Anno Accademico 2005-2006
Corso di Algebra Lineare e Calcolo Numerico
per Ingegneria Meccanica
Prima prova in itinere: temi d’esame
Esercizio 1
1. Sia V uno spazio vettoriale e W un suo sottospazio. Si dia la definizione di base e di
dimensione di W .
2. Si dia la definizione di base ortonormale di W .
3. Si consideri il sottospazio di R3 definito da
W = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | x1 + 2x2 − 3x3 = 0}.
Trovare una base per W e determinarne la dimensione.
4. Trovare una base ortonormale per W .
5. Dato il vettore v = (1, 1, 0), se ne determini la proiezione ortogonale sul sottospazio W .
Soluzione
3. Una base per il sottospazio W è data dalle soluzioni del sistema:
x1 + 2 x2 − 3 x3 = 0 ,
ovvero:
x1 = −2 x2 + 3 x3 .
Quindi le soluzioni sono i vettori del tipo (−2 c1 + 3 c2 , c1 , c2 ) con c1 , c2 ∈ R. Una base
per tale sottospazio (sono soluzioni di un sistema lineare omogeneo e quindi formano
un sottospazio) è formata ad esempio dai vettori v1 = (−2, 1, 0) e v2 = (3, 0, 1). La
dimensione di W è pertanto pari a 2.
4. Applicando il processo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt alla base precedentemente scritta si ottiene la base: u1 = √15 (−2, 1, 0) e u2 = √170 (3, 6, 5).
5. Per calcolare la proiezione di v sul sottospazio W calcoliamo le sue proiezioni p1 e p2
lungo i vettori della base ortonormale u1 ed u2 :
1
p1 = (v · u1 ) u1 = − (−2, 1, 0)
5
9
p2 = (v · u2 ) u2 =
(3, 6, 5)
70
1
La proiezione p di v su W sarà quindi la somma di p1 e p2 :
1
(11, 8, 9) .
14
Tale procedimento è corretto, in quanto abbiamo utilizzato una base ortonormale di
W . Si note che se la base fosse soltanto ortogonale {ũ1 , ũ2 } occorre normalizzare la
proiezione su ogni elemento della base:
p=
p̃1 =
(v · ũ1 ) ũ1
,
kũ1 k2
(v · ũ2 ) ũ2
kũ2 k2
p̃2 =
e
p = p̃1 + p̃2 .
Esercizio 2
Sia L : R2 → R3 la trasformazione lineare cosı̀ definita:
L (e1 ) = b1 − 2b2 ,
L (e2 ) = 4b1 + 5b2 − 3b3 ,
dove e1 ed e2 rappresentano i vettori della base canonica di R2 e b1 , b2 e b3 i vettori della
base canonica di R3 .
1. Scrivere la matrice A che rappresenta L rispetto alla base canonica di R2 ed alla base
canonica di R3 . Determinare le dimensioni del nucleo e dell’immagine di L ed una base
per i due sottospazi.
2. Si determinino i valori del parametro reale k per cui il vettore:
T
b = −k, k 2 + 1, 0
appartiene all’immagine di L e, per tali valori, si calcoli il vettore v tale che L (v) = b.
3. Si diano le definizioni di trasformazioni iniettive e suriettive e si dica, giustificando
le risposte, se L è iniettiva o suriettiva. Una trasformazione da R2 in R3 può essere
biunivoca?
4. Sia Ax = b un sistema lineare con A ∈ M (m, n). Si supponga che tale sistema sia
risolubile. Si descriva l’insieme delle soluzioni.
Soluzione
1. La matrice A è:
1
4
A = −2 5 .
0 −3
Il rango di A è pari a 2 e quindi la dimensione dell’immagine è 2 e quella del nucleo è 0.
Pertanto il nucleo è composto dal solo vettore nullo 0, mentre una base per l’immagine
è data dalle colonne di A.
2
2. Il vettore b appartiene all’immagine, se la
1
B = −2
0
matrice:
4
−k
5 k2 + 1
−3
0
ha determinante nullo, ovvero se il vettore b può essere scritto come combinazione lineare
degli elementi della base dell’immagine. Poichè det (B) = 3 (k − 1)2 , b appartiene
all’immagine solo per k = 1. In questo caso, calcoliamo la controimmagine risolvendo il
sistema lineare Av = b, che ammette come unica soluzione il vettore: v = (−1, 0)T .
Esercizio 3
Si consideri la seguente matrice:
1 0 −2
A = 2 −1 −2 .
0 0 −1
1. Si dica se A è diagonalizzabile e in caso affermativo calcolare la matrice diagonale
equivalente e la matrice di passaggio.
2. Si determinino le componenti del vettore u = (1, 1, 1) rispetto ad una base di autovettori.
3. Si dia la definizione di autovalore e di autovettore di una generica matrice B ∈ M (n, n).
Si dica quando un autovalore è regolare.
4. Si dia la definizione di diagonalizzabilità di una matrice B ∈ M (n, n). Si enuncino le
condizioni di diagonalizzabilità di una generica matrice B ∈ M (n, n).
Soluzione
1. La matrice ha due autovalori: λ1 = 1, con molteplicità algebrica 1, e λ2 = −1,
con molteplicità algebrica 2. Per sapere se è diagonalizzabile, dobbiamo verificare la
molteplicità geometrica di λ2 . Poichè la matrice A − λ2 I ha rango 1, la molteplicità
geometrica di λ2 , pari alla dimensione del nucleo di A − λ2 I è 2. Pertanto la matrice è
diagonalizzabile. La matrice diagonale equivalente è data da:
1 0
0
Λ = 0 −1 0 ,
0 0 −1
mentre il calcolo degli autovettori porta alla
1
S= 1
0
3
matrice di passaggio:
0 1
1 0
0 1
2. Per calcolare le componenti x1 , x2 , x3 del vettore u rispetto alla base di autovettori
formata dalle colonne di S, dobbiamo risolvere il sistema S x = u. Otteniamo come
unica soluzione il vettore di componenti x = (0, 1, 1)T .
4
