Laboratorio di Fisica per Scienze Naturali
Esperienza n 1
Verifica della legge di Hooke
Misura dei coefficiente di elasticità di molle di acciaio.
Scopo dell'esperienza
1) verifica del fatto che l’ allungamento di una molla segue
approssimativamente la legge di Hooke.
2) misura diretta (statica) della costante elastica k di tre diverse molle.
3) misura indiretta (dinamica) della costante elastica k dal periodo di
oscillazione di un pendolo a molla
1. Dispositivo sperimentale:
Massa
appesa
Figura 1- Dispositivo sperimentale
Legge fìsica
F = k(x - x0),
(1)
dove x0 è la lunghezza a riposo della molla e x la lunghezza della molla caricata dal
peso di masse appese alla molla. La quantità ∆x = x — x0, rappresenta l'allungamento
o deformazione della molla.
La forza applicata e’ la forza peso: F = mg dove m e’ la massa di ciascun peso e g e’
l’ accelerazione di gravità g = 9.8 m/s2
Si dispone di 5 masse eguali che possono essere collegate tra di loro. La forza
applicata può pertanto essere variata e vale Fn = n mg con n = numero delle masse
appese.
Dispositivo sperimentale – (Figura 1)
Si dispone di :
o un sostegno verticale a cui si possono appendere le molle e successivamente in
numero crescente, le cinque masse a disposizione.
o Le tre molle di cui si deve misurare il coefficiente di elasticità che hanno
diversi coefficiente di elasticità. Pertanto la misura deve essere ripetuta tre
volte
o Una bilancia elettronica per la misura delle masse.
o un regolo graduato in mm, dotato di due cursori che possono essere posizionati
indipendentemente per la misura dell’ allungamento delle molle.
o un cronometro elettronico per la misura di intervalli di tempo
2 Misura diretta dell’ allugamento della molla
Procedimento sperimentale:
o Verificare con la bilancia i valori delle masse a disposizione.
o Appendere una molla al sostegno e misurare la sua lunghezza (x0) con il
cursore graduato in assenza di forze applicate (F0 = 0)
x
x5
x4
x3
x2
x1
x0
F1
F2
F3
F4
F5
F
Figura 2 Rappresentazione grafica dei dati di misura per una molla
o Appendere successivamente le 5 masse corrispondenti a forze peso applicate
Fn = n mg ed misurare le rispettive lunghezze xn con n= 1…5 accostando il
cursore millimetrato sempre alla stessa posizione di riferimento.
o Costruire un grafico delle coppie (Fn,xn) di valori misurati, che appare
approssimativamente come in Figura 2 . I dati si dispongono
approssimativamente sulla retta:
x = a 0+ a 1 F
(2)
dove a0 e a1 sono i due coefficienti della retta che devono essere calcolati dalle
misure sperimentali con il metodo dei “minimi quadrati.
Il confronto con la 1) mostra che a0 = x0 e’ il valore piu’ probabile della
lunghezza della molla scarica e a1 , coefficiente angolare della retta e’ l’
inverso del valore del coefficiente di elasticità.
o Ripetere la stessa misura per le altre due molle e riportarle sullo stesso grafico
Analisi dei dati
E’ possibile derivare il valore più probabile del coefficiente di elasticità calcolando l’
equazione della retta che meglio approssima i dati per mezzo del metodo dei minimi
quadrati che consiste nel rendere minima la somma degli scarti tra le misure
effettivamente ottenute e il valore atteso della funzione x per i rispettivi valori dei
pesi applicati Fn= n mg
N
S = ∑ [ x n − x( Fn )]2
(3)
1
Si e’ dimostrato che col metodo dei minimi quadrati si ottiene:
N
N
N
∑ x ⋅∑ F
n
x0 =
1
2
n
1
N
N
N
1
1
− ∑ Fn ⋅ ∑ x n Fn
N
N ∑ Fn − (∑ X n ) 2
1
2
1
=
k
N
N
N ∑ Fn x n − ∑ Fn ⋅ ∑ x n
1
1
N
N ∑ Fn − (∑ X n )
1
1
1
2
(4)
N
2
1
il calcolo fornisce anche il valore più probabile della lunghezza della molla scarica,
basata su tutte le misure effettuate.
o Calcolare e tracciare l’ equazione della retta più probabile sul grafico delle
misure per tutte e tre le molle.
