ESERCIZI SUPPLEMENTARI
CAP. 21-22-23
Libro di testo: D. Kreps, Microeconomia per manager, Egea 2005
ESERCIZIO 1
Roberto deve decidere se effettuare un investimento finanziario in un fondo azionario che egli stima
possa dargli un rendimento positivo di 300 euro con probabilità 0,5 e un rendimento negativo di 64
euro con probabilità 0,5.
Le sue preferenze sono rappresentate dalla funzione di utilità U(x) = x 100
a) Si calcoli se Roberto effettuerà questo investimento?
b) Roberto è avverso o propenso al rischio?
c) Lucia ha invece preferenze rappresentate dalla funzione utilità U(x) = x+10. Si calcoli se
effettuerà lo stesso investimento e si determini quale atteggiamento ha Lucia rispetto al
rischio
d) Roberto e Lucia formano una società e decidono di effettuare un investimento che entrambi
stimano che possa dare un profitto di 150 euro con probabilità 0,4 e possa subire una perdita
di 100 con probabilità 0,6. Si determini la ripartizione efficiente del rischio d’impresa tra
Roberto e Lucia.
e) Si ipotizzi che nel caso dell’investimento al punto (d) Roberto intenda sottoscrivere una
quota del 40% dell’investimento. Quanto chiederebbe a Lucia per sottoscrivere tale quota?
f) Si calcoli se Lucia trova vantaggioso sottoscrivere il 60% dell’investimento e pagare il
compenso richiesto da Roberto.
SOLUZIONE ES. 1
(a) L’investimento è vantaggioso per Roberto perché egli ottiene un equivalente certo positivo
Utilità di Roberto U(x) = x 100 .
U(x=300) = 300 100 = 400 = 20
U(x=-64) = 64 100 = 36 = 6
Utilità attesa di Roberto dall’Investimento = (0.5)(20)+(0.5)(6) = 13
Calcolo equivalente certo x corrispondente a U(x)=13
U(x) = x 100 => 13 = x 100 => (13)2 = ( x 100 )2 => 169 = x +100 => x=69
L’equivalente certo di Roberto per U=13 è uguale a 69
(b) Se Roberto fosse avverso al rischio non accetterebbe una scommessa che ha un valore atteso
uguale a 0. Per esempio, non troverebbe conveniente effettuare una scommessa che dà 100
euro con probabilità 0.5 e -100 euro con probabilità 0.5
Utilità di Roberto U(x) = x 100
U(x=100) = 100 100 = 200 ~ 14,14
U(x=-100) = 100 100 = 0 = 0
Utilità attesa di Roberto dall’Investimento = (0.5)(14,14)+(0.5)(0) = 7,07
Calcolo equivalente certo x corrispondente a U(x) = 7,07
U(x) = x 100 => 7,07 = x 100 => (7,07)2 = ( x 100 )2 => 49,98 = x +100
L’equivalente certo per U=7,07 è uguale a – 50,02 quindi Roberto è avverso al rischio
perché il suo equivalente certo per una scommessa con valore atteso uguale a 0 è negativo.
(c) L’investimento è vantaggioso per Lucia perché ella ottiene un equivalente certo positivo
1
Utilità di Lucia U(x) = x+10.
U(x=300) = 300+10 = 310
U(x=-64) = -64+10 = -54
Utilità attesa di Lucia dall’investimento = (0.5)(310)+(0.5)(-54) = 128
Calcolo equivalente certo per U(x) = 128
U(x) = x+10 => 128 = x+10 => x = 118
L’equivalente certo di Lucia per U=128 è uguale a 118.
