ADDIZIONE
L' addizione è una legge di composizione che associa ad una coppia di numeri, chiamati addendi
(indicati con i simboli a e b), un terzo numero, detto somma (indicato con il simbolo c).
+
(a, b) → c
a+b=c
a = primo addendo
b = secondo addendo
c = somma
Osserviamo la tabella e con l'aiuto dei colori scopriamo alcune proprietà dell'addizione.
+
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11
3
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
4
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13
5
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14
6
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
7
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16
8
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17
9
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Osservazioni
1. La tabella è tutta piena di numeri → l'addizione è una legge di composizione interna all’insieme
dei numeri naturali. Se faccio l'addizione tra due numeri naturali ottengo sempre un altro numero
naturale.
2. La prima riga e la prima colonna, colorate di giallo, sono uguali all’intestazione della tabella →
Lo zero è l’elemento neutro della somma. Se uno dei due addendi è zero il risultato è uguale
all’altro addendo.
esempio:
5+0=5
0 + 5=5
3. La tabella è simmetrica rispetto alla diagonale principale (colorata di verde), cioè i numeri che
stanno da parti opposte rispetto alla diagonale sono uguali, come evidenziato dai numeri rossi →
Cambiando l’ordine degli addendi il risultato non cambia. Questa si chiama p roprietà
commutativa
esempio :
4+3=7
3+ 4 = 7
Altre proprietà
4. Proprietà associativa: questa proprietà permette di eseguire l’addizione quando gli addendi
sono più di due. In pratica due addendi qualsiasi possono essere sostituiti dalla loro somma.
esempio :
5 + 7 + 9 = (5 + 7) + 9 = 12 + 9 = 21 oppure 5 + 7 + 9 = 5 + (7 + 9) = 5 + 16 = 21
5. Proprietà dissociativa: questa proprietà funziona al contrario di quella associativa. In pratica in
una addizione un addendo può essere sostituito da due o più numeri la cui somma è uguale
all’addendo tolto:
esempio :
6 + 15 + 8 = 6 + (15) + 8 = 6 + (10 + 5) + 8 = 6 + 10 + 5 + 8 = 29
oppure
6 + 15 + 8 = 6 + (15) + 8 = 6 + (10 + 4 + 1) + 8 = 6 + 10 + 4 + 1 + 8 = 29
SOTTRAZIONE
La sottrazione è una legge di composizione che associa ad una coppia di numeri, chiamati minuendo e
sottraendo (indicati con i simboli a e b), un terzo numero, detto differenza (indicato con il simbolo c).
–
(a, b) → c
a-b=c
a = minuendo
b = sottraendo
c = differenza
Osserviamo la tabella e con l'aiuto dei colori scopriamo alcune proprietà della sottrazione.
-
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
0
1
1
0
2
2
1
0
3
3
2
1
0
4
4
3
2
1
0
5
5
4
3
2
1
0
6
6
5
4
3
2
1
0
7
7
6
5
4
3
2
1
0
8
8
7
6
5
4
3
3
1
0
9
9
8
7
6
5
4
3
2
1
9
0
Osservazioni
1. La tabella non è tutta piena, la parte grigia è vuota. Se volessi riempirla dovrei scrivere dei numeri
negativi (detti numeri relativi). Ad esempio: 1 – 2 = – 1 → La sottrazione NON E’ una legge di
composizione interna all’insieme dei numeri naturali. Per poter fare la sottrazione tra due numeri
naturali il minuendo deve essere maggiore o uguale al sottraendo.
2. La prima colonna della tabella, colorata in giallo, è uguale all’intestazione → Se il sottraendo è
zero, la differenza è uguale al minuendo:
esempio:
5-0=5
3. La tabella non è simmetrica rispetto alla diagonale principale colorata di verde. Infatti una delle
due metà rispetto alla diagonale è vuota → Nell’insieme dei numeri naturali, per la sottrazione
non vale la proprietà commutativa. Non posso scambiare minuendo con sottraendo e ottenere
sempre lo stesso risultato.
esempio:
3–1= 2
ma
1- 3= –2.
– 2 è diverso da 2
4. La diagonale principale, colorata di verde, contiene tutti zero → Quando minuendo e sottraendo
sono uguali, la differenza è zero.
Esempio:
5 - 5 = 0 ; 6 – 6 = 0 ; ecc.....
Altre proprietà
1. Proprietà invariantiva
Aggiungendo o sottraendo al minuendo e al sottraendo lo stesso numero la differenza non cambia:
esempio:
7-4= 3
aggiungo 3, sia al minuendo che al sottraendo: (7 + 3) - (4 + 3) = 10 - 7 = 3
tolgo 2, sia al minuendo che al sottraendo:
(7 - 2) - (4 - 2) = 5 - 2 = 3
la differenza resta sempre 3.
2. Attenzione all'uso della proprietà associativa con la sottrazione!!!
Con la sottrazione, non posso sostituire due numeri qualsiasi con la loro differenza perchè il risultato
può cambiare! Per ora è necessario procedere in ordine con le sottrazioni da sinistra verso destra.
Esempio:
posso fare così:
10 - 3 - 2 = ( 10 – 3) – 2 = 7 – 2 = 5
NON POSSO FARE COSI' : 10 – 3 – 2 = 10 – (3 – 2) = 10 – 1 = 9
← IL RISULTATO CAMBIA
ED E' SBAGLIATO
