra cariche
elettriche: (proporzionalità tra cariche che interagiscono e dipendenza
dall'inverso del quadrato della distanza tra i loro centri),
legge che funziona solo a certe condizioni: cariche
puntiformi, a grande distanza.
Esperienza di Oersted (1820)
Interazione corrente-magnete
Questo quadro interpretativo viene
sconvolto dall'esperienza di Oersted.
Per la prima volta, dopo più di 130 anni
di rassicuranti azioni 'rettilinee a
distanza', veniva evidenziata una
azione totalmente differente: un filo
conduttore, se disposto parallelamente
ad un ago magnetico, vede l'ago
ruotare di 90º e disporsi
perpendicolarmente al filo, quando in
esso viene fatta circolare corrente.
Questo esperimento fu
determinante perché dimostrò
che una corrente elettrica, e
quindi delle cariche elettriche in
movimento, genera nello spazio
circostante un campo magnetico
le cui linee di forza sono una
serie di circonferenze
concentriche con il centro sul
conduttore.
Tali linee sono chiuse, come
avviene per le linee di forza dei
campi magnetici generate dai
magneti permanenti.
Campo Magnetico
Per quantificare l'intensità del campo magnetico si
introduce una grandezza vettoriale chiamata vettore
induzione magnetica (B)così definito:
direzione: coincide con le tangenti alle linee di forza
che ricordiamo sono circolari e concentriche al filo
verso: disposta la mano destra
attorno al filo con il pollice che
punta nel senso della corrente , il
senso di rotazione delle altre dita
individua il suo verso e quindi il
verso delle linee di forza
Legge di Biot-Savart
intensità: è espressa dalla relazione trovata dai fisici
francesi Biot e Savart la quale afferma che in un punto alla
distanza d dal filo dove circola la corrente I si ha che :
µ I
(1) B =
⋅
2π d
dove µ è una costante denominata permeabilità magnetica
del mezzo che dipende dalla sostanza in cui si trova
immerso il filo.
Nel S.I. la permeabilità magnetica del vuoto, e con buona
approssimazione dell’aria, vale µo= 4π10-7 Tm/A dove T
sta per Tesla che è l’unità di misura del campo magnetico.
Solenoide
Lo stesso procedimento potrà essere
utilizzato per studiare il campo di un solenoide,che
può essere costruito avvolgendo strettamente un filo
conduttore attorno ad un cilindro. La sua funzione è di
concentrare il campo magnetico nella sua parte
interna, svolgendo una funzione analoga a quella del
condensatore (che concentra il campo elettrico tra le
µI
sue armature).
B=
2π d
d = raggio della spira =
B=
l
2π N
l = lunghezza spira
µ I 2π N
N
⋅
= µ I = µ ⋅ n⋅ I
2π
l
l
condensatore
σ
Q
E=
=
ε 0 ε 0S
Il condensatore e il solenoide sono esempi rispettivamente
di campo elettrico uniforme e di campo magnetico uniforme
Quindi, un filo percorso da corrente elettrica genera un
campo magnetico. Ma la corrente elettrica sta ad
indicare nient'altro che un moto di cariche elettriche.
Pertanto la precedente affermazione può essere così
riformulata: sono le cariche elettriche in moto che
generano un campo magnetico!
Tutto ciò ci fa intravedere una teoria unificata dei
fenomeni elettrici e magnetici. Una carica elettrica
ferma genera un campo elettrico cioè esercita attorno
a sé delle forze elettriche, se la carica si muove, oltre
a portarsi appresso il suo campo elettrico genera
anche un campo magnetico e quindi esercita
forze magnetiche.
Confrontando i campi magnetici prodotti dai magneti
(naturali e artificiali) con quelli generati dalle correnti,
Ampère pervenne all'ipotesi che all'interno dei magneti
circolassero delle correnti microscopiche distribuite in
modo ordinato. Le conoscenze attuali sulla struttura della
materia confermano l'ipotesi di Ampere; infatti, tenendo
presente il modello atomico di Rutherford il moto di un
elettrone attorno al nucleo equivale ad una spira, cioè a un
filo conduttore piegato a forma di circonferenza, percorsa
da una piccolissima corrente.
Interazione Magnete-Corrente
Se un filo agisce su un magnete, allora un magnete deve
agire su un filo.
Se magneti e correnti obbediscono alle leggi della
meccanica newtoniana, allora tra magneti e correnti deve
valere la terza legge (principio di azione e reazione).
E’ necessario ideare un esperimento!
Esperimento
Animazione
Il tratto di filo A1A2 è posto nel
traferro di un magnete ed è
connesso alla batteria
attraverso un interruttore. Alla
chiusura dell’interruttore una
forza magnetica fa muovere il filo
che si mette ad oscillare,
l’oscillazione si smorza a causa
dell’attrito e il filo trova la sua
posizione di equilibrio sotto
l’azione della forza magnetica e
del peso.