Se Lucia fosse avversa al rischio non accetterebbe una scommessa che ha un valore atteso
uguale a 0. Per esempio non troverebbe conveniente effettuare una scommessa che dà 100
con probabilità 0.5 e -100 con probabilità 0.5
Utilità di Lucia U(x) = x+10
U(x=100) = 100+10 = 110
U(x=-100) = -100+10 = -90
Utilità attesa di Lucia dall’investimento = (0.5)(110)+(0.5)(-90) = 10
Calcolo equivalente certo per U(x) = 10
U(x) = x+10=> 10= x+10=> x =0
L’equivalente certo per U=10 è uguale a 0 quindi Lucia è neutrale rispetto al rischio in
quanto è indifferente tra accettare e non accettare un investimento che ha un valore atteso nullo
(d)
La ripartizione efficiente è che Lucia sopporti tutto il rischio in quanto Lucia è neutrale rispetto
al rischio e Roberto nessun rischio in quanto è avverso al rischio
(e)
Utilità di Roberto U(x) = x 100
U[x=0,4*150] = 60 100 = 160 = 12,65
U[x=0,4*(-100)} = 40 100 = 60 = 7,74
Utilità attesa di Roberto dall’Investimento = (0,4)(12,65)+(0,6)(7,74) = 9,70
Calcolo equivalente certo x corrispondente a U(x)=9,70
U(x) = x 100 => 9,70 = x 100 => (9,70)2 = ( x 100 )2 => 94,09 = x +100 =>
x = -5,91
L’equivalente certo di Roberto per U=9,7 è uguale a -5.91. Roberto dovrebbe quindi
ricevere almeno 5,91 da Lucia per sottoscrivere il 40% dell’investimento
(f)
Utilità di Lucia U(x) = x+10
U(x=0,6*150) = 90+10 = 100
U[x=0,6*(-100)] = -60+10 = -50
Utilità attesa di Lucia dall’investimento = (0,4)(100)+(0,6)(-50) = 10
Calcolo equivalente certo per U(x)=10
U(x) = x+10=> 10= x+10=> x=0
L’equivalente certo per U=10 è uguale a 0
Quindi se deve pagare 5,91 a Roberto, Lucia non troverà vantaggioso sottoscrivere il 60%
dell’investimento.
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ESERCIZIO 2
Marco intende acquistare un’impresa edile che egli stima possa dargli un profitto di 40.000 euro con
probabilità 0,5 e un profitto nullo con probabilità 0,5. Le sue preferenze sono rappresentate dalla
funzione di utilità U(x) = x 20.000
a) Si calcoli se Mario acquisterà l’impresa edile?
b) Si assuma adesso che vi sia la possibilità che venga offerta a Mario un’altra impresa che
produce beni infiammabili e che può dargli un profitto di 50.000 euro con probabilità 0,6 e
un profitto di 10.000 euro con probabilità 0,4. Si calcoli se Mario acquisterà l’impresa di
beni infiammabili se può escludere tutti i rischi di incendio.
c) Si consideri adesso che il rischio di impresa comprende anche la possibilità che lo
stabilimento vada a fuoco e non produca quindi alcun profitto. La probabilità stimata che ciò
avvenga è 0,1. Mario può acquistare anche un’assicurazione contro l’incendio che costa
5.000 euro e che gli garantisce un rimborso di 20.000 euro in caso di incendio. Si calcoli se
Mario acquisterà l’assicurazione.
SOLUZIONE ES. 2
a) L’impresa edile è vantaggiosa per Mario perché egli ottiene un equivalente certo positivo
Utilità di Mario U(x) = x 20.000
U(x=40.000) = 40.000 20.000 = 60.000 = 244,95
U(x=0) = 0 20.000 = 20.000 = 141,42
Utilità attesa di Mario dall’impresa = (0.5)( 244,95)+(0.5)( 141,42) = 193,18
Calcolo equivalente certo x corrispondente a U(x)=193,18
U(x) = x 20.000 => 193,18 = x 20.000 => (193,18)2 = ( x 20.000 )2 =>
37.318,51 = x +20.000 => x=17.318,51
L’equivalente certo di Mario per U=193,18 è uguale a 17.318,51
b) L’impresa di beni infiammabili è vantaggiosa per Mario perché egli ottiene un equivalente certo
positivo
Utilità di Mario U(x) = x 20.000
U(x=50.000) = 50.000 20.000 = 70.000 = 264,57
U(x=10.000) = 10.000 20.000 = 30.000 = 173,20
Utilità attesa di Mario dall’impresa senza rischio di incendio =
(0.6)( 264,57)+(0.4)( 173,20) = 228,02
Calcolo equivalente certo x corrispondente a U(x)=228,02
U(x) = x 20.000 => 228,02 = x 20.000 => (228,02)2 = ( x 20.000 )2 =>
51.993,12 = x +20.000 => x=31.993,12
L’equivalente certo con cui Mario valuta l’investimento nell’impresa di beni infiammabile è
uguale a 31.993,12
c) L’impresa con il rischio di incendio è svantaggiosa per Mario perché egli ottiene un equivalente
certo negativo.
