Esercizio 2

Esercizio 2
Sia p il numero della vostra postazione e sia N = 5 + fix(p/5).
Sia A la matrice NxN i cui elementi sono tutti uguali a N tranne quelli della diagonale principale
uguali a N2. Se ne calcoli il determinante.
Sia x = [1, 2, 3 , …, N] e sia b = Ax
Approssimare la soluzione esatta x del sistema lineare Ax = b con il metodo iterativo di Jacobi dove
si prenda:
 x0 = vettore nullo;
 tolleranza = 1e-3;
 numero massimo di iterazioni consentite = 200.
Calcolare la norma p della differenza tra x e la soluzione approssimata xapp ottenuta con il metodo
iterativo.
Riportare i seguenti valori in format long:
determinante di A =
numero di iterazioni compiute dal metodo (N.B. x0 corrisponde all’iterazione 0-esima) =
norma p della differenza tra x e xapp. =
AIUTO (per chi ne avesse bisogno)
Metodo iterativo di Jacobi:
 definizione: vedi PDF8 in pagina web del corso di Calcolo Numerico (Prof.ssa Zampieri);
 test d’arresto || x(k+1)-x(k)||2 < tolleranza.
Norma p: vedi PDF5 in pagina web del corso di Calcolo Numerico (Prof.ssa Zampieri).
Esercizio 2
Sia p il numero della vostra postazione e sia N = 3 + fix(p/10).
Sia A la matrice NxN ottenuta sommando alla matrice di Pascal (comando pascal) il valore p a tutti
gli elementi della diagonale principale. Se ne calcoli il determinante.
Sia x il vettore di dimensione N i cui elementi sono tutti uguali a 1 e sia b = Ax.
Approssimare la soluzione esatta x del sistema lineare Ax = b con il metodo iterativo di Gauss Seidel dove si prenda:
 x0 = vettore nullo;
 tolleranza = 1e-5;
 numero massimo di iterazioni consentite = 200.
Calcolare la norma p della differenza tra x e la soluzione approssimata x app ottenuta con il metodo
iterativo.
Riportare i seguenti valori in format long:
determinante di A =
numero di iterazioni compiute dal metodo (N.B. x0 corrisponde all’iterazione 0-esima) =
norma p della differenza tra x e xapp. =
AIUTO (per chi ne avesse bisogno)
Metodo iterativo di Gauss - Seidel:
 definizione: vedi PDF8 in pagina web del corso di Calcolo Numerico (Prof.ssa Zampieri);
 test d’arresto || x(k+1)-x(k)||2 < tolleranza.
Norma p: vedi PDF5 in pagina web del corso di Calcolo Numerico (Prof.ssa Zampieri).
Esercizio 2
Sia p il numero della vostra postazione e sia N = 5+ fix(p/4).

Sia A la matrice a banda NxN che ha il valore 2N sulla diagonale principale, -N sulla terza
sopra-diagonale e –N sulla seconda sotto-diagonale. Se ne calcoli il determinante.

Sia B la matrice di iterazione del metodo di Jacobi costruita a partire da A (se A = L + D + U
con L matrice triangolo inferiore, D diagonale, U triangolo superiore, allora B = -D-1(L + U)).
Se ne calcoli il raggio spettrale.

0
0

Si costruiscano la matrice Ap = A +  :

:
0
p 0
0
0
:
:
:
0
..
0
0
.. 0
.. :  e la corrispondente Bp (vedi punto

0 0
p 0
..
precedente) e di quest’ultima si calcoli il raggio spettrale.
Riportare i seguenti valori (ove possibile in format long):
determinante di A:
raggio spettrale di B:
raggio spettrale di Bp:
AIUTO (per chi ne avesse bisogno)
Metodo iterativo di Jacobi: per la definizione vedi PDF8 in pagina web del corso di Calcolo
Numerico (Prof.ssa Zampieri).
Raggio spettrale di una matrice = modulo dell’autovalore di modulo massimo.
Esercizio 2
Sia p il numero della vostra postazione e sia N = 5+ fix(p/3).

Sia A la matrice a banda NxN che ha il valore 3N sulla diagonale principale, -2N sulla
seconda sopra-diagonale e –N sulla terza sotto-diagonale. Se ne calcoli il determinante.

Sia B la matrice di iterazione del metodo di Gauss-Seidel costruita a partire da A (se A =
L + D + U con L matrice triangolo inferiore, D diagonale, U triangolo superiore, allora B
= -(D+L)-1U). Se ne calcoli il raggio spettrale.

0
:

Si costruiscano la matrice Ap = A +  :

0
 p
.. .. 0
.. .. 0
.. .. ..
0 .. ..
0 .. ..
p
0 
:  e la corrispondente Bp (vedi punto

:
0 
precedente) e di quest’utima si calcoli il raggio spettrale.
Riportare i seguenti valori (ove possibile in format long):
determinante di A:
raggio spettrale di B:
raggio spettrale di Bp:
AIUTO (per chi ne avesse bisogno)
Metodo iterativo di Gauss-Seidel: per la definizione vedi PDF8 in pagina web del corso di Calcolo
Numerico (Prof.ssa Zampieri).
Raggio spettrale di una matrice = modulo dell’autovalore di modulo massimo.