3) Costante di elasticita’ dalla misura del periodo di un oscillazione
La molla con una massa appesa funziona come un pendolo a molla con una legge del
moto di tipo armonico smorzato:
x(t ) = A ⋅ e −γt sin(ωt + φ )
dove ω = 2π/T e’ la frequenza angolare e T il periodo dell’ oscillazione φ e’ la fase
iniziale, A e’ l’ampiezza massima e γ il coefficiente di attenuazione. La legge del
moto é rappresentata in Figura 3
T
A
n–1 esima oscillazione
n esima oscillazione
A n = ε A n-1
t
Figura 3
ca
Il periodo di oscillazione dipende dalla costante di elasticità k come :
ω=
k
m
(5)
dove m e’ la massa appesa e g è l’ accelerazione di gravità g = 9.81m s-1.
Pertanto la costante elastica può essere dedotta dalla misura del periodo di
oscillazione:
2π
k = m ⋅ ω2 = m ⋅ ( ) 2
(6)
T
La costante di smorzamento ottiene misurando il rapporto tra le ampiezze massime
dell’ oscillazione ad un tempo t qualunque ed ad un tempo t+nT dove n e’ un numero
intero di periodi. E’
A(t )
1
A(t + nT )
e −γnT =
ossia
γ =
ln[
]
(7)
A(t + nT )
nT
A(t )
Procedimento sperimentale
o Appendere una o più delle masse a disposizione ad una molla.
o Spostando di poco la massa dalla sua posizione di equilibrio, mettere il
pendolo in oscillazione verticale.
o Iniziando e terminando ad un istante di ampiezza massima o minima, misurare
col cronometro un intervallo ∆t = nT con n ~ 50.
Ripetere la misura 10 volte.
o Misurare con i due riferimenti del regolo graduato l’ ampiezza massima dell’
oscillazione ad un tempo t e a tre tempi successivi t+20T, t+40T, t+60T.
Analisi dei dati
o Costruire l’ istogramma dei dati.
o Calcolare il valor medio, l’ errore sulla singola misura e sul valor medio della
misura del periodo
Dal valore medio del periodo e dalla (6) calcolare il valor medio del
coefficiente di elasticità k e confrontarlo con il valore ottenuto con la misura
diretta
o Dalla misura dell’ ampiezza e della frequenza dell’ oscillazione ad un certo
istante t calcolare la massima velocità, energia cinetica ed accelerazione del
pendolo.
o Utilizzando la (7) dedurre il coefficiente di attenuazione dell’ oscillazione.
Stimare l’ errore della misura singola.
Relazione sull’ esperimento
L’ esperimento effettuato deve essere descritto da una breve relazione, in cui sono
riportati:
o I risultati delle misure effettuate
o L’analisi dei dati
o Eventuali commenti sulle difficoltà incontrate nell’esecuzione dell’
esperimento
Pendolo a molla
Se lo stesso sistema molla + massa è disposto verticalmente si
realizza il dispositivo del pendolo a molla. Le forze in gioco sono
lievemente diverse dal caso precedente perché ora al corpo oltre alla
forza elastica è applicata anche la forza di gravità.
In condizioni statiche il corpo e’ in equilibrio quando la somma delle
forze si annulla ossia quando
mg - kd = 0
Se il peso viene spostato vero l’ alto in posizione y la forza agente e’:
Fy= k (d-y) - mg
e l’ equazione della dinamica e’:
k (d-y) - mg = ma
Anche la legge del moto di un corpo appeso alla molla e’ del tipo
d2y/dy2 = -(k/ m) y
k
e pertanto e’ un moto armonico con frequenza angolare ω
y = A cos(ω
ω t + φ)
m
La misura del periodo del pendolo permette permette una misura
indiretta ma precisa della costante di elasticità della molla k
Questa misura sarà effettuata in Laboratorio
Posizione di
equilibrio
d