CASO CON ASSICURAZIONE
Utilità di Mario U(x) = x 20.000
U(x=50.000-5.000) = 45.000 20.000 = 65.000 = 254,95
U(x=10.000-5.000) = 5.000 20.000 = 25.000 = 158,11
3
U(x=20.000-5.000) = 15.000 20.000 = 35.000 = 187,08
Utilità attesa di Mario dall’impresa con rischio di incendio e con assicurazione=
(0,9)(0,6)( 254,95) + (0.9)(0,4)( 158,11) + (0.1)(187,08) = 213,30
Calcolo equivalente certo x corrispondente a U(x)=213,30
U(x) = x 20.000 => 213,30 = x 20.000 => (213,30)2 = ( x 20.000 )2 =>
45,496,89 = x +20.000 => x=25.496,89
CASO SENZA ASSICURAZIONE
Utilità di Mario U(x) = x 20.000
U(x=50.000) = 50.000 20.000 = 70.000 = 264,57
U(x=10.000) = 10.000 20.000 = 30.000 = 173,20
U(x=0) = 0 20.000 = 20.000 = 141,42
Utilità attesa di Mario dall’impresa senza rischio di incendio =
(0,9)(0,6)( 264,57) + (0.9)(0,4)( 173,20) + (0.1)(141,42) = 219,36
Calcolo equivalente certo x corrispondente a U(x)=219,36
U(x) = x 20.000 => 219,36 = x 20.000 => (219,36)2 = ( x 20.000 )2 =>
48.118,81 = x +20.000 => x=28.118,81
Mario non acquisterà l’assicurazione perché l’equivalente certo del caso senza assicurazione
(28.118,81) è maggiore di quello con assicurazione (25.496,89).
4
ESERCIZIO N. 3
Enrica, la cui funzione di utilità è UENRICA=
, sta valutando se investire in un’attività
che lei ritiene potrebbe procurarle un guadagno di 40.000 euro con probabilità 0,6 o causarle una
perdita di 10.000 euro con probabilità 0,4. Riccardo, la cui funzione di utilità è
URICCARDO=
potrebbe entrare in società con quote paritarie con Enrica ma ritiene che le
probabilità con cui la stessa attività possa rendergli 30.000 euro o -10.000 euro siano
rispettivamente 0,2 e 0,8.
a)
b)
c)
d)
Si calcoli se Enrica troverà vantaggioso investire da sola nell’attività
Si calcoli se Enrica troverà vantaggioso investire nel 50% dell’attività insieme a Riccardo
Si determini se Ricardo troverà vantaggioso investire in una quota del 50% dell’attività
Se esiste una sovvenzione pubblica per la costituzione di società di 7.500 euro che va a
esclusivo vantaggio di Enrica, Enrica troverà vantaggioso entrare in società con Riccardo?
SOLUZIONE ESERCIZIO N. 3
a) UENRICA=
UENRICA(x=40.000) = 360,55
UENRICA(x=-10.000) = 173,20
UattesaENRICA = 0,6 (360,55) + 0,4 (173,20) = 285,61
Calcolo ECENRICA (UENRICA = 285,61)
285,61 =
(285,61)2 =(
)2
81.573,07 = 2x + 50.000
31.573,07 = 2x
x=15.786,54
Poiché l’equivalente certo che ottiene è maggiore di 0, Enrica troverà vantaggioso investire
da sola nell’attività
b) UENRICA=
UENRICA(x=0,5*40.000) = 300
UENRICA[x=0,5*(-10.000)] = 200
UattesaENRICA = 0,6 (300) + 0,4 (200) = 260
Calcolo ECENRICA (UENRICA = 260)
260 =
(260)2 =(
)2
67.600 = 2x + 50.000
17.600 = 2x
x=8.800
Poiché l’equivalente certo che ottiene è maggiore di 0, Enrica troverà vantaggioso investire
nel 50% nell’attività
c) URICCARDO=
5
URICCARDO (x=0,5*30.000) = 254,95
URICCARDO [x=0,5*(-10.000)] = 212,13
UattesaRICCARDO = 0,2 (254,95) + 0,8 (212,13) = 50,99+169,70=220,69
Calcolo ECRICCARDO (URICCARDO = 220,69)
220,69 =
(220,69)2 =(
)2
48.704,08 = x + 50.000
x=-1295,92
Poiché l’equivalente certo che ottiene è minore di 0, Riccardo troverà vantaggioso investire
nel 50% dell’attività
d) L’EC a cui rinuncia Enrica costituendo la società con Riccardo è uguale a
15.786,54 - 8.800 = 6.986,54
Enrica deve inoltre finanziare Riccardo con la somma di 1.295,92 affinché Riccardo accetti
di entrare a far parte della società.