La forza magnetica che agisce sul filo
ha la seguente espressione:
F = ILB⊥ (1),
dove I è la corrente, L la misura della
lunghezza del filo e B⊥ la componente
dell’intensità del campo magnetico lungo
la direzione di I. La forza F risulta
sempre ortogonale al piano formato da I
e B, ed il verso è dato dalla regola della
mano destra come indicato in figura: I
nel verso del pollice, B nel verso delle
dita (la mano leggermente raccolta sta
ad indicare il verso delle linee di forza di
B, F nel verso uscente dal palmo della
mano. La (1) si può scrivere anche così:
F = ILu L × B
dove u L indica il versore del filo
orientato nella direzione della corrente.
Induzione Magnetica
A questo punto è possibile definire operativamente la
grandezza fisica vettore induzione magnetica o vettore
campo magnetico:
è un vettore la cui direzione è quella dell’asse di un ago
magnetico, il verso è quello sud-nord dei poli dell’ago, il
modulo è dato dalla espressione
F
B=
IL
N
Nm Nms Vs Weber
T=
=
=
= 2=
2
2
Am Am
Cm
m
m2
Interazione corrente-corrente
Sappiamo che un filo percorso da corrente produce un
campo magnetico e che un filo immerso in un campo
magnetico risente di una forza, così se disponiamo due fili
percorsi da corrente l’uno accanto all’altro ognuno risentirà
dell’azione del campo dell’altro, e potremo allora
concludere che i due fili interagiranno tra loro.
Nel caso di due fili rettilinei molto lunghi e paralleli tra loro si
ha la formula di Ampere (1826):
µ 0 I1 I 2 L1
F12 =
2π
R12
dove F12 indica la forza che il filo 1 subisce per effetto del
filo 2, I1 e I2 le correnti nei fili, L1 la misura della lunghezza
del tratto di filo su cui si misura l’azione, R12 la distanza tra
i fili. La forza risulta attrattiva se le correnti sono equiverse,
repulsiva se discordi.
Dimostrazione:
Sia B2 il campo magnetico prodotto dal filo 2 sul filo 1:
µ 0 I2
B2 =
2π R12
allora la forza che risente un tratto L1 del filo 1 è:
µ 0 I2
µ 0 I1 I 2 L1
F12 = I1 L1 B2 = I1 L1
=
2π R12 2π R12
ed è rivolta dal filo 1 al filo 2 (regola della mano destra).
Allo stesso modo, e ottenendo la stessa formula, si può
ottenere la forza F21, questa volta nella formula comparirà
la lunghezza L2 del tratto di filo 2
Definizione di ampere
Teorema della Circuitazione di Ampere
Consideriamo un filo infinito percorso da corrente
La corrente produce in A un campo magnetico
perpendicolare al filo e ad r
µ 0i
B=
2π r
Per calcolare la circuitazione di B consideriamo la
circonferenza di raggio r concentrica con il filo e
perpendicolare ad esso. B è sempre tangente alla
circonferenza quindi: B·dl = Bdl da cui segue che:
µ 0i
C ( B ) = ∑ Bdli = B 2π r =
2π r = µ 0i
2π r
La circuitazione di B non dipende dal raggio,
ma solo dal fatto che la circonferenza racchiuda
il filo percorso da corrente (concatenata).
Dunque la circuitazione di B in condizioni statiche
vale sempre µ 0i (legge di Ampére) con i = ∑ correnti
concatenate con L
Dato che la circuitazione di B è diversa da zero, B
risulta essere non conservativo e non possiamo
definire un’energia potenziale magnetica
Legge di Gauss per il
Campo Magnetico
Il flusso del campo di induzione magnetica attraverso una
superficie chiusa è sempre nullo:


Φ ( B ) = B × dSn = 0
Poiché le linee del campo B sono
continue, chiuse e di verso costante,
qualsiasi superficie chiusa si consideri,
essa vede un ugual numero di linee
entranti ed uscenti.
L’unità di misura del flusso di B è il Weber[Wb].
1Wb →flusso di 1T attraverso una superficie di 1m²
Relazione circuitazionale di Ampère
Si dice che un campo vettoriale è
solenoidale quando il flusso di quel
vettore uscente da una qualunque
superficie chiusa è nullo
Relazione circuitazionale di Ampère
Si dice che un campo vettoriale è
conservativo quando la circuitazione di
quel vettore lungo una qualunque linea
chiusa è nulla
Leggi della elettromagnetostatica
Elettrostatica
Legge di Gauss
σ
Q
Φ ( E) =
=
ε 0 ε 0S
Circuitazione
C( E ) = 0
Magnetostatica
Legge di Gauss
Φ ( B) = 0
Circuitazione
C ( B ) = µ 0i
Il vettore E è conservativo mentre il vettore B è solenoidale