Il finanziamento pubblico (7.500 euro) ottenuto costituendo la società è minore di
6.986,54+1295,92=8282,46 che è la somma totale persa da Enrica per costituire la società
Quindi Enrica non troverà vantaggioso formare la società con Riccardo.
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ESERCIZIO N. 4
Un imprenditore propone ad un proprio dipendente, che ha la responsabilità delle attività
commerciali dell’impresa e che ha una funzione di utilità uguale a UDIP=
, la scelta tra un salario
fisso senza incentivazione z uguale a 1.350.000 euro ed una retribuzione incentivante x composta da
una quota a di retribuzione fissa uguale a 1.000.000 euro e da un bonus b che dipende dal valore dei
contratti di vendita conclusi dall’impresa. Se i contratti conclusi assumono un valore y, il
dipendente otterrà un bonus uguale a 0,2(y). La retribuzione incentivante sarà quindi uguale a
x = a + b = a + 0,2(y)
Per decidere il livello di sforzo da adottare, il dipendente stima che un suo elevato livello di
sforzo eA produrrà contratti con un valore totale di 3.000.000 euro con probabilità 0,6 e di
1.000.000 euro con probabilità 0,4, mentre un basso livello di sforzo eB produrrà contratti con un
valore totale di 3.000.000 euro con probabilità 0,4 e di 1.000.000 euro con probabilità 0,6. I costi
che il dipendente sostiene esercitando un alto livello di sforzo sono uguali a 70.000 euro mentre
quelli che sostiene esercitando un livello di sforzo basso sono nulli.
a) Si determini se il dipendente opterà per il salario fisso o per la retribuzione incentivante.
b) Si consideri adesso la possibilità che l’imprenditore non ritenga opportuno offrire il
contratto di incentivazione perché non ritiene che il valore dei contratti di vendita sia un
segnale accurato del livello di sforzo esercitato dal dipendente. Offre quindi al dipendente di
acquistare l’impresa al prezzo di 900.000 euro. Si determini se il dipendente preferirà
acquistare l’impresa o accettare il salario fisso senza incentivazione z uguale a 1.350.000.
SOLUZIONE ESERCIZIO N. 4
a) UDIP=
UDIP (eA) [x= 1.000.000 + (0,6*0,2*3.000.000+0,4*0,2*1.000.000)] =
1.697,05
UDIP (eB) [x= 1.000.000 + (0,4*0,2*3.000.000+0,6*0,2*1.000.000)] =
1.649,24
Calcolo EC [UDIP (eB)] per UDIP = 1.697,05
1.697,05 =
(1.697,05)2 =(
)2
2.880.000 = 2x
x = 1.440.000
Calcolo EC [UDIP (eB)} per UDIP = 1.649,24
1.649,24 =
(1.649,24)2 =(
)2
2.720.000 = 2x
x= 1.360.000
Guadagno dipendente se esercita il livello di sforzo alto eA
1.370.000
=
= 1.440.000 – 70.000 =
Guadagno dipendente se esercita il livello di sforzo basso eB = 1.360.000
7
=
Il dipendente quindi ha convenienza ad esercitare un livello di sforzo alto eA e ad accettare il
salario incentivante, da cui ottiene un guadagno (1.370.000) maggiore del salario fisso senza
incentivazione (1.350.000)
b) UDIP=
b)
UDIP (eA) [x= (0,6*3.000.000+0,4*1.000.000)-900.000] =
UDIP (eB) [x= (0,4*3.000.000+0,6*1.000.000)-900.000] =
Calcolo EC [UDIP (eB)] per UDIP = 1.612,45
1.612,45 =
x = 1.300.000
Calcolo EC [UDIP (eB)} per UDIP = 1.341,64
1.341,64=
x= 900.000
Guadagno dipendente se esercita il livello di sforzo alto eA
1.230.000
= 1.612,45
= 1.341,64
= 1.300.000 – 70.000 =
Guadagno dipendente se esercita il livello di sforzo basso eB = 900.000
Il dipendente quindi ha convenienza ad accettare il salario fisso senza incentivazione da cui
ottiene un guadagno (1.350.000) maggiore del contratto offertogli dall’imprenditore
(1.230.000).
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